清单02 高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01 集合5 个重点题型
题型02 常用逻辑用语13 个重点题型
题型03 复数15 个重点题型
题型04 平面向量26 个重点题型
题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06 三角函数与诱导公式11 个重点题型 题型07 三角恒等变换24 个重点题型
题型08 三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09 解三角形小题35 个重点题型
题型10 解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12 函数的基本性质45 个重点题型
题型13 指数对数幂函数40 个重点题型
题型14 函数的图象6 个重点题型
题型15 函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16 导数小题36 个重点题型
题型17 导数大题40 个重点题型
题型18 数列小题40 个重点题型
题型19 数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题型22 直线与圆32 个重点题型
题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25 排列组合27 个重点题型
题型26 二项式定理17 个重点题型
题型27 概率统计小题52 个重点题型
题型28 概率统计大题35 个重点题型
第三部分
题型18 数列小题40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差数列基本量计算
利用等差数列通项公式，由已知两项求出公差，再求指定项。
2
等差数列性质与前n项和
利用等差中项性质及前n项和公式列方程，求项数。
3
等差中项与前n项和
由等差中项求出首项与公差关系，代入前n项和公式求值。
4
由前n项和求通项
利用an = Sn - S(n-1)求通项，再求特定项的和。
5
等差数列片段和性质
利用等差数列前n项和片段成等差数列的性质，列方程求值。
6
等差数列前n项和性质
由等差数列性质得S4, S8, S12成等差，结合条件求比值。
7
数列递推与分类讨论
根据递推公式及奇偶性分类倒推，求可能取值，判断不可能的值。
8
等差数列与基本不等式求
最值
利用等差中项求出首项，再结合基本不等式求积的最大值。
9
等比数列基本量计算
利用等比中项求公比，再求前n项和。
10
构造等比数列与数列单调
性
由递推式构造等比数列求通项，再根据递增性列不等式，分奇偶讨
论求参数范围。
11
构造等差数列与项数范围
由递推式构造等差数列求通项，根据小于0的项数列不等式组求参
数范围。
12
等差数列前n项和性质与定
值
设首项公差，由条件得定值关系，通过系数比对求参数。
13
等比数列前n项和公式与奇
偶项比
由前n项和求通项，再求奇数项和与偶数项和的比值。
14
等比数列与等差数列综合
利用等差中项和等比中项分别求出公差和公比，再求三角函数值。
15
构造等差数列求通项与求
和
由递推式构造等差数列求通项，再求特定项和，解方程求项数。
16
等比数列项的性质与不等
式
利用等比数列通项公式，结合基本不等式和性质判断各选项。
17
等差数列与等比中项求前n
项和
设公差，利用等比中项列方程求公差，再求前n项和。
18
数列的单调性与最值
构造函数，利用导数研究函数单调性，分奇偶讨论数列的最大项和
最小项。
19
递推数列的极限与参数范
围
由递推关系及恒成立条件，利用数列单调有界性求极限，解参数范
围。
20
等比数列前n项和与方程
由前n项和关系列方程，利用换元法解出公比，再求项数。
21
等差数列与三角函数周期
利用等差数列通项公式及三角恒等变换，结合三角函数周期性求
和。
22
数列递推与几何应用
由纸张裁剪规则建立递推关系，求通项公式，再求周长之和。
23
由前n项和求通项与递推
利用an与Sn关系求通项，再由递推求另一数列通项，最后求和。
24
等比数列公比范围与比较
构造函数，利用零点存在性确定公比范围，再比较各项大小。
大小
25
递增数列与递推关系判断
利用反证法验证不可能的关系式，通过举反例验证可能的关系。
26
由前n项和求通项与性质
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等比数列及前n项和公式。
27
递推数列与等比数列（多选
题）
由递推式构造等比数列，判断单调性及连续三项成等差数列的可能
性。
28
等比数列基本量及性质（多
选题）
利用等比数列性质求首项公比，再判断数列性质。
29
由前n项和求通项及最值
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等差数列及单调性，求前n项和的最
小值。
30
由前n项和求通项与性质
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等差数列、单调性，及等比中项存在
性，求周期和。
31
等比数列前n项和性质（多
选题）
利用等比数列前n项和性质及通项公式，判断各选项的正确性。
32
等比数列基本量及前n项和
（多选题）
由条件列方程求公比，再求前n项和及比值。
33
数列新定义与递推（多选
题）
根据大衍数列的递推规则，求出各项，判断奇偶项关系及前n项和。
34
分段递推数列的性质（多选
题）
根据奇偶项递推公式，分析单调性、最值、前n项和及项数范围。
35
递推数列与特殊数列（多选
题）
通过取特殊值验证周期数列、恒成立、等差数列、等比数列的存在
性。
36
等比数列前n项和公式求比
值
由前n项和关系求公比，再求特定前n项和之比。
37
分段数列（等比+等差）求
项与和
分别利用等比数列和等差数列通项公式求公比、公差，再求指定项
及总和。
38
三角形数阵求和
观察各行数字规律，先求每行和，再求和。
39
等比数列与二次方程求最
值
由韦达定理得首项与公比关系，利用等比数列前n项和公式转化为
二次函数求最小值。
40
构造等差数列求通项与不
等式
对递推式取倒数构造等差数列，求通项，再通过放缩法求满足不等
式的最小项数。
1．（2026·广东梅州·一模）已知
na
为等差数列，
3
2
a =
，
4
6
a =
，则
5
6
a
a
= （ ）
A．36
B．24
C．18
D．12
2．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列
na
中，
1
2
3
2
1
2,
2026,
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
-
-
=
=
>
且
*
nÎN ．若
该数列前n 项和为5070，则n 为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
3．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
5
5a 和
2
S 的等差中项为6，则
7
S = （ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
4．（2026·山东威海·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
2
4,
1,
6
n
n
n
S
S
S
S
S
=
-
=
=
，则
2
4
6
8
10
=
a
a
a
a
a
（ ）
A．65
B．105
C．210
D．230
5．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
m
S =
，
3
33
m
S
=
，则
2m
S
= （ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
6．（2026·山东青岛·一模）已知
n
S 是等差数列{
}
na
的前n 项和，若
2
10
20
2
24
a
a
a
=
，则
20
S
= （ ）
A．60
B．120
C．180
D．240
7．（2026·陕西宝鸡·一模）已知数列
na
满足：
1a
m
=
（m 为正整数），
1
,
2
3
1,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
ìï
= í
ï
î
当
为偶数时
当
为奇数时
，若
8
1
a = ，则m 的值不可能为（ ）
A．16
B．19
C．20
D．21
8．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列
na
的前n 项和为
9
,
45
n
S
S =
，则
2
8
a a 的最大值为（ ）
A．20
B．25
C．40
D．50
9．（2026·广东广州·二模）已知等比数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
=
，
2
2
a = ，记
n
S 为其前n 项和，则
3S =
（ ）
A．4
B．6.5
C．8
D．12
10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列
na
的首项
*
1
1
3,
2
5 3n
n
n
a
a
a
n
¹
= ´
ÎN
，若数列
na
是递
增数列，则
1a 的取值范围为（ ）
A．
0,3
B．
0,3
3,5
U
C．
1,3
D．
,3
3,5
¥
-
È
11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
1
n
n
na
n
a
n n
-
=
，且
na
中小于0 的项有10 项，则
1a 的取值范围是（ ）
A．
22, 20
-
-
B．
22, 20
-
-
C．
20, 18
-
-
D．
20, 18
-
-
12．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知命题：“记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
11
2
36
ka
a
a
=
，则
9S 为定值”为真命题，则可推出k = （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．（2026·山东·模拟预测）若等比数列
na
的前n 项和
2n
n
S
t
=
，则该数列
na
的前9 项中所有奇数项之
和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．
1
2
B．2
C．341
170
D．170
341
14．（25-26 高三下·福建·开学考试）已知等比数列
na
与等差数列
nb
，满足
1
2
9
64
a a a =
，1
2
6
18
b
b
b
=
，
则
4
2
4
π
cos a
b
b =
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
-
C．
3
2
D．
3
2
-
15．（2026·山东德州·一模）数列
na
中，
1
2
a =
，对
*
,
m n
"
ÎN ，有
m n
m
n
a
a
a
=
，若
1
2
3
10
270
k
k
k
k
a
a
a
a
=
L
，则k = （ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
16．（2026·福建莆田·二模）已知数列
na
是公比为q 的等比数列，m ，n ，s，
*
N
t Î
，则下列命题正确的
是（ ）
A．若
1
3
4
a a =
，则
2
2
a =
B．若
1
2
a
a
<
，则
1
q >
C．若
1
q ¹ ，则
1
3
1
3
1
1
4
a
a
a
a
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
D．若
m
n
s
t
a a
a a
=
，则m
n
s
t
=
17．（2026·山东青岛·一模）设公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
7
28
S =
，若
3a ，
4a ，
8a 成等
比数列，则
8a = （ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
18．（25-26 高三上·广东·期末）已知数列
na
满足
1
ln
n
n
n
a
n
n
-
=
-
，则关于
na
说法正确的是（ ）
A．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．有最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
19．（2026·贵州安顺·一模）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
1
n
n
a
c
a
=
-
．若对于任意
*
nÎN ，都有
1
2
n
n
a
a
<
<
成立，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
5
2, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
5
2, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
C．
5
2, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
2,3
20．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
9
3
6
2S
S
S
=
，且
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
=
，
则正整数k 的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
21．（2026·江西·一模）已知等差数列
na
的公差为π
3 .若
1
4
cos
15
a = -
，则
59
1
cos
i
i
i
a
=
×
=
å
（ ）
A．
16
-
B．16
C．8
-
D．8
22．（2026·安徽安庆·一模）A 系列纸张是生活中最常用规格的纸，A 系列纸张命名规则：①一张Ai 型号
纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张A(
1)
i
型号纸张；②一张A0 型号的纸张面积是1 平方米；
③所有Ai 型号的纸的长宽比相等．现从A0 到A9 ，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为
（ ）（单位：米）
A．
10
2
4
2
4 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
B．
10
2
4
1
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
C．
10
2
4
2
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
D．
11
2
4
2
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
23．（2026·江西赣州·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
*
2
3,2
1
n
n
S
S
n
a
n
=
=
ÎN
，在数列
nb
中，
1
1
b
a
=
，且1 2 3
1
2 n
S
n
bb b
b =
L
，设
nT 为数列
nb
的前n 项和，则
2026
T
= （ ）
A．
2026
2
B．
2026
2
1
-
C．
2025
2
D．
2025
2
1
-
24．（25-26 高三下·江苏南通·开学考试）已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
a =
，
1
2
3
4
1
2
3
ea
a
a
a
a
a
a
=
，则（ ）
A．
1
2
a
a
<
B．
1
3
a
a
<
C．
2
3
a
a
>
D．
4
2
a
a
>
25．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列
na
满足
1
1
a = ，且
2
1
n
n
n
a
a
a
l
m
=
-
，则,
l m 满足的关系式不可能
为（ ）
A．
0
l
m
<
B．
1
0
lm <
C．
2
2
2
l
m
=
D．
2
0
l
m
-
=
二、多选题
26．（2026·山东青岛·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
1
n
n
S
a
=
，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
1
2n
na
-
= -
C．
2
1
n
n
S =
-
D．
2
2
1 2
2
2 n
n
n
aa
a
-
× ×
=
×
27．（2026·河北唐山·一模）已知
2n
na =
，
n
S 为数列
na
的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A．
na
是等比数列
B．
2
2
n
n
S =
-
C．
1
{
}
na
是递减数列
D．
na
中存在连续三项成等差数列
28．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比q 为整数的等比数列
na
中，
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
4
32
a a =
，
2
3 12
a
a
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
q =
B．数列
n
S
是等比数列
C．
6
126
S =
D．数列
lg
na
是公差为2 的等差数列
29．（2026·福建莆田·二模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2
4
n
S
n
n
=
-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
na
为等差数列
B．
na
为单调递增数列
C．
1
2
3
4
5
6
12
a
a
a
a
a
a
=
D．
n
n
S
a 的最小值为3
-
30．（2026·福建龙岩·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
n
S
n
n
=
，则（ ）
A．数列
na
是等差数列
B．数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ 不是单调数列
C．数列
na
中存在不同的两项，使
3a 是这两项的等比中项
D．记数列
π
cos 2
n
n
n
b
a
a
æ
ö
=
×
×
ç
÷
è
ø ，则数列
nb
的前2026 项的和为4052
31．（25-26 高三下·安徽·月考）已知
na
为等比数列，其前n 项和为
n
S ，公比为q ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
1
1
a = ，
2
2
a = ，则
3
6
S =
B．若
2
3
4
4
a
a
=
，则
5
1
4
a =
C．若
1
2
q =
，则
1
2
n
n
a
S
a
=
D．若
4
2
4
4
S
S
a
-
=
，
2
6
4
4
S
S
a
-
=
，则
4
4
9
a =
32．（2026·河北保定·一模）已知等比数列
na
的公比为q ，前n 项和为
n
S ,
2
1
2
a =
,
3
6
4
4
a a
a
=
.则下列说法正
确的是（ ）
A．
5
2
a =
B．
2
q =
C．
3
2n
na
-
=
D．
1
1
8
n
n
S
a
=
-
33．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应
用．已知大衍数列
na
满足
1
0
a =
，
1
1,
,
n
n
n
a
n
n
a
a
n n
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则正确的有（ ）
A．
5
12
a =
B．
2
1
2
1
4
n
n
a
a
n
-
=
C．
2
2
2
n
a
n
n
=
-
D．数列
( 1)n
n
a
-
的前20 项和为110
34．（2026·广东佛山·一模）已知数列
na
的每一项都是整数．当n 为奇数时，有
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
³
；当n
为偶数时，有
2
1
2
n
n
n
a
a
a
³
．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
1
1
a = ，
2
3
a =
，则（ ）
A．数列
na
为递增数列
B．
5S 的最小值为32
C．若
100
=
k
，则
ka 的最小值为2649
D．若
2026
ka =
，则k 的最大值为86
35．（2026·广东广州·模拟预测）数列
na
满足
1
0,1
a Î
，且
1
1
2
,0
2
1
2 1
,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
ì
£
£
ïï
= í
ï
-
<
£
ïî
，记
na
的前n 项和
为
n
S ，则（ ）
A．存在
1a ，使
na
为周期数列
B．存在
1a ，使
1
2
n
S
n
>
恒成立
C．存在
1
2
a
a
¹
，使
n
S
为等差数列
D．存在
1
2
a
a
¹
，使
na
为等比数列
三、填空题
36．（2026·河南许昌·模拟预测）设
n
S 为各项均为正数的等比数列
na
的前n 项和，若
8
5
2
2a
a
a
=
，则
6
3
S
S = __________.
37．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知
10 架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10 的数列
na
，该数列的前4 项成等比数列，
后7 项成等差数列，且
1
5
a =
，
4
135
a =
，
9
150
a =
，则
7a = ______，数列
na
所有项的和为______．
38．（2026·甘肃·一模）如图，若第1 行数字的和记为
1a ，第2 行数字的和记为
2,
a L，第n 行数字的和记为
na ，则
na = __________；若数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
n
S = __________
39．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1a ，
2a 是关于x 的方程
2
4
0
x
x
p
-
=
的两个不等实根，则
6
2
4
4
6
S
S
S
-
的最小值为___________．
40．（2026·山西朔州·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
3
a =
，
1
2
1
n
n
n
a
a
a
=
，则满足
3
1
33
k
k
S
S
-
<
的k 的最小值为__________.
题型19 数列大题25 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差数列基本量运算与不
等式
利用等差中项、等比中项列方程求首项和公差，再根据前n项和公
式解不等式求最小项数。
2
等差数列基本量与前n项
积最值
由已知条件列方程求首项和公差，写出前n项积的表达式，利用指
数函数单调性转化为二次函数求最值。
3
递推数列的周期性
通过赋值法求出数列的周期，再根据周期求和；利用特殊值法求参
数满足的条件。
4
等差数列与裂项相消求和
利用等差中项、等比中项列方程求公差和首项，再写出通项，用裂
项相消法求和。
5
由Sn与an关系求通项与错
位相减求和
利用an = Sn - S(n-1)消去Sn，构造等差数列求通项；再用错位相减
法求等比数列与等差数列乘积的前n项和。
6
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和
先构造等差数列求Sn，再通过an = Sn - S(n-1)求通项，最后用裂项
相消法求和。
7
等差中项与正余弦定理求
角及边范围
利用等差中项和正弦定理得边角关系，再用余弦定理求角；结合外
接圆半径和正弦定理求边长范围。
8
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和
由递推式构造等差数列求Sn，再写出通项，用裂项相消法求和并证
明不等式。
9
等差数列基本量与裂项相
消求和
列方程求公差和首项，写出通项；用裂项相消法求和，再通过放缩
法证明不等式。
10
构造等比数列求通项与分
组求和
通过配凑法构造等比数列求通项，再分组求和，利用数列单调性解
不等式求最大项数。
11
等比数列基本量与错位相
减求和
由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用错位相减法求数
列的前n项和。
12
构造等差数列与裂项相消
求和
通过赋值法构造等差数列求通项，再用裂项相消法求和。
13
等差数列与等比数列的判
定
利用等差数列定义求通项，再通过递推关系证明等比数列。
14
等比数列前n项和与等差
数列判定
利用等比数列通项公式求基本量，再通过前n项和公式证明等差中
项关系。
15
等比数列与作差法求通项
及裂项相消求和
由等比数列通项公式求通项，再用作差法求另一数列的通项，最后
用裂项相消法求和。
16
构造等比数列求通项与裂
项相消求和
通过配凑法构造等比数列求通项，再写出裂项形式，用裂项相消法
求和。
17
等比中项与等比数列求和
利用等比中项列方程求公差，写出通项；再证明新数列为等比数列，
用等比数列求和公式求和。
18
构造等差数列与分组求和
及数列最大项
通过取倒数构造等差数列求通项；按奇偶分组求和；构造函数研究
数列单调性求最大项。
19
构造等比数列与错位相减
求和及放缩法证明
通过配凑法构造等比数列求通项；再用错位相减法求和；最后通过
放缩和裂项相消证明不等式。
20
分段数列求和与构造等差
数列求通项
分n=1和n≥2两种情况求通项；由前n项和关系构造等差数列求通项；
再通过裂项相消法求和。
21
由Sn与an关系求通项与分
组求和
利用an = Sn - S(n-1)求通项；通过递推式作商求等比数列通项；再
按大小顺序分组求和。
22
等比数列基本量与裂项相
消求和
由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用裂项相消法求和。
23
构造等比数列与累加法求
通项及裂项相消求和
通过配凑法构造等比数列，再累加法求通项；用裂项相消法求和并
证明不等式。
24
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和及反证法
利用an = Sn - S(n-1)求通项；用裂项相消法求和；通过反证法证明
不等式，用累加法放缩证明另一不等式。
25
由Sn与an关系求通项与等
差数列求和及二项式定理
利用an = Sn - S(n-1)构造等比数列求通项；通过分组求和和裂项相
消求和；利用二项式定理放缩证明不等式。
1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
9
45
S =
，
3a ，
4a ，
7a 成等比数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求使
n
n
S
a
>
成立的n 的最小值.
2．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
3
2
4
0,5
2
0
a
a
a
a
=
=
.
(1)求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)记
2 n
a
nb =
，数列
nb
的前n 项积为
nT ，求
n
n
T
S
的最小值.
3．（2026·江苏·一模）已知数列
na
各项均不为零，
1
1
a = ，
2
1
3
a =
，
1
1
2
n
n
n
n
n
a a
ta
a
a
=
-
.
(1)当
1
t = 时，求
na
的前50 项和；
(2)若
1
n
n
a
a
>
，求正整数t 的最小值.
4．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列
na
的公差
0
d ¹
，且
3
1
2
5
5
a
a
a
a
= ，，，
成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
2
n
n
b
a
n
=
-
求数列
nb
前n 项和为
n
S ；
5．（2026·四川成都·二模）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
2
*
2
n
n
n
S
a
a
n
=
ÎN
，
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
2
n
n
n
a
b
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
6．（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
-
=
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
7．（2026·河北邯郸·一模）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
(1)求cosB ；
(2)记
ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b 的取值范围．
8．（2026·重庆·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
1
1
2
n
n
nS
n
S
n
n
-
=
，且
1
2
a =
．
(1)证明：
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
n
S ．
(2)若
1
2
1
n
n
b
S
=
- ，数列
nb
的前n 项和
nT ，求证：
1
2
nT <
．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
4
9,
30
a
S
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和；
(3)证明：
1
2
4
2
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
<
L
．
10．（2026·广东广州·一模）已知数列
na
的首项
1
2
3
a =
，且满足
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a
=
．
(1)证明：数列
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
(2)若数列
1
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S 小于120，求n 的最大值．
11．（2026·江西南昌·一模）已知等比数列
na
的公比q 为整数，且
1
4
52
a
a
=
，
2
3
12
a
a
= -
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
na
满足
1
2
3,
8
a
a
=
=
，且对任意的正整数n ，当
2
n ³
时，都有
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
-
=
．
(1)证明：数列
2
na
n
-
是等差数列；
(2)设
1
2
3
n
n
n
n
b
a a
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
13．（2026·江苏·一模）已知数列
*
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
n
=
=
ÎN
,
,
,
．
(1)若
na
是等差数列，求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
n
nb
a
=
，证明：数列
nb
是等比数列.
14．（2026·四川内江·二模）已知
n
S 是等比数列
na
的前n 项和．
(1)若
2
7
2,
64
a
a
=
=
，求
7
S ；
(2)若
3
9
6
,
,
S S S 成等差数列，证明：
8
2
5
,
,
a a a 成等差数列．
15．（2026·广东深圳·一模）已知数列
na
是等比数列，
1
2
a =
，
2
4
a =
，数列
nb
满足：
1 1
2
2
1
n
n
n
a b
a b
a b
n a
=
×
L
.
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
1
1
n
n
b
b
ì
ü
í
ý
×
î
þ
的前n 项和
n
S .
16．（2026·江西·一模）已知数列
na
中，
1
1
a = ，满足
*
1
3
1
0
n
n
a
a
n
-
- =
ÎN
．
(1)证明数列
1
2
na
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列，并求数列
na
的通项公式：
(2)设
3
log
2
1
n
n
n
b
a
T
=
，
为数列
1
2
n
n
b b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和，求
2026
T
．
17．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列
na
是公差不为零的等差数列，1
1
a = ，且
1
3
9
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
2 n
a
nb =
，求
1
1 2
2 3
1
1
-
-
-
n
n
n
bb
b b
b b
L
．
18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
1,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
=
=
．
(1)证明：
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
na
的通项公式；
(2)记
1
n
n
n
b
a
= -
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)数列
nc
满足：
2
1
1 1
2
2
1
3
3
2
2
n
n
n
n
n
a c
a c
a c
-
=
×
-
L
，求
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项．
19．（2026·天津·一模）已知数列
na
满足
2
1
1
2
log
,
1,
2
,
n
n
n
a
a n
a
a
n
ì
=
= í
î
为奇数
为偶数
．
(1)证明：求
2
3
,
a a 的值，并证明数列
2
1
n
a
-
为等比数列；
(2)设
2
1
2
2
n
n
n
a
a
b
×
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ；
(3)设
2
2
4
8
1
n
n
c
a
=
，求证：
1
2
3
1
1
1
n
c
c
c
c
n
n
<
-
L
．
20．（2026·山东聊城·一模）已知数列
na
满足
3 ,
1
4
2
1,
2
n
n
a
n
n
ì
=
ï
= í
ï
-
³
î
.
(1)求
na
的前n 项和
n
S ；
(2)记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
2
2
2
6
n
n
n
T
b
=
-
．
（i）证明数列2
n
n
b
ì
ü
í
ý
î
þ为等差数列，并求出
nb
的通项公式；
（ii）求数列
n
n
T
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
M ．
21．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）数列
na
的前n 项和
1
n
S
n n
=
，数列
nb
满足
1
2
1 2
2
n n
n
b b
b
=
L
，
n
ÎN ．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)将数列
na
和数列
1
n
nb
-
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
n
d
，其中重复的数只取一次，
求数列
n
d
的前100 项和．
22．（25-26 高三上·青海西宁·期中）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
4
3
4
42
a
a
S
=
=
，
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
2
1
1
log
log
n
n
n
b
a
a
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
23．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
=
.
(1)证明：数列
1
n
n
a
a
-
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)记
2
1
n
n
b
a
=
，数列
1
n
n
n
a
b b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，证明：1
1
16
8
n
S
£
<
.
24．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列
na
的前n 项和为
n
S ．
(1)若
2
na
n
=
，求
1
2
3
1
1
1
1
n
S
S
S
S
L
；
(2)若
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
，且
1
n
S £ ，证明：
1
n
n
a
a
£
(3)若
1
1
1
1, 1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
=
-
=
，证明：
2026
58
8
39
3
S
<
<
．
25．（25-26 高三上·天津南开·月考）已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，对任意
*
N
nÎ
，2
3
1
n
n
S
a
=
- ，
(1)证明：{
}
na
为等比数列，并求出数列{
}
na
的通项公式.
(2)设数列
1
1
2 ,
4 ,
k
n
n
k
k
k n
a
b
b
k a
n
a
-
=
ì
= í
<
<
î
，其中
*
k ÎN ，设
2
1
n
S
n
i
i
T
b
=
=å
.
（ⅰ）求
nT 的值；
（ⅱ）设
2
8
1
1
1
8
1
n
n
n
n
c
n
T
æ
ö
-
=
ç
÷
-
è
ø
，求使得
1
[ ]
2026
n
i
i
c
=
£
å
成立的最大正整数n 的值.（其中符号[ ]
x 表示不超过x
的最大整数）
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
空间线面位置关系判断
利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理，结合空间想象或反例
排除，逐项判断。
2
线面平行的判定
通过建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量是
否垂直；或利用面面平行的性质证明。
3
圆锥的侧面积计算
由轴截面为等腰直角三角形求出底面半径和母线长，代入圆锥侧面
积公式求解。
4
球体与圆锥的表面积、体积
之比
分别写出球体和圆锥的表面积、体积公式，代入已知比例关系，化
简求比值。
5
正三棱柱中的线面垂直与
线段长度
取棱中点构造线面垂直，利用勾股定理和相似三角形求线段长度。
6
正四棱台的体积与二面角
作出侧面与底面所成二面角的平面角，利用正四棱台的性质求高，
再代入棱台体积公式。
7
正四棱台的侧面积计算
利用棱台体积公式求高，再求斜高，最后代入侧面积公式。
8
三棱锥的外接球表面积
利用侧棱相等确定顶点在底面的射影为外心，求出底面外接圆半径
和高，再求外接球半径。
9
圆锥外接球体积的最值
由外接球半径和圆锥底面半径、高的几何关系建立函数，利用导数
求体积最大值。
10
正三棱柱外接球球心到平
面的距离
建立空间直角坐标系，求出球心坐标和平面的法向量，利用点到平
面距离公式求解。
11
圆台内切球与体积比
由圆台内切球性质得母线长与上下底面半径的关系，利用勾股定理
求半径，再求体积比。
12
组合体（棱柱+棱锥）的外
接球半径
由体积比求出棱锥与棱柱的高相等，利用对称性确定球心位置，列
方程求半径。
13
直三棱柱体积的取值范围
利用面面垂直得线面垂直，设未知量表示体积，转化为三角函数或
二次函数求值域。
14
几何体的外接球表面积
建立空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列
方程求解。
15
三棱锥体积最大时的高
底面三角形面积最大时为等边三角形，利用基本不等式求体积最大
值，再求球心到截面距离。
16
空间距离和的最小值（胡不
归模型）
将目标式转化为点到平面的距离，通过旋转平面构造折线段，利用
垂线段最短求最小值。
17
正三棱柱中的线面位置关
系（多选题）
建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行、垂直及面面垂直。
18
平行六面体中的线面位置
与距离（多选题）
利用向量数量积求夹角，通过线面垂直判定定理证线面平行，利用
等体积法求点到平面距离。
19
正方形垂直平面中的动态
问题（多选题）
建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角、线面平行及距
离最值。
20
四棱锥中的动点问题（多选
题）
建立空间直角坐标系，利用向量法求线面平行、线线垂直及截面问
题。
21
正三棱锥中的向量运算与
三点共线（多选题）
利用空间向量基底表示，通过向量运算判断垂直、共线及数量积。
22
正方体中的轨迹与最值问
题（多选题）
通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。
23
正四面体中的线面位置与
异面直线角（多选题）
利用线面垂直判定定理证线线垂直，利用等体积法求体积比，利用
余弦定理求异面直线所成角。
24
正方体中的动点问题（多选
题）
利用线面平行得体积定值，利用坐标法求线线垂直及点到直线距离
的最小值。
25
翻折问题中的最值与位置
关系（多选题）
利用几何法分析体积最值，利用勾股定理和余弦定理求外接球半
径，利用线面垂直证线线垂直。
26
正方体中的面面平行与轨
迹问题（多选题）
通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。
27
四面体的外接球与内切球
及截面面积（多选题）
由垂直关系确定外接球球心，利用等体积法求内切球半径，利用异
面直线距离求截面面积最值。
28
圆锥内小球运动问题（多选
题）
利用圆锥轴截面几何关系，结合圆台侧面积公式和球的切线性质求
解。
29
正三棱柱内切球与外接球
体积比
利用正三角形内切圆半径求内切球半径，利用正三角形外接圆半径
和高求外接球半径。
30
直三棱柱中两平面交线距
离
将三棱柱补成四棱柱，确定两平面的交线，利用等面积法求点到直
线的距离。
31
长方体各面中心构成的八
面体
利用对称性确定八面体由两个全等的四棱锥组成，分别求侧面积和
体积。
32
三棱锥的外接球表面积
由线线垂直关系将三棱锥补形为长方体，长方体外接球直径等于体
对角线长。
33
翻折问题中体积最大时的
外接球表面积
体积最大时平面垂直，取棱中点确定外接球球心，利用直角三角形
斜边中线性质求半径。
34
圆台体积最大时的外接球
表面积
利用圆台体积公式建立函数，求导得体积最大时的尺寸，再分类讨
论外接球球心位置求半径。
35
正三棱柱外接球上动点的
轨迹长度
建立空间直角坐标系，将向量数量积条件转化为球面方程，求两球
面交线圆的周长。
一、单选题
1．（2026·黑龙江吉林·一模）设l ，m 是两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面，以下说法正确的是
（ ）
A．若l
m
^
，
/ /
m
a ，则l
a
^
B．若/ /
l
b ，a
b
^
，则l
a
^
C．若l
m
^
，m
b
^
，a
b
^
，则l
a
^
D．若l
b
^
，m
b
^
，m
a
^
，则l
a
^
2．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，, ,
A B C 为正方体的顶点，
,
M N 为所在棱的中点，则满足
直线
/ /
MN
平面ABC 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4 的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为
（ ）
A．4 2π
B．8 2π
C．16 2π
D．
4 2
4 π
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记半径为R 的球体的表面积和体积分别为
1S 和
1V ，记某底面半径为R 的圆
锥的表面积和体积分别为
2
S 和
2
V ，若
1
2
S
S
=
，则
1
2
V
V = （ ）
A．4
9
B．4
3
C．
2
3
D．2
5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
BC
CC
=
=
，D，E 分别为线段
1
BB ，
1
1
AC 的中点，点F 在
1
B E 上，若BF
AD
^
，则
1
sin
B BF
Ð
= （ ）
A．
2
4
B．1
3
C．
1
2
D．
2
2
6．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
2
4
AB
A B
=
=
，若侧面与底面的夹角为
60°，则该四棱台的体积为（ ）
A．56
3
B．20 3
3
C．28
3
D．28 3
3
7．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，
上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积
3
3500 7 cm
3
，上､下底面棱长分别为20cm,10cm，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．
2
75 7cm
B．
2
225cm
C．
2
300 2cm
D．
2
600 2cm
8．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥P
ABC
-
满足
2
PA
PB
PC
=
=
=
，且
π
3
3
BAC
BC
Ð
=
=
，
，则三棱锥
P
ABC
-
外接球的表面积为（ ）
A．32 3π
27
B．32 3π
9
C．16π
9
D．16π
3
9．（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36 π ，则该圆锥的体积的最大值是（ ）
A．32 π
B．32π
3
C．64 π
D．64π
3
10．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为6，高为3 6 ，其顶点都在球O 的球
面上，则球心O 到平面
1A BC 的距离为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．2
D．
3
11．（2026·河南·模拟预测）已知圆台
1
O O 的母线长为l，半径为R 的球C 与圆台
1
O O 的上、下底面及母线
都相切，且
5
l
R
=
，则圆台
1
O O 与球C 的体积之比为（ ）
A．
5
B．2 5
C．2
D．2 2
12．（2026·山东菏泽·一模）图1 是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱
和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为
3:1，且该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为
1
CC 中点，平面
1A BD ^ 平面
1
1
1
,
4
ABB A A D
BD
=
=
，
1
2 7
=
A B
，则三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
体积的取值范围是（ ）
A．
0,21
B．
7,21
C．
0,28
D．
7,28
14．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正
方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为
3 ，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．16π
3
B．28π
3
C．28 21π
27
D．11π
15．（2026·山东烟台·一模）已知球O 的半径为1，三棱锥的顶点为O ，底面的三个顶点均在球O 的球面上，
则当该三棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
3
16．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB =
，
1
1
AA = ，点D 是平面ABC 上的动点，
则
1
2
2
A D
CD
的最小值是（ ）
A．5 2
4
B．3 2
2
C．5 3
4
D．3 3
2
二、多选题
17．（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
AA
=
，M ，N ，P 分别为
1
CC ，BC ，
1
AA
的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
1 //
A B
平面
1
NPC
B．平面
1
ANC ^平面
1
1
BB C C
C．
1
1
B M
AC
^
D．
1
B M ^ 平面
1
NPC
18．（2026·福建福州·模拟预测）在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
60
DAB
DAA
BAA
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
1
3
AB
AD
AA
=
=
=
，则（ ）
A．
1A D
AC
^
B．BD ^ 平面
1
1
ACC A
C．直线
1
1
A B 与直线BC 所成角为60°
D．点
1A 到平面ABCD 的距离为3 2
2
19．（2026·广东汕头·一模）正方形ABCD 、ABEF 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M 、N 分别
在正方形对角线AC 和BF 上移动，且
0
2
CM
BN
a
a
=
=
<
<
．则（ ）
A．直线AC 与BF 所成的角为45°
B．
/ /
MN
平面DAF
C．当
2
2
a =
时，MN 的长最小，且最小值为
2
2
D．当MN 的长最小时，点F 到平面AMN 的距离为
2
2
20．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥E
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，
//
AD BC ，AD
CD
^
，
EC ^ 平面ABCD ，
2
AD
CE
=
=
，
1
BC
CD
=
= ，M 、N 分别为棱DE 、CE 上的动点，设
(0
1)
DM
DE
l
l
=
£
£
uuuur
uuur
，
(0
1)
CN
CE
m
m
=
£
£
uuur
uuur
，则（ ）
A．当
0
m =
时，存在l ，使得
//
MN
平面ABE
B．当
0
m =
时，存在l ，使得AN
BM
^
C．当
1
2
m =
，且AN 与BM 相交时，
2
3
l =
D．三棱锥E
BCD
-
的外接球在底面ABCD 上的截痕长为
2π
2
21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥P
ABC
-
中，
3
AB = ，D 是PC 中点，E 是CB 中点，点
F，G 满足
1
2
FP
AF
=
uuur
uuur
，
1
2
GB
AG
=
uuur
uuur
，直线DF，GE 相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．
0
AB PC
×
=
uuur uuur
B．
3
AB FG
×
= -
uuur uuur
C．AC
uuur
与CH
uuur
是共线向量
D．
1
2
1
3
3
2
GD
CA
CB
CP
=
uuur
uuur
uuur
uuur
22．（2026·四川内江·二模）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点P 是棱BC 的中点，点Q 在正方形
1
1
AA B B 内部（不含边界）运动，若
/ /
PQ
平面
1
1
ACC A ，则（ ）
A．点Q 的轨迹经过线段
1
AB 的中点
B．点Q 的轨迹长度为2
C．三棱锥
1
Q
ACC
-
的体积为定值2
3
D．球面经过A ，B ，C ，Q 四点的球的半径最小值为2
23．（2026·广东广州·二模）如图，在正四面体A
BCD
-
中，点
,
,
,
,
,
P Q E F G H 分别为各棱的中点，则（ ）
A．HF
GH
^
B．PQ ^ 平面EFHG
C．3
4
A BCD
PEF
AGH
V
V
-
-
¢
=
三棱锥
三棱柱
D．直线DQ 与直线PE 所成角的余弦值为
3
6
24．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，P 为线段AC 上的动点
（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥
1
1
A
DPC
-
的体积为定值
B．正方体的外接球球心到平面
1
1
DAC 的距离为
3
3
C．存在点P ，使得
1
1
C D
B P
^
D．点P 到直线
1A D 的距离的最小值为2 3
3
25．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在长方形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且
4,
2,
1
AB
AD
DP
=
=
= ．将
ADP
△
沿着AP 翻折至
AQP
△
，连接
,
QB QC ，得到如图2 所示的四棱锥Q
ABCP
-
，则下列结论正确的是
（ ）
A．四棱锥Q
ABCP
-
体积的最大值为14 5
15
B．当平面QAP ^ 平面ABCP 时，三棱锥Q
BCP
-
的外接球的表面积为69π
5
C．在翻折的过程中，BP 与AQ 始终不垂直
D．若
1
4
BE
BQ
=
uuur
uuur
，则
13
2
CE =
26．（2026·河北保定·一模）如图，正方体.
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
2
AB =
，点O 为侧面
1
1
ADD A 的中心，M，
N 分别为棱BC
CD
，
的中点，动点Q 在该正方体表面（底面ABCD 以外）上，且平面
//
BOD
平面MNQ ，则
下列结论正确的是（ ）
A．平面BOD 截该正方体所得截面的面积为4 3
B．点Q 的轨迹长度为5 2
C．直线BQ 与平面BOD 所成角的正弦值的最大值为
6
3
D．三棱锥
1
Q
AB C
-
的体积的最大值为2
27．（2026·山东青岛·一模）已知四面体ABCD 满足
2
AB
AC
CD
BD
=
=
=
=
，
2 2
BC =
，点A ，B ，C ，
D 均在球
1
O 的表面上，球
2
O 与四面体的4 个面均相切，过直线
1
2
O O 的平面截四面体ABCD 所得的截面的面
积为S ，则（ ）
A．球
1
O 的表面积为8π
B．当四面体ABCD 体积最大时，
1
2
2
2
O O =
-
C．当
2
AD =
时，S 的最大值为
3
D．当
2
AD =
时，S 的最小值为15
5
28．（2026·陕西榆林·模拟预测）一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10 的等边三角
形，一个半径为
3 的小球在该容器内自由运动，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为50π
B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2
C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4
D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为20π
三、填空题
29．（25-26 高二上·四川成都·月考）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AA
=
=
，则在正三棱柱内可放入的
最大球的体积
1V 与正三棱柱外接球的体积
2
V 之比
1
2
V
V = _____.
30．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
120 ,
2,
ACB
AC
BC
AA
M
°
Ð
=
=
=
=
为
1
AA 的
中点，若平面BCM 与平面
1
1
B C M 的交线为l ，则点B 到直线l 的距离为_______________．
31．（2026·北京延庆·一模）长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 是一个正方形，其边长为4，长方体的
高为2 2 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长
方体的体积之比为______．
32．（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥P
ABC
-
中，
90
PAB
PAC
BAC
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
1
AB
AC
=
= ，
2
AP =
，
若A ，B ，C ，P 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______
33．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD 中，AB
BC
^
，
2
2
4
AD
AB
BC
=
=
=
，将
ABC
V
沿直
线AC 翻折至
1
AB C
△
的位置，当三棱锥
1
B
ACD
-
的体积最大时，则三棱锥
1
B
ACD
-
的外接球的表面积为
_________．
34．（2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为1: 2，当圆台体积最大时，以此圆台
的上、下底面为截面的球的表面积为________．
35．（2026·贵州安顺·一模）已知点M 为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的外接球上的动点，且
2
MB
MA
=
，若
1
2
AA =
，
3
AB = ，则点M 的轨迹长度为______．
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
线面角计算与空间
向量法
利用面面垂直性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线方向向量
与平面法向量夹角，得线面角正弦值。
2
线面垂直判定与线
面角计算
利用勾股定理证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，建立空间
直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值。
3
面面平行证线面平
行与线面角计算
通过构造面面平行证明线面平行，建立空间直角坐标系，求直线方向向量
与平面法向量的夹角，得线面角正弦值。
4
面面垂直判定与线
面角计算
利用等腰三角形三线合一证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂
直，进而证面面垂直；建立坐标系求线面角正弦值。
5
翻折问题中的面面
垂直与线面角
翻折前后垂直关系不变，利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立空间直
角坐标系，由二面角确定坐标，求线面角正弦值。
6
四点共面证明与面
面角计算
建立空间直角坐标系，通过向量共面证明四点共面；分别求两平面法向量，
用向量夹角公式求面面角的余弦值。
7
线面平行证明与面
面角正弦值
取棱中点构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法
向量，由向量夹角余弦求面面角的正弦值。
8
线面角计算与垂直
存在性探究
建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；假设存在点满足垂直
条件，列方程求解，判断解的存在性。
9
线面平行证明与点
到平面距离
利用中位线证线面平行；建立空间直角坐标系，由面面角余弦值求参数，
再用法向量求点到平面的距离。
10
面面垂直判定与线
面角及体积定值
由面面垂直得线面垂直，证线线垂直；建立坐标系求线面角正弦值；利用
外接球球心性质证体积为定值。
11
面面垂直判定与线
面角余弦值
利用等腰梯形性质和面面垂直证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系，
由线面角正弦值求参数，再求线面角余弦值。
12
线线垂直证明与点
关于平面对称
利用菱形性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由线面角求点坐标，求
对称点坐标，再用向量法求点到平面距离。
13
线线垂直证明与线
面角正弦值
利用等腰三角形三线合一证线线垂直；建立空间直角坐标系，由投影条件
确定点坐标，再求线面角正弦值。
14
线面垂直判定与面
面角及存在性问题
由勾股定理和面面垂直证线面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数
表示点坐标，由线面角正弦值列方程求解。
15
面面垂直判定与线
面角正弦值
利用中点性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由点到平面距离求参数，
再求线面角正弦值。
16
面面垂直判定与线
面角范围
利用线面垂直判定定理证面面垂直；通过几何法或向量法将线面角表示为
函数，求取值范围。
17
面面平行证明与面
面角存在性
由线线平行证面面平行，进而证线线平行；建立坐标系，设参数表示点坐
标，由面面角余弦值列方程求解。
18
面面垂直判定与面
面角余弦值
利用中位线证线线平行，结合线面垂直证面面垂直；建立坐标系，求两平
面法向量，由向量夹角求面面角余弦值。
19
面面角正切值与线
面角范围及外接球
建立空间直角坐标系，求两平面法向量得面面角正切值；将线面角正弦值
表示为函数求值域；利用对称性求外接球半径。
20
二面角余弦值与面
面垂直求参数
建立空间直角坐标系，求两平面法向量得二面角余弦值；由面面垂直得法
向量数量积为零，列方程求参数。
21
线面平行证明与面
面角余弦值
构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，用
向量夹角公式求面面角余弦值。
22
面面垂直判定与面
面角及存在性问题
利用菱形性质证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；
设参数表示点坐标，由线面垂直列方程求参数。
23
线线垂直证明与面
面角及截面问题
利用等腰三角形三线合一和面面垂直证线线垂直；建立坐标系求面面角余
弦值；利用共面条件列方程求参数。
24
线面平行证明与异
面直线距离及面面
角范围
建立空间直角坐标系，由线面角求高；利用公垂线向量求异面直线距离；
由四点共面得参数关系，将面面角表示为函数求值域。
25
空间向量线性表示
与线面角及体积最
值
利用空间向量线性运算表示向量；通过几何法求线面角；建立坐标系，由
四点共面求参数，用基本不等式求体积最值，再求面面角余弦值。
26
面面交线夹角与线
面角最值及截面体
积
利用中位线求两直线夹角；建立坐标系，将线面角正弦值表示为函数，用
换元法求最值；利用截面性质求体积范围。
27
面面垂直判定与外
接球体积及线面角
利用勾股定理和余弦定理证线线垂直，进而证面面垂直；由外接球性质列
方程求半径；建立坐标系求线面角正弦值。
28
面面垂直判定与面
面角及体积最值
利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；将线面
角正弦值表示为函数，由基本不等式求最值，再求体积。
29
线面平行证明与面
面角及定值存在性
利用中位线证线面平行；建立坐标系，由面面角余弦值求参数；通过向量
法判断是否存在点使距离为定值。
30
线线垂直证明与二
面角大小
利用面面垂直性质证线面垂直，进而证线线垂直；由体积求高，建立坐标
系或几何法求二面角。
31
四点共面证明与点
到平面距离及线面
角
利用线线平行证四点共面；由球心性质建系求点到平面距离；由球面距离
最小确定点位置，再求线面角正弦值。
32
线面平行证明与点
到平面距离及二面
角正弦值
构造平行四边形证线面平行；建立坐标系，由距离相等求参数，再求二面
角正弦值。
33
线面垂直判定与面
面角存在性
利用勾股定理证线线垂直，进而证线面垂直；建立坐标系，设参数表示点
坐标，由面面角余弦值列方程求参数。
34
线线垂直证明与线
面角及体积最值
利用全等三角形证线线垂直；通过几何法求线面角；将体积表示为函数，
利用换元法和导数求体积最大时的参数值。
35
线线垂直证明与线
利用面面垂直证线面垂直，进而证线线垂直；建立坐标系，由线面角正弦
面角范围及内切球
半径
值求参数范围；利用等体积法和三角形面积公式证内切球半径不等式。
1．（2026·山东·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面
^
=
ABCD
PA
PD
PA
PD
，
，
，
底面ABCD 为等腰梯形，且
2
2
4
=
=
=
AD
BC
AD
BC
AB
E
∥
，
，
为AD 的中点．
(1)求直线PB 与平面ABCD 的夹角；
(2)若
1
1
3
3
=
=
AF
AP CG
CP
uuur
uuur uuur
uuur
，
，平面EFG 与PB 交于点M ，求线段BM 的长度．
2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
ABC
V
为等边三角形，四边形
1
1
BCC B 是边长为2
的正方形，D 为AB 中点，且
1
5
A D =
．
(1)求证：CD ^ 平面
1
1
ABB A ；
(2)已知P 为线段
1
B C 中点，求直线AP 与平面
1ACD 所成角的正弦值．
3．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D ，E ，F 分别为棱
1
BB ，
1
AA ，
1
CC 的中
点，G 为线段EF 上的动点.
(1)证明：
1
/ /
B G
平面ACD .
(2)若G 为线段EF 的中点，且
4
AB =
，
1
2 2
AA =
，求AG 与平面ACD 所成角的正弦值.
4．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，
2
BC
PB
PC
=
=
=
，BC
AP
^
，D 是BC 的中点.
(1)证明：平面ABC ^ 平面APD ；
(2)若
1
AD = ，三棱锥P
ABC
-
的体积为
3
3
，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
5．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形ABCD 中，
60
A
Ð
=
°，
2
AB =
，E 为AB 的中点，将
ADE
V
沿DE
翻折至A DE
¢
V
，得到四棱锥A
BCDE
¢ -
.
(1)证明：平面A BE
¢
^平面BCDE ；
(2)当二面角A
DE
C
¢ -
-
为120°时，求CA¢和平面A DE
¢
所成角的正弦值.
6．（2026·广东·一模）如图，平面ABEF ^ 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
90 ,
2
,
2
BAD
FAB
AD
BC AF
BE
Ð
Ð
=
°
=
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
．
(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共面；
(2)设
2,
1
AB
BC
BE
=
=
= ，求平面ADE 与平面CDE 夹角的余弦值．
7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
内接于圆柱
1
OO ，且底面为矩形，B 是圆柱
1
OO
底面圆O 的圆周上一动点，AC 是圆O 的直径，且
1
AC
AA
=
，E 是AB 的中点，Q 是
1
BB 的中点．
(1)证明：
1
/ /
O E
平面
1
1
ADD A ；
(2)设
COB
q
Ð
=
，求平面
1
AQC 与平面ABC 的夹角的正弦值.（用q 表示）
8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台ABC
DEF
-
中，AD ^ 平面DEF ，DE
DF
^
，
2
AB =
，
4
=
AD
，
8
DE
DF
=
= ，G 是棱CF 上一点（不含端点）．
(1)若G 为CF 的中点，求直线EG 与平面BCD所成角的正弦值．
(2)是否存在点G ，使得BD
EG
⊥
？若存在，求出CG
GF 的值；若不存在，说明理由．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为CD，PA
的中点.
(1)证明：
/ /
EF
平面PBC；
(2)若平面PAB ^ 平面ABCD，PA
PB
=
，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
° ，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值为
4 31
31
，求点F 到平面PBC 的距离.
10．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是正方形，平面PAB ^ 平面
ABCD ，PAB
V
是边长为2 的等边三角形，E 为侧棱PB 的中点，F 为线段BC 上一点.
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)若
//
EF
平面PCD，求直线PF 与平面PAD 所成角的正弦值；
(3)设点G 为三棱锥E
ABF
-
的外接球的球心，试判断三棱锥G
PAD
-
的体积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由.
11．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为等腰梯形，
/ /
AD
BC ，
1
AB
BC
=
= ，
2
AD =
，E 为AD 的中点，且PA
PD
=
，平面PAD ^平面ABCD ．
(1)求证；平面PAC ^ 平面PBE ；
(2)设直线PC 与平面PBE 所成的角为π
4 ，求直线PB 与平面PCD所成角的余弦值．
12．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，
2
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，
/ /
AC
平面BGH ，点G ，H 分别在棱PA ，PC 上，且GH
PD
^
．
(1)求证：PA
PC
=
；
(2)若
=
PB
PD ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，点A 关于平面PCD的对称点为M ，求点M 到平面PAB 的
距离．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是梯形，
//
AD BC ，
侧面
1
1
ABB A 为菱形，
1
DAB
DAA
Ð
= Ð
．
(1)求证：
1
A B
AD
^
；
(2)若
2
AD
AB
BC
=
=
，
1
60
A AB
Ð
=
°，点D 在平面
1
1
ABB A 上的射影恰为线段
1A B 的中点，求
1
AB 与平面
1
1
DCC D 所成角的正弦值．
14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，四边形
1
1
ACC A
是矩形，
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
BC
AA
=
=
.
(1)证明：
1
AA ^ 平面ABC .
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值.
(3)在线段
1
BC 上是否存在点D，使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
？若存在，求出
1
BD
C D 的值；
若不存在，请说明理由.
15．（2026·山西朔州·一模）如图，线段
,
BC DE 的中点都是
,
,
O AO
BC AO
DE
^
^
.
(1)若
2
OC OE
OE
×
=
uuur uuur
uuur ，证明：平面ABD ^ 平面ADE ；
(2)若
14,
10,
7,
BC
DE
AO
BD
BO
=
=
=
<
，且点B 到平面ADE 的距离为21
5 ，求直线AE 与平面ABD 所成角的
正弦值.
16．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为正方形，PA ^底面ABCD ，
PA
AB
=
，E 为线段PB 中点，F 为线段BC 上的动点．
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)设直线AF 与平面PBC 所成角为q ，求sinq 的取值范围．
17．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PAB ⊥平面ABC ，
2
2 2
AB
AC
AP
BP
=
=
=
=
，
，
2
3
BAC
p
Ð
=
，,
,
E F G 分别为棱
,
,
PA PB PC 上的点.
(1)若EF ∥AB ，FG ∥BC ，证明: EG ∥AC ；
(2)若
,
E F 分别为棱
,
PA PB 的中点，在棱PC 上是否存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ?若存
在，求 PG
PC 的值；若不存在，请说明理由.
18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面为矩形，
3
3
AB
AD
a
=
=
，高
为h ，
,
O E 分别为底面的中心和CD 的中点．
(1)求证：平面
1AOE ^ 平面
1
1
CDD C ；
(2)若平面
1AOE 与平面
1
D BC 的夹角的余弦值为2 2
3
，求h
a 的值．
19．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥P
ABCD
-
的底面为正方形，平面PAB ^ 平面ABCD，
2
PA
AB
PB
=
=
=
．设E 为CP 的中点．
(1)求平面PAB 与平面ABE 夹角的正切值；
(2)设F 为线段PB 上一点（含端点），求CF 与平面ABE 所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥P
ABCD
-
的外接球表面积与体积（无需证明）．
20．（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥P
ABD
-
中，PA ^平面
,
90 ,
1
ABD
BAC
AB AC
Ð
=
=
=
o
，且C
为BD 的中点.
(1)求二面角C
AP
D
-
-
的余弦值；
(2)若
60
PCB
Ð
=
o ，在线段
,
PB PC 上各取一点
,
E F ，设
0,1
PE
PF
PB
PC
l l
=
=
Î
，若平面AEF ^ 平面PBC ，
求l 的值.
21．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^底面
,
ABCD
PAD
V
是边长为2
的等边三角形，四边形ABCD 为直角梯形，且
/ /
BC
AD ，
,
1,
AB
AD AB
BC
E
^
=
=
是棱PD 上一动点.
(1)若E 为棱PD 的中点，证明：
/ /
CE
平面PAB ；
(2)若E 为棱PD 上靠近P 点的三等分点，求平面EBC 与平面ABCD 夹角的余弦值.
22．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
2 6
FA
FC
=
=
，且
60
DAB
DBF
Ð
= Ð
=
°．
(1)求证：平面BDEF ^ 平面ACF ；
(2)求平面ABF 与平面ACF 的夹角的余弦值；
(3)试问直线BC 上是否存在点M，使直线
/ /
AE
平面FDM，若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明
理由.
23．（25-26 高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是边长为4 的正
方形，
2 5
PA
PD
M
N
G
=
=
，
、、
分别为PD
PB
AD
、
、
的中点，平面PAD ^平面ABCD ．
(1)求证：MN
PG
^
；
(2)求平面PBC 与平面AMN 所成角的余弦值；
(3)若截面AMN 与PC 交于点E ，且PE
PC
l
=
，求l 的值．
24．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
AD
DD
=
= ，直线
1
B D 与平面
1
1
BB C C
所成角的正切值为
2 ，M， N， P 分别为棱
1
DD ，DA，DC 上异于D 点的动点．
(1)若P 是CD 的中点，求证：
1
B P ^ 平面
1
APD ；
(2)定义：异面直线的距离指的是公垂线( 与两条异面直线都垂直相交的直线) 的两个垂足之间的线段长
度．求异面直线
1
BC 与
1
B D 的距离；
(3)若直线
1
B D 与平面MNP 交于点H，且
2
0
HN
HP
HM
=
uuur
uuur
uuuur
r ，求平面MNP 与平面
1
PBB 的夹角余弦值的取
值范围．
25．（2026·四川内江·二模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^平面ABC，平面PAB ^ 平面PBC ，
1
AB
AP
=
= ，
2
AC =
．D 为BC 的中点，E 为PD 的三等分点（靠近P 点）．
(1)请用AB
uuur ，AC
uuur
，AP
uuur 表示AE
uuur ；
(2)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值；
(3)设F 为AB 的中点，过EF 的平面与射线AC、AP 分别交于点G、H，当三棱锥A
FGH
-
的体积最小时，
求平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值．
26．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，
2
4,
AB
AD
AD
BD
=
=
^
，二面角P
AD
B
-
-
的平面角大小为
π 2π
,
,
,
6
3
Q
q q
é
ù
Îê
ú
ë
û
为AB 的中点.
(1)设平面QPC Ç 平面PAD
l
= ，求直线l 与直线AD 的夹角大小；
(2)求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值的最大值；
(3)设N 为侧棱PC 上一点，四边形AENF 是过
,
A N 两点的截面，分别交
,
PD PB 于
,
E F 两点，其中E 为PD
的中点，
/ /
BD
平面AENF ，求四棱锥P
AENF
-
的体积的取值范围.
27．（2026·河北保定·一模）如图，三棱锥P
ABC
-
中，
2
4
2 3
60
AB
AC
PA
PB
PC
BAC
=
=
=
=
=
Ð
=
o
，
，
，
(1)证明:平面PAC ^ 平面ABC .
(2)设三棱锥P
ABC
-
的外接球的球心为O.
（i）求球O 的体积;
（ii）求直线 OB 与平面PAB 所成角的正弦值.
28．（2026·黑龙江吉林·一模）在
ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，
3
BC = ，
6
AC =
，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，
满足
//
DE
BC ，且
2
CD =
．将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，使
1AC
CD
^
，存在动点M 使
1
1 (
0)
A M
A D
l
l
=
>
uuuur
uuuur
，如图所示．
(1)求证：平面
1ACB ^ 平面BCDE ；
(2)当
1
2
l =
时，求平面CMB 与平面MBE 夹角的余弦值；
(3)设直线BM 与平面
1A BE 所成角为q ，当sinq 取得最大值时，求三棱锥
M
BCE
V
-
的体积．
29．（2026·广东广州·二模）如图.底面为平行四边形的直四棱柱
1
1
1
1
1
,
4,
2
ABCD
A B C D DC
CC
BC
-
=
=
=
，点
M 为边DC 上的中点，点P 是空间一点.
(1)证明：
1
CA / / 平面
1
AMD ；
(2)若平面
1
1
AA B B 与平面
1
AMD 所成角的余弦值为2 5
5
，求cos BCD
Ð
；
(3)若BC
CD
^
，直线PC ^ 平面
1
PAD ，则在平面
1
AD M 内是否存在点Q ，使得PQ的长为定值，若存在，指
出点Q 的位置，若不存在，请说明理由.
30．（2026·黑龙江·一模）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，平面ABD ^ 平面BCD，AB
AD
=
，O 为BD 的中
点．
(1)证明：OA
BC
^
；
(2)若OCD
V
是边长为2 的等边三角形，三棱锥A
BCD
-
的体积为4 3
3
，点E 在棱AD 上，
2
DE
EA
=
，求二
面角E
BC
D
-
-
的大小．
31．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，四边形ABEF 是边长为1 的正方形，四边形ABCD 是梯形，AD ∥
,
,
BC AB
AD M
^
是BC 上的点，且
1
AD
BM
=
= ，平面ABEF ^ 平面ABCD .
(1)证明：
,
,
,
E F D M 四点共面；
(2)设
3
BC = ，且点
, ,
,
A B M F 均在球O 的球面上.
（i）求点O 到平面CDF 的距离；
（ii）记P 为球面上到点C 距离最小的点，求直线AP 与平面CDF 所成角的正弦值.
32．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是边长
为2 的正方形，O，
1
O 分别为正方形ABCD 和
1
1
1
1
D
C
B
A
的中心点
1A 在底面ABCD 内的射影为O．
(1)证明：
1 //
AO
平面
1
O CD ．
(2)
1
6
AA =
，E，F 分别为BC，CD 的中点，点M 在棱
1
AA 上，E，F，B，D 四点到点M 的距离相等．
（i）求线段AM 的长；
（ii）求二面角B-CM-D 的正弦值．
33．（25-26 高三下·河南·开学考试）如图，在
ABC
V
中，
5
AB =
，
2
2
AC =
，D 为线段AC 上一点，
2
AD =
，
5
BD =
，过点D 作DE
AC
^
，交BC 于点E ，将CDE
V
沿DE 翻折至
PDE
△
的位置，使得
2
AP =
．
(1)证明：AP ^ 平面PDE ；
(2)在线段DE 上是否存在点M ，使得平面PBD 与平面PBM 的夹角的余弦值为7 6
18
？若存在，求出DM
DE 的
值；若不存在，请说明理由．
34．（2026·福建莆田·二模）如图，五面体ABCDEF 中，
/ /
/ /
AE
BF
CD ，
1
AE = ，
3
BF =
，
5
CD = ，
2
AB
AC
=
=
，
EAB
EAC
a
Ð
= Ð
=
，
BAC
b
Ð
=
.
(1)证明：AE
BC
^
；
(2)当
π
3
a
b
=
=
时，求直线BE 与平面BCDF 所成角的正弦值；
(3)若
π
2
a
b
=
，当该五面体的体积取到最大值时，求cos b 的值.
35．（2026·山东日照·一模）已知四棱锥P
ABCD
-
的底面ABCD 为平行四边形，
2,
2
AB
AC
BC
=
=
=
，
π ,
,
4
PAD
M N
Ð
=
分别是
,
BC PA的中点，二面角P
AD
B
-
-
为直二面角．
(1)证明：
^
MA
PD ；
(2)设直线MN 与平面PBC 所成角为q ，且
3
sin
6
q >
，求PA 的取值范围；
(3)与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点K 为线段AC 的中点，
,
G H 分别
在线段
,
PK CD 上（不包含端点），且GH 为
,
PK CD 的公垂线，如图所示，记四面体CKGH 的内切球半径
为r ，证明：1
1
1
2 >
r
KG
CH ．
