清单02 高考数学考前重点题型归纳
（含28 个专题，813 个重点题型）
题型01 集合5 个重点题型
题型02 常用逻辑用语13 个重点题型
题型03 复数15 个重点题型
题型04 平面向量26 个重点题型
题型05 等式与不等式的性质及基本不等式16 个重点题型
题型06 三角函数与诱导公式11 个重点题型 题型07 三角恒等变换24 个重点题型
题型08 三角函数的图象及性质40 个重点题型
题型09 解三角形小题35 个重点题型
题型10 解三角形大题36 个重点题型
题型11 函数的概念及其表示10 个重点题型
题型12 函数的基本性质45 个重点题型
题型13 指数对数幂函数40 个重点题型
题型14 函数的图象6 个重点题型
题型15 函数与方程与函数模型22 个重点题型
题型16 导数小题36 个重点题型
题型17 导数大题40 个重点题型
题型18 数列小题40 个重点题型
题型19 数列大题25 个重点题型
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题型22 直线与圆32 个重点题型
题型23 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55 个重点题型
题型24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40 个重点题型
题型25 排列组合27 个重点题型
题型26 二项式定理17 个重点题型
题型27 概率统计小题52 个重点题型
题型28 概率统计大题35 个重点题型
第三部分
题型18 数列小题40 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差数列基本量计算
利用等差数列通项公式，由已知两项求出公差，再求指定项。
2
等差数列性质与前n项和
利用等差中项性质及前n项和公式列方程，求项数。
3
等差中项与前n项和
由等差中项求出首项与公差关系，代入前n项和公式求值。
4
由前n项和求通项
利用an = Sn - S(n-1)求通项，再求特定项的和。
5
等差数列片段和性质
利用等差数列前n项和片段成等差数列的性质，列方程求值。
6
等差数列前n项和性质
由等差数列性质得S4, S8, S12成等差，结合条件求比值。
7
数列递推与分类讨论
根据递推公式及奇偶性分类倒推，求可能取值，判断不可能的值。
8
等差数列与基本不等式求
最值
利用等差中项求出首项，再结合基本不等式求积的最大值。
9
等比数列基本量计算
利用等比中项求公比，再求前n项和。
10
构造等比数列与数列单调
性
由递推式构造等比数列求通项，再根据递增性列不等式，分奇偶讨
论求参数范围。
11
构造等差数列与项数范围
由递推式构造等差数列求通项，根据小于0的项数列不等式组求参
数范围。
12
等差数列前n项和性质与定
值
设首项公差，由条件得定值关系，通过系数比对求参数。
13
等比数列前n项和公式与奇
偶项比
由前n项和求通项，再求奇数项和与偶数项和的比值。
14
等比数列与等差数列综合
利用等差中项和等比中项分别求出公差和公比，再求三角函数值。
15
构造等差数列求通项与求
和
由递推式构造等差数列求通项，再求特定项和，解方程求项数。
16
等比数列项的性质与不等
式
利用等比数列通项公式，结合基本不等式和性质判断各选项。
17
等差数列与等比中项求前n
项和
设公差，利用等比中项列方程求公差，再求前n项和。
18
数列的单调性与最值
构造函数，利用导数研究函数单调性，分奇偶讨论数列的最大项和
最小项。
19
递推数列的极限与参数范
围
由递推关系及恒成立条件，利用数列单调有界性求极限，解参数范
围。
20
等比数列前n项和与方程
由前n项和关系列方程，利用换元法解出公比，再求项数。
21
等差数列与三角函数周期
利用等差数列通项公式及三角恒等变换，结合三角函数周期性求
和。
22
数列递推与几何应用
由纸张裁剪规则建立递推关系，求通项公式，再求周长之和。
23
由前n项和求通项与递推
利用an与Sn关系求通项，再由递推求另一数列通项，最后求和。
24
等比数列公比范围与比较
构造函数，利用零点存在性确定公比范围，再比较各项大小。
大小
25
递增数列与递推关系判断
利用反证法验证不可能的关系式，通过举反例验证可能的关系。
26
由前n项和求通项与性质
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等比数列及前n项和公式。
27
递推数列与等比数列（多选
题）
由递推式构造等比数列，判断单调性及连续三项成等差数列的可能
性。
28
等比数列基本量及性质（多
选题）
利用等比数列性质求首项公比，再判断数列性质。
29
由前n项和求通项及最值
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等差数列及单调性，求前n项和的最
小值。
30
由前n项和求通项与性质
（多选题）
利用an与Sn关系求通项，判断等差数列、单调性，及等比中项存在
性，求周期和。
31
等比数列前n项和性质（多
选题）
利用等比数列前n项和性质及通项公式，判断各选项的正确性。
32
等比数列基本量及前n项和
（多选题）
由条件列方程求公比，再求前n项和及比值。
33
数列新定义与递推（多选
题）
根据大衍数列的递推规则，求出各项，判断奇偶项关系及前n项和。
34
分段递推数列的性质（多选
题）
根据奇偶项递推公式，分析单调性、最值、前n项和及项数范围。
35
递推数列与特殊数列（多选
题）
通过取特殊值验证周期数列、恒成立、等差数列、等比数列的存在
性。
36
等比数列前n项和公式求比
值
由前n项和关系求公比，再求特定前n项和之比。
37
分段数列（等比+等差）求
项与和
分别利用等比数列和等差数列通项公式求公比、公差，再求指定项
及总和。
38
三角形数阵求和
观察各行数字规律，先求每行和，再求和。
39
等比数列与二次方程求最
值
由韦达定理得首项与公比关系，利用等比数列前n项和公式转化为
二次函数求最小值。
40
构造等差数列求通项与不
等式
对递推式取倒数构造等差数列，求通项，再通过放缩法求满足不等
式的最小项数。
1．（2026·广东梅州·一模）已知
na
为等差数列，
3
2
a =
，
4
6
a =
，则
5
6
a
a
= （ ）
A．36
B．24
C．18
D．12
【答案】B
【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可．
【详解】公差
4
3
6
2
4
d
a
a
=
-
=
-
=
,
则
5
6
3
4
2
2
2
8
6
8
24
=
=
=
a
a
a
d
a
d
.
2．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列
na
中，
1
2
3
2
1
2,
2026,
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
-
-
=
=
>
且
*
nÎN ．若
该数列前n 项和为5070，则n 为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n 项和公式列式求解.
【详解】在等差数列
na
中，
1
2
3
2
1
2,
2026,
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
-
-
=
=
>
，
则
2
1
3
2,3
2026
n
a
a -
=
=
，因此
1
2
1
2
2026
676
3
n
n
a
a
a
a -
=
=
=
，
由该数列的前n 项和为5070，得
1
(
)
5070
2
n
n a
a
=
，则338
5070
n =
，
所以
15
n =
.
故选：C
3．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
5
5a 和
2
S 的等差中项为6，则
7
S = （ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
【答案】C
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，
由题意得，
5
2
1
1
1
5
5
20
2
7
21
12
a
S
a
d
a
d
a
d
=
=
=
，
则
7
1
1
7
6
7
7
21
12
2
S
a
d
a
d
´
=
=
=
.
4．（2026·山东威海·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
1
1
2
2
4,
1,
6
n
n
n
S
S
S
S
S
=
-
=
=
，则
2
4
6
8
10
=
a
a
a
a
a
（ ）
A．65
B．105
C．210
D．230
【答案】B
【分析】根据题意证明数列
na
为等差数列，公差为4 ，首项为1，进而求得通项公式，再计算对应项并求
和即可.
【详解】因为
2
1
2
4
n
n
n
S
S
S
=
-
，所以
2
1
1
4
n
n
n
n
S
S
S
S
-
-
-
=
，即
2
1
4
n
n
a
a
-
=
，
又因为
1
2
1,
6
S
S
=
=
，所以
1
2
1
2
1,
5
a
a
S
S
-
=
=
=
，
2
1
4
a
a
-
=
，
所以
*
1
4,
n
n
a
a
n
-
=
ÎN ，即数列
na
为等差数列，公差为4 ，首项为1，
所以
4
3
na
n
=
- ，
*
nÎN ，
所以
2
5
a =
，
4
13
a =
，
6
21
a =
，
8
29
a =
，
10
37
a
=
，
所以
2
4
6
8
10
5 13
21
29
37
105
a
a
a
a
a
=
=
故选：B.
5．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
m
S =
，
3
33
m
S
=
，则
2m
S
= （ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】A
【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.
【详解】因为
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，
所以
2
3
2
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
-
-
成等差数列.
所以
3
2
2
2
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
-
=
-
，
即
3
2
3
21 33
18
3
3
m
m
m
S
S
S
=
=
=
.
6．（2026·山东青岛·一模）已知
n
S 是等差数列{
}
na
的前n 项和，若
2
10
20
2
24
a
a
a
=
，则
20
S
= （ ）
A．60
B．120
C．180
D．240
【答案】B
【分析】由等差数列性质可得
2
20
11
2
a
a
a
=
，结合条件可求
10
11
a
a
，再由等差数列求和公式及性质可得
1
20
20
10
11
20
10
2
a
a
S
a
a
=
=
，由此可求结论.
【详解】因为数列
na
为等差数列，所以
2
20
11
2
a
a
a
=
，
所以
2
10
20
11
10
2
2
2
24
a
a
a
a
a
=
=
，
所以
10
11
12
a
a
=
，所以
1
20
20
1
20
10
11
20
10
10
120
2
a
a
S
a
a
a
a
=
=
=
=
．
7．（2026·陕西宝鸡·一模）已知数列
na
满足：
1a
m
=
（m 为正整数），
1
,
2
3
1,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
ìï
= í
ï
î
当
为偶数时
当
为奇数时
，若
8
1
a = ，则m 的值不可能为（ ）
A．16
B．19
C．20
D．21
【答案】B
【分析】从
8
1
a = 进行推导，得到
5
8
a = 或
5
1
a = ，继续推导，得到答案.
【详解】
8
1
a = ，若
7a 为偶数，则
7
1
2
a = ，解得
7
2
a =
，满足要求，
若
7a 为奇数，则
7
3
1
1
a = ，解得
7
0
a =
，不合要求，
若
6a 为偶数，则
6
2
2
a =
，解得
6
4
a =
，满足要求，
若
6a 为奇数，则
6
3
1
2
a =
，解得
6
1
3
a =
，不合要求，
若
5a 为偶数，则
5
4
2
a =
，解得
5
8
a = ，满足要求，
若
5a 为奇数，则
5
3
1
4
a =
，解得
5
1
a = ，满足要求，
①若
5
8
a = ，若
4a 为偶数，则
4
8
2
a =
，解得
4
16
a =
，
若
4a 为奇数，则
4
3
1
8
a =
，解得
4
7
3
a =
，不合要求，舍去；
则
3
4
16
16
2
a
a =
Þ
=
或
3
3
1
16
a =
，
3
32
a
\
=
或
3
5
a =
，
同理可得，若
3
32
a =
则
2
64
a =
，
1
128
a
\
=
或21，
若
3
5
a =
，则
2
10
a =
，
1
20
a
\
=
或3；
②若
5
1
a = ，则
4
2
a =
，
3
4
a =
，则
2
1
a = 或8，
1
2
a
\
=
或16，
综上：
2
m =
，3，16，20，21，128.
则m 的值不可能为19，
故选：B
8．（2026·山东青岛·一模）已知正项等差数列
na
的前n 项和为
9
,
45
n
S
S =
，则
2
8
a a 的最大值为（ ）
A．20
B．25
C．40
D．50
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式结合等差中项的性质求出
2
8
a
a
，再结合已知条件，利用基本不等式求
2
8
a a
的最大值．
【详解】由题意得
1
9
9
9
45
2 a
S
a
=
=
，解得
1
9
10
a
a
=
，
由等差中项的性质可得
5
1
9
2
10
a
a
a
=
=
，解得
5
5
a =
，
2
8
5
2
2 5
10
a
a
a
\
=
=
´
=
，
由题意知
2
8
0,
0
a
a
>
>
，
根据基本不等式
2
2
8
8
2
25
2
a
a
a
a
æ
ö
£
=
ç
÷
è
ø
，当且仅当
2
8
5
a
a
=
=
时等号成立，
\
2
8
a a 的最大值为25 ．
9．（2026·广东广州·二模）已知等比数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
=
，
2
2
a = ，记
n
S 为其前n 项和，则
3S =
（ ）
A．4
B．6.5
C．8
D．12
【答案】C
【分析】根据等比中项可知
1
3
4
a a =
，结合
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
=
可得
1
3
6
a
a
=
，即可得结果.
【详解】因为数列
na
为等比数列，且
2
2
a = ，则
2
1
3
2
4
a a
a
=
=
，
又因为
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
=
，即
1
3
1
1
1
2
2
a
a
=
，
可得
1
3
1
3
1
3
3
4
2
a
a
a
a
a a
=
=
，可得
1
3
6
a
a
=
，
所以
3
1
2
3
8
S
a
a
a
=
=
.
10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知数列
na
的首项
*
1
1
3,
2
5 3n
n
n
a
a
a
n
¹
= ´
ÎN
，若数列
na
是递
增数列，则
1a 的取值范围为（ ）
A．
0,3
B．
0,3
3,5
U
C．
1,3
D．
,3
3,5
¥
-
È
【答案】B
【分析】整理构造等比数列，得到
na
的通项公式，然后利用递增性
1
n
n
a
a
>
，得到关于
1a 的不等式，通过
讨论奇偶求出最值，限定
1a 的范围.
【详解】因为
*
1
2
5 3n
n
n
a
a
n
= ´
ÎN
，整理得
1
1
3
2
3
n
n
n
n
a
a
-
= -
-
，
由于
1
3
0
a -
¹
，可得数列
3n
na -
是首项为
1
3
a - ，公比为2
- 的等比数列，
则
1
1
3
3
( 2)
n
n
na
a
-
=
-
× -
.
因为数列
na
是递增数列，所以
1
n
n
a
a
>
，
即
1
1
1
1
3
3
( 2)
3
3
( 2)
n
n
n
n
a
a
-
-
× -
>
-
× -
对任意的正整数n 都成立.
当n 为偶数时，
1
4
3
3
3
2
n
a
æ
ö
>
-
×ç
÷
è
ø
恒成立，所以
x
1
ma
4
3
3
3
2
n
a
ø
é
ù
ê
æ
ö
>
-
×ç
÷ ú
ê
ú
ë
û
è
，
由
4
3
3
3
2
n
y
æ
ö
=
-
×ç
÷
è
ø
单调递减，可得
2
4
3
4
3
3
3
0
3
2
3
2
n
æ
ö
æ
ö
-
×
£
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，则
1
0
a >
；
当n 为奇数时，
1
4
3
3
3
2
n
a
æ
ö
<
×ç
÷
è
ø
恒成立，所以
n
1
mi
4
3
3
3
2
n
a
ø
é
ù
ê
æ
ö
<
×ç
÷ ú
ê
ú
ë
û
è
，
由
4
3
3
3
2
n
y
æ
ö
=
×ç
÷
è
ø
单调递增，可得
4
3
4
3
3
3
5
3
2
3
2
n
æ
ö
×
³
´
=
ç
÷
è
ø
，
则1 5
a < ，则
1a 的取值范围是
0,3
3,5
U
.
11．（2026·重庆·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
1
n
n
na
n
a
n n
-
=
，且
na
中小于0 的项有10 项，则
1a 的取值范围是（ ）
A．
22, 20
-
-
B．
22, 20
-
-
C．
20, 18
-
-
D．
20, 18
-
-
【答案】C
【分析】由递推式可证
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ是等差数列，进而表示出
na ，由
0
na <
的项数列出关于
1a 的不等式求解.
【详解】由
1
1
2
1
n
n
na
n
a
n n
-
=
，得
1
2
1
n
n
a
a
n
n
-
=
，所以
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ是公差为2 的等差数列，
所以
1
1
2
1
na
a
n
n =
-
´
，即
1
2
1
na
na
n n
=
-
，
由
0
na <
，得
1
2
2
0
a
n
-
<
，所以
1
2
2
a
n
-
<
因为
na
中小于0 的项有10项，所以
1
2
10
11
2
a
-
<
£
，
解得
1
20
18
a
-
£
< -
.
【点睛】易错点：构造新数列时易漏除
1
n n
，或在确定n 的不等式边界时混淆 “小于 0 的项有 10 项”
的等号方向.
12．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知命题：“记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
11
2
36
ka
a
a
=
，则
9S 为定值”为真命题，则可推出k = （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】设
1
1
na
a
n
d
=
-
，用,
d k 表示
9S 即可
【详解】设
1
1
na
a
n
d
=
-
，则
7
11
2
36
ka
a
a
=
可化为
1
1
1
2[
1
]
6
10
36
(
)
(
)
(
)
a
k
d
a
d
a
d
-
=
，
整理得，
1
4
2
14
36
a
k
d
=
，即
1
2
7
18
(
)
a
k
d
=
，
1
(
7)
9
2
k
d
a
=
-
又
9
5
1
)
9(
4
9
S
a
a
d
=
=
，代入
1
(
7)
9
2
k
d
a
=
-
得
9
)
1
9
2
(9
S
k d
-
´
=
若
9S 为定值，则1
0
2
k
-
=
，即
1
k =
故选：A
13．（2026·山东·模拟预测）若等比数列
na
的前n 项和
2n
n
S
t
=
，则该数列
na
的前9 项中所有奇数项之
和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．
1
2
B．2
C．341
170
D．170
341
【答案】C
【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】当
1
n = 时，
1
1
2
a
S
t
=
=
.
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
t
t
-
-
-
=
-
=
-
=
.
因为
na
为等比数列，所以
1
n = 时也满足
1
2n
na
-
=
，即
1 1
2
2
1
t
-
=
= ，解得
1
t = - .
所以数列
na
的通项公式为
1
2n
na
-
=
*
nÎN
.
该数列
na
的前9 项中所有奇数项之和为
5
0
2
4
6
8
1
3
5
7
9
1
1 4
2
2
2
2
2
341
1 4
a
a
a
a
a
´
-
=
=
=
-
，
该数列
na
的前9 项中所有偶数项之和为
4
1
3
5
7
2
4
6
8
2
1
4
2
2
2
2
170
1
4
a
a
a
a
´
-
=
=
=
-
，
故该数列
na
的前9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为341
170 .
故选：C.
14．（25-26 高三下·福建·开学考试）已知等比数列
na
与等差数列
nb
，满足
1
2
9
64
a a a =
，1
2
6
18
b
b
b
=
，
则
4
2
4
π
cos a
b
b =
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
-
C．
3
2
D．
3
2
-
【答案】A
【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得
4a 、
3b ，再计算余弦即可得解.
【详解】设等比数列
na
的公比为q ，
由
1
2
9
64
a a a =
，得
3
8
3
3
1
1
1
1
4
·
·
64
a a q a q
a q
a
=
=
=
，则
4
4
a =
，
设等差数列
nb
的公差为d ，
由
1
2
6
18
b
b
b
=
，得
1
1
1
1
3
5
3
2
3
18
b
b
d
b
d
b
d
b
=
=
=
，则
3
3
18
b =
3
6
b =
，
所以
4
4
2
4
3
π
π
4π
π
1
cos
cos
cos
cos
2
12
3
2
a
a
b
b
b
=
=
=
=
．
15．（2026·山东德州·一模）数列
na
中，
1
2
a =
，对
*
,
m n
"
ÎN ，有
m n
m
n
a
a
a
=
，若
1
2
3
10
270
k
k
k
k
a
a
a
a
=
L
，则k = （ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【分析】先根据
m n
m
n
a
a
a
=
求证
na
为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可．
【详解】令
1
m = ，可得
1
1
2
n
n
n
a
a
a
a
=
=
，
则
na
是首项
1
2
a =
，公差
2
=
d
的等差数列，
通项公式为
1
1
2
2
1
2
na
a
n
d
n
n
=
-
=
-
=
，
1
10
1
2
3
10
10
5 2
1
2
10
20
110
270
2
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
k
k
k
é
ù
=
=
=
=
ë
û
L
，
解得
8
k =
．
16．（2026·福建莆田·二模）已知数列
na
是公比为q 的等比数列，m ，n ，s，
*
N
t Î
，则下列命题正确的
是（ ）
A．若
1
3
4
a a =
，则
2
2
a =
B．若
1
2
a
a
<
，则
1
q >
C．若
1
q ¹ ，则
1
3
1
3
1
1
4
a
a
a
a
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
D．若
m
n
s
t
a a
a a
=
，则m
n
s
t
=
【答案】C
【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据
1
0
a <
时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据
常数列判断D；
【详解】对于A 选项，数列
na
是公比为q 的等比数列，且
1
3
4
a a =
，则
2
2
4
a =
，所以
2
2
a = 或
2
2
a = - ，故
错误；
对于B 选项，若
1
2
a
a
<
，当
1
0
a <
时，有
1
1
a
a q
<
，则
1
q < ，故错误；
对于C 选项，数列
na
是公比为q 的等比数列，则
3
1
1
3
0,
0
a
a
a
a
>
>
，
3
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
1
1
1
1
1
2
2
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
=
³
´
=
ç
÷
è
ø
，
又因
1
q ¹ ，所以
1
3
1
3
a
a
a
a
¹
，所以
1
3
1
3
1
1
4
a
a
a
a
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
，故正确；
对于D 选项，当等比数列
na
为公比为1的非零常数列时，
m
n
s
t
a
a
a
a
×
=
×
始终满足，
但m
n
s
t
=
不一定成立，故错误；
17．（2026·山东青岛·一模）设公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
7
28
S =
，若
3a ，
4a ，
8a 成等
比数列，则
8a = （ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】A
【分析】设出公差d ，借助等差数列及其前n 项和的基本量与等比中项的性质计算即可得.
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，则有
7
1
1
1 6
6
7
7
21
28
2
S
a
d
a
d
´
=
=
=
，
即
1
3
4
a
d
=
，由
3a ，
4a ，
8a 成等比数列，则
2
3
8
4
a a
a
=
，
即
2
1
1
1
2
7
3
a
d
a
d
a
d
=
，化简得
2
1
3
5
0
a d
d
=
，
由
0
d ¹
，则
1
3
5
0
a
d
=
，即有
1
1
3
4
3
5
0
a
d
a
d
=
ì
í
=
î
，解得
1
3
5
d
a
=
ì
í
= -
î
，
故
8
1
7
5
7 3
16
a
a
d
=
= - ´ =
.
18．（25-26 高三上·广东·期末）已知数列
na
满足
1
ln
n
n
n
a
n
n
-
=
-
，则关于
na
说法正确的是（ ）
A．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．有最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】构造函数，得到函数单调性，分n 为奇数和偶数两种情况，得到
na
的最大值为
1
1
a = ，最小值为
2
ln 2 1
2
a
-
=
，得到答案.
【详解】令
ln x
f x
x
=
，则
2
1 ln x
f
x
x
-
¢
=
，
令
0
f
x
¢
>
得0
e
x
<
<
，令
0
f
x
¢
<
得
e
x> ，
故
ln x
f x
x
=
在
0,e 上单调递增，在
e, ¥
上单调递减，
故
ln x
f x
x
=
在
e
x= 处取得极大值，也是最大值，
max
1
e
e
=
=
f x
f
，
1
ln
n
n
n
a
n
n
-
=
-
中，当n 为奇数时，
ln
1
n
n
a
n
n
=
，
故
3
n ³
且为奇数时，
na
单调递减，且
ln
1
0
n
n
a
n
n
=
>
恒成立，
且
1
1
a = ，
3
ln3
1
1
3
3
a =
< ，
当n 为偶数时，
ln
1
n
n
a
n
n
=
-
，
令
ln
1
x
g x
x
-
=
，则
2
2
2
1 ln
1
2
ln
x
x
g
x
x
x
x
-
-
¢
=
=
，
令
0
g
x
¢
>
得
2
0
e
x
<
<
，令
0
g
x
¢
<
得
2e
x >
，
故
ln
1
x
g x
x
-
=
在
2
0,e
上单调递增，在
2e ,¥ 上单调递减，
由于
2e
7,8
Î
，故当n 为偶数且2
6
n
£
£
时，
na
单调递增，
当n 为偶数且
8
n ³
时，
na
单调递减，
其中
6
ln 6 1
1
6
a
-
=
< ，
8
ln8 1
3ln 2 1
1
8
8
a
-
-
=
=
< ，
故
6
8
81
ln
1
ln 6 1
3ln 2 1
4ln3
5ln 2 1
32
0
6
8
24
24
a
a
-
-
-
-
-
-
=
-
=
=
<
，
故
2
4
6
8
10
12
a
a
a
a
a
a
<
<
<
>
>
>L，
当n 为偶数且
4
n ³
时，
ln
1
0
x
g x
x
-
=
>
恒成立，
又
2
ln 2 1
0
2
a
-
=
<
，所以
na
的最大值为
1
1
a = ，最小值为
2
ln 2 1
2
a
-
=
，
na
有最大项，有最小项.
故选：C
19．（2026·贵州安顺·一模）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
1
n
n
a
c
a
=
-
．若对于任意
*
nÎN ，都有
1
2
n
n
a
a
<
<
成立，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
5
2, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
5
2, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
C．
5
2, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
2,3
【答案】B
【详解】因
1
1
a = ，
1
1
n
n
a
c
a
=
-
，且对于任意
*
nÎN ，都有
1
2
n
n
a
a
<
<
成立，
则
2
1
1
1
1
1
a
c
c
a
a
=
-
=
- >
= ，可得
2
>
c
，
由
2
2
a <
可得
1
2
c - <
，即得
3
c < ，即2
3
c
<
<
.
又由
1
n
n
a
a
<
及
1
1
n
n
a
c
a
=
-
可得
1
n
n
c
a
a
-
>
，则
1
n
n
c
a
a
>
，
易知
na
为递增数列，则
1
1
na
a
³
= ，且
2
na < ，
因函数
1
( )
f x
x
x
=
在[1,2) 上为增函数，则
5
( )
(2)
2
f x
f
<
=
，
由题意可知数列{
}
na
单调递增且有上界2，故极限存在，设lim
n
n
a
A
®¥
=
，则1
2
A
<
£
.
对
1
1
n
n
a
c
a
=
-
取极限得
1
A
c
A
=
-
，即
1
c
A
A
=
.
函数
1
( )
f A
A
A
=
在(1,2]上单调递增，故
(1)
(2)
f
c
f
<
£
，解得
5
2
2
c
<
£
，
故实数c 的取值范围是
5
2, 2
æ
ù
ç
ú
è
û .
20．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
9
3
6
2S
S
S
=
，且
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
=
，
则正整数k 的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】A
【分析】设等比数列
na
的公比为q ，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得
3
1
2
q = -
，再由等比
数列的通项公式，化简求得1
2
k
q = - ，进而求得k 的值.
【详解】设等比数列
na
的公比为q ，
当
1
q = 时，可得
9
1
3
1
6
1
9 ,
3 ,
6
S
a S
a S
a
=
=
=
，则
9
1
3
6
1
2
18 ,
9
S
a S
S
a
=
=
因为
1
0
a ¹
，所以
9
3
6
2S
S
S
¹
，所以
1
q ¹ ，此时
1(1
)
1
-
=
-
n
n
a
q
S
q
，
又因为
9
3
6
2S
S
S
=
，可得
9
3
6
1
1
1
2
(1
)
(1
)
(1
)
1
1
1
a
q
a
q
a
q
q
q
q
-
-
-
=
-
-
-
，
所以
9
3
6
2(1
)
(1
)
(1
)
q
q
q
-
=
-
-
，即
6
3
2
1
0
q
q
-
- =
，
令
3
t
q
=
，可得
2
2
1
0
t
t
- - =
，解得
1
2
t = -
或
1
t = （舍去），所以
3
1
2
q = -
，
法一：由
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
=
，提取公因式
3
1
a ，可得
3
3
1
1
1
0
k
q
q -
=
，
因为
3
1
2
q = -
，代入化简得
3
1 2
0
k
q -
-
=
，即
3
1
k
q - = ，所以3
0
k
-
=
，解得
3
k =
；
法二：由等比数列的通项公式，可得
1
1
n
na
a q -
=
，
因为
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
=
，可得
5
1
1
1
2
1
1
1
1
0
k
q
a q
a
q
a
-
=
，即
2
5
1
1
1
1
0
k
q
q
q -
=
，
则
2
5
1
1
1
1
1
(
)
0
k
q
q
q
q
-
=
，即
3
6
1
1
1
0
k
q
q
q
=
，
因为
3
1
2
q = -
，所以
1
0
2
4
k
q
=
-
，可得
1
2
k
q = -
，所以
3
k =
.
21．（2026·江西·一模）已知等差数列
na
的公差为π
3 .若
1
4
cos
15
a = -
，则
59
1
cos
i
i
i
a
=
×
=
å
（ ）
A．
16
-
B．16
C．8
-
D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列性质以及三角恒等变换可得
1
2
cos
cos
cos
n
n
n
a
a
a
=
-
，再将所求和式化简为
59
1
2
60
1
61
1
cos
cos
cos
cos
cos
59cos
i
i
i
a
a
a
a
a
a
=
×
=
¼
-
-
å
，接着推导
1
2
3
4
5
0
cos
cos
cos
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
=
，利用数列{cos
}
n
a
的周期性求得
1
2
60
cos
cos
cos
0
a
a
a
¼
=
，即可求得结果.
【详解】因为等差数列
na
的公差为π
3 ，所以
1
2
1
π
π
,
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
=
-
=
；
所以
2
1
1
π
π
cos
cos
cos
cos
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
1
1
1
1
3
1
3
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
=
-
=
，
即
1
2
cos
cos
cos
n
n
n
a
a
a
=
-
，
故
59
2
3
3
4
60
61
1
cos
cos
cos
2 cos
cos
59 cos
cos
i
i
i
a
a
a
a
a
a
a
=
×
=
-
-
¼
-
å
2
3
60
61
cos
cos
cos
59cos
a
a
a
a
=
¼
-
1
2
60
1
61
cos
cos
cos
cos
59cos
a
a
a
a
a
=
¼
-
-
,
由上可得
2
1
cos
cos
cos
n
n
n
a
a
a
=
，则
3
5
4
cos
cos
cos
n
n
n
a
a
a
=
故
1
2
3
4
5
cos
cos
cos
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
1
4
π
4π
π
π
2(
)
2[cos(
)
cos(
)]
2[cos(
)
cos(
)]
0
s
3
3
co
c
3
3
s
o
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
=
=
=
-
=
故
1
2
60
1
2
7
6
8
12
cos
cos
cos
(cos
cos
cos
)
(cos
cos
cos
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
¼
=
L
L
5
6
5
0
5
6
(cos
cos
cos
)
0
a
a
a
=
L
L
.
所以
59
1
1
1
π
cos
0
cos
59cos
60
3
i
i
i
a
a
a
=
æ
ö
×
=
-
-
´
ç
÷
è
ø
å
1
4
60cos
60
16
15
a
æ
ö
= -
= -
´ -
=
ç
÷
è
ø
.
故选：B
22．（2026·安徽安庆·一模）A 系列纸张是生活中最常用规格的纸，A 系列纸张命名规则：①一张Ai 型号
纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张A(
1)
i
型号纸张；②一张A0 型号的纸张面积是1 平方米；
③所有Ai 型号的纸的长宽比相等．现从A0 到A9 ，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为
（ ）（单位：米）
A．
10
2
4
2
4 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
B．
10
2
4
1
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
C．
10
2
4
2
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
D．
11
2
4
2
2 2
2
1
1
2
é
ù
æ
ö
ê
ú
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
【答案】C
【分析】由裁剪规则和长宽比建立
,
i
i
a b 的递推关系，证明
,
i
i
a
b 为等比数列，再求通项、求和，最后计算
周长总和即可.
【详解】设
A
0,1,2,
,9
i i =
L
纸的宽和长分别为
,
0,1,2,
,9
i
i
a b i =
L
，
则
1
0
1
2
a
b
=
，
1
0
b
a
=
.
因为
0
0
1
1
0
0
2
1
2
a
a
b
a
b
b
=
=
，又
0
1
1
0
b
b
a
a
=
，所以
0
0
0
0
2a
b
b
a
=
，解得
0
0
2
b
a =
又
0 0
1
a b = ，所以
1
4
0
2
a
-
=
，
1
4
0
2
b =
.
根据题意，
1
1
2
i
i
a
b
=
，
1
i
i
b
a
=
，又
0
0
2
i
i
b
b
a
a
=
=
，即
2
i
i
b
a
=
，
所以
1
1
2
2
2
i
i
i
a
b
a
=
=
，则
1
2
2
i
i
a
a
=
，
所以
ia
是首项为
1
4
0
2
a
-
=
，公比为
2
2 的等比数列，通项公式为
1 2
4
2
i
ia
-
=
，
同理，
1 2
4
2
2
i
i
i
b
a
-
=
=
，
ib
是首项为
1
4
0
2
b =
，公比为
2
2 的等比数列.
因此
10
1
1
4
2
9
1
0
2
2
1
2
1 2
i
i
a
-
-
-
=
é
ù
æ
ö
ê
ú
´
-ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
=
-
å
，
10
1
1
4
2
9
1
0
2
2
1
2
1 2
i
i
b
-
-
=
é
ù
æ
ö
ê
ú
´
-ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
=
-
å
，
故所有纸张的周长之和为
10
9
2
4
0
2
2
2 2
2
1
1
2
i
i
i
C
a
b
=
é
ù
æ
ö
ê
ú
=
=
-ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
å
.
23．（2026·江西赣州·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
*
2
3,2
1
n
n
S
S
n
a
n
=
=
ÎN
，在数列
nb
中，
1
1
b
a
=
，且1 2 3
1
2 n
S
n
bb b
b =
L
，设
nT 为数列
nb
的前n 项和，则
2026
T
= （ ）
A．
2026
2
B．
2026
2
1
-
C．
2025
2
D．
2025
2
1
-
【答案】B
【分析】根据递推关系
*
2
1
n
n
S
n
a
n
=
ÎN
得到另一个式子，作差可求出
1
n
n
a
a -
，根据
2
3
S =
可推出
1
2
,
a a ，
累乘法可求出数列
na
的通项公式，再通过数列
nb
的递推关系得到另一个式子，作商可得到
nb
的通项公
式，进而求解，要注意所求式子对n 的限制.
【详解】因为
*
2
1
n
n
S
n
a
n
=
ÎN
，①
所以
2
2
2
2
2 1
=3
S
a
a
=
，
0
na ¹
（若
0
na =
，则
0
n
S =
，从而得
1
2
1
0
n
S
S
S
- =
=
=
=
L
，与
2
3
S =
矛盾），当
2
n ³
时，
1
1
2
n
n
S
na
-
-
=
，②
①- ②得
1
2
1
n
n
n
a
n
a
na -
=
-
，移项得
1
1
n
n
n
a
na -
-
=
，所以
1
1
n
n
a
n
a
n
-
=
- .
由
2
2
2
3
S
a
=
得
2
2 3
3a
´ =
，解得
2
2
a = ，所以
1
2
2
3
2
1
a
S
a
=
-
=
-
= ，
所以
1
2
1
1
2
1
1
2 1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
a
a
n n
a
a
a
n
n
-
-
-
-
=
×
×
×
×
=
×
×
×
× =
³
-
-
L
L
，
而
1
1
a = 也满足上式，所以数列
na
的通项公式为
na
n
=
.
因为1 2 3
1
2 n
S
n
bb b
b =
L
，③
所以当
2
n ³
时，
1
1 2 3
2
n
S
n
b b b
b
-
=
L
，④
由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数，
所以③¸ ④得
1
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
S
S
a
n
n
S
b
n
-
-
-
=
=
=
=
³
，即
1
2
3
n
nb
n
-
=
³
.
当
1
n = 时，由1 2 3
1
2 n
S
n
bb b
b =
L
得
1
1 2
2
2
S
b b =
=
，又
1
1
1,
b
a
=
=
所以
2
2
b =
，
所以
1 1
2 1
1
2
2
1,
2
2
b
b
-
-
=
=
=
=
均满足
1
2n
nb
-
=
，所以数列
nb
的通项公式为
1
2n
nb
-
=
，即数列
nb
是首项为1，
公比为2 的等比数列，
所以
2026
2026
1
2026
2026
1
1
1 2
2
1
1
1 2
b
q
T
q
-
´
-
=
=
=
-
-
-
.
24．（25-26 高三下·江苏南通·开学考试）已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
a =
，
1
2
3
4
1
2
3
ea
a
a
a
a
a
a
=
，则（ ）
A．
1
2
a
a
<
B．
1
3
a
a
<
C．
2
3
a
a
>
D．
4
2
a
a
>
【答案】D
【分析】设
2
3
2
2 1
ln 2 1
f x
x
x
x
x
x
=
-
，分析函数的单调性，利用函数零点存在性的判定定理，
确定函数
f x 零点所在的区间，即等比数列公比的取值范围，再比较各项的大小.
【详解】设等比数列的公比为q ，
则
1
2
3
4
1
2
3
ea
a
a
a
a
a
a
=
Þ
2
3
2 2
2
2
2
e
2
2
2
q
q
q
q
q
=
Þ
2
3
2
2
2
2
2
ln 2
2
2
q
q
q
q
q
=
.
设
2
3
2
2 1
ln 2 1
f x
x
x
x
x
x
=
-
，
则
2
2
2 1
2
2 1
2
3
2 1
x
f
x
x
x
x
x
=
-
¢
2
2
2
2 1
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
-
=
4
3
2
2
6
10
12
4
1
1
x
x
x
x
x
x
=
2
2
2
2
1
2
2
1
2
3
3
1
x
x
x
x
x
x
x
=
.
因为
2
2
1
3
1
0
2
4
x
x
x
æ
ö
=
>
ç
÷
è
ø
，
2
2
1
1
2
2
1
2
0
2
2
x
x
x
æ
ö
=
>
ç
÷
è
ø
，
2
2
1
2
3
2
1
3
0
3
3
x
x
x
æ
ö
=
>
ç
÷
è
ø
，
2
3
0
x ³
，
所以
0
f
x
¢
>
在R 上恒成立.所以函数
f x 在R 上单调递增.
又
1
2 1 1 1 1
ln 2 1 1 1
ln 2
0
f -
=
- -
-
-
= -
<
，
0
2
ln 2
0
f
=
-
>
.
所以函数
f x 只有1 个零点，且该零点在
1,0
-
.
所以公比1
0
q
- <
<
.
因为
1
2
a =
，
2
2
0
a
q
=
<
，所以
1
2
a
a
>
，故A 错误；
因为
2
3
2
0
a
q
=
>
，又1
0
q
- <
<
，所以
2
1
q < ，所以
1
3
a
a
>
，故B 错误；
因为
2
0
a <
，
3
0
a >
，所以
2
3
a
a
<
，故C 错误；
因为
3
4
2
0
a
q
=
<
，且
2
4
2
2
1
a
a
q q
-
=
-
，由1
0
q
- <
<
，
2
1
q < ，所以
4
2
0
a
a
-
>
，所以
4
2
a
a
>
，故D 正确.
25．（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列
na
满足
1
1
a = ，且
2
1
n
n
n
a
a
a
l
m
=
-
，则,
l m 满足的关系式不可能
为（ ）
A．
0
l
m
<
B．
1
0
lm <
C．
2
2
2
l
m
=
D．
2
0
l
m
-
=
【答案】D
【分析】利用反证法验证D 选项不成立，通过举反例验证A,B,C 选项.
【详解】因为
na
是递增数列，所以
2
1
0
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
l
m
-
=
-
-
>
．
又
1
1
0
a = >
，所以
0
na >
，则
1
na
m
l
<
- ．
若
2
0
l
m
-
=
，则
2
2
1
1
1
a
a
a
l
m
l
m
m
=
-
=
-
=
> ，则
2
2
3
3
2
2
2
a
a
a
l
m
m
m
m
=
-
=
-
>
．
由
1
m > ，得
2
2
1
m
m
-
> ，即
2
1
0
m -
<
，矛盾，
故,
l m 满足的关系式不可能为
2
0
l
m
-
=
．
取
1,
2
l
m
=
= - ，则
2
1
2
n
n
n
a
a
a
=
，
满足
na
是递增数列，此时
1
0
l
m
= - <
，
1
1
0
lm = - <
．取
1
l = ，
1
m = - ，则
2
1
n
n
n
a
a
a
=
，
满足
na
是递增数列，此时
2
2
2
l
m
=
．
二、多选题
26．（2026·山东青岛·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
1
n
n
S
a
=
，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
1
2n
na
-
= -
C．
2
1
n
n
S =
-
D．
2
2
1 2
2
2 n
n
n
aa
a
-
× ×
=
×
【答案】BD
【分析】由
n
S 和
na 的关系求出数列{
}
na
为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用
2
1
n
n
S
a
=
，求
出
n
S ，故选项C 错误，由
1
2n
na
-
= -
，应用等差数列求和公式计算选项D 正确.
【详解】由题意，当
1
n = 时，
1
1
2
1
S
a
=
，解得
1
1
a = - .
当
2
n ³
时，
1
1
2
1
n
n
S
a
-
-
=
，
所以
1
1
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
=
-
=
-
，即
1
2
n
n
a
a -
=
，
所以数列{
}
na
是以
1
1
a = - 为首项，以
2
q =
为公比的等比数列，
1
2n
na
-
= -
，故选项A 错误，选项B 正确；
所以
2
1
2
1
n
n
n
S
a
=
= -
，故选项C 错误；
2
0 2
1 2
2
2
1
0 1 2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a a
a
-
-
-
-
= -
´ -
´
´ -
= -
´
=
=
L
L
L
， 故选项D 正确.
27．（2026·河北唐山·一模）已知
2n
na =
，
n
S 为数列
na
的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A．
na
是等比数列
B．
2
2
n
n
S =
-
C．
1
{
}
na
是递减数列
D．
na
中存在连续三项成等差数列
【答案】AC
【详解】对于A，由
2n
na =
，得
1
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a
=
=
，
na
是等比数列，A 正确；
对于B，
1
2(1
2 )
2
2
1
2
n
n
n
S
-
=
=
-
-
，B 错误；
对于C，
1
1
2n
na =
，
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
=
<
=
，
1
{
}
na
是递减数列，C 正确；
对于D，假定
na
中存在连续三项成等差数列，分别为
1
2
,
,
,
m
m
m
a
a
a
m
*
ÎN ，
则
1
2
2
m
m
m
a
a
a
=
，即
1
2
2 2
2
2
m
m
m
´
=
，整理得
2
2
2
1
2
=
，矛盾，
因此
na
中不存在连续三项成等差数列，D 错误.
28．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在公比q 为整数的等比数列
na
中，
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
4
32
a a =
，
2
3 12
a
a
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
q =
B．数列
n
S
是等比数列
C．
6
126
S =
D．数列
lg
na
是公差为2 的等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列性质求得
2
3
a a ，然后结合
2
3 12
a
a
=
求得
2
3
,
a a ，再求出公比q 后可得通项公式
na 及
前n 项和
n
S ，然后判断各选项．
【详解】选项A，由等比数列性质得
2
3
1
4
32
a a
a a
=
=
，由
2
3
2
3
32
12
a a
a
a
=
ì
í
=
î
，解得
2
3
4
8
a
a
=
ì
í
=
î
或
2
3
8
4
a
a
=
ì
í
=
î
，
若
2
3
8,
4
a
a
=
=
，则
3
2
1
2
a
q
a
=
=
，不合题意，
若
2
3
4,
8
a
a
=
=
，则
3
2
2
a
q
a
=
=
，满足题意，A 正确；
选项B，由选项A 得
2
1
2
a
a
q
=
=
，
1
1(1
)
2(1 2 )
2
2
1
1 2
n
n
n
n
a
q
S
q
-
-
=
=
=
-
-
-
，
等比数列的通项公式应为
1
1
n
na
a q -
=
形式，因此{
}
n
S
不是等比数列，B 错；
选项C，由选项B 得，
7
6
2
2
126
S =
-
=
，C 正确；
选项D，由上知
1
2 2
2
n
n
na
-
=
´
=
，lg
lg 2
na
n
=
，
1
lg
lg
lg 2
2
n
n
a
a
n
-
-
=
³
，所以数列
lg
na
是公差为lg 2 的等差数列，D 错．
29．（2026·福建莆田·二模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2
4
n
S
n
n
=
-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
na
为等差数列
B．
na
为单调递增数列
C．
1
2
3
4
5
6
12
a
a
a
a
a
a
=
D．
n
n
S
a 的最小值为3
-
【答案】ABD
【分析】由
na 与
n
S 的关系求得通项公式，可判断ABC，通过n 的赋值结合
,
n
n
S
a 的符号，可判断D.
【详解】由
2
4
n
S
n
n
=
-
，可得
2
1
1
4
1
n
S
n
n
- =
-
-
-
，
所以
1
2
5,
2
n
n
n
a
S
S
n
n
-
=
-
=
-
³
，
又
1
1
3
2 1 5
a
S
=
= - =
´ -
，符合上式，
所以
2
5,
na
n
n
=
-
ÎN ，
故
na
为等差数列，且单调递增，AB 正确，
1
2
3
4
5
6
3 1 1 3
5
7
20
a
a
a
a
a
a
=
=
，C 错误，
2
5
4
2
n
n
S
n
n
n
a =
-
-
，
当
1
n = 时，
1
1
1
3
3
S
a =
=
-
-
，
当
2
n =
时，
2
2
4
1
4
S
a =
=
-
-
，
当
3
n =
时，
3
3
3
1
3
S
a =
= -
-
，
当
4
n ³
，可知
2
4
4
0,
2
5
0
n
n
S
n
n
n n
a
n
=
-
=
-
³
=
-
>
，
此时
2
0
4
2
5
n
n
S
n
a
n
n
-
=
³
-
，
由上可知
n
n
S
a 的最小值为3
- ，D 正确.
30．（2026·福建龙岩·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
n
S
n
n
=
，则（ ）
A．数列
na
是等差数列
B．数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ 不是单调数列
C．数列
na
中存在不同的两项，使
3a 是这两项的等比中项
D．记数列
π
cos 2
n
n
n
b
a
a
æ
ö
=
×
×
ç
÷
è
ø ，则数列
nb
的前2026 项的和为4052
【答案】AC
【分析】对A，根据等差数列的定义，验证
1
n
n
a
a -
-
是否为常数来判断；对B，先求出数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ的通项，再
通过判断
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
-
的符号，或比较相邻项的大小关系来确定单调性；对C，假设存在不同两项
,
m
k
a
a ，根据
等比中项的定义列出等式
2
3
p
q
a
a
a
=
×
，结合通项公式分析是否存在正整数
,p q p
q
¹
满足等式；对D，先根
据
na 的通项公式化简
nb ，分析
nb 的周期性，再利用周期性计算前2026 项的和.
【详解】对于A：首先根据数列前n 项和
n
S 求通项公式：
当
1
n = 时，
2
1
1
1
1
2
a
S
=
=
=
；
当
2
n ³
时，
2
2
1
(
)
[(
1)
(
1)]
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
=
-
=
-
-
-
=
，
对
1
n = 也成立，因此通项公式为
2
na
n
=
，
1
2(
1)
2
2
n
n
a
a
n
n
-
=
-
=
（常数），因此{
}
na
是首项为2、公差为2 的等差数列，A 正确；
对于B：设
2
3
3
n
n
n
n
a
n
c =
=
，
判断单调性：
1
1
1
2(
1)
2
2
4
0
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
-
-
=
-
=
<
对所有
1
n ³ 成立，
因此{ }
nc
是单调递减数列，B 错误；
对于C：
3
6
a =
，若存在不同两项
,
(
)
p
q
a
a
p
q
¹
使得
2
3
p
q
a
a a
=
，
则 36
(2 )(2 )
9
p
q
pq
=
Þ
=
，存在正整数解
1,
9
p
q
=
=
（p
q
¹
），满足条件，C 正确；
对于D：化简
nb ：
cos
2 cos(
)
2
( 1)
2
n
n
n
n
b
a
a
n
n
n
p
p
æ
ö
=
=
=
× -
ç
÷
è
ø
，
设
nb
的前n 项和为
nT ，下求前2026 项和：
分组得
2026
2 1
2 2
2 3
2 4
2 2025
2 2026
T
= - ´ ´
- ´ ´
- ´
´
L
，
共1013 组，每组和为2，总和
2026
1013 2
2026
4052
T
=
´
=
¹
，D 错误.
31．（25-26 高三下·安徽·月考）已知
na
为等比数列，其前n 项和为
n
S ，公比为q ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
1
1
a = ，
2
2
a = ，则
3
6
S =
B．若
2
3
4
4
a
a
=
，则
5
1
4
a =
C．若
1
2
q =
，则
1
2
n
n
a
S
a
=
D．若
4
2
4
4
S
S
a
-
=
，
2
6
4
4
S
S
a
-
=
，则
4
4
9
a =
【答案】BCD
【分析】利用等比数列的通项公式与前n 项和公式计算即可逐一判断.
【详解】对于A，
na
为等比数列，
2
1
2
a
q
a
=
=
，则
3
2
4
a
a q
=
=
，
3
1
2
3
7
6
S
a
a
a
=
=
¹
，故A 错误；
对于B，因
na
为等比数列，则
2
4
3
5
a
a a
=
，又
2
3
4
4
a
a
=
，因
3
0
a ¹
，故
5
1
4
a =
，即B 正确；
对于C，当
1
2
q =
时，因
1
1
1
2
n
na
a
-
æ
ö
=
×ç
÷
è
ø
，
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
n
a
S
a
a
-
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
=
-
×ç
÷
è
ø
-
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
S
a
a
a
a
-
-
æ
ö
æ
ö
=
×
-
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故C 正确；
对于D，由
4
2
4
4
S
S
a
-
=
，得
3
4
4
4
a
a
a
=
，则
3
4
3
a
a
=
，所以
4
3
1
3
a
q
a
=
=
，
又
2
6
4
4
S
S
a
-
=
，即
2
5
6
4
a
a
a
=
，又因为
2
5
6
3
4
a
a
q
a
a
=
，即
2
4
4
1
4
9
a
a
=
´
，
因
4
0
a ¹
，则得
4
4
9
a =
，故D 正确.
32．（2026·河北保定·一模）已知等比数列
na
的公比为q ，前n 项和为
n
S ,
2
1
2
a =
,
3
6
4
4
a a
a
=
.则下列说法正
确的是（ ）
A．
5
2
a =
B．
2
q =
C．
3
2n
na
-
=
D．
1
1
8
n
n
S
a
=
-
【答案】BC
【分析】先根据条件确定等比数列的公比和通项公式，可判断ABC 的真假，再利用等比数列的求和公式，
可判断D 的真假.
【详解】由
3
6
4
4
a a
a
=
Þ
4
2
1
1
1
4
2
2
2
q
q
q
×
=
´
Þ
3
8
q =
，所以
2
q =
.故B 正确；
因为
3
3
5
2
1
2
4
2
a
a q
=
=
´
=
，故A 错误；
因为
3
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
a
a q
-
-
-
=
=
´
=
，故C 正确；
因为
1
1 1 2
1
4
1
1 2
n
n
n
a
q
S
q
-
-
=
=
-
-
2
1
2
4
n-
=
-
，
2
1
1
1
2
8
8
n
na
-
-
=
-
，所以
1
1
8
n
n
S
a
¹
-
，故D 错误.
33．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应
用．已知大衍数列
na
满足
1
0
a =
，
1
1,
,
n
n
n
a
n
n
a
a
n n
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则正确的有（ ）
A．
5
12
a =
B．
2
1
2
1
4
n
n
a
a
n
-
=
C．
2
2
2
n
a
n
n
=
-
D．数列
( 1)n
n
a
-
的前20 项和为110
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得
2
1
1 1
2
a
a
=
=
，
3
2
2
2
2
4
a
a
=
=
=
，
4
3
3 1
8
a
a
=
= ，
5
4
4
8
4
12
a
a
=
=
=
，故A 正确；
对于B，因为2n 为偶数，所以
2
1
2
2
n
n
a
a
n
=
，
因为2
1
n - 为奇数，所以
2
2
1
2
1
2
1
1
2
n
n
n
a
n
a
n
a
-
-
-
=
=
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
2
4
n
n
n
n
n
n
a
a
a
-
-
=
=
，故B 正确；
对于C，因为2n 为偶数，所以
2
1
2
2
n
n
a
a
n
=
，
又因为2
1
n + 为奇数，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
n
n
n
a
n
n
a
a
=
=
，
所以
2
2
2
4
2
n
n
a
a
n
=
，所以
2
2
2
4
2
n
n
a
a
n
-
=
，
所以
2
4
2
6
4
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
L
2
1 1
1
2
4
2
8
2
4
1
2
4
2
2
2
n
n
n
n
n
-
-
é
ù
=
-
=
´
=
ë
û
L
，故C 错误；
对于D，数列
( 1)n
n
a
-
的前20 项的和为
20
S ，
所以
20
1
2
3
4
19
20
2
1
4
3
20
19
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
= -
-
-
-
=
-
-
-
L
L
10 10 1
2 1
2
10
2
110
2
=
=
´
=
L
，故D 正确.
34．（2026·广东佛山·一模）已知数列
na
的每一项都是整数．当n 为奇数时，有
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
³
；当n
为偶数时，有
2
1
2
n
n
n
a
a
a
³
．记
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
1
1
a = ，
2
3
a =
，则（ ）
A．数列
na
为递增数列
B．
5S 的最小值为32
C．若
100
=
k
，则
ka 的最小值为2649
D．若
2026
ka =
，则k 的最大值为86
【答案】ABC
【分析】当n 为奇数时，
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
；当n 为偶数时，
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
．由此为基础，可分
析A；依次分析
3
4
5
,
,
a a a ，判断B；利用累加法，可得
100
a
的最小值，判断C；分析
87
a ，判断D.
【详解】当n 为奇数时，有
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
³
，即
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
；
当n 为偶数时，有
2
1
2
n
n
n
a
a
a
³
，即
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
．
所以若
1
1
a = ，
2
3
a =
，则
当n 为奇数时，
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
³
-
³
-
³¼³
-
>
；
当n 为偶数时，
2
1
1
1
2
1
1
0
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
³
-
³
-
³¼³
-
>
．
所以数列
na
为递增数列，所以A 正确.
由题可知，
3
1
2
2
1
a
a
a
³
，
4
2
3
2
a
a
a
³
，
5
3
4
2
1
a
a
a
³
，
所以
3
2
1
2
1
6
a
a
a
³
-
=
，
4
3
2
2
9
a
a
a
³
-
³
，
5
4
3
4
4
3
4
3
2
2
1
1
1 13
a
a
a
a
a
a
a
a
a
³
-
=
-
³
-
³
.
所以
5
S 的最小值为1 3
6
9 13
32
=
.所以B 正确.
由A 项分析知，当n 为奇数时，
2
1
2
1
1
2
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
；
当n 为偶数时，
2
1
2
1
2
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
．
所以
100
99
2
1
49
51
a
a
a
a
-
³
-
=
，
99
98
2
1
49
51
a
a
a
a
-
³
-
=
，
98
97
2
1
48
50
a
a
a
a
-
³
-
=
，
97
96
2
1
48
50
a
a
a
a
-
³
-
=
，
……
3
2
2
1
1
3
a
a
a
a
-
³
-
=
，
2
1
2
a
a
-
=
.
累加得，
100
1
50
51
2
51 51 50
50
3
3
2
2
51 50
2
2
2
2
2648
2
a
a
´
-
³
¼
=
´
¼
-
=
´
-
=
，
所以
100
1
2648
2649
a
a
³
=
.所以C 正确.
若
2026
ka =
，
结合C 分析得，当k 为奇数时，
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
a
a
é
ù
-
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
³
¼
=
´
¼
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以
2
1
1
1
1
2
2
3
9
1
9
2
2
2
2
2
2
2
4
2
k
k
k
k
k
k
k
a
a
æ
öæ
ö
ç
֍
÷
æ
ö
è
øè
ø
-
³
´
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
即
2
3
9
9
1
4
2
k
k
k
k
a
³
-
.
87
88 94
94
1
2022
4
2
a
´
³
-
=
，所以D 不正确.
35．（2026·广东广州·模拟预测）数列
na
满足
1
0,1
a Î
，且
1
1
2
,0
2
1
2 1
,
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
ì
£
£
ïï
= í
ï
-
<
£
ïî
，记
na
的前n 项和
为
n
S ，则（ ）
A．存在
1a ，使
na
为周期数列
B．存在
1a ，使
1
2
n
S
n
>
恒成立
C．存在
1
2
a
a
¹
，使
n
S
为等差数列
D．存在
1
2
a
a
¹
，使
na
为等比数列
【答案】ABC
【分析】应用数列周期性计算判断A，B，应用等差数列性质计算判断C，应用等比数列性质分类计算判断
D.
【详解】对于A，取
1
2
7
a =
，则
2
3
4
4
6
2
,
,
7
7
7
a
a
a
=
=
=
，此时
4
1
a
a
=
，故
na
是以3 为周期的周期数列，故A
正确；
对于B，取
1
2
2
2
,
3
3
a
a
=
=
，以此类推，对于所有的
1,2,3,
nÎ
L ，都有
2
3
na =
，
则数列的前n 项和
1
2
2
3
n
n
S
a
a
a
n
=
=
L
，即对于任意正整数
2
1
,
3
2
n
n S
n
n
=
>
恒成立，故B 正确；
对于C，若
n
S
是等差数列，则对于
1
n ³ ，有
1
1
n
n
n
S
S
a
d
-
=
=
（d 为常数），则
na
从第二项起为常数，
由B 可知，取
2
2
3
a =
，则此后各项均为2
3 ，
令
1
2
2
3
a =
，得
1
1
3
a =
，故
1
2
1
2
0,1 ,
3
3
a
a
=
Î
=
，且
1
2
a
a
¹
，此时
1
2
3
1
5
,
1,
3
3
S
S
S
=
=
=
，
和数列
n
S
是首项为1
3 ，公差为2
3 的等差数列，故C 正确；
对于D，假设存在公比为q 的等比数列
na
，其中
1
0,1
a Î
且
1
2
a
a
¹
，
若存在某项
1
2
ka £
，则
1
2
k
k
a
a
=
，解得q = 2．若
2
q =
，由于
1
1
1
0,
2n
n
a
a
a
-
>
=
´
，故随n 增大必将超过
1
2 ．
设
m
a 是第一个大于
1
2 的项，即
1 ,1
2
m
a
æ
ù
Îç
ú
è
û ，由
1
2 1
m
m
a
a
=
-
，
按等比数列定义
1
2
m
m
a
a
=
，由
2 1
2
m
m
a
a
-
=
解得
1
2
m
a =
，这与
1
2
m
a >
矛盾；
若
1
2
m
a =
，则
1
2
1,
0
m
m
a
a
=
=
，与等比数列各项不为0 的定义矛盾；
若所有项均大于
1
2 ，则
1
2 1
n
n
n
a
a
qa
=
-
=
恒成立，解得
2
2
na
q
=
，则
na
为常数数列，即
1
2
a
a
=
，与题
设矛盾．
综上所述，不存在满足条件的等比数列，故D 错误．
三、填空题
36．（2026·河南许昌·模拟预测）设
n
S 为各项均为正数的等比数列
na
的前n 项和，若
8
5
2
2a
a
a
=
，则
6
3
S
S = __________.
【答案】3
2 /1.5
【分析】设等比数列
na
的公比为q ，由
8
5
2
2a
a
a
=
求得
3
1
2
q =
，利用等比数列前n 项和公式求
6
3
S
S .
【详解】设等比数列
na
的公比为q ，由数列各项均为正数，有
0
q >
，
由
8
5
2
2a
a
a
=
，有
2
6
3
2
2
2
a
q
q
a
a
=
，
则
6
3
2
1
0
q
q
- =
，解得
3
1
2
q =
，
n
S 为
na
的前n 项和，
6
1
6
1
1
a
q
S
q
-
=
-
，
3
1
3
1
1
a
q
S
q
-
=
-
，
则
3
3
6
3
6
3
3
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
2
q
q
S
q
q
S
q
q
-
-
=
=
=
=
=
-
-
.
37．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知
10 架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10 的数列
na
，该数列的前4 项成等比数列，
后7 项成等差数列，且
1
5
a =
，
4
135
a =
，
9
150
a =
，则
7a = ______，数列
na
所有项的和为______．
【答案】
144
1073
【分析】先利用
1a 和
4a 前4 项求出前4 项等比数列的公比，再利用
4a 和
9a 求出后7 项等差数列的公差，进而
分别计算出
7a 及数列各项的和.
【详解】设前4 项构成的等比数列公比为q ，则
3
4
1
a
a q
=
，即
3
135
5q
=
，解得
3
q =
；
设后7 项构成的等差数列公差为d ，则
4
9
,
a a 分别是第一项和第六项，所以
9
4
6 1
a
a
d
=
-
，
即150
135
5d
=
，解得
3
d =
；
因为
7a 是等差数列的第四项，所以
7
4
3
135
3 3
144
a
a
d
=
=
´ =
；
因为
4a 是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项，
则数列
na
所有项的和S 可看作前3项等比数列与后7 项等差数列的和，
所以
3
5 1 3
7 6
7 135
3
65
945
63
1073
1 3
2
S
-
´
=
´
´ =
=
-
【点睛】这道题的核心是分段数列的衔接处理：以公共项
4a 为桥梁，分别用等比数列通项公式求公比、等
差数列通项公式求公差，再分段求和得到结果.
38．（2026·甘肃·一模）如图，若第1 行数字的和记为
1a ，第2 行数字的和记为
2,
a L，第n 行数字的和记为
na ，则
na = __________；若数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
n
S = __________
【答案】
1
3 2
2
n-
´
-
3 2
2
3
n
n
´
-
-
【详解】由题意可知，
0
1
1
1
1
1
1 2
2 2
2
2
2
2
2
3 2
2
1 2
n
n
n
n
n
na
-
-
-
-
-
=
-
=
´
-
= ´
-
-
L
；
所以
0
1
1
1 2
3 2
2
2
2
3
2
3 2
2
3
1 2
n
n
n
n
S
n
n
n
-
-
=
-
= ´
-
= ´
-
-
-
L
.
39．（25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知正项等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1a ，
2a 是关于x 的方程
2
4
0
x
x
p
-
=
的两个不等实根，则
6
2
4
4
6
S
S
S
-
的最小值为___________．
【答案】5
-
【分析】由韦达定理得到
1(1
)
4
a
q
=
，结合等比数列求和公式得到
4
2
6
2
4
4
6
16
8
4
S
S
S
q
q
-
=
-
-
，再结合二
次函数求最值即可.
【详解】设等比数列公比为q ，由题意
1
q ¹ ，
由韦达定理得：
1
2
4
a
a
=
，即
1(1
)
4
a
q
=
，
6
2
4
1
6
2
4
4
6
4(1
)
(1
)
6(1
)
1
a
S
S
S
q
q
q
q
é
ù
-
=
-
-
-
-
ë
û
-
6
4
2
4
2
1
1
4
6
1
(1
)(4
2
1)
1
a
q
q
q
a
q
q
q
q
=
-
-
-
=
-
-
-
，
代入
1(1
)
4
a
q
=
，
化简得：
4
2
4
2
6
2
4
4
6
4(4
2
1)
16
8
4
S
S
S
q
q
q
q
-
=
-
-
=
-
-
令
2(
0)
t
q t
=
>
，则得
2
( )
16
8
4
f t
t
t
=
-
-
，
二次函数开口向上，对称轴为
8
1
2 16
4
t =
=
´
，
代入
1
4
t =
得最小值：
2
1
1
1
16
8
4
5
4
4
4
f æ
ö
æ
ö
=
´
- ´
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
所以
6
2
4
4
6
S
S
S
-
的最小值为5
- .
40．（2026·山西朔州·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
3
a =
，
1
2
1
n
n
n
a
a
a
=
，则满足
3
1
33
k
k
S
S
-
<
的k 的最小值为__________.
【答案】49
【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出
3
k
k
S
S
-
的表达式，接着由题设
不等式得到
1
1
1
1
6
1
6
7
6
13
99
f k
k
k
k
=
<
的k 的最小值即为所求，利用放缩法求得
1
48
99
f
>
和
1
49
99
f
<
即可得解.
【详解】由
1
2
1
n
n
n
a
a
a
=
知，
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
=
=
，所以
1
1
1
2
n
n
a
a
-
=
，
所以数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
1
1
1
3
a =
为首项，2 为公差的等差数列，则
1
1
6
5
2
1
3
3
n
n
n
a
-
=
-
=
，
所以
3
6
5
na
n
=
-
.
则满足
3
1
2
3
3
3
3
1
6
1
6
7
6
13
33
k
k
k
k
k
S
S
a
a
a
k
k
k
-
=
=
<
的k 的最小值，
即满足
1
1
1
1
6
1
6
7
6
13
99
k
k
k
<
的k 的最小值.
令
1
1
1
6
1
6
7
6
13
f k
k
k
k
=
，易知
f k 为单调递减函数.
又
1
1
1
3
6
1
6
7
6
13
6
13
k
k
k
k
>
，令
3
1
6
13
99
k
<
，解得
142
47.33
3
k >
»
.
因为
*
N
k Î
，
当
48
k =
时，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
48
6 48 1
6 48
7
6 48 13
289
295
301
289
301
297
f
=
=
>
´
´
´
289
301
1
590
1
590
1
289 301
297
293
4
297
4
297
297 293
4
297
293
16
297
=
=
=
´
-
´
´
- ´
-
-
590
1
2 293
1
2
1
1
297
293
297
297
293
297
297
297
99
´
>
>
=
=
´
´
，
所以
1
48
99
f
>
.
当
49
k =
时，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
49
6 49 1
6 49
7
6 49 13
295
301
307
295
307
297
f
=
=
<
´
´
´
295
307
1
602
1
602
1
295 307
297
297
2
304
3
297
297 304
2 304
3 297
6
297
=
=
=
´
-
´
´
- ´
´
-
602
1
602
1
2 304
1
2
1
1
297 304
277
297
297 304
297
297 304
297
297
297
99
´
=
<
<
=
=
´
´
´
，
所以
1
49
99
f
<
.
因此满足不等式的k 的最小值为49.
题型19 数列大题25 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
等差数列基本量运算与不
等式
利用等差中项、等比中项列方程求首项和公差，再根据前n项和公
式解不等式求最小项数。
2
等差数列基本量与前n项
积最值
由已知条件列方程求首项和公差，写出前n项积的表达式，利用指
数函数单调性转化为二次函数求最值。
3
递推数列的周期性
通过赋值法求出数列的周期，再根据周期求和；利用特殊值法求参
数满足的条件。
4
等差数列与裂项相消求和
利用等差中项、等比中项列方程求公差和首项，再写出通项，用裂
项相消法求和。
5
由Sn与an关系求通项与错
位相减求和
利用an = Sn - S(n-1)消去Sn，构造等差数列求通项；再用错位相减
法求等比数列与等差数列乘积的前n项和。
6
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和
先构造等差数列求Sn，再通过an = Sn - S(n-1)求通项，最后用裂项
相消法求和。
7
等差中项与正余弦定理求
角及边范围
利用等差中项和正弦定理得边角关系，再用余弦定理求角；结合外
接圆半径和正弦定理求边长范围。
8
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和
由递推式构造等差数列求Sn，再写出通项，用裂项相消法求和并证
明不等式。
9
等差数列基本量与裂项相
消求和
列方程求公差和首项，写出通项；用裂项相消法求和，再通过放缩
法证明不等式。
10
构造等比数列求通项与分
组求和
通过配凑法构造等比数列求通项，再分组求和，利用数列单调性解
不等式求最大项数。
11
等比数列基本量与错位相
减求和
由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用错位相减法求数
列的前n项和。
12
构造等差数列与裂项相消
通过赋值法构造等差数列求通项，再用裂项相消法求和。
求和
13
等差数列与等比数列的判
定
利用等差数列定义求通项，再通过递推关系证明等比数列。
14
等比数列前n项和与等差
数列判定
利用等比数列通项公式求基本量，再通过前n项和公式证明等差中
项关系。
15
等比数列与作差法求通项
及裂项相消求和
由等比数列通项公式求通项，再用作差法求另一数列的通项，最后
用裂项相消法求和。
16
构造等比数列求通项与裂
项相消求和
通过配凑法构造等比数列求通项，再写出裂项形式，用裂项相消法
求和。
17
等比中项与等比数列求和
利用等比中项列方程求公差，写出通项；再证明新数列为等比数列，
用等比数列求和公式求和。
18
构造等差数列与分组求和
及数列最大项
通过取倒数构造等差数列求通项；按奇偶分组求和；构造函数研究
数列单调性求最大项。
19
构造等比数列与错位相减
求和及放缩法证明
通过配凑法构造等比数列求通项；再用错位相减法求和；最后通过
放缩和裂项相消证明不等式。
20
分段数列求和与构造等差
数列求通项
分n=1和n≥2两种情况求通项；由前n项和关系构造等差数列求通项；
再通过裂项相消法求和。
21
由Sn与an关系求通项与分
组求和
利用an = Sn - S(n-1)求通项；通过递推式作商求等比数列通项；再
按大小顺序分组求和。
22
等比数列基本量与裂项相
消求和
由已知条件列方程求首项和公比，写出通项；再用裂项相消法求和。
23
构造等比数列与累加法求
通项及裂项相消求和
通过配凑法构造等比数列，再累加法求通项；用裂项相消法求和并
证明不等式。
24
由Sn与an关系求通项与裂
项相消求和及反证法
利用an = Sn - S(n-1)求通项；用裂项相消法求和；通过反证法证明
不等式，用累加法放缩证明另一不等式。
25
由Sn与an关系求通项与等
差数列求和及二项式定理
利用an = Sn - S(n-1)构造等比数列求通项；通过分组求和和裂项相
消求和；利用二项式定理放缩证明不等式。
1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
9
45
S =
，
3a ，
4a ，
7a 成等比数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)求使
n
n
S
a
>
成立的n 的最小值.
【答案】(1)
2
5
na
n
=
- ；
(2)6.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n 项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为
0
d d ¹
，首项为
1a ，
由题意可得
9
1
2
1
1
1
9 8
9
45
2
3
2
6
0
S
a
d
a
d
a
d
a
d
d
´
ì
=
=
ï
ïï
=
í
ï
¹
ï
ïî
，化简得
1
2
1
4
5
3
2
0
0
a
d
d
a d
d
=
ì
ï
=
í
ï
¹
î
，
解得
1
3
a = - ，
2
=
d
，所以
1
1
2
5
na
a
n
d
n
=
-
=
-
.
（2）由（1）可知
2
1
1
4
2
n
n n
S
na
d
n
n
-
=
=
-
.
由
n
n
S
a
>
，得
2
4
2
5
n
n
n
-
>
- ，即
2
6
5
0
n
n
-
>
，
即
1
5
0
n
n
-
-
>
，解得
1
n < 或
5
n >
.
因为n
ÎN ，所以n 的最小值是6.
即使
n
n
S
a
>
成立的n 的最小值为6.
2．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
3
2
4
0,5
2
0
a
a
a
a
=
=
.
(1)求数列
na
的前n 项和
n
S ；
(2)记
2 n
a
nb =
，数列
nb
的前n 项积为
nT ，求
n
n
T
S
的最小值.
【答案】(1)
2
4
n
S
n
n
=
-
；
(2)
63
16
-
.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前n 项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列{
}
na
的首项为
1a ，公差为d ，根据题意列方程：
由
2
3
0
a
a
=
得：
1
1
1
(
)
(
2 )
2
3
0
a
d
a
d
a
d
=
=
，
由
2
4
5
2
0
a
a
=
得：
1
1
1
5
3
2
0,6
8
2
a
d
a
d
a
d
=
= - ，
联立解得：
1
3
a = - ，
2
=
d
，
则由等差数列前n 项和公式可得
1
2
(
1)
3
(
1)
4
2
n
n n
S
d
n
n n
n
n
na
-
= -
-
-
=
=
；
（2）由
1
3
a = - ，
2
=
d
，可得等差数列
na
的通项公式为：
3
1
2
2
5
na
n
n
= -
-
´
=
-
，
则
2
5
2
2
n
n
a
nb
-
=
=
，即数列{ }
nb
的前n 项积为：
2
3 2
5
3
1
1
2
5
3 1 1
2
5
4
2
1 2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
T
b b
b
-
-
-
-
-
- - ×××
-
-
=
×××
=
´
´
´×××´
=
=
=
，
因此：
2 4
2
2
(
4 )
n
n
n
n
T
S
n
n
-
=
-
，
令
2
2
4
(
2)
4
t
n
n
n
=
-
=
-
-
，
N
n
*
Î
，
因为函数
2t
y
t
=
是关于t 的单调递增函数，因此t 最小时，y 取得最小值，
因为t 的最小值在
2
n =
时取得，即min
4
t
= - ，
代入可得：
4
min
1
63
2
( 4)
4
16
16
y
-
=
-
=
-
= -
,
即
n
n
T
S
的最小值为
63
16
-
.
3．（2026·江苏·一模）已知数列
na
各项均不为零，
1
1
a = ，
2
1
3
a =
，
1
1
2
n
n
n
n
n
a a
ta
a
a
=
-
.
(1)当
1
t = 时，求
na
的前50 项和；
(2)若
1
n
n
a
a
>
，求正整数t 的最小值.
【答案】(1) 4
3
(2) 2
【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可；
（2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为数列
na
各项均不为零，
1
1
a = ，
2
1
3
a =
，
所以当
1
t = 时，由
1
1
1
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a a
a a
ta
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
=
-
Þ
=
-
Þ
=
-
，
所以有
2
3
3
4
1
2
3
4
5
1
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
2
,
1,
,
1
1
1
1
2
3
1
1
3
3
2
2
a a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
´
´
´ -
=
=
=
=
=
= -
=
=
= -
-
-
-
-
-
4
5
5
6
6
7
4
5
5
6
1
1
1
1
1
3
3
2
,
1
1
1
1
2
1
3
3
2
a a
a a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö æ
ö
-
´ -
-
´ -
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø
è
ø è
ø
=
=
= -
=
=
=
-
-
-
-
，
所以此时该数列的周期为6 ，因此
1
2
6
1
1
1
1
1
1
0
3
2
3
2
a
a
a
=
- -
-
=
L
，
所以
na
的前50 项和为
1
2
6
49
50
1
2
1
4
8
8 0
1
3
3
a
a
a
a
a
a
a
´
= ´
=
=
L
；
（2）由
1
1
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
t
a a
ta
a
a
a
a
a
=
-
Þ
=
-
，
因为
1
1
a = ，
2
1
3
a =
，
所以
3
3
2
1
1
1
1
3
1
3
1
t
t
a
a
a
a
t
=
-
=
- Þ
=
- ，
因为
1
n
n
a
a
>
，
所以
2
3
1
1
1
1
3
1 3
4
0
0
3
3
1
3
3
1
3 3
1
3
t
a
a
t
t
t
t
- -
>
Þ
>
Þ
-
>
Þ
>
Þ >
-
-
-
，或
1
3
t <
，
因为t 是正整数，所以
4
3
t >
，即
2,3,4,
t =
L
当
2
t =
时，由
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
-
Þ
=
-
Þ
=
，
所以数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
1
1
1
a = 为首项，公差为
2
1
1
1
3 1
2
a
a
-
=
- =
的等差数列，
因此
1
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
a
n
=
-
=
- Þ
=
- ，所以
1
1
2
1
na
n
=
，
显然
1
n
n
a
a
>
恒成立，所以正整数t 的最小值为2 .
4．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列
na
的公差
0
d ¹
，且
3
1
2
5
5
a
a
a
a
= ，，，
成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
2
n
n
b
a
n
=
-
求数列
nb
前n 项和为
n
S ；
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2) 2
1
n
n
【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解；
（2）利用裂项相消法，即可求解.
【详解】（1）由条件可知
1
2
1
1
1
2
5
4
a
d
a
d
a a
d
=
ìïí
=
ïî
，且
0
d ¹
，
解得
1
1
2
a
d
ì
í
î
=
=
，
所以
1
1
2
2
1
na
n
n
=
-
´
=
- ；
（2）
2
2
1
1
1
1
1
4
2
4
1
2 2
1
2
1
n
n
b
a
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
...
2
3
3
5
2
1
2
1
n
S
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
1
2
2
1
2
1
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
.
5．（2026·四川成都·二模）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
2
*
2
n
n
n
S
a
a
n
=
ÎN
，
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
2
n
n
n
a
b
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
na
n
=
(2)
3
3
2
n
n
n
T
=
-
【分析】（1）可用
n
S 与
na 的关系消去
n
S ，求出数列
na
的通项公式；
（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
2
*
2
n
n
n
S
a
a
n
=
ÎN
，
，当
2
n ³
时，
2
1
1
1
2
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
，
则
2
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
-
-
-
-
=
-
，即
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
-
=
-
，
所以
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
=
-
，即
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
，
由数列
na
为正项数列，所以
1
0
n
n
a
a - >
，从而有
1
1
n
n
a
a -
-
= ，
2
n ³
，
所以数列
na
是以
1
1
a = 为首项，1为公差的等差数列，
所以
1
1
1
na
n
n
=
-
´ =
，
*
nÎN ．
（2）由（1）知
1
1
2
2
n
n
n
n
a
n
b
=
=
，所以
1
2
3
n
n
T
b
b
b
b
=
L
，
2
3
2
3
4
1
2
2
2
2
n
n
n
T
=
L
，则
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
=
L
，
从而
2
3
1
1
1
2
3
2
4
3
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
T
-
-
-
-
=
-
L
，
即
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
4
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
-
-
æ
ö
´
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
-
=
-
=
´
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
-
L
，
所以
3
3
2
n
n
n
T
=
-
.
6．（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
-
=
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
【答案】(1)
1
2
n
n n
S
=
(2)
1
1
1
n
n
-
-
【分析】（1）由题意可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，结合等差数列的通项公式运
算求解；
（2）根据
n
S 与
na 之间的关系可得
na
n
=
，进而可得
1
1
1
1
n
nb
n
n
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
-
=
，且
1
1
a = ，
可知数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以首项为
1
1
1
S = ，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
2
2
n
S
n
n
n
=
-
=
，所以
1
2
n
n n
S
=
.
（2）由（1）可知：
1
2
n
n n
S
=
，
当
2
n ³
时，则
1
1
1
2
2
n
n
n
n n
n n
a
S
S
n
-
-
=
-
=
-
=
，
且
1
1
a = 符合上式，所以
na
n
=
，
可得
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a a
n n
n
n
æ
ö
= -
= -
= -
ç
÷
è
ø ，
设数列
nb
的前n 项和为
nT ，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
nT
n
n
n
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
-
×××-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以数列
nb
的前n 项和为
1
1
1
n
n
-
-
.
7．（2026·河北邯郸·一模）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知, ,
a b c 成等差数列，且sin
2
sin
3
A
B =
．
(1)求cosB ；
(2)记
ABC
V
外接圆的面积为S ，若
64π
S ³
，求b 的取值范围．
【答案】(1) 11
16
(2)
3 15,
é
¥
ë
【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有2b
a
c
=
、
2
3
a
b =
，再应用余弦定理求cosB ；
（2）由（1）及正弦定理求出
ABC
V
外接圆的半径，结合
64π
S ³
求边长的范围.
【详解】（1）因为, ,
a b c 成等差数列，所以2b
a
c
=
，又sin
2
sin
3
A
B =
，所以
2
3
a
b =
．
设
2
a
x
=
，则
3 ,
4
b
x c
x
=
=
，则
2
2
2
2
2
2
2
4
16
9
11
cos
2
16
16
a
c
b
x
x
x
B
ac
x
-
-
=
=
=
．
（2）由（1）得
2
3 15
sin
1 cos
16
B
B
=
-
=
，
则
ABC
V
外接圆的半径
3
8 15
2sin
15
3 15
8
b
x
R
x
B
=
=
=
，
则
2
2
64
π
π
64π
15
x
S
R
=
=
³
，则
2
15
x ³
，
15
x ³
，
则
3
b
x
=
的取值范围为
3 15,
é
¥
ë
．
8．（2026·重庆·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
1
1
2
n
n
nS
n
S
n
n
-
=
，且
1
2
a =
．
(1)证明：
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
n
S ．
(2)若
1
2
1
n
n
b
S
=
- ，数列
nb
的前n 项和
nT ，求证：
1
2
nT <
．
【答案】(1)证明见解析，
2
2
n
S
n
=
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求
n
S ；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）
2
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
S
S
nS
n
S
n
n
n
n
-
=
Þ
-
=
，
所以数列
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以
1
1
2
1
1
S
a
=
=
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
2
2
2
1
2
2
n
n
S
n
n
S
n
n =
-
=
Þ
=
；
（2）
2
1
1
1
1
1
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
b
S
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø ，
1
2
3
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
5
2 5
7
2 2
1
2
1
n
n
T
b
b
b
b
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
-
=
-
<
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
L
．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
4
9,
30
a
S
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和；
(3)证明：
1
2
4
2
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
<
L
．
【答案】(1)
3
na
n
=
(2)
2
3(
1)
n
n
(3)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式基本量运算计算求解；
（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和；
（3）放缩法解等比数列求和公式证明不等式问题．
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，由题意可知
1
1
2
9,
4
6
30,
a
d
a
d
=
ì
í
=
î
解得
1
3,
3
a
d
=
=
，故
1
(
1)
3
na
a
n
d
n
=
-
=
．
（2）由（1）得
(3
3 )
3 (
1)
2
2
n
n
n
S
n n
=
=
，所以1
2
2 1
1
3 (
1)
3
1
n
S
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
1
3(
1)
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
；
（3）由（2）知
2
1
2
2
3 (
1)
3
iS
i i
i
=
<
，其中
4,8,
,2n
i =
L
，
当
2
n ³
时，
4
6
2
1
2
4
8
2
1
1
1
1
1
2 1
1
1
1
1
3 2
6
2
2
2
n
n
S
S
S
S
S
æ
ö
<
ç
÷
è
ø
L
L
4
1
4
1
1
1
1
2 1
1
2 1
1
1
2
4
2
1
1
3 2
6
3 2
6
2
1
1
4
4
n-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
ç
÷
=
<
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
-
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当
1
n = 时，
1
2
1
1
1
1
4
1
3
9
9
2
S
S
=
=
<
．
综上所述，
1
2
4
8
2
1
1
1
1
1
1
2
n
S
S
S
S
S
<
L
．
10．（2026·广东广州·一模）已知数列
na
的首项
1
2
3
a =
，且满足
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a
=
．
(1)证明：数列
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列；
(2)若数列
1
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
S 小于120，求n 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】（1）令
1
1
n
n
b
a - =
，得
1
1
n
n
a
b
=
，代入已知条件整理即可得证；
（2）根据（1）中结论可得数列
1
ì
ü
í
ý
î
þ
n
n
a
的通项，应用分组求和及等差等比的前n 项和公式求
n
S ，利用单
调性及
120
n
S <
能成立求参数的最大值.
【详解】（1）令
1
1
n
n
b
a - =
，则
1
1
n
n
a
b
=
，于是
1
1
1
1
n
n
a
b
=
，结合已知有
1
2
1
n
n
n
a
a
a
=
，
所以
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
=
=
=
，即
1
2
n
n
b
b
=
．
因为
1
1
1
1
1
0
2
b
a
=
- =
¹
，所以数列
nb
是以
1
2 为首项，
1
2 为公比的等比数列．
即数列
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
为等比数列．
（2）由（1）知，1
1
1
2
n
na
æ
ö
- = ç
÷
è
ø
，则1
1
1
2
n
n
n
n
a
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
则
2
1
1
1
1
1
1
(1
)
2
2
[
]
(1
2
)
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
S
n
n
n
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
L
L
2
2
1
1
2
3
n
n
n
= -
，
令
120
n
S <
，整理得
1
2
3
238
2
n
n
n
-
-
<
，而
2
1
3
2
n
y
n
n
-
-
=
在
*
N
nÎ
上单调递增，
且
1 14
1 15
13
14
2
2
1
1
2
238
23
14
3 14
15
3 15
8
2
270
2
2
-
-
´
-
=
-
<
<
-
´
=
-
，
所以
120
n
S <
，n 的最大值为14．
11．（2026·江西南昌·一模）已知等比数列
na
的公比q 为整数，且
1
4
52
a
a
=
，
2
3
12
a
a
= -
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
1
2
3
n
na
-
= - × -
(2)
2
1 3
1
2
n
n
n
S
-
×
=
.
【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式；
（2）求出数列
nb
的通项，再根据错位相减法即可求得
n
S .
【详解】（1）由题意，
3
1
4
1
2
2
3
1
1
52
12
a
a
a
q
a
a
a q
q
ì
=
=
ïí
=
= -
ïî
，
两式相除可得
3
1
13
1
3
q
q
q
= -
，即
2
1
13
3
q
q
q
-
= -
，解得
3
q = - ，
故
1
3
52
2
1
a
q
=
= -
，所以
1
1
1
2
3
n
n
na
a q
-
-
=
= - × -
；
（2）因
1
1
|
( 2) ( 3)
| 2
3
n
n
n
n
b
na
n
n
-
-
=
=
× -
× -
=
×
，
则
0
1
2
2
1
2 1 3
2 3
3 3
1 3
3
n
n
n
S
n
n
-
-
é
ù
=
´
´
´
×××
-
×
×
ë
û ①
所以
1
2
3
1
3
2 1 3
2 3
3 3
1 3
3
n
n
n
S
n
n
-
é
ù
=
´
´
´
×××
-
×
×
ë
û ②
则②- ①得：
1
2
1
2
2
1 3
3
3
3
n
n
n
S
n
-
=
- -
-
-×××-
×
1 3
2
2
3
2
1 3
1
1 3
n
n
n
n
n
-
= - ´
×
=
-
×
-
所以
2
1 3
1
2
n
n
n
S
-
×
=
.
12．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
na
满足
1
2
3,
8
a
a
=
=
，且对任意的正整数n ，当
2
n ³
时，都有
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
-
=
．
(1)证明：数列
2
na
n
-
是等差数列；
(2)设
1
2
3
n
n
n
n
b
a a
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
4
3
1
3
n
S
n n
n
n
=
【分析】（1）令
2
n
n
c
a
n
=
-
，结合条件化简计算得
1
1
n
n
n
n
c
c
c
c
-
-
=
-
，即可证明；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）根据题意，令
2
n
n
c
a
n
=
-
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
a
n
a
n
a
a
n
a
a
n
-
-
=
-
-
-
=
-
-
- =
-
-
，
2
2
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
c
c
a
n
a
n
a
a
n
-
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
，
所以
1
1
n
n
n
n
c
c
c
c
-
-
=
-
，
且
2
2
1
2
1
1
2,
2
4
c
a
c
a
=
-
=
-
=
=
，则
2
1
2
c
c
-
=
，
所以数列
2
na
n
-
是首项为2 ，公差为2 的等差数列；
（2）根据（1）可得
2
2
2
1
na
n
n
-
=
-
，所以
2
2
na
n
n
=
，
则
2
2
2
2
1
2
3
2
3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
=
-
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
4
4
9
6
9
6
16
8
2
1
2
1
n
S
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
=
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
4
1
1
3
3
1
3
1
2
1
n n
n
n
n
n
=
-
=
.
13．（2026·江苏·一模）已知数列
*
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
n
=
=
ÎN
,
,
,
．
(1)若
na
是等差数列，求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
n
nb
a
=
，证明：数列
nb
是等比数列.
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可；
（2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可.
【详解】（1）由题意
1
2
1
1,
2
1
3
a
a
a
=
=
= .
因为
na
是等差数列，所以公差
2
1
2
a
a
-
=
.
所以
1
1
2
1
na
a
n
d
n
=
-
=
- .
满足
2
4
1
2 2
1
1
2
1
n
n
a
n
n
a
=
- =
-
=
，符合题设条件，
所以
na
的通项公式为
2
1
na
n
=
- .
（2）因为
2
1
n
nb
a
=
，
所以
1
1
2
2 2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
b
´
=
=
=
=
=
，
由
1
2
1,
3
a
a
=
=
及
1
2
2
2
1
n
n
a
a
=
可知
2
0
n
a
>
，则
2
1
0
=
>
n
nb
a
，所以
1
2
n
n
b
b
=
，
所以
nb
是等比数列.
14．（2026·四川内江·二模）已知
n
S 是等比数列
na
的前n 项和．
(1)若
2
7
2,
64
a
a
=
=
，求
7
S ；
(2)若
3
9
6
,
,
S S S 成等差数列，证明：
8
2
5
,
,
a a a 成等差数列．
【答案】(1)
7
127
S =
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列通项公式
1
1
n
na
a q -
=
，建立关于首项
1a 和公比q 的方程组，求出
1a 和q ，再利用
等比数列前n 项和公式计算
7
S ；
（2）根据等差数列性质可得
9
3
6
2S
S
S
=
；再结合等比数列前n 项和公式，分
1
q = 和
1
q ¹ 两种情况讨论，
推导得出
8
2
5
2a
a
a
=
，进而证明
8
2
5
,
,
a a a 成等差数列.
【详解】（1）设等比数列{
}
na
的公比为q ，首项为
1a ，
根据通项公式：
2
1
6
7
1
2
64
a
a q
a
a q
=
=
ì
í
=
=
î
，两式相除得
5
32
q =
，
解得
2
q =
，代入得
1
1
a = ，
由等比数列前n 项和公式：
7
7
1
7
(
1)
2
1
127
1
2 1
a q
S
q
-
-
=
=
=
-
-
；
（2）要证三个数成等差数列，只需证
8
2
5
2a
a
a
=
，
由
3
9
6
,
,
S S S 成等差数列，得
9
3
6
2S
S
S
=
，分情况讨论：
若
1
q = ，则
1
n
S
na
=
，代入得
1
1
18
9
a
a
=
，得
1
0
a =
，与等比数列定义矛盾，故
1
q ¹ ，
当
1
q ¹ 时，
9
3
6
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
2
1
1
1
a
q
a
q
a
q
q
q
q
-
-
-
×
=
-
-
-
，
整理得：
9
3
6
6
3
2
2
1
(
0)
q
q
q
q
q
q
=
Þ
=
¹
，
7
4
6
3
8
2
5
1
1
1
1
1
2
(
)
2
(2
1
)
0
0
a
a
a
a q
a q
a q
a q
q
q
a q
-
=
-
-
=
- -
=
×
=
，
即
8
2
5
2a
a
a
=
，故
8
2
5
,
,
a a a 成等差数列，得证.
15．（2026·广东深圳·一模）已知数列
na
是等比数列，
1
2
a =
，
2
4
a =
，数列
nb
满足：
1 1
2
2
1
n
n
n
a b
a b
a b
n a
=
×
L
.
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
1
1
n
n
b
b
ì
ü
í
ý
×
î
þ
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
2n
na =
，
*
nÎN ，
1
nb
n
=
，
*
nÎN .
(2)
2
4
n
n
S
n
=
.
【分析】（1）根据
1
2
a =
，
2
4
a =
，通过等比数列定义求出公比
2
1
2
a
q
a
=
=
，代入等比数列通项公式求出
2n
na =
，再根据作差法求出在
2
n ³
时，
1
nb
n
=
，验证当
1
n = 时，
1
2
b =
符合该式，即可求出
nb ；
（2）利用裂项相消的方法求出
n
S 即可.
【详解】（1）设等比数列
na
的公比为q ，则
2
1
2
a
q
a
=
=
，所以
2n
na =
，
*
nÎN ，
因为
2
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
b
b
b
n
=
×
L
，
当
2
n ³
时，
2
1
1
2
1
2
2
2
(
1) 2
n
n
n
b
b
b
n
-
-
=
-
×
L
，
两式相减得
1
2
2
1 2
2
1
2
1 2
n
n
n
n
n
nb
n
n
n
n
n
é
ù
×
=
×
-
-
×
=
-
-
×
=
×
ë
û
，
则
2
n ³
时，
1
nb
n
=
；
当
1
n = 时，由
1 1
2
1
a b
a
= ×
得
1
2
4
b =
，解得
1
2
b =
符合该式；
所以
1
nb
n
=
，
*
nÎN .
（2）由于
1
1
1
1
1
(
1) (
2)
1
2
n
n
b
b
n
n
n
n
=
=
-
×
×
，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
1
2
2
2
2
4
n
n
S
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
所以
2
4
n
n
S
n
=
.
16．（2026·江西·一模）已知数列
na
中，
1
1
a = ，满足
*
1
3
1
0
n
n
a
a
n
-
- =
ÎN
．
(1)证明数列
1
2
na
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列，并求数列
na
的通项公式：
(2)设
3
log
2
1
n
n
n
b
a
T
=
，
为数列
1
2
n
n
b b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和，求
2026
T
．
【答案】(1)证明见解析，
3
1
2
n
na
-
=
(2)
2026
4052
2027
=
T
【分析】（1）利用构造法将
1
3
1
n
n
a
a
=
转化为
1
1
1
3
2
2
n
n
a
a
æ
ö
=
ç
÷
è
ø ，利用等比数列的通项公式求解.
（2）求出
nb ，求出
1
2
n
n
b b
，利用裂项相消法求出
2026
T
.
【详解】（1）由题意，
1
3
1
n
n
a
a
=
，
则
1
1
3
1
3
3
2
2
2
n
n
n
a
a
a
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø ，
1
1
1
1
3
2
0
3
1
2
2
2
=
¹
\
=
n
n
a
a
a
Q
，
，
所以
1
2
na
ì
ü
í
ý
î
þ 是以
1
1
3
2
2
a
=
为首项，3 为公比的等比数列.
所以
1
3
2
2
n
na
=
，则
3
1
2
n
na
-
=
.
（2）由
3
3
log
2
1
log 3n
n
n
b
a
n
=
=
=
，
则
1
2
2
1
1
2
1
1
n
n
b b
n n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø，
所以
2026
1
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2
2
3
2026
2027
2027
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
T
L
即
2026
4052
2027
=
T
.
17．（2026·内蒙古包头·模拟预测）已知数列
na
是公差不为零的等差数列，1
1
a = ，且
1
3
9
,
,
a a a 成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
2 n
a
nb =
，求
1
1 2
2 3
1
1
-
-
-
n
n
n
bb
b b
b b
L
．
【答案】(1)
na
n
=
(2)
8
8 ( 4)
5
5
n
=
-
-
【分析】（1）根据等比中项列方程，求出公差，再根据等差数列通项公式求解；
（2）求出
nb 的表达式，证明数列
1
1
1
n
n
n
b b
-
-
为等比数列，再根据等比数列的前n 项和公式求解.
【详解】（1）设公差为
(
)
d d ¹ 0 ，
因为
1
3
9
,
,
a a a 成等比数列，所以
2
3
1
9
a
a a
=
，即
2
1
2
1
1 8
d
d
= ´
，
解得
1
d = （
0
d =
舍去），
所以
1 (
1)
na
n
n
= +
-
=
；
（2）由（1）可知
2
2
n
a
n
nb =
=
，
所以
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
b b
-
-
-
-
= -
×
= -
，
2
3
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
b
b
-
= -
，所以
2
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
4
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b b
-
-
-
-
=
= -
-
-
，
所以数列
1
1
1
n
n
n
b b
-
-
是以
0
3
1 2
1
2
b b
-
=
为首项，4
- 为公比的等比数列，
所以
3
1
1 2
2 3
1
2 [1 ( 4) ]
8
8
1
( 4)
1 ( 4)
5
5
n
n
n
n
n
b b
b b
b b
-
- -
-
-
=
=
-
-
- -
L
.
18．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
1,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
=
=
．
(1)证明：
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，并求
na
的通项公式；
(2)记
1
n
n
n
b
a
= -
，数列
nb
的前n 项和为
n
S ，求
n
S ；
(3)数列
nc
满足：
2
1
1 1
2
2
1
3
3
2
2
n
n
n
n
n
a c
a c
a c
-
=
×
-
L
，求
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项．
【答案】(1)证明见解析，
2
na
n
=
(2)
1
1
1
2
n
n
S
n n
=
-
(3)1
【分析】（1）通过对递推式两边同除以
1
n n
，构造出等差数列
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ
，进而求出数列
na
的通项公式；
（2）根据n 的奇偶性，对
n
S 进行分组求和，得到统一的表达式；
（3）先求出数列
nc
的通项，再构造辅助数列
n
n
n
na
d
c
=
，通过函数单调性分析其最大项.
【详解】（1）等式
1
1
1
n
n
na
n
a
n n
=
两边同除以
1
n n
，得
1
1
1
n
n
a
a
n
n
=
，
所以数列
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是以1 为首项，1 为公差的等差数列．由上知
na
n
n =
，即得
2
na
n
=
．
（2）由（1）知，
2
1
n
nb
n
= -
．
当n 为偶数时，
2
2
2
2
2
2
2
1
4
3
1
n
S
n
n
=
-
-
-
-
L
3
2
1
1
3
7
2
1
1 .
2
2
2
n
n
n
n n
-
=
-
=
×
=
L
当n 为奇数时，
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
S
S
n
n
n
n
n n
-
=
-
=
-
-
= -
．
综上，
1
1
1
2
n
n
S
n n
=
-
．
（3）当
1
n = 时，
1 1
3
a c =
；当
2
n ³
时，
有
2
2
1
2
1
1
1
1 3
3
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a c
n
-
-
-
-
=
×
-
×
=
×
，可得
2
*
3n
n
n
a c
n
n
=
×
ÎN
．
所以，
*
3n
nc
n
=
ÎN
．记
n
n
n
na
d
c
=
，则
3
3
n
n
n
d =
．
令
3
3
,
3
x
f x
x x
=
-
³
，则
3
ln33
1
ln3 1
0
3
x
f
x =
- ³
- >
¢
，
可得
f x 在区间
3,¥ 上单调递增，则
3
0
f x
f
³
=
，即得
3
3
x
x
³
，即
3
3x
x
³
．
所以当
4
x ³
时，
3
3x
x
>
，即
3
1
3x
x < ，可知数列
n
d
从第4 项开始每一项均小于1．
因为
1
2
3
1
8
,
,
1
3
9
d
d
d
=
=
= ，所以数列
n
d
的最大项是第三项，
其值为1，即得数列
n
n
na
c
ì
ü
í
ý
î
þ
的最大项为1．
【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求
和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用.
19．（2026·天津·一模）已知数列
na
满足
2
1
1
2
log
,
1,
2
,
n
n
n
a
a n
a
a
n
ì
=
= í
î
为奇数
为偶数
．
(1)证明：求
2
3
,
a a 的值，并证明数列
2
1
n
a
-
为等比数列；
(2)设
2
1
2
2
n
n
n
a
a
b
×
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ；
(3)设
2
2
4
8
1
n
n
c
a
=
，求证：
1
2
3
1
1
1
n
c
c
c
c
n
n
<
-
L
．
【答案】(1)
2
0
a =
，
3
4
a =
，证明见解析
(2)
1
3
4
16
4
9
9
n
n
n
T
-
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
(3)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出
2
1
n
a
- ，即可求出
2n
a ，从而得到
1 4n
nb
n
=
-
，利用错位相减法计算可得；
（3）由数列的通项公式可得
2
2
1
1
nc
n
=
，利用放缩法即可得到
1
1
1
nc
n n
<
，再利用裂项相消法即
可证明.
【详解】（1）当
1
n = 时，可得
1
2
2
21
0
log
log
a
a =
=
=
，
当
2
n =
时，可得
2
3
2
2
2
4
2a
a
=
=
=
，
因为
2
2 2
1
2
log
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
,
1
n
n
a
a
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
=
=
=
=
³
，
1
1
a = ，
所以
2
1
2
1
4,
1
n
n
a
n
a
-
=
³
，
所以数列
2
1
n
a
-
为首项为1，公比为4 的等比数列.
（2）由（1）得
1
2
1
4
,
1
n
n
a
n
-
- =
³
，
则
1
2
2
2
1
2
log
log 4
2
2,
1
n
n
n
a
a
n
n
-
-
=
=
=
-
³
，
所以
2
1
2
4
2
2
1 4
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
b
n
-
×
=
=
=
-
，
所以
1
2
0 4
1 4
1
4n
nT
n
=
´
´
-
´
LL
，
则
2
3
1
4
0 4
1 4
1
4n
nT
n
=
´
´
-
´
LL
，
所以
2
3
1
3
4
4
4
1 4
n
n
nT
n
-
=
-
-
LL
2
1
1
1
1
4
1
4
4
16
1 4
1 4
1
4
3
3
n
n
n
n
n
n
-
-
=
-
-
=
-
-
-
-
1
4
3
16
4
3
3
n
n
-
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
即
1
3
4
16
4
9
9
n
n
n
T
-
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
；
（3）因为
2
2
2
2
4
8
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
c
n n
n n
n n
a
n
é
ù
=
=
<
<
ê
ú
ê
ú
ë
û
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n n
n n
n
n
é
ù
=
=
=
-
ê
ú
ê
ú
ë
û
，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
n
c
c
c
c
n
n
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
<
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
L
L
1
1
1
n
n
=
-
，即命题得证.
20．（2026·山东聊城·一模）已知数列
na
满足
3 ,
1
4
2
1,
2
n
n
a
n
n
ì
=
ï
= í
ï
-
³
î
.
(1)求
na
的前n 项和
n
S ；
(2)记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
2
2
2
6
n
n
n
T
b
=
-
．
（i）证明数列2
n
n
b
ì
ü
í
ý
î
þ为等差数列，并求出
nb
的通项公式；
（ii）求数列
n
n
T
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和
n
M ．
【答案】(1)
2
1
4
n
S
n
=
-
(2)（i）证明见解析，
2
1 2n
nb
n
=
-
×
；（ii）
4
2
8
16
2
1
n
n
n
M
n
=
-
-
【分析】（1）分
1
n = 、
2
n ³
两种情况结合等差数列的求和公式求解即可；
（2）（i）结合题设及
nT 与
nb 的关系可得
1
1
2
2
2
n
n
n
n
b
b -
-
-
=
，即可求证，再求解通项公式即可；
（ii）先得到
1
3
1
1
2
2
8
2 2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
T
S
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
= ×
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
ë
û
，再结合分组求和、裂项相消法求解即可.
【详解】（1）当
1
n = 时，
1
1
3
4
S
a
=
=
；
当
2
n ³
时，
2
1
2
3
4
1 3
2
1
3
3
1
3
5
7
2
1
4
4
2
4
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
n
n
-
-
=
=
- =
=
-
L
L
，
显然
1
3
4
S =
满足上式，则
2
1
4
n
S
n
=
-
.
（2）（i）由
2
2
2
6
n
n
n
T
b
=
-
，
当
1
n = 时，
3
1
1
1
2
2
6
b
T
b
=
=
-
，即
1
2
b =
；
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
2
6
n
n
n
T
b
-
-
=
-
，则
1
1
1
2
2
2n
n
n
n
n
n
b
T
T
b
b
-
-
=
-
-
-
=
，
即
1
1
2
2
n
n
n
b
b
-
=
，则
1
1
2
2
2
n
n
n
n
b
b -
-
=
，即
1
1
2
2
2
n
n
n
n
b
b -
-
-
=
，
所以数列2
n
n
b
ì
ü
í
ý
î
þ是以
1
1
2
b = 为首项，以2 为公差的等差数列，
则
1
1
2
2
1
2
n
n
b
n
n
=
-
´
=
- ，即
2
1 2n
nb
n
=
-
×
.
由（1）知，
2
2
1
2
1
1
4
4
n
n
n
S
n
-
=
-
=
，
由（i）知，
2
1
2
1
2
2
6
2
1 2
2
6
2
3
2
6
n
n
n
n
n
n
T
b
n
n
=
-
=
-
×
-
=
-
×
，
则
1
2
3
2
6
2
3
2
3
3
2
2
3
8
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
n
n
n
n
n
n
n
n
T
n
n
S
n
n
n
n
n
n
é
ù
-
×
-
×
-
×
=
= ×
= ×
-
ê
ú
-
-
-
-
ê
ú
ë
û
1
3
1
1
2
2
8
2 2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
= ×
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以
2
2
3
1
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
8
1
2
2
3
3
5
2
1
2
1
3
3
5
2
1
2
1
n
n
n
M
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
= ×
-
-
-
-
-
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
ë
û
L
L
1
4
3
1
2
2
8
16
8
1
2
2
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
-
-
æ
ö
= ×
-
-
-
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
.
21．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）数列
na
的前n 项和
1
n
S
n n
=
，数列
nb
满足
1
2
1 2
2
n n
n
b b
b
=
L
，
n
ÎN ．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)将数列
na
和数列
1
n
nb
-
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
n
d
，其中重复的数只取一次，
求数列
n
d
的前100 项和．
【答案】(1)
2
na
n
=
；
2n
nb =
(2)
50
2
2550
1
4
3
-
【分析】（1）利用
na 与
n
S 的关系可求数列
na
的通项公式，当
2
n ³
时，由已知可得
1
2
1 2
1
2
n
n
n
b b
b
-
- =
L
，两
式相除可求数列
nb
的通项公式；
（2）结合（1），利用分组求和法可求数列
n
d
的前100 项和．
【详解】（1）令
1
n = ，则
1
1
2
a
S
=
=
，
1
2
b =
，
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
n
n
n
a
S
S
n n
n
n
n
-
=
-
=
-
-
=
，
1
2
a =
也符合上式，∴
2
na
n
=
；
当
2
n ³
时，由
1
2
1 2
2
n n
n
b b
b
=
L
，可得
1
2
1 2
1
2
n
n
n
b b
b
-
- =
L
，
两式相除可得
1
2
1
2
2
2
2
n n
n
n
n
nb
-
=
=
，
1
2
b =
也符合上式，∴
2n
nb =
．
（2）
1
2
a =
，
2
4
a =
，
3
6
a =
，…，
100
200
a
=
，
1
1
1
2
b
-
= - ，
2
2
2
1
2
b
-
=
，
3
3
3
1
2
b
-
= -
，…，
100
100
100
1
2
b
-
=
，
将数列
na
和数列
1
n
nb
-
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
n
d
，其中重复的数只取一次，
则
99
99
1
99
1
2
d
b
= -
= -
，
97
97
2
97
1
2
d
b
= -
= -
，…，
1
50
1
1
2
d
b
= -
= - ，
51
1
2
d
a
=
=
，
52
2
4
d
a
=
=
，…，
100
50
100
d
a
=
=
，
∴
1
3
99
100
2
2
2
2
4
100
T
= -
L
L
50
50
2
1 4
2 100
50
2
2550
1 4
1 4
2
3
´
-
´
= -
=
-
-
．
22．（25-26 高三上·青海西宁·期中）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
5
4
3
4
42
a
a
S
=
=
，
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
2
2
1
1
log
log
n
n
n
b
a
a
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
1
2 n
na
-
=
(2) 2
1
n
n
【分析】（1）设
na
的公比为q ，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可；
（2）利用裂项相消即可求解.
【详解】（1）设
na
的公比为q ，由
5
4
4
a
a
=
，得
4
q =
，
由
3
42
S =
，得
3
1 1 4
42
1 4
a
-
=
-
，解得
1
2
a =
所以
1
1
2
1
1
2 4
2
n
n
n
na
a q -
-
-
=
=
×
=
．
（2）由
2
1
2 n
na
-
=
，得
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
log
log
log 2
log 2
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
n
n
b
a
a
n
n
n
n
-
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
×
×
-
-
è
ø
，
所以
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
5
2 2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
T
n
n
n
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
．
23．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
=
.
(1)证明：数列
1
n
n
a
a
-
为等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)记
2
1
n
n
b
a
=
，数列
1
n
n
n
a
b b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，证明：1
1
16
8
n
S
£
<
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
3
2
n
na
-
=
(3)证明见解析
【分析】（1）利用
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
=
结合等比数列的定义即可得证；
（2）利用累加法即可求得
na
的通项公式.
（3）利用裂项相消法即可求解
1 1
1
4 2
3
1
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
n
n
S
，根据其单调性即可证明.
【详解】（1）由
2
1
3
4
n
n
n
a
a
a
=
，得
2
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
=
-
=
-
，
又
1
1
2
a =
，
2
3
2
a =
，所以
2
1
3
1
1
0
2
2
a
a
-
=
-
= ¹
，
所以
1
0
n
n
a
a
-
¹
，
2
1
1
3
n
n
n
n
a
a
a
a
-
=
-
，
即
1
n
n
a
a
-
是以1 为首项，3 为公比的等比数列；
（2）由（1）知
1
1
1
1 3
3
n
n
n
n
a
a
-
-
-
= ´
=
，
当
2
n ³
时，
1
1
2
2
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
-
-
-
×××
-
1
1
2
3
4
0
1
1 3
1
3
3
3
3
3
2
1 3
2
2
n
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
=
×××
=
=
-
.
当
1
n = 时，
1
3
2
n
na
-
=
也成立，所以
na
的通项公式为
1
3
2
n
na
-
=
；
（3）由（2）得
1
2
1
3
1
n
n
n
b
a
-
=
=
，
所以
1
1
1
1
3
1
1
1
4 3
1
3
1
2 3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b b
-
-
-
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
所以
0
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
4 3
1
3
1
n
n
n
S
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
-
-
×××
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
1 1
1
4 2
3
1
n
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
显然
n
S
是递增数列，所以
1
1
16
n
S
S
³
=
.
因为
1
0
3
1
n
>
，所以
1
1
1
4
2
8
n
S <
´
=
，所以1
1
16
8
n
S
£
<
.
24．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列
na
的前n 项和为
n
S ．
(1)若
2
na
n
=
，求
1
2
3
1
1
1
1
n
S
S
S
S
L
；
(2)若
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
³
-
，且
1
n
S £ ，证明：
1
n
n
a
a
£
(3)若
1
1
1
1, 1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
=
-
=
，证明：
2026
58
8
39
3
S
<
<
．
【答案】(1)
1
2
3
1
1
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
=
L
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由
2
na
n
=
，求得
1
1
1
1
(
1)
1
n
S
n n
n
n
=
=
-
，结合裂项法求和，即可求解；
（2）假设存在
*
nÎN ，使得
1
n
n
a
a
<
，取满足该式的n 的最小值，设为k，即
1
k
k
a
a
<
，根据题意，求得当
1
k
n
a
>
，且n
k
>
时，必有
1
n
k
S
na
>
> ，结合反证法，即可得证；
（3）根据题意，求得
1
2
1
3
2
4
n
n
n
a
a
a
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
，得到
0
na >
，结合
2026
1
2
3
S
a
a
a
>
，证得
2026
58
39
S
>
；再由
1
1
1
1
2
n
n
a
a
>
，利用累加法求得
4
1
1
4
(
1)
1
na
n n
n
n
æ
ö
<
=
-
ç
÷
è
ø，结合裂项法求和，证得
2026
8
3
S
<
，即可得
证.
【详解】（1）解：因为
2
na
n
=
，所以
(
1)
2
(
1)
2
n
n n
S
n n
=
´
=
，则
1
1
1
1
(
1)
1
n
S
n n
n
n
=
=
-
，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1
1
n
n
S
S
S
S
n
n
n
n
= -
-
-
-
= -
=
L
L
．
（2）证明：假设存在
*
nÎN ，使得
1
n
n
a
a
<
，取满足该式的n 的最小值，
设为k，即
1
k
k
a
a
<
，①
由已知得
1
2
1
k
k
k
k
a
a
a
a
-
£
-
，②
又由①+②得
1
2
k
k
a
a
<
，所以
1
2
k
k
k
a
a
a
<
<
<L
因为k 是满足
1
n
n
a
a
<
的n 的最小值，若
1
k = ，则
1
2
3
a
a
a
<
<
<L，
若
1
k > ，则
1
2
1
k
k
a
a
a
a
³
³
³
<
<
L
L，即
ka 是
na
中最小的项．
当n
k
>
时，有
n
k
S
na
>
，取整数n 使得n
k
>
且
1
k
n
a
>
，此时必有
1
n
k
S
na
>
> ，
这与
1
n
S £ 相矛盾，假设不成立，故
1
n
n
a
a
£
．
（3）证明：先证
2026
58
39
S
>
：
由
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
=
，可得
1
2
1
1
3
2
4
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
=
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
由
1
1
a = ，可得
2
3
1
4
3
2
,
,
0
3
13
13
n
a
a
a
-
=
=
>
>
，
所以
2026
1
2
3
1
2
58
1
3
13
39
S
a
a
a
>
>
=
；
再证
2026
8
3
S
<
：
由
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
=
，
可得
2
2
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
2
4
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
=
=
>
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
1
1
1
1
2
n
n
a
a
>
．
当
2
n ³
时，
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
>
-
>
-
>
L
，
累加得
1
1
1
1
2
2
n
n
n
a
-
>
=
，即
2
1
na
n
<
．
所以
2
4
4
1
1
4
(
1)
(
1)
1
na
n
n n
n
n
æ
ö
<
<
=
-
ç
÷
è
ø ，
2026
1
2
3
4
2026
S
a
a
a
a
a
=
L
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
3
3
4
4
5
2026
2027
æ
ö
æ
ö
æ
ö
<
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
4
8
1
3
3
3
<
=
．
25．（25-26 高三上·天津南开·月考）已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，对任意
*
N
nÎ
，2
3
1
n
n
S
a
=
- ，
(1)证明：{
}
na
为等比数列，并求出数列{
}
na
的通项公式.
(2)设数列
1
1
2 ,
4 ,
k
n
n
k
k
k n
a
b
b
k a
n
a
-
=
ì
= í
<
<
î
，其中
*
k ÎN ，设
2
1
n
S
n
i
i
T
b
=
=å
.
（ⅰ）求
nT 的值；
（ⅱ）设
2
8
1
1
1
8
1
n
n
n
n
c
n
T
æ
ö
-
=
ç
÷
-
è
ø
，求使得
1
[ ]
2026
n
i
i
c
=
£
å
成立的最大正整数n 的值.（其中符号[ ]
x 表示不超过x
的最大整数）
【答案】(1)证明见详解，
1
3n
na
-
=
.
(2)（ⅰ）
1
8
1 9
8
n
n
n
T
-
×
=
；（ⅱ）64
【分析】（1）根据题设定义分析求解即可；
（2）（ⅰ）先求得
3
1
2
n
n
S
-
=
，结合题设分析可得数列
ib
是以2k 为首项，以4k 为公差，项数为
1
2 3k-
×
的等
差数列，可得
1
3
1
1
1
3
1
8
9
8
1 9
8
9 9
8
k
k
k
k
k
i
i
b
k
k
k
-
-
-
-
=
é
ù
=
×
-
-
-
ë
û
=
å
，结合裂项相消法求解即可；
（ⅱ）先由题设可得
2
3
1
1 3
n
n
n
n
c
n
n
=
-
，利用作差法及二项式定理可证得当
1
n ³ 时，
2
3
0
1
1 3
n
n
n
n
<
<
，进
而得到
1
nc
n
=
- ，进而求得
1
1
[ ]
1
2
n
i
i
c
n n
=
=
-
å
，再解不等式即可.
【详解】（1）任意
*
N
nÎ
，2
3
1
n
n
S
a
=
- ①，
当
1
n = 时，
1
1
2
3
1
S
a
=
- ，解得
1
1
a = ；
当
2
n ³
时，
1
1
2
3
1
n
n
S
a
-
-
=
- ②，
由①-②得
1
1
2
2
3
1
3
1
n
n
n
n
S
S
a
a
-
-
-
=
-
-
-
，即
1
1
3
3
-
-
=
Þ
=
n
n
n
n
a
a
a
a
，
故数列{
}
na
是首项为1，公比为3的等比数列，
则
1
1
1 3
3
n
n
na
-
-
= ´
=
.
（2）（ⅰ）由（1）可得
1
1 3
3
1
1 3
2
n
n
n
S
´
-
-
=
=
-
，则
3
1
1
n
n
i
i
T
b
-
=
= å
，
当
1
3
3
1
k
k
i
k
-
*
£ £
-
ÎN
时，
1
1
3
4 ,
2
k
i
i
b
b
k b
k
-
-
-
=
=
，
可知数列
ib
的对应项构成以2k 为首项，以4k 为公差的等差数列，
1
1
1
3
1
1
3
2 3
2
2
4
2 3
1
8
9
2
k
k
k
k
k
i
i
k
k
k
b
k
-
-
-
-
-
=
é
ù
×
×
-
ë
û
\
=
=
×
å
，
1
1
1
8
9
8
1 9
8
9 9
8
k
k
k
k
k
k
-
-
é
ù
×
=
-
-
-
ë
û
Q
，
1
1
8
1 9
9
1
8
8
9
n
k
k
n
k
T
k
k
-
=
é
ù
\
=
-
-
-
ë
û
å
1
0
2
1
3
2
1
1 7 9
1 9
15 9
7 9
23 9
15 9
8
1 9
8
9
9
8
n
n
n
n
-
é
ù
=
×
×
×
- ×
×
-
×
-
×
-
-
×
ë
û
L
1
8
1 9
8
n
n
-
×
=
.
（ⅱ）
2
2
2
2
8
1
1
1
1
1
8
1
1 3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
n
T
n
n
n
æ
ö
-
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
2
2
1
1
1
3
3
1 3
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
- =
-
，
下证当
1
n ³ 时，
2
3
0
1
1 3
n
n
n
n
<
<
:
①显然
2
3
0
1 3
n
n
n
n
>
恒成立，
②
2
3
1 3
3
n
n
n
n
n
n n
-
=
-
，
0
0
1
1
1
2
2
2
n
0
n
n
n
n
3
2 1
C
1
2
C
1
2
C
1
2
C
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
=
=
×
×
×
×
×
×
×
×
³
>
Q
L
，
2
3
1 3
3
0
n
n
n
n
n
n n
\
-
=
-
<
，
2
3
0
1
1 3
n
n
n
n
\ <
<
，故
1
nc
n
=
- ，
1
1
1
[ ]
0 1
2
3
1
1
2
1
n
n
i
i
i
i
c
n
n n
=
=
\
=
=
-
=
-
-
å
å
L
，
1
1
2026
2 n n -
£
，即
1
4052
n n -
£
，
又64 63
4032,65 64
4160
´
=
´
=
，
因此满足不等式的最大正整数
64
n =
.
题型20 立体几何小题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
空间线面位置关系判断
利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理，结合空间想象或反例
排除，逐项判断。
2
线面平行的判定
通过建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量是
否垂直；或利用面面平行的性质证明。
3
圆锥的侧面积计算
由轴截面为等腰直角三角形求出底面半径和母线长，代入圆锥侧面
积公式求解。
4
球体与圆锥的表面积、体积
之比
分别写出球体和圆锥的表面积、体积公式，代入已知比例关系，化
简求比值。
5
正三棱柱中的线面垂直与
线段长度
取棱中点构造线面垂直，利用勾股定理和相似三角形求线段长度。
6
正四棱台的体积与二面角
作出侧面与底面所成二面角的平面角，利用正四棱台的性质求高，
再代入棱台体积公式。
7
正四棱台的侧面积计算
利用棱台体积公式求高，再求斜高，最后代入侧面积公式。
8
三棱锥的外接球表面积
利用侧棱相等确定顶点在底面的射影为外心，求出底面外接圆半径
和高，再求外接球半径。
9
圆锥外接球体积的最值
由外接球半径和圆锥底面半径、高的几何关系建立函数，利用导数
求体积最大值。
10
正三棱柱外接球球心到平
面的距离
建立空间直角坐标系，求出球心坐标和平面的法向量，利用点到平
面距离公式求解。
11
圆台内切球与体积比
由圆台内切球性质得母线长与上下底面半径的关系，利用勾股定理
求半径，再求体积比。
12
组合体（棱柱+棱锥）的外
接球半径
由体积比求出棱锥与棱柱的高相等，利用对称性确定球心位置，列
方程求半径。
13
直三棱柱体积的取值范围
利用面面垂直得线面垂直，设未知量表示体积，转化为三角函数或
二次函数求值域。
14
几何体的外接球表面积
建立空间直角坐标系，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列
方程求解。
15
三棱锥体积最大时的高
底面三角形面积最大时为等边三角形，利用基本不等式求体积最大
值，再求球心到截面距离。
16
空间距离和的最小值（胡不
归模型）
将目标式转化为点到平面的距离，通过旋转平面构造折线段，利用
垂线段最短求最小值。
17
正三棱柱中的线面位置关
系（多选题）
建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面平行、垂直及面面垂直。
18
平行六面体中的线面位置
与距离（多选题）
利用向量数量积求夹角，通过线面垂直判定定理证线面平行，利用
等体积法求点到平面距离。
19
正方形垂直平面中的动态
问题（多选题）
建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角、线面平行及距
离最值。
20
四棱锥中的动点问题（多选
题）
建立空间直角坐标系，利用向量法求线面平行、线线垂直及截面问
题。
21
正三棱锥中的向量运算与
三点共线（多选题）
利用空间向量基底表示，通过向量运算判断垂直、共线及数量积。
22
正方体中的轨迹与最值问
题（多选题）
通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。
23
正四面体中的线面位置与
异面直线角（多选题）
利用线面垂直判定定理证线线垂直，利用等体积法求体积比，利用
余弦定理求异面直线所成角。
24
正方体中的动点问题（多选
题）
利用线面平行得体积定值，利用坐标法求线线垂直及点到直线距离
的最小值。
25
翻折问题中的最值与位置
关系（多选题）
利用几何法分析体积最值，利用勾股定理和余弦定理求外接球半
径，利用线面垂直证线线垂直。
26
正方体中的面面平行与轨
迹问题（多选题）
通过构造面面平行确定动点轨迹，利用等体积法和坐标法求最值。
27
四面体的外接球与内切球
及截面面积（多选题）
由垂直关系确定外接球球心，利用等体积法求内切球半径，利用异
面直线距离求截面面积最值。
28
圆锥内小球运动问题（多选
题）
利用圆锥轴截面几何关系，结合圆台侧面积公式和球的切线性质求
解。
29
正三棱柱内切球与外接球
体积比
利用正三角形内切圆半径求内切球半径，利用正三角形外接圆半径
和高求外接球半径。
30
直三棱柱中两平面交线距
离
将三棱柱补成四棱柱，确定两平面的交线，利用等面积法求点到直
线的距离。
31
长方体各面中心构成的八
面体
利用对称性确定八面体由两个全等的四棱锥组成，分别求侧面积和
体积。
32
三棱锥的外接球表面积
由线线垂直关系将三棱锥补形为长方体，长方体外接球直径等于体
对角线长。
33
翻折问题中体积最大时的
外接球表面积
体积最大时平面垂直，取棱中点确定外接球球心，利用直角三角形
斜边中线性质求半径。
34
圆台体积最大时的外接球
表面积
利用圆台体积公式建立函数，求导得体积最大时的尺寸，再分类讨
论外接球球心位置求半径。
35
正三棱柱外接球上动点的
轨迹长度
建立空间直角坐标系，将向量数量积条件转化为球面方程，求两球
面交线圆的周长。
一、单选题
1．（2026·黑龙江吉林·一模）设l ，m 是两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面，以下说法正确的是
（ ）
A．若l
m
^
，
/ /
m
a ，则l
a
^
B．若/ /
l
b ，a
b
^
，则l
a
^
C．若l
m
^
，m
b
^
，a
b
^
，则l
a
^
D．若l
b
^
，m
b
^
，m
a
^
，则l
a
^
【答案】D
【详解】对于A，若l
m
^
，
/ /
m
a ，则l
a
Ì
或/ /
l
a 或l 与a 相交，故A 错误；
对于B，若/ /
l
b ，a
b
^
，则l
a
Ì
或/ /
l
a 或l 与a 相交，故B 错误；
对于C，若l
m
^
，m
b
^
，a
b
^
，则l
a
Ì
或/ /
l
a 或l 与a 相交不垂直或l 与a 垂直，故C 错误；
对于D，若l
b
^
，m
b
^
，则/ /
l
m，又因为m
a
^
，则l
a
^
，故D 正确.
2．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，, ,
A B C 为正方体的顶点，
,
M N 为所在棱的中点，则满足
直线
/ /
MN
平面ABC 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于A、B 和C，建立空间直角坐标系，求出平面ABC 的一个法向量和MN
uuuur
，利用直线与平面位
置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解.
【详解】如图1 所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
则
1,0,1 ,
0,1,1 ,
1,1,0
A
B
C
，所以
1,1,0 ,
0,1, 1
AB
AC
= -
=
-
uuur
uuur
设平面ABC 的一个法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
0
0
AB n
x
y
AC n
y
z
ì
×
= -
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur r
uuur r
，取
1
x = ，则
1,
1
y
z
=
= ，所以
1,1,1
n =
r
，
又易知
1
1
,0,0 ,
0,1,
2
2
N
M
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
1
1
, 1,
2
2
MN
æ
ö
=
- -
ç
÷
è
ø
uuuur
，
又
1
1
1
1
0
2
2
MN n
×
=
- -
= - ¹
uuuur r
，即MN
uuuur
与nr 不垂直，所以MN 与平面ABC 不平行，故A 错误，
对于B，如图2，由选项A 知平面ABC 的一个法向量为
1,1,1
n =
r
，
1
1
,1,0 ,
1,
,1
2
2
N
M
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
1 1
,
, 1
2 2
MN
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
uuuur
，
又
1
1
1
1
0
2
2
MN n
×
= -
- = - ¹
uuuur r
，即MN
uuuur
与nr 不垂直，所以MN 与平面ABC 不平行，故B 错误，
对于C，如图3，由选项A 知平面ABC 的一个法向量为
1,1,1
n =
r
，
1
1
,0,0 ,
0,
,1
2
2
N
M
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
1
1
,
, 1
2
2
MN
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
uuuur
，
又
1
1
1
1
0
2
2
MN n
×
=
-
- = - ¹
uuuur r
，即MN
uuuur
与nr 不垂直，所以MN 与平面ABC 不平行，故C 错误，
对于D，如图4，记O 为正方体所在棱的中点，连接
,
OM ON ，易得
/ /
OM
AB ，
又OM Ë 平面ABC ，AB Ì 平面ABC ，所以
/ /
OM
平面ABC ，
又
/ /
ON
BC ，ON Ë 平面ABC ，
Ì
BC
平面ABC ，所以
/ /
ON
平面ABC ，
又
,
,
OM
ON
O OM ON
Ç
=
Ì 平面OMN ，所以平面
//
OMN
平面ABC ，
又MN Ì平面OMN ，则直线
/ /
MN
平面ABC ，所以D 正确，
3．（2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4 的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为
（ ）
A．4 2π
B．8 2π
C．16 2π
D．
4 2
4 π
【答案】A
【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解.
【详解】圆锥的轴截面为
SAB
△
，
4
AB =
，
90
ASB
Ð
=
°，
则
2 2
SA
SB
=
=
，
2
OB =
，
圆锥的侧面积为π
π 2 2 2
4 2π
OB SA
×
×
=
× ´
=
.
故选：A.
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记半径为R 的球体的表面积和体积分别为
1S 和
1V ，记某底面半径为R 的圆
锥的表面积和体积分别为
2
S 和
2
V ，若
1
2
S
S
=
，则
1
2
V
V = （ ）
A．4
9
B．4
3
C．
2
3
D．2
【答案】D
【分析】先设该圆锥的高为h ，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合
1
2
S
S
=
推得
2 2
h
R
=
，
代入所求式化简计算即得.
【详解】依题意，
2
3
1
1
4
4π
,
π
3
S
R V
R
=
=
，设该圆锥的高为h ，则
2
2
2
2
π
π
S
R
R
R
h
=
×
，
2
2
1 π
3
V
R h
=
.
由
1
2
S
S
=
可得
2
2
2
2
4π
π
π
R
R
R
R
h
=
×
，化简得
2 2
h
R
=
，
故
2
1
3
2
4
4
2
4 π
3
1
2 2
π
3
V
R
R
R
h
h
R
V
R
=
=
=
=
.
5．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
BC
CC
=
=
，D，E 分别为线段
1
BB ，
1
1
AC 的中点，点F 在
1
B E 上，若BF
AD
^
，则
1
sin
B BF
Ð
= （ ）
A．
2
4
B．1
3
C．
1
2
D．
2
2
【答案】C
【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明AC ^平面
1
B BGE ，即可得AC
BF
^
，再由线面
垂直性质可知BF
DG
^
，根据棱长计算求得
1
π
6
B BF
Ð
=
，可得结果.
【详解】如图所示，取AC 的中点G，连接BG，EG，DG．
E
Q
为线段
1
1
AC 的中点，
1
,
BG
AC EG
A A
\
^
∥
，
EG
\
^ 平面ABC ，
AC Ì
Q
平面ABC ，
EG
AC
\
^
．
BG
EG
G
=
Q
I
，BG，EG Ì 平面
1
B BGE ，
AC
\
^ 平面
1
,
B BGE
BF Ì
Q
平面
1
,
B BGE
AC
BF
\
^
．
,
,
,
BF
AD AD
AC
A AD AC
^
Ç
=
Ì
Q
平面ACD ，
BF
\
^ 平面ACD ，DG Ì 平面ACD ，
BF
DG
\
^
．
Q三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长为2，
1
3,
1
B E
BG
BD
\
=
=
= ，
1
1
π
π
1
,
,
sin
3
6
2
BDG
B BF
B BF
\Ð
=
Ð
=
\
Ð
=
．
6．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
2
4
AB
A B
=
=
，若侧面与底面的夹角为
60°，则该四棱台的体积为（ ）
A．56
3
B．20 3
3
C．28
3
D．28 3
3
【答案】D
【分析】通过作图，利用正四棱台的性质可得
1
E EH
Ð
为侧面与底面所成的二面角的平面角，结合条件，求
出正四棱台的高，再由棱台的体积公式求解.
【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为
1,
O O ，连接
1
O O ，则
1
O O ^ 平面ABCD ，
取
1
1
,
AB A B 的中点
1
,
E E ，连接
1
1
1
,
,
EE OE O E ，易知
1
1
1
1
,
OE
AB O E
A B
^
^
，且
1
1 / /
O E
OE ，
过
1
E 作
1
1
/ /
E H
O O 交OE 于H ，则
1
E H ^ 平面ABCD ，又
,
OE AB Ì 平面ABCD ，则
1
1
,
E H
OE E H
AB
^
^
，
故可得AB ^平面
1
1
OEE O ，则
1
AB
E E
^
，则
1
E EH
Ð
为侧面与底面所成的二面角的平面角，则
1
60
E EH
Ð
=
°，
又
1
1
2
4
AB
A B
=
=
，则
1
1
2
2
OE
O E
=
=
，
1
EH = ，
由
1
tan60
E H
EH
° =
，得到
1
3
E H =
，即
1
3
O O =
，
又
1 1 1
1
16,
4
ABCD
A B C D
S
S
=
=
，
所以四棱台的体积为
1
28 3
4 16
4 16
3
3
3
V =
´
´
=
.
7．（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，
上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积
3
3500 7 cm
3
，上､下底面棱长分别为20cm,10cm，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．
2
75 7cm
B．
2
225cm
C．
2
300 2cm
D．
2
600 2cm
【答案】D
【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积.
【详解】如图,点
1
,
O O 分别是棱台上下底面的中心，分别取边
1
1
,
CD C D 的中点
,
F E ,连接
1
,
,
OF EF O E .
设四棱台的高为
1
OO
h
=
，
则
2
2
3500 7
20
10
20 10
3
3
h
´
=
Þ
5 7
h =
cm .
由图知，
1
1
1
1
1
10,
5
2
2
O E
B C
OF
BC
=
=
=
=
,
设正四棱台的斜高
2
2
2
2
1
(5 7)
5
10 2
EF
h
OF
O E
=
-
=
=
cm .
所以正四棱台的侧面积为：
1
4
20 10
10 2
600 2
2
´
´
=
2
cm .
故选：D
8．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥P
ABC
-
满足
2
PA
PB
PC
=
=
=
，且
π
3
3
BAC
BC
Ð
=
=
，
，则三棱锥
P
ABC
-
外接球的表面积为（ ）
A．32 3π
27
B．32 3π
9
C．16π
9
D．16π
3
【答案】D
【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且
到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积.
【详解】设点P 在底面ABC 的投影为O¢，因为PA
PB
PC
=
=
，
所以点O¢是
ABC
V
的外心，则O A
O B
O C
¢
¢
¢
=
=
，且PO¢ ^ 底面ABC ，球心O 在PO¢上，
由正弦定理得
ABC
V
外接圆的直径径
3
2
sin
3
2
BC
r
BAC
=
=
Ð
，解得半径
1
r = ，
即
1
O A
O B
O C
¢
=
=
¢
=
¢
，则
2
2
2
1
3
PO¢ =
-
=
，
设OO
d
¢ =
，外接圆半径为R ，则
3
R
PO
d
=
=
-
，
则
2
2
OA
d
O A
¢
=
，且OA
PO
R
=
=
，
则
2
3
1
d
d
-
=
，解得
3
3
d =
，则外接球半径
3
2 3
3
3
3
R =
-
=
，
则三棱锥P
ABC
-
外接球的表面积为
2
2 3
16π
4π
3
3
æ
ö =
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
9．（2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36 π ，则该圆锥的体积的最大值是（ ）
A．32 π
B．32π
3
C．64 π
D．64π
3
【答案】B
【分析】根据外接球的表面积，求出外接球的半径，建立圆锥的基本量和外接球半径的几何关系，结合导
数求出圆锥体积的最大值.
【详解】由题意可得：外接球的表面积
36
S
p
=
，根据球的表面积公式
2
4
S
R
p
=
，可得
3
R =
.
设圆锥底面半径为r ，高为h ，由球的截面性质可知，
2
2
2
2
2
6
h
R
r
R
r
h
h
-
=
Þ
=
-
，且0
6
h
<
<
.
故圆锥的体积为
2
2
2
3
1
1
1
6
6
3
3
3
r h
h
h
h
h
h
p
p
p
=
-
=
-
.
令
2
3
1
6
,(0
6)
3
V h
h
h
h
p
=
-
<
<
，则
2
1
12
3
4
3
V
h
h
h
h
h
p
p
¢
=
-
=
-
.
当0
4
h
<
<
，
0
V
h
¢
>
，
V h 单调递增.
当4
6
h
<
<
，
0
V
h
¢
<
，
V h 单调递减.
即当
4
h =
时，取得体积最大值，
所以
2
3
max
1
32
6 4
4
3
3
V h
p
p
=
´
-
=
.
10．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为6，高为3 6 ，其顶点都在球O 的球
面上，则球心O 到平面
1A BC 的距离为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．2
D．
3
【答案】A
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面
1A BC 的法向量，利用向量法计算球心O 到该平面的距离.
【详解】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点O ，
以点O 为原点，CB
uuur
，
1
BB
uuur
为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则球心O 的坐标为(0,0,0) ：
因为底面边长为6 ，所以底面正三角形外接圆半径
2
3
6
2 3
3
2
r =
´
´
=
；
故
1
3 6
(2 3,0,
)
2
A
，
3 6
(
3,3,
)
2
B -
-
，
3 6
(
3, 3,
)
2
C -
-
-
，
所以
(0, 6,0)
BC =
-
uuur
，
1
(3 3, 3,3 6)
BA =
-
uuur
，
设平面
1A BC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
，则由
1
·
0
·
0
n BC
n BA
ì
=
ïí
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
6
0
3 3
3
3 6
0
y
x
y
z
-
=
ìïí
-
=
ïî
，
令
6
x =
，则
0,
3
y
z
=
= -
，则
6,0,
3
n =
-
r
是平面
1A BC 的一个法向量.
又
3 6
3, 3,
2
OC
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，因此球心O 到平面
1A BC 的距离
3 6
3 2
3
6
3
0
3
·
2
2
2
3
2
6
0
3
OC n
d
n
æ
ö
-
´
-
´ -
´ -
ç
÷
è
ø
=
=
=
=
uuur r
r
.
11．（2026·河南·模拟预测）已知圆台
1
O O 的母线长为l，半径为R 的球C 与圆台
1
O O 的上、下底面及母线
都相切，且
5
l
R
=
，则圆台
1
O O 与球C 的体积之比为（ ）
A．
5
B．2 5
C．2
D．2 2
【答案】C
【分析】设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，且1
2
r
r
<
，根据题意求得1
2
,
r r ，根据圆台、球的体积公
式计算即可求解.
【详解】如图，设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，且1
2
r
r
<
，
设圆台上、下底面圆心分别为
1
2
,
O O ，则圆台内切球的球心O 一定在
1
2
O O 的中点处，
设球O 与母线切于M 点，所以OM
AB
^
，所以
1
2
OM
OO
OO
R
=
=
=
，
所以
1
AOO
V
与AOM
V
全等，所以
1
AM
r
=
，同理
2
BM
r
=
，
圆台的，母线长
1
2
5
l
r
r
R
=
=
，
在AGB
V
中，
2
2
2
AG
GB
AB
=
，即
2
2
2
2
1
4
5
R
r
r
R
-
=
，
所以2
1
r
r
R
-
=
，故1
2
5
1
5
1
,
2
2
r
R r
R
-
=
=
，
因为
2
2
2
2
3
1
2
1 2
1
1
5
1
5
1
5
1
5
1
8
π
π 2
π
3
3
2
2
2
2
3
V
h r
r
rr
R
R
R
R
R
R
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
öæ
ö
-
-
ê
ú
=
=
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
ç
÷
ç
֍
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
øè
ø
ë
û
圆台
，
球的体积为
3
4 π
3
V
R
=
球
，
圆台
1
O O 与球C 的体积之比为
3
3
8 π
3
2
4 π
3
R
R
=
.
12．（2026·山东菏泽·一模）图1 是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱
和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为
3:1，且该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，依题意可得
2
2
2
1
3
2
2
2
2
R
h
h
=
=
，即可求解．
【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1，
所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为h ，如图，
则
1
OB
OD
OP
R
=
=
=
，
则其外接球的半径为
2
2
2
2
1
1
1
3
4
4
32
2
2
2
2
R
h
h
h
h
h
=
=
=
=
,
解得
2
h =
，所以
3
R =
.
13．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为
1
CC 中点，平面
1A BD ^ 平面
1
1
1
,
4
ABB A A D
BD
=
=
，
1
2 7
=
A B
，则三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
体积的取值范围是（ ）
A．
0,21
B．
7,21
C．
0,28
D．
7,28
【答案】A
【分析】先根据面面垂直得出线面垂直，再应用三棱柱的体积公式结合三角函数值域计算求解.
【详解】取AB 中点
1
,
M A B 中点N ，
1
4
A D
BD
=
=
，则
1
DN
A B
^
，
由DN Ì 平面
1ABD ，平面
1A BD Ç平面
1
1
1
ABB A
A B
=
，平面
1A BD ^ 平面
1
1
ABB A 得DN ^ 平面
1
1
ABB A ，
由勾股定理知
2
2
1
1
1
3
2
DN
A D
A B
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，可得
3
CM =
，
设
1
4cos
DC
DC
q
=
=
，可得
2
1
1
16 16cos
4sin
AC
AC
q
q
=
=
-
=
，
同理
4sin
BC
q
=
，由BC
CM
>
知
3
sin
4
q >
．
由勾股定理得
2
2
2
2
2 16sin
9
AB
BC
CM
q
=
-
=
-
，
于是三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积
2
2
2
1
8cos
3 2 16sin
9
24
1 sin
16sin
9
2
V
q
q
q
q
=
´
´ ´
-
=
-
-
，
记
2
2
2
9
25
49
sin
,
,1 ,
1
16
9
16
25
9
16
16
32
64
x
x
f x
x
x
x
x
x
q
æ
ö
æ
ö
=
Î
=
-
-
= -
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
结合二次函数单调性可得
49
0, 64
f x
æ
ù
Îç
ú
è
û ，于是
24
0,21
V
f x
=
Î
．
14．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正
方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为
3 ，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．16π
3
B．28π
3
C．28 21π
27
D．11π
【答案】B
【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球
心到上下底面顶点距离均为半径R 列方程，解出半径后计算外接球表面积.
【详解】取下底面正方形ABCD 的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
因为下底面边长为2 ，几何体的高为
3 ， 故
1, 1,0
A
-
，
1,1,0
B
，
1,1,0
C -
，
1, 1,0
D - -
，
1,0, 3
E
，
0,1, 3
F
，
1,0, 3
G -
，
0, 1, 3
H
-
.
设几何体外接球的球心为
0,0,
O
t
¢
，外接球半径为R .
在O AO
¢
V
中，
2
2
2
2
2
2
|
|
1
1
2
R
O A
t
t
=
=
-
=
¢
，
在O EO
¢
V
中，
2
2
2
2
2
|
|
1
3
1
3
R
O E
t
t
=
=
-
=
-
¢
则
2
2
2
1 ( 3
)
t
t
=
-
，解得
1
3
t =
.
所以
2
2
1
1
7
2
2
3
3
3
R
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
.
故该几何体的外接球的表面积
2
7
28π
4π
4π
3
3
S
R
=
=
´
=
故选：B.
15．（2026·山东烟台·一模）已知球O 的半径为1，三棱锥的顶点为O ，底面的三个顶点均在球O 的球面上，
则当该三棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
3
【答案】D
【详解】下证：在半径为r 的小圆中，内接正三角形面积最大.
证明：设底面三角形为
ABC
V
，
则
2
1
2 sin
2 sin
sin
2
sin
sin
sin
2
S
r
A
r
B
C
r
A
B
C
=
´
´
´
=
2
2
2
sin
sin
sin
2
sin
sin
(sin
cos
cos
sin
)
r
A
B
A
B
r
A
B
A
B
A
B
=
=
2
2
2
2
sin
sin 2
sin
sin 2
1 cos2
sin 2
1 cos2
sin 2
2
r
r
A
B
B
A
A
B
B
A
=
=
-
-
é
ù
ë
û
2
1 cos2
sin 2
1 cos2
sin 2
2
r
A
B
B
A
=
-
-
é
ù
ë
û
2
2
2
2
1 cos2
sin 2
sin 2 cos2
sin 2
sin 2
(1 cos2 )
sin 2
2
2
r
r
A
B
A
B
A
A
A
A
=
-
-
£
-
é
ù
ë
û
2
2
2
sin 2
2
2cos2
sin 2
2sin
sin
cos
sin
2
2
r
r
A
A
A
A
r
A
A
A
=
-
=
=
2
3
4
sin
cos
2
2
A
A
r
=
，
而
2
6
2
2
2
2
1
sin
cos
3sin
cos
cos
cos
2
2
3
2
2
2
2
A
A
A
A
A
A
=
´
4
2
2
2
2
3sin
cos
cos
cos
1
27
2
2
2
2
3
4
256
A
A
A
A
æ
ö
ç
÷
£
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
3
tan 2
3
A =
时等号成立，即
π
3
A =
，故
3
3 3
sin
cos
2
2
16
A
A £
故
2
3 3
4
S
r
£
，当且仅当
π
3
A =
且3
3
sin 2
cos2
3
2
2
B
B
-
=
时等号成立，
即
π
3
A =
，
π
sin 2
1
6
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，而
π
π
11π
2
6
6
6
B
-
<
-
<
，
即
π
3
A =
，
π
π
2
6
2
B -
=
即
π
3
A =
，
π
3
B =
时等号成立，
此时
ABC
V
为等边三角形.
回到问题本身：
此时该三棱锥的体积
2
2
2
1
3 3
3
1
3
4
4
V
r
d
r
r
=
´
´
=
-
，
由
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
3
3
3
3
1
1
2
2
1
1
4
2
2
2
2
2
6
3
27
r
r
r
r
r
r
r
r
æ
ö
ç
÷
-
-
=
×
×
-
£
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷ø
´
=
è
，
当且仅当
2
2
1
2
r
r
= -
，即
2
2
3
r =
时，等号成立，所以该三棱锥的体积最大值为1
6 ，
此时球心到截面小圆的距离
2
2
3
1
1
3
3
d
r
=
-
=
-
=
，
即当该三棱锥的体积最大时，其高为
3
3
．
16．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB =
，
1
1
AA = ，点D 是平面ABC 上的动点，
则
1
2
2
A D
CD
的最小值是（ ）
A．5 2
4
B．3 2
2
C．5 3
4
D．3 3
2
【答案】B
【分析】根据“胡不归”模型的概念，将
2
2 CD转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据两
角和的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
如图所示，将平面CAB绕点C 旋转45o 得平面a ，过D 作
1
DD
a
^
于
1
D ，连接
1
CD ，
则
1
2
2 CD
DD
=
，则
1
2
2
A D
CD
的最小值等价于
1
1
A D
DD
的最小值，即点A 到面a 的距离，
过
1A 作
1
2
A A
a
^
于
2
A ，可知
2
A 在平面
1
1
ACC A 内，
2
π
4
ACA
Ð
=
，
可知
2
AC =
，
1
1
AA = ，所以
1
5
AC =
，
1
1
2 5
5
cos
,sin
5
5
ACA
ACA
Ð
=
Ð
=
，
则
2
1
1
1
π
π
π
5
2
2 5
2
3 10
sin
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
5
2
5
2
10
ACA
ACA
ACA
ACA
æ
ö
Ð
=
Ð
=
Ð
Ð
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
可知
1
2
1
2
2
1
3 10
sin
10
5
A A
A A
ACA
AC
Ð
=
=
=
，解得
1
2
3 2
2
A A =
，
所以
1
2
2
A D
CD
的最小值为3 2
2
.
二、多选题
17．（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AB
AA
=
，M ，N ，P 分别为
1
CC ，BC ，
1
AA
的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
1 //
A B
平面
1
NPC
B．平面
1
ANC ^平面
1
1
BB C C
C．
1
1
B M
AC
^
D．
1
B M ^ 平面
1
NPC
【答案】BC
【分析】设
2
AB =
，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面
1
NPC 的法向量，根据数量积公
式，可判断A、C 的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D 的正误；根据面面垂直的判定定理，可判
断B 的正误.
【详解】取AC 中点O，
1
1
AC 中点
1
O ，连接
1
,
OB OO ，设
2
AB =
，
因为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，所以
1
,
,
OB OC OO 两两垂直，
以O 为原点，
1
,
,
OB OC OO 为, ,
x y z 轴正方向建系，如图所示，
则
1
1
1
3 1
(0, 1,2), ( 3,0,0),
,
,0 , (0, 1,1),
(0,1,2),
( 3,0,2),
2
2
A
B
N
P
C
B
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
(0,1,1),
(0, 1,0)
M
A
-
，
所以
1
1
1
3 3
( 3,1, 2),
,
, 1 ,
(0,2,1),
(
3,1, 1),
2
2
A B
PN
PC
B M
æ
ö
=
-
=
-
=
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuuur
uuuur
1
(0,2,2)
AC =
uuur
，
选项A：设平面
1
NPC 的法向量
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
1
0
0
n PN
n PC
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，即
3
3
0
2
2
2
0
x
y
z
y
z
ì
-
=
ïí
ï
=
î
，
令
1
y = ，则
7 3
2,
3
z
x
= -
= -
，即
7 3 ,1, 2
3
n
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，
则
1
7 1
4
2
0
A B n
×
= -
= - ¹
uuur r
，所以
1A B 与平面
1
NPC 不平行，故A 错误；
选项B：连接AN ，因为正三角形ABC，所以AN
BC
^
，
又正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
，所以
1
CC ^ 平面ABC，
因为AN Ì 平面ABC，所以
1
CC
AN
^
，
因为
1
BC
CC
C
Ç
=
，
1
,
BC CC Ì 平面
1
1
BB C C ，所以AN ^平面
1
1
BB C C ，
因为AN Ì 平面
1
ANC ，所以平面
1
ANC ^平面
1
1
BB C C ，故B 正确；
选项C：
1
1
0
2
2
0
B M AC
×
=
-
=
uuuur uuuur
，所以
1
1
B M
AC
^
uuuur
uuuur
，则
1
1
B M
AC
^
，故C 正确；
选项D：因为
7 3
1
2
3
1
1
3
-
-
¹
¹ -
-
，所以
1
B M
uuuur
与n
r
不平行，
所以
1B M 与平面
1
NPC 不垂直，故D 错误.
18．（2026·福建福州·模拟预测）在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
60
DAB
DAA
BAA
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
1
3
AB
AD
AA
=
=
=
，则（ ）
A．
1A D
AC
^
B．BD ^ 平面
1
1
ACC A
C．直线
1
1
A B 与直线BC 所成角为60°
D．点
1A 到平面ABCD 的距离为3 2
2
【答案】BC
【详解】因为
1
3
AB
AD
AA
=
=
=
，
1
1
60
DAB
DAA
BAA
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
所以
1
1
1
9
3 3
2
2
AB AD
AB AA
AD AA
×
=
×
=
×
= ´ ´
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
A：因为
2
1
1
1
1
A D AC
AD
AA
AB
AD
AD AB
AD
AA AB
AA AD
×
=
-
×
=
×
-
×
-
×
uuuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
9
9
9
9
9
0
2
2
2
2
=
-
-
=
¹
，所以
1A D
AC
^
不成立，错误；
B：因为AB
AD
=
，
所以平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面是菱形，因此AC
BD
^
，
因为
1
1
1
1
9
9
0
2
2
AA BD
AA
AD
AB
AA AD
AA AB
×
=
×
-
=
×
-
×
=
-
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
所以
1
1
1
1
,
,
,
AA
BD
AA
BD AA
AC
A AA AC
^
Þ
^
=
Ì
uuur
uuur
I
平面
1
1
ACC A ，
所以BD ^ 平面
1
1
ACC A ，正确；
C：因为
1
1 / /
A B
AB ，所以
ABC
Ð
是异面直线
1
1
A B 与直线BC 所成的角（或补角），
由上可知：平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 是菱形，且
60
DAB
Ð
=
°，
所以
180
60
120
ABC
Ð
=
°-
° =
° ，显然
ABC
Ð
的补角为60°，正确.
D：由上可知：BD ^ 平面
1
1
ACC A ，因为BD Ì 平面ABCD ，
所以平面
1
1
ACC A ^平面ABCD ，
在平面
1
1
ACC A 作
1A E
AC
^
，平面
1
1
ACC A Ç 平面ABCD
AC
=
，
1A E Ì 平面
1
1
ACC A ，
所以
1A E ^ 平面ABCD ，所以点
1A 到平面ABCD 的距离为
1A E 的长度，
因为
120
ABC
Ð
=
° ，所以
1
9
9
2 3 3
3 3
2
AC
æ
ö
=
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，
因为
1
1
1
AC
A A
AB
BC
AA
AB
AD
=
= -
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
AC
AA
AB
AD
AA
AB
AD
AA AB
AA AD
AB AD
=
-
=
-
×
-
×
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
9
9
9
9
9
9
2
2
2
3 2
2
2
2
=
- ´
- ´
´
=
，
因为
2
2
2
1
1
AA
AC
AC
=
，所以
1
1
AA
AC
^
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
3 3 2
6
2
2
3 3
AA AC
A E AC
AA AC
A E
AC
×
´
×
=
×
Þ
=
=
=
，
所以点
1A 到平面ABCD 的距离为
6 ，错误.
19．（2026·广东汕头·一模）正方形ABCD 、ABEF 的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M 、N 分别
在正方形对角线AC 和BF 上移动，且
0
2
CM
BN
a
a
=
=
<
<
．则（ ）
A．直线AC 与BF 所成的角为45°
B．
/ /
MN
平面DAF
C．当
2
2
a =
时，MN 的长最小，且最小值为
2
2
D．当MN 的长最小时，点F 到平面AMN 的距离为
2
2
【答案】BC
【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，则可表示出各点坐标；对A：表示出向量AC
uuur
，BF
uuur 后，利用
向量夹角的余弦公式计算即可得；对B：求出平面DAF 的法向量及向量MN
uuuur
后，计算即可得；对C：借助
向量与模长的关系计算即可得；对D：结合C 中所得，可得到向量MN
uuuur
，再计算出平面AMN 的法向量后，
利用点到平面距离公式计算即可得.
【详解】以B 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则
0,0,0
B
、
1,0,0
A
、
0,1,0
E
、
1,1,0
F
、
0,0,1
C
、
1,0,1
D
，
对A：
1,0,1
AC = -
uuur
，
1,1,0
BF =
uuur
，
则
1
1
cos
,
2
2
2
AC BF
AC BF
AC
BF
×
-
=
=
=
´
×
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，
故直线AC 与BF 所成的角为60°，故A 错误；
对B：由
0
2
CM
BN
a
a
=
=
<
<
，则
2
2
,0,1
2
2
a
a
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
,
,0
2
2
a
a
N æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
0,
,
1
2
2
a
a
MN
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，
0,0, 1
DA =
-
uuur
，
0,1, 1
DF =
-
uuur
，
设平面DAF 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
则有
0
0
m DA
z
m DF
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，可取
1
x = ，则
0
z
y
=
=
，
则
1,0,0
m =
r
，有
2
2
0 1
0
1
0
0
2
2
a
a
m MN
æ
ö
×
=
´
´
-
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
r
，
故MN
m
^
uuuur
ur
，又MN Ë平面DAF ，故
/ /
MN
平面DAF ，故B 正确；
对C：
2
2
0,
,
1
2
2
a
a
MN
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
2
1
2
2
2
2
a
a
MN
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuuur
，
故当且仅当
2
2
a =
时，MN
uuuur
取最小，且最小值为
2
2 ，故C 正确；
对D：由C 知，当MN 的长最小时，
2
2
a =
，此时
1
1
0,
,
2
2
MN
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
uuuur
，
1
1
,0,
2
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
1
,0,
2
2
MA
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
设平面AMN 的法向量为
,
,
n
x y z
¢
¢
=
¢
r
，
则有
1
1
0
2
2
1
1
0
2
2
n MN
y
z
n MA
x
z
ì ×
=
-
=
ï
¢
ïí
ï ×
=
-
=
ïî
¢
¢
¢
uuuur
r
uuur
r
，可取
1
x¢ = ，则
1
z
y
¢
¢
=
= ，
则
1,1,1
n =
r
，又
0,1,0
AF =
uuur
，
则点F 到平面AMN 的距离
2
2
2
0 1 0
3
3
1
1
1
AF n
d
n
×
=
=
=
uuur r
r
，故D 错误.
20．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥E
ABCD
-
中，底面ABCD 为直角梯形，
//
AD BC ，AD
CD
^
，
EC ^ 平面ABCD ，
2
AD
CE
=
=
，
1
BC
CD
=
= ，M 、N 分别为棱DE 、CE 上的动点，设
(0
1)
DM
DE
l
l
=
£
£
uuuur
uuur
，
(0
1)
CN
CE
m
m
=
£
£
uuur
uuur
，则（ ）
A．当
0
m =
时，存在l ，使得
//
MN
平面ABE
B．当
0
m =
时，存在l ，使得AN
BM
^
C．当
1
2
m =
，且AN 与BM 相交时，
2
3
l =
D．三棱锥E
BCD
-
的外接球在底面ABCD 上的截痕长为
2π
2
【答案】AC
【分析】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，求出平面ABE 的一个法向量nr ，利用
0
MN n
×
=
uuuur r
求解即可；
对于B，利用
0
AN BM
×
=
uuur uuuur
求解即可；
对于C，若AN 与BM 相交，则存在唯一,x y 使得AN
xAB
yAM
=
uuur
uuur
uuuur
即可求解；
对于D，根据三棱锥E
BCD
-
的外接球在底面ABCD 上的截痕为底面BCD的外接圆即可求解.
【详解】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则：
0,0,0
1,0,0
0,1,0
1,2,0
0,0,2
C
D
B
A
E
，
，
，
，
，
对于A，当
0
m =
时，
0,0,0
N
，M 在DE 上
l
=
uuuur
uuur
DM
DE ，则
1
,0,2
M
l
l
-
，
则
1, 1,0
AB = - -
uuur
，
1, 2,2
AE = - -
uuur
，
设平面ABE 的一个法向量
, ,
n
x y z
=
r
，则
0
2
2
0
x
y
x
y
z
- -
=
ì
í- -
=
î
取
2
x =
，则
2
y = -
1
z = -
，
，即
2, 2, 1
n =
-
-
r
，
1,0, 2
MN
l
l
=
-
-
uuuur
，若
/ /
MN
平面ABE ，则
0
MN n
×
=
uuuur r
，
即
1
2
1
0
2
0
4
2
0
2
l
l
l
l
-
=
Þ
-
=
Þ
=
，故存在
1
2
l =
，故A 正确；
对于B，当
0
m =
时，
0,0,0
N
，
1, 2,0
AN = - -
uuur
，
1
, 1,2
BM
l
l
=
-
-
uuuur
，
若AN
BM
^
，则
0
AN BM
×
=
uuur uuuur
，
即1 (1
)
( 2) ( 1)
0 2
0
1
2
0
1
l
l
l
l
- ×
-
-
× -
×
=
Þ -
=
Þ
= - ，
不满足0
1
l
£
£ ，故B 错误；
对于C，当
1
2
m =
时，
0,0,1
N
，
1
,0,2
M
l
l
-
，
若AN 与BM 相交，则存在唯一,x y 使得AN
xAB
yAM
=
uuur
uuur
uuuur
，
即：
1, 2,1
1, 1,0
, 2,2
x
y
l
l
- -
=
- -
-
-
，
解得
2
3
l =
，故 C 正确；
对于D， 因为底面BCD是直角三角形，外接圆半径
2
2
2
BD
r =
=
，
因为EC ^ 平面ABCD ，设外接球半径为R ，则：
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
2
CE
R
r
æ
ö
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
三棱锥E
BCD
-
的外接球在底面ABCD 上的截痕为底面BCD的外接圆，截痕长为2π
2π
r =
，故D 错误，
21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥P
ABC
-
中，
3
AB = ，D 是PC 中点，E 是CB 中点，点
F，G 满足
1
2
FP
AF
=
uuur
uuur
，
1
2
GB
AG
=
uuur
uuur
，直线DF，GE 相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．
0
AB PC
×
=
uuur uuur
B．
3
AB FG
×
= -
uuur uuur
C．AC
uuur
与CH
uuur
是共线向量
D．
1
2
1
3
3
2
GD
CA
CB
CP
=
uuur
uuur
uuur
uuur
【答案】AC
【分析】以
,
,
PA PB PC
uuur uuur uuur
为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B 利用数量积的定义得出
0
AB FG
×
>
uuur uuur
判断B；利用平面ABC I 平面PAC
AC
=
以及H
FD
GE
Î
I
判断
,
,
A C H 三点共线可判断C；利用向量的加
减运算判断D.
【详解】对于A，设PA
PB
PC
a
=
=
=
，
APB
APC
CPB
q
Ð
= Ð
= Ð
=
，
则
2 cos
PA PB
PA PC
PC PB
a
q
×
=
×
=
×
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
于是
2
2
cos
cos
0
AB PC
PB
PA
PC
PB PC
PA PC
a
a
q
q
×
=
-
×
=
×
-
×
=
-
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
，故A 正确；
对于B，因为
1
2
FP
AF
=
uuur
uuur
，
1
2
GB
AG
=
uuur
uuur
，所以
//
FG PB ，则
,
AB FG
uuur uuur
夹角等于
ABP
Ð
，
因为PA
PB
=
，则
ABP
Ð
为锐角，由数量积的定义可知
0
AB FG
×
>
uuur uuur
，故B 错误；
对于C，因为H
FD
Î
，FD Ì 平面PAC ，则H Î平面PAC ，
同理H
GE
Î
，GE Ì 平面ABC ，则H Î平面ABC ，
又平面ABC I 平面PAC
AC
=
，故H
AC
Î
，即
,
,
A C H 三点共线，故C 正确；
对于D，因
1
1
3
2
GD
GB
BC
CD
AB
CB
CP
=
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
1
1
2
1
3
2
3
3
2
CB
CA
CB
CP
CA
CB
CP
=
-
-
= -
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，故D 错误.
22．（2026·四川内江·二模）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点P 是棱BC 的中点，点Q 在正方形
1
1
AA B B 内部（不含边界）运动，若
/ /
PQ
平面
1
1
ACC A ，则（ ）
A．点Q 的轨迹经过线段
1
AB 的中点
B．点Q 的轨迹长度为2
C．三棱锥
1
Q
ACC
-
的体积为定值2
3
D．球面经过A ，B ，C ，Q 四点的球的半径最小值为2
【答案】ACD
【分析】取
1
1
,
AB A B 的中点
,
E F ，连接EF ，根据条件可得点Q 的轨迹为线段EF （不含端点），即可判断
出A 和B 的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设
1,0,
0
2
G
t
t
< <
，
球心
, ,
O x y z ，半径为R ，利用球的性质可得
2
2
1
1
2
4
R
t
t
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，即可求解.
【详解】如图，取
1
1
,
AB A B 的中点
,
E F ，连接EF ，EP ，易知
1
/ /
EF
AA ，
又
1
AA Ì 平面
1
1
ACC A ，EF Ë 平面
1
1
ACC A ，所以
/ /
EF
平面
1
1
ACC A .
又P 是BC 中点，所以
/ /
EP
AC ，又AC Ì 平面
1
1
ACC A ，EP Ë 平面
1
1
ACC A ，所以
//
EP
平面
1
1
ACC A ，
又
,
,
EP
EF
E EP EF
=
Ì
I
平面PEF ，所以平面
/ /
PEF
平面
1
1
ACC A .
又
/ /
PQ
平面
1
1
ACC A ，则PQ Ì 平面PEF ，又点Q 在正方形
1
1
AA B B 内部（不含边界）运动，且平面PEF I
平面
1
1
AA B B
EF
=
，
所以点Q 的轨迹为线段EF （不含端点）.
对于A，连接
1
AB ，由正方体的性质易知
1
AB 与EF 相交，且交点为
1
AB 的中点，所以A 正确；
对于B，因为
1
2
EF
AA
=
=
，所以点Q 的轨迹长度为2 ，故B 错误；
对于C，因为
/ /
PQ
平面
1
1
ACC A ，点P 是棱BC 的中点，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2 2 2
2
2
2
3
2
3
Q ACC
P ACC
B ACC
C
ACB
V
V
V
V
-
-
-
-
=
=
=
=
´
´
´ ´ ´
=
，所以C 正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2 ，
则
0,0,0 ,
2,0,0 ,
2,2,0
A
B
C
，设
1,0,
0
2
G
t
t
< <
，球心
, ,
O x y z ，半径为R ，
由AO
BO
CO
GO
R
=
=
=
=
，得到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
R
x
y
z
R
x
y
z
R
x
y
z
t
R
ì
=
ï
-
=
ïïí
-
-
=
ï
ï
-
-
=
ïî
，解得
1,
1
x
y
=
= ，
2
1
2
t
z
t
-
=
，
所以
2
2
1
1
2
4
R
t
t
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，又0
2
t
< <
，且
2
1
0
t
t
æ
ö
-
³
ç
÷
è
ø
，所以当
1
t = 时，R 取到最小值，最小值为2 ，故D 正
确.
23．（2026·广东广州·二模）如图，在正四面体A
BCD
-
中，点
,
,
,
,
,
P Q E F G H 分别为各棱的中点，则（ ）
A．HF
GH
^
B．PQ ^ 平面EFHG
C．3
4
A BCD
PEF
AGH
V
V
-
-
¢
=
三棱锥
三棱柱
D．直线DQ 与直线PE 所成角的余弦值为
3
6
【答案】ABD
【分析】对于A，取BQ 中点M ，连接
,
HM
FM
DQ AQ
、
、
，利用线面垂直的判定定理得
^
BC
平面FHM ，
再由性质可得HF
GH
^
；对于B，利用等腰三角形性质和中位线性质得PQ
GE
^
，同理PQ
GH
^
，从而
可得线面垂直；对于C，设正四面体A
BCD
-
棱长为1，顶点D 在平面ABC 上的射影为点O ，则O 为
ABC
V
的重心，分别求出体积即可判断；对于D，
DQH
Ð
为直线DQ 与直线PE 所成的角，利用余弦定理求解.
【详解】对于A，取BQ 中点M ，连接
,
HM
FM
DQ AQ
、
、
，
在正四面体A
BCD
-
中，根据题意，可得
,
//
DQ
BC DQ FM
^
，
所以FM
BC
^
，同理HM
BC
^
，
又
,
,
FM
HM
M FM HM
=
Ì
I
平面FHM ，
所以
^
BC
平面FHM ，HF Ì 平面FHM ，则BC
HF
^
，
又
//
GH BC ，所以HF
GH
^
，A 正确；
对于B，根据正四面体的性质可知AQ
DQ
=
，则PQ
AD
^
，又
//
GE AD，
所以PQ
GE
^
，同理PQ
GH
^
，
又
,
GE
GH
G GE
GH
=
Ì
I
、
平面EFHG ，
所以PQ ^ 平面EFHG ，B 正确；
对于C，设正四面体A
BCD
-
棱长为1，
顶点D 在平面ABC 上的射影为点O ，则O 为
ABC
V
的重心，
所以
2
2
2
2
2
2
3
6
1
1
3
3
2
3
DO
AD
AO
AQ
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
1
3
6
2
3
1
2
2
3
4
ABC
A BCD
V
S
DO
-
=
×
=
´ ´
´
=
V
三棱锥
，
1
1
1
1
3
6
2
4
4 3
12
2
3
2
2
2
4
3
8
P AGH
AGH
PEF
AGH
V
V
S
DO
-
-
=
´
=
´
×
=
´
´
´
´
=
¢
V
三棱柱
，
所以3
4
A BCD
PEF
AGH
V
V
-
-
¢
¹
三棱锥
三棱柱
，C 错误；
对于D，因为
//
//
PE AC HQ，
所以
DQH
Ð
为直线DQ 与直线PE 所成的角，
则
2
2
2
2
2
2
3
1
3
2
2
2
3
cos
2
6
3
1
2
2
2
DQ
QH
DH
DQH
DQ QH
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
è
ø
è
ø
Ð
=
=
=
×
´
´
，D 正确.
24．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，P 为线段AC 上的动点
（包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥
1
1
A
DPC
-
的体积为定值
B．正方体的外接球球心到平面
1
1
DAC 的距离为
3
3
C．存在点P ，使得
1
1
C D
B P
^
D．点P 到直线
1A D 的距离的最小值为2 3
3
【答案】ABD
【分析】根据线面平行判定定理得
/ /
AC
平面
1
1
DAC ，故AC 上任一点P 到平面
1
1
DAC 的距离h 为定值，根据
等体积判断A 即可；根据平面
1
1 / /
DAC
平面
1
B AC ，得出点O 到平面
1
1
DAC 的距离为
1
1
1
1
1
1
2
3
6
BD
BD
BD
-
=
计
算判断B；建立空间直角坐标系，由
1
1
0
C D B P
×
=
uuuur uuur
计算判断C；利用点到直线的距离的向量公式列式，再由
二次函数求最值即可.
【详解】对于A，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，因
1
1
/ /
AC
AC ，AC Ë 平面
1
1
DAC ，
1
1
AC Ì 平面
1
1
DAC ，
故
/ /
AC
平面
1
1
DAC ，所以AC 上任一点P 到平面
1
1
DAC 的距离h 为定值，
又
1 1
DA C
SV
为定值，故
1
1
1 1
1 1
1
3
A
DPC
P DA C
DA C
V
V
S
h
-
-
=
=
×
V
为定值，故A 正确；
对于B，连接
1
AB ，
1
CB ，记正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的外接球球心为O ，
易知O 是正方体体对角线
1
BD 的中点，因为平面
1
1 / /
DAC
平面
1
B AC ，
且平面
1
1
DAC 和平面
1
B AC 与体对角线
1
BD 的交点是
1
BD 的两个三等分点，
又
1
2 3
BD =
，所以点O 到平面
1
1
DAC 的距离为
1
1
1
1
1
1
3
2
3
6
3
BD
BD
BD
-
=
=
，故B 正确；
对于C，以D 为坐标原点，DA 、DC 、
1
DD 所在直线分别为, ,
x y z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系D
xyz
-
，
则
0,0,0
D
，
2,0,0
A
，
0,2,0
C
，
1 2,0,2
A
，
1 2,2,2
B
，
1 0,2,2
C
，
设
2 ,2 ,0
AP
AC
l
l
l
=
= -
uuur
uuur
，
0,1
l Î
，
因为
1
0, 2, 2
B A =
-
-
uuur
，所以
1
1
1
2 , 2
2 , 2
B P
B A
AP
B A
AC
l
l
l
=
=
= -
-
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又
1
0, 2, 2
C D =
-
-
uuuur
，若
1
1
C D
B P
^
，则
1
1
2
2
2
2
2
4
8
0
C D B P
l
l
×
= -
´ -
-
´ -
= -
=
uuuur uuur
，
解得
2
0,1
l =
Ï
，所以这样的点P 不存在，故C 错误；
对于D，
1
1
0,0, 2
2 ,2 ,0
2 ,2 , 2
A P
A A
AP
l
l
l
l
=
=
-
-
= -
-
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
1
2
2
2
8
4
A P
l
l
l
=
-
-
=
uuur
，因为
1
2,0, 2
A D = -
-
uuuur
，
所以
1
1
1
2,0, 2
4
4
2 ,2 , 2
2
2
2 2
2 2
A D
A P
A D
l
l
l
l
-
-
×
= -
-
×
=
=
uuuur
uuur
uuuur
，
所以点P 到直线
1A D 的距离
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
8
4
2
2
6
3
3
A D
d
A P
A P
A D
l
l
l
æ
ö
æ
ö
ç
÷
=
-
×
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur
uuur
uuur
uuuur
，
又
0,1
l Î
，所以当
1
3
l =
时，
min
2 3
3
d
=
，故D 正确.
25．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在长方形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且
4,
2,
1
AB
AD
DP
=
=
= ．将
ADP
△
沿着AP 翻折至
AQP
△
，连接
,
QB QC ，得到如图2 所示的四棱锥Q
ABCP
-
，则下列结论正确的是
（ ）
A．四棱锥Q
ABCP
-
体积的最大值为14 5
15
B．当平面QAP ^ 平面ABCP 时，三棱锥Q
BCP
-
的外接球的表面积为69π
5
C．在翻折的过程中，BP 与AQ 始终不垂直
D．若
1
4
BE
BQ
=
uuur
uuur
，则
13
2
CE =
【答案】ABD
【分析】过点Q 作QF
AP
^
，求出QF 再利用体积公式计算可判断A；记BCP
V
外接圆的圆心为BP 的中点
O ，利用余弦定理计算三棱锥Q
BCP
-
外接球的半径
2
2
2
QF
OF
æ
ö
ç
÷
è
ø
判断B；过点A 作AM
BP
^
，并与BF
交于点N ，求证QN ^ 平面ABCP ，进而求证BP
AQ
^
判断C；在AQ 上取靠近点A 处的四等分点G ，利用
勾股定理计算PG 判断D.
【详解】当平面QAP ^ 平面ABCP 时，四棱锥Q
ABCP
-
的体积取得最大值．
过点Q 作QF
AP
^
，垂足为F ，则
2 5
5
AQ PQ
QF
AP
×
=
=
，
则四棱锥Q
ABCP
-
体积的最大值为
1
1
2 5
14 5
3
4
2
3
2
5
15
´
´
´ ´
=
，A 正确；
连接BP ，记BCP
V
外接圆的圆心为BP 的中点O ，连接OF ，
因为
2
2
2
2
1
2
5,
3
2
13,
4
AP
BP
AB
=
=
=
=
=
，
所以
2
2
2
5 13 16
65
cos
2
65
2
5
13
AP
PB
AB
OPF
AP PB
-
-
Ð
=
=
=
×
´
´
，
因为
13
2
2
PB
PO =
=
，
2
1
5
5
5
QP
PF
AP
=
=
=
，
则
2
2
2
1
13
5
13
65
13
2
cos
2
5
4
5
2
65
4
OF
PF
PO
PF PO
OPF
=
-
×
Ð
=
- ´
´
´
=
，
则
13
2
OF =
，
则三棱锥Q
BCP
-
外接球的半径为
2
2
69
2
20
QF
OF
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
则三棱锥Q
BCP
-
的外接球的表面积为
69
69π
4π
20
5
´
=
，B 正确；
连接BF ，因为
2
2
2
1
5
65
64
2
cos
13
2
13
5
5
65
5
BF
FP
BP
FP BP
FPB
=
-
×
Ð
=
- ´
´
´
=
，
所以
2
2
2
BF
FP
BP
=
，则BF
AP
^
，
因为
,
BF QF Ì平面BFQ ，QF
AP
^
，所以AP ^ 平面BFQ ，
又AP Ì 平面ABCP ，所以平面ABCP ^ 平面BFQ ，
则点Q 在平面ABCP 上的射影在直线BF 上，
过点A 作AM
BP
^
，并与BF 交于点N ，连接QM ，
若点Q 在平面ABCP 上的射影为N ，即QN ^ 平面ABCP ，
由BP Ì平面ABCP ，得QN
BP
^
,
又AM
BP
^
，
,
AM QN Ì 平面QAM ，则BP ^ 平面QAM ，
因为AQ Ì 平面QAM ，所以BP
AQ
^
，故C 错误；
在AQ 上取靠近点A 处的四等分点G ，连接
,
EG PG ，
因为
1
4
BE
BQ
=
uuur
uuur
，所以
//
//
EG AB PC ，且
3
4
EG
AB
CP
=
=
，
从而四边形ECPG 为平行四边形，则
2
2
13
2
CE
PG
PQ
QG
=
=
=
，D 正确．
26．（2026·河北保定·一模）如图，正方体.
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
2
AB =
，点O 为侧面
1
1
ADD A 的中心，M，
N 分别为棱BC
CD
，
的中点，动点Q 在该正方体表面（底面ABCD 以外）上，且平面
//
BOD
平面MNQ ，则
下列结论正确的是（ ）
A．平面BOD 截该正方体所得截面的面积为4 3
B．点Q 的轨迹长度为5 2
C．直线BQ 与平面BOD 所成角的正弦值的最大值为
6
3
D．三棱锥
1
Q
AB C
-
的体积的最大值为2
【答案】BCD
【分析】对于A，延长DO 即可得到截面
1ABD ，再求面积即可；对于B，根据面面平行，作出平面MNEFGH
即可；对于C，易知点Q 到平面BOD 的距离为定值，利用等体积法求出距离，再确定BQ 的最小值即可；
对于D，结合点Q 的轨迹，得到点Q 到平面
1
AB C 的最大值，再根据锥体体积公式计算即可．
【详解】对于A，如图，延长DO ，与
1
AA 交于点
1A ，连接
1A B ，
所以平面BOD 截该正方体所得截面为
1A BD
V
，
易知
1A BD
V
为等边三角形，其面积为
2
1
(2 2)
sin60
2 3
2
°
´
´
=
，故A 错误；
对于B，分别取
1
1
1
1
1
1
,
,
,
DD A D A B BB 的中点
,
,
,
E F G H ，连接
,
,
,
,
NE EF FG GH HM ，
则六边形MNEFGH 为正六边形，因为
,
M N 分别为棱
,
BC CD 的中点，
所以
//
MN BD ，又MN Ë平面BOD ，BD Ì 平面BOD ，
所以
//
MN
平面BOD ，
因为
1
//
,
//
MH EF EF A D ，所以
1
//
MH A D ，又MH Ë平面BOD ，
1A D Ì平面BOD ，
所以
//
MH
平面BOD ，因为MN
MH
M
=
I
，所以平面
//
MNEFGH
平面BOD ，
则点Q 的轨迹长度为5
5 2
NE =
，故B 正确；
对于C，由平面
//
MNEFGH
平面BOD 可知，点Q 到平面BOD 的距离为定值，
不妨取点Q 在点H 的位置，设点H 到平面
1ABD 的距离为d ，
连接
1,
HA HD ，由
1
1
H
A BD
D A HB
V
V
-
-
=
，
得
1
1
1
1
3
3
A BD
A HB
S
d
S
AD
´
´
=
´
´
V
V
，即1
1
1
2 3
1 2 2
3
3
2
d
´
=
´
´ ´ ´
，解得
3
3
d =
，
设直线BQ 与平面BOD 所成角为q ，则sin
d
BQ
q=
，
当点Q 运动到线段HM 的中点时，BQ 取得最小值，sinq 取得最大值，
此时易得
2
2
BQ =
，则直线BQ 与平面BOD 所成角的正弦值的最大值为
3
6
3
3
2
2
=
，故C 正确；
对于D，因为
1
//
,
//
MH B C MH EF ，所以
1 //
B C EF ，
又EF Ë 平面
1
1
,
AB C B C Ì 平面
1
AB C ，所以
//
EF
平面
1
AB C ，
要使三棱锥
1
Q
AB C
-
的体积取得最大值，则点Q 到平面
1
AB C 的距离最大，
易知当点Q 在EF 上运动时，点Q 到平面
1
AB C 的距离最大，
不妨取点Q 与点E 重合，设AC
BD
K
=
I
，连接
1
,
B K KE ，显然AC
KE
^
，
由于
2
AB =
，易得
1
1
6,
3,
3
B K
KE
B E
=
=
=
，则
2
2
2
1
1
B E
B K
KE
=
，
所以
1
B K
KE
^
，又
1
1
,
,
AC
B K
K AC B K
=
Ì
I
平面
1
AB C ，所以KE ^ 平面
1
AB C ，
所以三棱锥
1
Q
AB C
-
体积的最大值为
1
2
1
1
1
3
(2 2)
3
2
3
3
2
2
AB C
S
KE
´
´
=
´
´
´
´
=
V
，故D 正确．
27．（2026·山东青岛·一模）已知四面体ABCD 满足
2
AB
AC
CD
BD
=
=
=
=
，
2 2
BC =
，点A ，B ，C ，
D 均在球
1
O 的表面上，球
2
O 与四面体的4 个面均相切，过直线
1
2
O O 的平面截四面体ABCD 所得的截面的面
积为S ，则（ ）
A．球
1
O 的表面积为8π
B．当四面体ABCD 体积最大时，
1
2
2
2
O O =
-
C．当
2
AD =
时，S 的最大值为
3
D．当
2
AD =
时，S 的最小值为15
5
【答案】ACD
【分析】对于A，由题可知四面体ABCD 是由两个直角三角形构成，结合外接球定义即可求解；对于B，
易知当
1
AO ^平面BCD时，四面体ABCD 体积最大，利用等体积法确定内切球半径，再求
1
2
O O 即可；对于
CD，根据题意确定截面，结合异面直线距离公式求出截面面积的最值即可．
【详解】对于A，Q
2
AB
AC
CD
BD
=
=
=
=
，
2 2
BC =
，
2
2
2
2
2
2
,
AB
AC
BC
CD
BD
BC
\
=
=
，
,
AB
AC CD
BD
\
^
^
，
则BC 的中点为四面体ABCD 的外接球球心
1
O ，半径
1
2
2
R
BC
=
=
，表面积为8π ，故A 正确；
对于B，
1
1
2
AO
DO
=
=
，又
1
2 2
2
2
BCD
S
=
´ ´
=
V
，
当
1
AO ^平面BCD时，四面体ABCD 体积最大，
1
DO Ì
Q
平面BCD，
1
1
AO
DO
\
^
，
2
2
1
1
2
AD
AO
DO
\
=
=
，即ABD
V
和ACD
V
为全等的等边三角形，
则
1
2 2 sin 60
3
2
ABD
ACD
S
S
=
=
´ ´ ´
° =
V
V
，
\四面体ABCD 的表面积
2
2
3
3
4
2 3
ABC
BCD
ABD
ACD
S
S
S
S
S
=
=
=
V
V
V
V
，
1
1
1
2 2
2
2
3
3
3
A BCD
BCD
V
S
AO
-
=
×
=
´ ´
=
V
，
则四面体ABCD 内切球半径
3
2 2
2 2
6
4
2 3
A BCD
V
r
S
-
=
=
=
-
，
易得
^
BC
平面
1
ADO ，故四面体ABCD 关于平面
1
ADO 对称，
则内切球球心
2
O 在平面
1
ADO 上，
过
2
O 分别作
2
1
2
1
,
O M
AO O N
DO
^
^
，则
2
2
,
BC
O M BC
O N
^
^
，
1
1
1
,
,
AO
BC
O AO BC
=
Ì
Q
I
平面ABC ，
2
O M
\
^ 平面ABC ，同理可得
2
O N ^平面BCD，
2
2
2 2
6
O M
O N
r
\
=
=
=
-
，即四边形
2
1
O MO N 为正方形，
1
2
2
2
4
2 3
O O
O M
\
=
=
-
，故B 错误；
对于CD，根据题意内切球球心
2
O 在平面
1
ADO 上，且
1
2
O O 为
1
AO D
Ð
的角平分线，
设AD 的中点为E ，又
1
1
2
AO
DO
AD
=
=
=
，故直线
1
2
O O 为直线AE ，
则
1
,
ABC
ADO
V
V
为其中一个截面，
又
^
BC
平面
1
ADO ，
1
O E Ì 平面
1
ADO ，
1
BC
O E
\
^
，
1
1
6
1
3
6
2 2
3,
2
2
2
2
2
4
ABE
ADO
S
S
=
´
´
=
=
´
´
=
V
V
，
在BD 上取一点P ，作截面
1
PEQO ，
由对称性可知，截面
1
PEQO 关于
1
O E 对称，即当
1
PEO
V
面积最小时，截面面积最小，
以
1
O 为原点建立空间直角坐标系，
则
3 2
6
2,0,0 ,
0,
2,0 ,
0,
,
4
4
B
D
E æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1
1
3 2
6
2,
2,0 ,
0,
,
,
0,
2,0
4
4
BD
O E
O D
æ
ö
= -
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuuur
uuuur
设异面直线
1
BD
O E
、
的公共法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，距离为d ，
1
2
2
0
3 2
6
0
4
4
n BD
x
y
n O E
y
z
ì ×
= -
=
ï
\í
×
=
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，不妨取
1
x = ，则
1,1, 3
n =
r
，
1
2
10
5
5
n O D
d
n
×
\
=
=
=
uuuur
r
r
，
即点P 到
1
O E 距离的最小值为10
5
，此时
1
1
6
10
15
2
2
5
10
PEO
S
=
´
´
=
V
，
则截面
1
PEQO 面积最小值为
15
5
，
综上，过直线
1
2
O O 的平面截四面体ABCD 所得的截面的面积最大值为
3 ，最小值为
15
5
，故CD 正确．
28．（2026·陕西榆林·模拟预测）一封闭圆锥容器（容器厚度忽略不计）的轴截面是边长为10 的等边三角
形，一个半径为
3 的小球在该容器内自由运动，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为50π
B．小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2
C．小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为4
D．小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为20π
【答案】AC
【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，圆锥和圆台的侧面积公式，结合圆锥的轴截面，以及三角
形的性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由题意知，圆锥的底面圆的半径为
= 5
r
，母线长为
10
l =
，高为
5 3
h =
，
对于A，该圆锥的侧面积为
π 5 10
50π
S =
´ ´
=
，所以A 正确；
对于B，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，
因为小球的半径为
3 ，在直角
1
AFO
V
中，可得
1
1
1
3
2 3
sin
sin30
O F
AO
O AF
=
=
=
Ð
o
即小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2 3 ，所以B 错误；
对于C，在直角
1
AFO
V
中，可得
1
1
3
3
tan
tan30
O F
AE
O AF
=
=
=
Ð
o
，
所以
3
AE
AF
BG
BJ
CK
CD
=
=
=
=
=
= ，且
10
AB
BC
AC
=
=
=
，，
又因为
AEF
△
和
AGD
△
都是等边三角形，所以
3,
7
EF
GD
AB
BG
=
=
-
=
，
则圆台的上、下底面圆的半径分别为
3
7
,
2
2
2
2
EF
GD
=
=
，母线长
4
FG
AG
AF
=
-
=
，
因为
1
2
,
O F
AB O G
AB
^
^
，可得
1
2
4
O O
FG
=
=
，
当小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离
1
2
4
O O =
，所以C 正确；
对于D，由截得圆台的上、下底面圆的半径分别为
3
7
,
2
2
2
2
EF
GD
=
=
，母线长为
4
FG =
，
所以截得圆台的侧面积为
3
7
π
4
20π
2
2
æ
ö
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为
2
2
2
2
JK
BC
BJ
-
=
=
，
可得其面积为
2
π
2
4π
´
=
，
所以圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为20π
4π
24π
=
，所以D 错误.
三、填空题
29．（25-26 高二上·四川成都·月考）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AA
=
=
，则在正三棱柱内可放入的
最大球的体积
1V 与正三棱柱外接球的体积
2
V 之比
1
2
V
V = _____.
【答案】
7
49
/ 1
7
49
【分析】分别求出正三棱柱内可放入的最大球的体积
1V 与正三棱柱外接球的体积
2
V ，进而求出它们的体积
之比.
【详解】设底面正三角形为
ABC
V
，
2
AB =
，其内切圆半径为r ，
由
1
1
π
sin
2
2
3
AB
BC
CA
r
AB
AC
+
+
´ =
´
´
，
得
3
3
r =
，若内切球与上、下底面相切，则半径为1，因为
3
1
3 < ，
所以该三棱柱内可放入的最大球的半径为
1
3
3
R
r
=
=
，
则其体积
3
3
1
1
4
4
3
4 3π
π
π
3
3
3
27
V
R
æ
ö
ç
÷
=
=
=
ç
÷
è
ø
.
根据正三角形外接圆半径
3
3
R
a
=
（a 正三角形的边长），所以
2 3
3
R =
.
又正三棱柱的高
1
2
AA =
，可得球心到底面的距离为1，
根据勾股定理
2
2
2
2
2
1
2
2 3
7
1
2
3
3
AA
R
R
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，则
2
7
3
R =
.
所以
3
3
2
2
4
4
7
28 21π
π
π
3
3
3
27
V
R
æ
ö
ç
÷
=
=
´
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
4 3π
7
27
49
28 21π
27
V
V =
=
.
故答案为：
7
49
30．（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
120 ,
2,
ACB
AC
BC
AA
M
°
Ð
=
=
=
=
为
1
AA 的
中点，若平面BCM 与平面
1
1
B C M 的交线为l ，则点B 到直线l 的距离为_______________．
【答案】2
【分析】先将三棱柱补成一个四棱柱，进而可得两个平面的交线，并在直棱柱计算相关线段长度，最后在
平行四边形中用等面积法可得距离.
【详解】如图：将三棱柱补成四棱柱
1
1
1
1
ACBD
AC B D
-
，设N 为棱
1
DD 的中点，连接
1
,
MN C N .
因为在棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，M，N 分别是棱
1
1
,
AA DD 的中点，所以
1
1
1
1
1
1
//
,
//
//
MN A D A D
B C
BC ，
所以
1
1
//
//
MN B C
BC ，所以四点
,
,
,
B C M N 共面，四点
1
1
,
,
,
B C M N 共面.
所以平面BCM 与平面
1
1
B C M 的交线为l 即为MN ，所以点B 到直线l 的距离即点B 到直线MN .
在底面四边形中，
120 ,
2
ACB
AC
BC
°
Ð
=
=
=
，
所以
2
2
2
2
cos120
AB
AC
BC
AC BC
=
-
×
×
°
1
4
4
2 2 2 (
)
12
2
=
- ´ ´ ´ -
=
，即
2 3
AB =
.
又在直棱柱中有MA
AB
^
，所以
2
2
2
1 12
13
MB
MA
AB
=
=
=
，即
13
MB =
.
同理
2
2
2
4 1
5
MC
AC
MA
=
=
=
，即
5
MC =
.
所以在平行四边形BCMN 中，
2
BC
MN
=
=
，
5
MC
BN
=
=
，
13
MB =
所以
2
2
2
cos
2
BC
MC
BM
BCM
BC MC
-
Ð
=
×
4
5 13
5
5
2 2
5
-
=
= -
´ ´
，
由同角三角函数关系得
2
2 5
sin
1 cos
5
BCM
BCM
Ð
=
-
Ð
=
.
设点B 到直线l 的距离为d，根据等面积法
1
2
sin
2 BC MC
BCM
MN d
´
×
×
Ð
=
×
，
即
2 5
2
5
2
5
d
´
´
=
´
，得
2
=
d
.
故答案为：2.
31．（2026·北京延庆·一模）长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的底面ABCD 是一个正方形，其边长为4，长方体的
高为2 2 ，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为______，这个八面体的体积和长
方体的体积之比为______．
【答案】
16 2
1
6
【分析】八面体的表面积是两个四棱锥的侧面积之和，利用长方体的棱长，结合勾股定理求出四棱锥侧面
三角形的边长，判断侧面三角形的形状，再用面积公式计算单个四棱锥侧面积，进而得到八面体表面积；
利用棱锥体积公式计算单个四棱锥体积，进而得到八面体体积，最后求出两者体积之比。
【详解】如图所示，分别以
1
,
,
DA DC DD 所在直线为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系
根据题意可得各点坐标为：
1
1
(4,0,0), (4,4,0),
(0,4,0),
(0,0,0),
(4,0,2 2),
(4,4,2 2)
A
B
C
D
A
B
，
1
1
1
2
(0,4,2 2),
(0,0,2 2),
(2,2,0),
(2,2,2 2)
C
D
O
O
，
(4,2,
2),
(0,2,
2),
(2,0,
2),
(2,4,
2)
E
F
G
H
因为八面体共8 个全等的等腰三角形，以
1
O EG
V
为例：
可得
2
2
2
1
1
(4
2)
(2
2)
( 2
0)
6
O E
O G
=
=
-
-
-
=
，
2
2
2
(4
2)
(2
0)
( 2
2)
2 2
EG =
-
-
-
=
三角形的高为
2
2
( 6)
( 2)
2
-
=
，故
1
1
2 2
2
2 2
2
O EG
S
=
´
´
=
V
所以总表面积为：8 2 2
16 2
´
=
.
长方体体积为：
1
4 4 2 2
32 2
V =
´ ´
=
由八面体是两个四棱锥组合而成，四棱锥底面是正方形，面积为
8
S =
，
可得每个四棱锥的高为2 ，总体积
1
16 2
2 (
8
2)
3
3
V =
´
´ ´
=
2
所以八面体的体积和长方体的体积之比为
2
1
16 2
1
3
6
32 2
V
V =
=
.
32．（2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥P
ABC
-
中，
90
PAB
PAC
BAC
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
1
AB
AC
=
= ，
2
AP =
，
若A ，B ，C ，P 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______
【答案】6π
【分析】将三棱锥补形为长方体并求出其外接球半径，进而求出球的表面积.
【详解】在三棱锥P
ABC
-
中，
90
PAB
PAC
BAC
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
则AB，AC，AP 两两垂直，
三棱锥P
ABC
-
与以AB，AC，AP 为棱的长方体有相同的外接球，
因此球O 半径
2
2
2
1
1
6
2
2
R
AB
AC
AP
=
=
，
所以球O 的表面积为
2
4π
6π
R =
.
33．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形ABCD 中，AB
BC
^
，
2
2
4
AD
AB
BC
=
=
=
，将
ABC
V
沿直
线AC 翻折至
1
AB C
△
的位置，当三棱锥
1
B
ACD
-
的体积最大时，则三棱锥
1
B
ACD
-
的外接球的表面积为
_________．
【答案】16π
【分析】根据题意，当三棱锥
1
B
ACD
-
的体积最大时，平面
1
AB C ^平面ACD ，取AC 的中点E ，证得
1
EB ^
平面ACD ，可求得
1
2
OB =
，在直角ACD
V
中，得到
1
2
OA
OD
OC
OB
=
=
=
=
，得到O 为三棱锥
1
B
ACD
-
外
接球的球心，再由求得面积公式求解即可.
【详解】如图所示，设点
1
B 到平面ACD 的距离为h ，
因为
1
1
3
B
ACD
ACD
V
S
h
-
=
g
△
，且
ACD
SV
为定值，
所以当三棱锥
1
B
ACD
-
的体积最大时，只需h 取得最大值，
此时平面
1
AB C ^平面ACD ，取AC 的中点E ，连接
1
EB ．
因为
2
AB
BC
=
=
且
1
90
AB C
Ð
=
° ，
所以
1
EB
AC
^
且
1
2
EB =
，
因为平面
1
AB C I 平面ACD
AC
=
，且
1
EB Ì 平面
1
AB C ，所以
1
EB ^ 平面ACD ，
取AD 的中点为O ，连接
1
OE OB
，
，因为OE Ì 平面ACD ，所以
1
EB
OE
^
，
因为在梯形ABCD 中，
90
ABC
BAD
Ð
= Ð
=
° ，
1
2
2
AB
BC
AD
=
=
=
，
所以
2 2
AC
CD
=
=
，则
2
2
2
AD
AC
CD
=
，所以AC
CD
^
，
且
2
OE =
，在直角
1
B OE
V
中，
2
2
1
1
2
OB
OE
B E
=
=
，
在直角ACD
V
中，根据直角三角形的中线性质，
1
2
2
OA
OD
OC
AD
=
=
=
=
，
所以
1
2
OA
OD
OC
OB
=
=
=
=
，即O 为三棱锥
1
B
ACD
-
外接球的球心，
设三棱锥
1
B
ACD
-
外接球的半径为R ，则
2
R =
，
所以
2
4π
16π
S
R
=
=
．
故答案为：16π .
34．（2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为1: 2，当圆台体积最大时，以此圆台
的上、下底面为截面的球的表面积为________．
【答案】171π
【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值
的条件，再按外接球球心在两平行平面间或外分类求出球半径即可.
【详解】设圆台上底半径为r ，则其下底半径为2r ，高
2
9
h
r
=
-
，
此圆台的体积
2
2
2
π
7π
(
2
4
)
(9
)
3
3
V
r
r
r
r
h
h
h
=
×
=
-
，0
3
h
<
<
，
求导得
2
7π (9
3
)
3
V
h
¢ =
-
，当0
3
h
<
<
时，
0
V¢ >
；当3
3
h
<
<
时，
0
V¢ <
，
函数
2
7π (9
)
3
V
h
h
=
-
在(0, 3)上单调递增，在( 3,3) 上单调递减，
则当
3
h =
，即
6
r =
时，此圆台体积取得最大值，
设球的半径为R ，则球心到两个截面距离分别为
2
2
6,
24
R
R
-
-
，
显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上，
则
2
2
6
24
3
R
R
-
-
=
或
2
2
6
24
3
R
R
-
-
-
=
，
解
2
2
6
24
3
R
R
-
-
=
，无解；解
2
2
6
24
3
R
R
-
-
-
=
，得
2
4
171
R =
，
所以此圆台的外接球的表面积为171π .
35．（2026·贵州安顺·一模）已知点M 为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的外接球上的动点，且
2
MB
MA
=
，若
1
2
AA =
，
3
AB = ，则点M 的轨迹长度为______．
【答案】2 2π
【分析】根据题意，先取底面ABC 的中心O ，确定正三棱柱的外接球的球心为
1
O ，求出其半径为2，建系
后求出相关点的坐标，设点
( , , )
M x y z ，利用
2
MB
MA
=
可推得
2
2
2
3 3
1
4
2
2
x
y
z
æ
ö
æ
ö
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即得点M 的
轨迹为以点
2
3 3 1
,
,0
2
2
O æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
为球心，半径为2 的球面，进而可得点M 的轨迹为两球的交线圆，利用垂径定理
求出交线圆的半径即得轨迹长度.
【详解】设点O 为正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面ABC 的中心，
1
O 为其外接球的球心，
易得
1
O O ^ 平面ABC ，且
1
1
1
1
2
O O
AA
=
= ，因
3
AB = ，则
2
3
3
3
3
2
OA =
´
´
=
，
则该外接球的半径为
2
2
1
1
( 3)
2
R
O A
=
=
=
.
以点O 为坐标原点，分别以
1
,
OA OO 所在直线为,x z 轴，以过点O 与BC 平行的直线为y 轴建立空间直角坐标
系.
则
1
3
3
3,0,0 ,
,
,0 ,
0,0,1
2
2
A
B
O
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，设点
( , , )
M x y z ，
由
2
MB
MA
=
可得
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
2
2
x
y
z
x
y
z
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
两边取平方，展开整理得：
2
2
2
3 3
3
0
x
x
y
y
z
-
-
=
，配方可得
2
2
2
3 3
1
4
2
2
x
y
z
æ
ö
æ
ö
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则点M 的轨迹为以点
2
3 3 1
,
,0
2
2
O æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
为球心，半径为2 的球面.
因球
1
2
,
O O 的球心距为
2
2
2
1
2
3 3
1
0 1
2 2
2
2
O O
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
两球半径都是2，则两球的交线圆的半径r 满足
2
2
2
2
2
r =
-
=
，
故点M 的轨迹为交线圆，其周长为
2π
2 2π
L
r
=
=
，即点M 的轨迹长度为2 2π .
故答案为：2 2π .
题型21 立体几何大题35 个重点题型
题号
核心题型
题型解决关键点
1
线面角计算与空间
向量法
利用面面垂直性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线方向向量
与平面法向量夹角，得线面角正弦值。
2
线面垂直判定与线
面角计算
利用勾股定理证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂直，建立空间
直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值。
3
面面平行证线面平
行与线面角计算
通过构造面面平行证明线面平行，建立空间直角坐标系，求直线方向向量
与平面法向量的夹角，得线面角正弦值。
4
面面垂直判定与线
利用等腰三角形三线合一证线线垂直，结合线面垂直判定定理证线面垂
面角计算
直，进而证面面垂直；建立坐标系求线面角正弦值。
5
翻折问题中的面面
垂直与线面角
翻折前后垂直关系不变，利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立空间直
角坐标系，由二面角确定坐标，求线面角正弦值。
6
四点共面证明与面
面角计算
建立空间直角坐标系，通过向量共面证明四点共面；分别求两平面法向量，
用向量夹角公式求面面角的余弦值。
7
线面平行证明与面
面角正弦值
取棱中点构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法
向量，由向量夹角余弦求面面角的正弦值。
8
线面角计算与垂直
存在性探究
建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；假设存在点满足垂直
条件，列方程求解，判断解的存在性。
9
线面平行证明与点
到平面距离
利用中位线证线面平行；建立空间直角坐标系，由面面角余弦值求参数，
再用法向量求点到平面的距离。
10
面面垂直判定与线
面角及体积定值
由面面垂直得线面垂直，证线线垂直；建立坐标系求线面角正弦值；利用
外接球球心性质证体积为定值。
11
面面垂直判定与线
面角余弦值
利用等腰梯形性质和面面垂直证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系，
由线面角正弦值求参数，再求线面角余弦值。
12
线线垂直证明与点
关于平面对称
利用菱形性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由线面角求点坐标，求
对称点坐标，再用向量法求点到平面距离。
13
线线垂直证明与线
面角正弦值
利用等腰三角形三线合一证线线垂直；建立空间直角坐标系，由投影条件
确定点坐标，再求线面角正弦值。
14
线面垂直判定与面
面角及存在性问题
由勾股定理和面面垂直证线面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；设参数
表示点坐标，由线面角正弦值列方程求解。
15
面面垂直判定与线
面角正弦值
利用中点性质和中位线证线面垂直；建立坐标系，由点到平面距离求参数，
再求线面角正弦值。
16
面面垂直判定与线
面角范围
利用线面垂直判定定理证面面垂直；通过几何法或向量法将线面角表示为
函数，求取值范围。
17
面面平行证明与面
面角存在性
由线线平行证面面平行，进而证线线平行；建立坐标系，设参数表示点坐
标，由面面角余弦值列方程求解。
18
面面垂直判定与面
面角余弦值
利用中位线证线线平行，结合线面垂直证面面垂直；建立坐标系，求两平
面法向量，由向量夹角求面面角余弦值。
19
面面角正切值与线
面角范围及外接球
建立空间直角坐标系，求两平面法向量得面面角正切值；将线面角正弦值
表示为函数求值域；利用对称性求外接球半径。
20
二面角余弦值与面
面垂直求参数
建立空间直角坐标系，求两平面法向量得二面角余弦值；由面面垂直得法
向量数量积为零，列方程求参数。
21
线面平行证明与面
面角余弦值
构造平行四边形证线面平行；建立空间直角坐标系，求两平面法向量，用
向量夹角公式求面面角余弦值。
22
面面垂直判定与面
面角及存在性问题
利用菱形性质证线面垂直，进而证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；
设参数表示点坐标，由线面垂直列方程求参数。
23
线线垂直证明与面
面角及截面问题
利用等腰三角形三线合一和面面垂直证线线垂直；建立坐标系求面面角余
弦值；利用共面条件列方程求参数。
24
线面平行证明与异
面直线距离及面面
角范围
建立空间直角坐标系，由线面角求高；利用公垂线向量求异面直线距离；
由四点共面得参数关系，将面面角表示为函数求值域。
25
空间向量线性表示
与线面角及体积最
利用空间向量线性运算表示向量；通过几何法求线面角；建立坐标系，由
四点共面求参数，用基本不等式求体积最值，再求面面角余弦值。
值
26
面面交线夹角与线
面角最值及截面体
积
利用中位线求两直线夹角；建立坐标系，将线面角正弦值表示为函数，用
换元法求最值；利用截面性质求体积范围。
27
面面垂直判定与外
接球体积及线面角
利用勾股定理和余弦定理证线线垂直，进而证面面垂直；由外接球性质列
方程求半径；建立坐标系求线面角正弦值。
28
面面垂直判定与面
面角及体积最值
利用线面垂直判定定理证面面垂直；建立坐标系求面面角余弦值；将线面
角正弦值表示为函数，由基本不等式求最值，再求体积。
29
线面平行证明与面
面角及定值存在性
利用中位线证线面平行；建立坐标系，由面面角余弦值求参数；通过向量
法判断是否存在点使距离为定值。
30
线线垂直证明与二
面角大小
利用面面垂直性质证线面垂直，进而证线线垂直；由体积求高，建立坐标
系或几何法求二面角。
31
四点共面证明与点
到平面距离及线面
角
利用线线平行证四点共面；由球心性质建系求点到平面距离；由球面距离
最小确定点位置，再求线面角正弦值。
32
线面平行证明与点
到平面距离及二面
角正弦值
构造平行四边形证线面平行；建立坐标系，由距离相等求参数，再求二面
角正弦值。
33
线面垂直判定与面
面角存在性
利用勾股定理证线线垂直，进而证线面垂直；建立坐标系，设参数表示点
坐标，由面面角余弦值列方程求参数。
34
线线垂直证明与线
面角及体积最值
利用全等三角形证线线垂直；通过几何法求线面角；将体积表示为函数，
利用换元法和导数求体积最大时的参数值。
35
线线垂直证明与线
面角范围及内切球
半径
利用面面垂直证线面垂直，进而证线线垂直；建立坐标系，由线面角正弦
值求参数范围；利用等体积法和三角形面积公式证内切球半径不等式。
1．（2026·山东·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，平面PAD ^平面
^
=
ABCD
PA
PD
PA
PD
，
，
，
底面ABCD 为等腰梯形，且
2
2
4
=
=
=
AD
BC
AD
BC
AB
E
∥
，
，
为AD 的中点．
(1)求直线PB 与平面ABCD 的夹角；
(2)若
1
1
3
3
=
=
AF
AP CG
CP
uuur
uuur uuur
uuur
，
，平面EFG 与PB 交于点M ，求线段BM 的长度．
【答案】(1) π
4
(2) 2
【分析】（1）方法一：根据面面垂直的性质定理，结合线面角定义进行求解即可；
方法二：根据面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据空间向量的线性运算坐标公式，结合法向量的性质进行求解即可.
【详解】（1）方法一：连接PE
EB
，
，因为PA
PD
=
，所以PE
AD
^
，
又因为平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，
所以PE ^ 平面ABCD ，
所以
PBE
Ð
即为直线PB 与平面ABCD 的夹角，
因为
4
=
^
=
AD
PA
PD
PA
PD
，
，
，所以
2
PE =
．
又因为底面ABCD 为等腰梯形，且
/ /
2
2
4
=
=
=
AD
BC
AD
BC
AB
，
，
所以
/ /
=
ED
BC
ED
BC
，
，所以四边形EDCB 为平行四边形，所以
2
EB
CD
=
=
．
则tan
1
=
PBE
Ð
，所以
π
4
PBE
Ð
=
，
所以直线PB 与底面ABCD 的夹角为π
4
方法二：连接PE
EB
，
，因为PA
PD
=
，所以PE
AD
^
，
又因为平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD 交平面ABCD 于AD ，
所以PE ^ 平面ABCD ，
所以
PBE
Ð
即为直线PB 与底面ABCD 的夹角，
因为
4
=
^
=
AD
PA
PD
PA
PD
，
，
，所以
2
PE =
．
又因为底面ABCD 为等腰梯形，且
/ /
2
2
4
=
=
=
AD
BC
AD
BC
AB
，
，
所以
/ /
=
ED
BC
ED
BC
，
，所以四边形EDCB 为平行四边形，所以
2
EB
CD
=
=
．
取BC 的中点H ，连接EH ，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以EH
AD
^
，
由PE ^ 面ABCD ，建立空间直角坐标系如图所示，
所以
0,0,2 ,
1, 3,0
P
B
，所以
1,
3,2
BP = - -
uuur
，
面ABCD 的法向量为
0,0,1
n =
r
，所以
2
2
cos
,
2
2 2
BP n =
=
uuur r
，
所以直线PB 与底面ABCD 的夹角为π
4 ；
（2）取BC 的中点H ，连接EH ，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以EH
AD
^
，
由（1）得PE ^ 面ABCD ，建立空间直角坐标系如图所示，
所以
2,0,0 ,
0,0,2 ,
1, 3,0 ,
1, 3,0
A
P
B
C -
，
所以
2,0,2 ,
1,
3,2 ,
1,
3,2
AP
BP
CP
= -
= - -
=
-
uuur
uuur
uuur
，
因为
1
3
AF
AP
=
uuur
uuur
，所以
2
2
,0,
3
3
AF
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
uuur
，则
4
2
,0,
3
3
EF
EA
AF
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
同理
2 2 3 2
,
,
3
3
3
EG
EC
CG
æ
ö
=
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
设面EFG 的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，所以
0
0
m EF
m EG
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，则
2
0
3
0
x
z
x
y
z
=
ìïí-
=
ïî
，
不妨令
1
x = ，所以
3
2
=
= -
y
z
，
，则
1, 3, 2
m =
-
r
．
令
,
3 ,2
BM
BP
l
l
l
l
=
= -
-
uuuur
uuur
，所以
1
, 3
3 ,2
EM
EB
BM
l
l
l
=
=
-
-
uuuur
uuur
uuuur
因为点M 在面EFG 中，所以
1
3
3
4
0
m EM
l
l
l
×
= -
-
-
=
uuuur
r
，所以
1
2
l =
，
所以
1
3
,
,1
2
2
BM
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuuur
，所以
2
BM =
uuuur
．
综上，线段BM 的长度为2 ．
2．（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
ABC
V
为等边三角形，四边形
1
1
BCC B 是边长为2
的正方形，D 为AB 中点，且
1
5
A D =
．
(1)求证：CD ^ 平面
1
1
ABB A ；
(2)已知P 为线段
1
B C 中点，求直线AP 与平面
1ACD 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 5
5
【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
1ACD 的法向量，结合向量法求线面角求解即可.
【详解】（1）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
2
AA
BB
=
=
，
1
1
2
AD
AB
=
= ，
1
5
A D =
2
2
2
1
1
5
AD
A A
A D
=
=
，则
1
^
A A
AD .
又四边形
1
1
BCC B 是正方形，则
1
B B
BC
^
，
1
1
/ /
B B
A A，所以
1A A
BC
^
.
又AD
BC
B
=
I
，
,
AD BC Ì 平面ABC ，因此
1A A ^ 平面ABC .
又CD Ì 平面ABC ，所以
1
CD
AA
^
.
在等边
ABC
V
中，D 为AB 中点，则CD
AB
^
，
又
1
AB
AA
A
Ç
=
，
1
,
AB AA Ì 平面
1
1
ABB A ，所以CD ^ 平面
1
1
ABB A .
（2）
取BC 中点为O ，
1
1
B C 中点为Q ，则OA
BC
^
，OQ
BC
^
.
由（1）知，
1A A ^ 平面ABC ，OA Ì 平面ABC ，则
1
OA
AA
^
.又
1
1
/ /
B B
A A，故
1
OA
BB
^
.
又
1
BB
BC
B
=
I
，
1,
BB BC Ì 平面
1
1
BCC B ，则OA ^ 平面
1
1
BCC B .即
,
,
OA OB OQ 两两垂直.
以O 为坐标原点，OB
uuur
，OQ
uuur
，OA
uuur
的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
0,0,0
O
，
0,0, 3
A
，
1 0,2, 3
A
，
1,0,0
C -
，
1
3
,0,
2
2
Dæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
1 1,2,0
B
，
因为P 为线段
1
B C 中点，所以
0,1,0
P
.
3
3
,0,
2
2
CD
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
1
1,2, 3
CA =
uuur
，
0,1,
3
AP =
-
uuur
.
设平面
1ACD 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
0
0
n CD
n CA
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
3
3
0
2
2
2
3
0
x
z
x
y
z
ì
=
ïí
ï
=
î
，故可取
1,1,
3
n =
-
r
.
设直线AP 与平面
1ACD 所成角为a ，
则
2
2
2
2
2
2
0 1 1 1
3
3
4
2 5
sin = cos
,
5
2
5
0
1
3
1
1
3
AP n
a
´ ´ -
´ -
=
=
=
´
-
×
-
uuur r
所以直线AP 与平面
1ACD 所成角的正弦值为2 5
5
.
3．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D ，E ，F 分别为棱
1
BB ，
1
AA ，
1
CC 的中
点，G 为线段EF 上的动点.
(1)证明：
1
/ /
B G
平面ACD .
(2)若G 为线段EF 的中点，且
4
AB =
，
1
2 2
AA =
，求AG 与平面ACD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2) 14
7
.
【分析】第一小问 分别连接EB1、FB1，利用平面EFB1 与平面ACD 面面平行推出线面平行，第二小问利
用空间向量将线面角转化成求直线方向向量与平面法向量所成的角.
【小题1】证明：连接
1
B E ，
1B F .
因为D ，E ，F 分别为棱
1
BB ，
1
AA ，
1
CC 的中点，
1
1
1
ABC
A B C
-
为正三棱柱
所以AE
CF
P
，AE
CF
=
，所以四边形ACFE 为平行四边形，则EF
AC
∥
，
又EF Ë 平面ACD ，AC Ì 平面ACD ，所以EF P平面ACD .
同理可得
1B F P 平面ACD .
因为
1
B F
EF
F
Ç
=
，所以平面
1
∥
B EF
平面ACD .
又
1
B G Ì 平面
1
B EF ，所以
1B G∥平面ACD .
【小题2】解：取AC 的中点O ，连接OB ，OG ，则
1
OG
AA
P
在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，则OB
AC
^
，OG
AC
^
，OG
OB
^
.
以O 为坐标原点，OC ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y ，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
2,0,0
A -
，
2,0,0
C
，
0,2 3,
2
D
，
0,0,
2
G
，
所以
4,0,0
AC =
uuur
，
2,2 3,
2
AD =
uuur
，
2,0,
2
AG =
uuur
.
设平面ACD 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
4
0
n AC
x
×
=
=
uu
r
ur
，
2
2 3
2
0
n AD
x
y
z
×
=
=
u
r
uur
，
令
1
y = ，得
0,1,
6
n =
-
r
.
由
2 3
14
cos
,
7
6
7
AG n
AG n
AG n
×
-
=
=
= -
´
uuur r
uuur r
uuur r
，
所以AG 与平面ACD 所成角q 的正弦值
14
sin
cos
,
7
AG n
q =
=
uuuurr
.
得AG 与平面ACD 所成角的正弦值为14
7
.
4．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，
2
BC
PB
PC
=
=
=
，BC
AP
^
，D 是BC 的中点.
(1)证明：平面ABC ^ 平面APD ；
(2)若
1
AD = ，三棱锥P
ABC
-
的体积为
3
3
，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
7
【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）利用锥体体积求出
ADP
Ð
，再建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量，然后利用线面角的向量
法求解.
【详解】（1）由
2
BC
PB
PC
=
=
=
，D 是BC 的中点，得BC
PD
^
，而BC
AP
^
，PD
AP
P
=
I
，
,
PD PA Ì 平面APD ，则
^
BC
平面APD ，而
Ì
BC
平面ABC ，所以平面ABC ^ 平面APD .
（2）由（1）知
^
BC
平面APD ，则
1
1 1
sin
3
3 2
P ABC
PAD
V
S
BC
AD PD
ADP BC
-
=
×
=
×
×
Ð
×
V
，
而
3
1,
3,
2,
3
P ABC
AD
PD
BC
V -
=
=
=
=
，解得sin
1,
90
ADP
ADP
Ð
=
Ð
=
o，
即PD
AD
^
，直线
,
,
DA DB DP 两两垂直，
以D 为原点，直线
,
,
DA DB DP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
(1,0,0), (0,1,0),
(0, 1,0), (0,0, 3)
A
B
C
P
-
，
(1,0,
3),
(0,1,
3),
(0, 1,
3)
PA
PB
PC
=
-
=
-
=
- -
uuur
uuur
uuur
，
设平面PAB 的法向量
( , , )
n
x y z
=
r
，则
3
0
3
0
n PA
x
z
n PB
y
z
ì ×
=
-
=
ïí
×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
1
z = ，得
( 3, 3,1)
n =
r
，
因此
|
|
2 3
21
| cos
,
|
7
|
||
|
2
7
PC n
PC n
PC
n
×
á
ñ =
=
=
×
uuur r
uuur r
uuur
r
，
所以直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
21
7
.
5．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形ABCD 中，
60
A
Ð
=
°，
2
AB =
，E 为AB 的中点，将
ADE
V
沿DE
翻折至A DE
¢
V
，得到四棱锥A
BCDE
¢ -
.
(1)证明：平面A BE
¢
^平面BCDE ；
(2)当二面角A
DE
C
¢ -
-
为120°时，求CA¢和平面A DE
¢
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
30
10
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，判断二面角A
DE
C
¢ -
-
对应的平面角，求出相关点的坐标，结合线面角的向量
求法求解即可.
【详解】（1）由题意得，
ABD
△
为等边三角形，
又E 为AB 中点，所以DE
EA
^
，DE
EB
^
，故DE
A E
^
¢
.
又因为A E
BE
E
¢
Ç
=
，所以DE ^平面A BE
¢
.
又因为DE Ì平面BCDE ，所以平面A BE
¢
^平面BCDE .
（2）如图，以E 为原点，ED ，EB 以及垂直于平面BCDE 的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，BE
DE
^
，
又A E
DE
¢
^
，所以
¢
ÐA EB 即为二面角A
DE
C
¢ -
-
的平面角，即
120
A EB
¢
Ð
=
°.
则
0,0,0
E
，
1
3
0,
,
2
2
A æ
ö
-
ççè
¢
÷÷ø
，
3,2,0
C
，
3,0,0
D
.
5
3
3,
,
2
2
CA
æ
ö
= -
-
ç
÷÷
è
ø
¢
ç
uuur
，
1
3
0,
,
2
2
EA
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
è
¢
ø
uuur
，
3,0,0
ED =
uuur
，
设平面A DE
¢
的法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
则
0
0
n EA
n ED
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
¢
r
r
，即
1
3
0
2
2
0
y
z
x
ì-
=
ïí
ï =
î
，取
0, 3,1
n =
r
设直线CA¢与平面A DE
¢
所成的角为q ，
则
2 3
30
sin
cos
,
10
2 10
CA n
CA n
CA n
q
¢
¢
=
=
¢
×
=
=
uuur r
uuur r
uuur r
，
所以直线CA¢与平面A DE
¢
所成角的正弦值为
30
10
.
6．（2026·广东·一模）如图，平面ABEF ^ 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
90 ,
2
,
2
BAD
FAB
AD
BC AF
BE
Ð
Ð
=
°
=
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
．
(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共面；
(2)设
2,
1
AB
BC
BE
=
=
= ，求平面ADE 与平面CDE 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
5
5
【分析】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A
xyz
-
,设
,
,
AB
a
BC
b
BE
c
=
=
=
,通过向量法
可证得
/ /
EC
FD ，即
,
,
,
C D F E 共面;
(2)分别求出平面ADE 与平面CDE 的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由平面ABEF ^ 平面ABCD ，AF
AB
^
，得AF ^平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立如图
所示的直角坐标系A
xyz
-
：
设
,
,
AB
a
BC
b
BE
c
=
=
=
，
则
( ,0,0),
( , ,0),
( ,0, ),
(0,2 ,0),
(0,0,2 )
B a
C a b
E a
c D
b
F
c ，
0, ,
,
0,2 , 2
EC
b
c
FD
b
c
=
-
=
-
uuur
uuur
故
1
2
EC
FD
=
uuur
uuur
，
/ /
EC
FD
\
，
,
,
,
C
D
E F
\
共面.
（2）设
2,
1
AB
BC
BE
=
=
= ，故
(2,0,0),
(2,1,0),
(2,0,1),
(0,2,0)
B
C
E
D
，
设平面ADE 的法向量为
1
1
1
( ,
,
)
m
x y z
=
ur
，
由
(2,0,1),
(0,2,0)
AE
AD
=
=
uuur
uuur
，
(0, 2,2)
CE =
-
uuur
得
1
1
1
2
0
2
0
x
z
y
=
ì
í
=
î
，取
1
1
x = ，可得
1
2
z = - ；
(1,0, 2)
m
\
=
-
ur
，
设平面CDE 的法向量为
2
2
2
(
,
,
)
n
x
y
z
=
r
，
由
( 2,1,0)
CD = -
uuur
，
(0, 1,1)
CE =
-
uuur
得
2
2
2
2
2
0
0
x
y
y
z
-
=
ì
í-
=
î
，取
2
1
x = ，所以
2
2
2,
2
y
z
=
=
，
(1,2,2)
n
\
=
r
，
设平面ADE 与平面CDE 夹角为q
1 4
5
cos
cos
,
|
5
5 3
m n
m n
m n
q
×
-
\
=
=
=
=
×
×
r r
r r
r
r
,
即平面ADE 与平面CDE 夹角的余弦值
5
5
.
7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
内接于圆柱
1
OO ，且底面为矩形，B 是圆柱
1
OO
底面圆O 的圆周上一动点，AC 是圆O 的直径，且
1
AC
AA
=
，E 是AB 的中点，Q 是
1
BB 的中点．
(1)证明：
1
/ /
O E
平面
1
1
ADD A ；
(2)设
COB
q
Ð
=
，求平面
1
AQC 与平面ABC 的夹角的正弦值.（用q 表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
1
1
sin q
【分析】（1）取
1
1
AD 的中点F ，根据中位线的性质可证四边形
1
AEO F 为平行四边形，得到
1
/ /
AF
O E ，根
据线面平行的判定定理可证；（2）以O 为坐标原点，直线OC ，
1
OO 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，
求得平面
1
AQC 与平面ABC 的法向量，即可求得面面夹角的余弦值，进而根据同角三角函数的关系式可求
得其正弦值.
【详解】（1）如图，取
1
1
AD 的中点F ，连接
1,
FO AF ，
则
1
1
1
/ /
FO
D C ，且
1
1
1
1
2
FO
D C
=
．
因为底面为矩形，所以
1
2
AE
AB
=
，
1
1
/ /
AB
D C ，且
1
1
AB
D C
=
，
所以
1 / /
FO
AE ，且
1
FO
AE
=
，
则四边形
1
AEO F 为平行四边形，所以
1
/ /
AF
O E ．
因为AF Ì 平面
1
1
ADD A ，
1
O E Ë 平面
1
1
ADD A ，
所以
1
/ /
O E
平面
1
1
ADD A ．
（2）以O 为坐标原点，直线OC ，
1
OO 分别为,y z 轴，过点O 且在底面内与AC 垂直的直线为x 轴建立空间
直角坐标系，如图所示．
设
2
AC =
，则
0, 1,0
A
-
，
1 0,1,2
C
，
sin ,cos ,1
Q
q
q
，
所以
sin ,1
cos ,1
AQ
q
q
=
uuur
，
1
0,2,2
AC =
uuuur
．
设平面
1
AQC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
sin
1 cos
0
2
2
0
AQ n
x
y
z
AC n
y
z
q
q
ì
×
=
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur r
uuuur r
，
令
sin
z
q
=
，得
cos , sin ,sin
n
q
q
q
=
-
r
.
易知平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
m =
r
．
设平面
1
AQC 与平面ABC 的夹角为a ，
则
2
sin
cos
cos
,
1
sin
m n
m n
m n
q
a
q
×
=
=
=
r r
r r
r r
．
所以
2
2
2
2
sin
1
sin
1
cos
1
1
sin
1
sin
q
a
a
q
q
=
-
=
-
=
，
即平面
1
AQC 与平面ABC 的夹角的正弦值为
2
1
1
sin q
．
8．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台ABC
DEF
-
中，AD ^ 平面DEF ，DE
DF
^
，
2
AB =
，
4
=
AD
，
8
DE
DF
=
= ，G 是棱CF 上一点（不含端点）．
(1)若G 为CF 的中点，求直线EG 与平面BCD所成角的正弦值．
(2)是否存在点G ，使得BD
EG
⊥
？若存在，求出CG
GF 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) 8 93
279
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；
（2）方法一假设存在点G ，根据
0
BD EG =
×
uuur uuur
求解得出G 与C 重合，与题意矛盾；方法二根据线面垂直的判
定及性质，若BD
EG
⊥
可证明BD ^ 平面ACFD ，又AB ^平面ACFD ，得出矛盾.
【详解】（1）由AD ^ 平面DEF ，DE
DF
^
，可得
,
,
DE DF DA两两垂直．
以D 为坐标原点，
,
,
DE DF DA所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
2,0,4
B
，
0,0,0
D
，
8,0,0
E
，
0,2,4
C
，
0,8,0
F
．
由G 为CF 的中点，可得
0,5,2
G
，
2,2,0
BC = -
uuur
，
2,0, 4
BD = -
-
uuur
，
8,5,2
EG = -
uuur
．
设平面BCD的法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，
由
0
0
BC m
BD m
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，可得
2
2
0
2
4
0
x
y
x
z
-
=
ì
í-
-
=
î
，令
2
x =
，得
2,2, 1
m =
-
r
．
设直线EG 与平面BCD所成的角为q ，
则
8
8 93
sin
cos
,
279
3 93
EG m
EG m
EG m
q
×
=
=
=
=
uuur r
uuur r
uuur r
，
即直线EG 与平面BCD所成角的正弦值为8 93
279
．
（2）（方法一）连接EC ，如图，
由
8,2,4 ,
0,6, 4
EC
CF
= -
=
-
uuur
uuur
，
可得
8,2
6 ,4
4
EG
EC
CG
EC
CF
l
l
l
=
=
= -
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
．
假设存在点G （异于
,
C F ），使得BD
EG
⊥
，则
16 16 16
0
BD EG
l
×
=
-
=
uuur uuur
，
解得
0
l =
，则G 与C 重合，
这与假设矛盾，则假设不成立，故不存在点G ，使得BD
EG
⊥
．
（方法二）假设存在点G （异于
,
C F ），使得BD
EG
⊥
．
因为AD ^ 平面DEF ，DE Ì平面DEF ，所以AD
DE
^
．又AB
DE
∥
，
所以AD
AB
^
．
连接
,
AE AG ．由
2,
4,
8
AB
AD
DE
=
=
=
，可得ABD
DAE
V
V
∽
，
则
ABD
DAE
Ð
= Ð
，
90
ABD
BAE
Ð
Ð
=
°，则BD
AE
^
．
因为BD
EG
⊥
，AE
EG
E
=
I
，
,
AE EG Ì 平面AEG，所以BD ^ 平面AEG．
又AG Ì平面AEG，所以AG
BD
^
．
因为AC
AB
^
，AC
AD
^
，AB
AD
A
Ç
=
，
,
AB AD Ì平面ABED ，所以AC ^平面ABED ．
又BD Ì 平面ABED ，所以AC
BD
^
，
又AC
AG
A
Ç
=
，
,
AC AG Ì 平面ACFD ，从而BD ^ 平面ACFD ，
这与AB ^平面ACFD 矛盾，则假设不成立，故不存在点G ，使得BD
EG
⊥
．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为CD，PA
的中点.
(1)证明：
/ /
EF
平面PBC；
(2)若平面PAB ^ 平面ABCD，PA
PB
=
，
2
AB =
，
60
BAD
Ð
=
° ，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值为
4 31
31
，求点F 到平面PBC 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 57
19
【分析】（1）利用中位线定理结合平行四边形的性质得到
//
EF CG ，再结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法求出P 点坐标，再由点到平面距离的向量法求解即可.
【详解】（1）取PB 中点G ，连接
,
FG GC ，
,
,
E F G
Q
分别为
,
,
CD PA PB 的中点，
//
FG AB
\
且
1
2
FG
AB
=
，
//
CE AB 且
1
2
CE
AB
=
，
//
FG CE
\
，且FG
CE
=
，则四边形CEFG 为平行四边形，
//
EF CG
\
，
EF Ë
Q
平面
,
PBC CG Ì 平面PBC ，
//
EF
\
平面PBC .
（2）取AB 中点O ，连接OP，OD，BD
因为PA
PB
=
，所以PO
AB
^
，
∵平面PAB ^ 平面ABCD ，PO Ì 面PAB ，AB 为交线，
PO
\
^ 平面ABCD ，
60
BAD
°
Ð
=
Q
，
ABD
\V
为正三角形，
OD
AB
\
^
，
以O 为原点，分别以OB，OD，OP 为x ，y ，z 轴建系，如图，
设OP
t
= ，
0
t >
则
(0,0, )
P
t ，
( 1,0,0)
A -
，
(1,0,0)
B
，
(1, 3,0)
E
，
(2, 3,0)
C
，
所以
(1,0, ),
(2, 3,0),
1, 3,0
AP
t
AE
BC
=
=
=
uuur
uuur
uuur
，
易知平面PAB 的法向量可取
(0,1,0)
m =
ur
，
设平面PAE 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，
因为
2
3
0
0
n AE
x
y
n AP
x
tz
ì ×
=
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
3
x =
，可取
3
3, 2,
n
t
æ
ö
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，
所以
2
|
|
2
4 31
cos
,
|
||
|
31
3
7
m n
m n
m n
t
×
á
ñ =
=
=
r r
r r
r
r
，解得
2
t =
，
所以
1 ,0,1
2
F æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
3 ,0,1
2
BF
æ
ö
= -
ç
÷
è
ø
uuur
，
1,0, 2
PB =
-
uuur
，
设平面PBC 的法向量为
( , , )
l
a b c
=
r
，
因为
2
0
3
0
l PB
a
c
l BC
a
b
ì ×
=
-
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
2
a =
，可得
2
2,
,1
3
l
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
r
，
所以
3 1
2
2 57
19
4
19
4
1
3
3
BF l
d
l
×
-
=
=
=
=
uuur r
r
.
10．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是正方形，平面PAB ^ 平面
ABCD ，PAB
V
是边长为2 的等边三角形，E 为侧棱PB 的中点，F 为线段BC 上一点.
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)若
//
EF
平面PCD，求直线PF 与平面PAD 所成角的正弦值；
(3)设点G 为三棱锥E
ABF
-
的外接球的球心，试判断三棱锥G
PAD
-
的体积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
5
(3)是定值，
3
3
【分析】（1）先由面面垂直证明
^
BC
平面PAB ，得BC
AE
^
，再由题设条件证明AE
PB
^
，即可证明AE ^
平面PBC ，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由
//
EF
平面PCD证得
//
EF PC ，得F 为线段BC 的中点，取AB 的中点O 为坐标原点建系，求出相关
向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得；
（3）先判断三棱锥E
ABF
-
外接球的球心为线段AF 的中点G ，易得
//
OG AD ，可得点G 到平面PAD 的距
离为点B 到平面PAD 的距离的一半，利用等体积即可求出三棱锥G
PAD
-
的体积.
【详解】（1）Q平面PAB ^ 平面ABCD ，平面PAB Ç 平面 ABCD
AB
=
，BC
AB
^
，且
Ì
BC
平面ABCD ，
则
^
BC
平面PAB ，
因AE Ì 平面PAB ，则BC
AE
^
，又
,
PA
AB PE
EB
=
=
，则AE
PB
^
，
因
,
,
PB
BC
B PB BC
Ç
=
Ì 平面PBC ，则AE ^ 平面PBC ，
又AE Ì 平面AEF ，故平面AEF ^ 平面PBC .
（2）由
//
EF
平面PCD，平面PDC I 平面PBC
PC
=
，EF Ì 平面PBC ，则
//
EF PC
故F 为BC 的中点，取AB 的中点O ，连接OP ，OP
AB
^
，
则
^
BC
平面PAB ，因OP Ì 平面PAB ，则BC
OP
^
，
BC
AB
B
Ç
=
，
,
BC AB Ì 平面ABCD ，所以OP ^ 平面ABCD
故可以O 为坐标原点，OB ，OP 所在直线为,x z 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系O
xyz
-
，
由题意，
0,0, 3
P
，
1,0,0
A -
，
1,2,0
D -
，
1,1,0
F
，
则
1,0,
3
PA = -
-
uuur
，
0,2,0
AD =
uuur
，
1,1,
3
PF =
-
uuur
.
设平面PAD 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
3
0
2
0
n PA
x
z
n AD
y
ì ×
= - -
=
ïí
×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，故可取
3,0,1
n = -
r
，
设PF 与平面PAD 所成角为a ，则
2 3
15
sin
5
2 5
PF n
PF
n
a
×
=
=
=
×
uuur r
uuur
r
.
（3）由（1）知，AE ^ 平面PBC ，因EF Ì 平面PBC ，则AE
EF
^
，即
AEF
△
为直角三角形，
又
ABF
△
也为直角三角形，则三棱锥E
ABF
-
外接球的球心为线段AF 的中点G .
//
OG BF ，即
//
OG AD ，OG 在平面PAD 外，AD 在平面PAD 内，则
//
OG
平面PAD ，
故点G 到平面PAD 的距离等于点O 到平面PAD 的距离，又等于点B 到平面PAD 的距离的一半.
故
1
1
2
2
G PAD
O PAD
B PAD
P ABD
V
V
V
V
-
-
-
-
=
=
=
，
而
1
1
1
2 3
2 2
3
3
3
2
3
P ABD
ABD
V
S
PO
-
=
×
=
´
´ ´ ´
=
V
，故
3
3
G PAD
V -
=
.
11．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为等腰梯形，
/ /
AD
BC ，
1
AB
BC
=
= ，
2
AD =
，E 为AD 的中点，且PA
PD
=
，平面PAD ^平面ABCD ．
(1)求证；平面PAC ^ 平面PBE ；
(2)设直线PC 与平面PBE 所成的角为π
4 ，求直线PB 与平面PCD所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 5
5
【分析】（1）推导出AC
BE
^
，PE
AC
^
，从而AC ^平面PBE ，由此能证明平面PBE ^平面PAC ．
（2）取BC 的中点H ，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设PE
t
= ，先根据线面角正弦值得出
2
2
PE
t
= =
，再应用线面角正弦公式计算得
5
sin
5
q =
，最后应用同角三角函数关系计算余弦值．
【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，
Q
1
AB = ，
1
BC = ，
2
AD =
，
E
Q
是AD 的中点，
/ /
,
1
AE
BC AE
BC
\
=
= ，
所以四边形ABCE 是菱形，
AC
BE
\
^
，
因为平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，
又PA
PD
=
，E 为AD 的中点，所以PE
AD
^
，PE Ì 平面PAD ，
PE
\
^ 平面ABCD ，AC Ì 平面ABCD ，
PE
AC
\
^
，
PE Ì
Q
平面PBE ，BE Ì 平面PBE ，PE
BE
E
Ç
=
，
AC
\
^ 平面PBE ，
AC Ì
Q
平面PAC ，
所以平面PBE ^平面PAC ．
（2）
由底面ABCD 为等腰梯形，如图，
取BC 的中点H ，连接EH ，可得EH
BC
^
，以E 为坐标原点，EH ，ED ，EP 所在直线分别为x ，y ，z
轴，建立空间直角坐标系，
因为
1
AB
BC
=
= ，
2
AD =
，所以
3
2
EH =
，设PE
t
= ，
则
3 1
3
1
(0,0,0),
(0,1,0),
(
,
,0), (
,
,0),
0,0,
2
2
2
2
E
D
C
B
P
t
-
，
则
3 1
(
,
,
)
2
2
PC
t
=
-
uuur
，
3
1
(
,
,0)
2
2
EB =
-
uuur
，
0,0,
EP
t
=
uuur
设平面PBE 的一个法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
则
·
0
3
1
·
0
2
2
n EP
tz
n EB
x
y
ì
=
=
ïí
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
3
y =
，得
(1, 3,0)
n =
r
，
因为直线PC 与平面PBE 所成的角为π
4 ，所以
2
3
3
0
π
2
2
sin 4
3
1
2
4
4
t
=
´
，所以
2
1
2
t =
，即
2
2
PE
t
= =
，
设平面PCD的一个法向量
1
1
1
( ,
,
)
m
x y z
=
ur
，
3 1
2
(
,
,
)
2
2
2
PC =
-
uuur
，
2
(0,1,
)
2
PD =
-
uuur
，
3
1
2
(
,
,
)
2
2
2
PB =
-
-
uuur
则
1
1
1
1
1
3
1
2
·
0
2
2
2
2
·
0
2
m PC
x
y
z
m PD
y
z
ì
=
-
=
ïïí
ï
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
2
y =
，得
(
, 2,2)
3
6
m =
r
，
设直线PB 与平面PCD所成角为q ，
则
5
|
|
2
5
sin
|
| |
|
2 15
2
3
6
m PB
m
PB
q =
=
=
´
uuur
rg uuur
r g
．
所以直线PB 与平面PCD所成角的余弦值为
5
1
2 5
cos
1
5
q =
-
=
．
12．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为菱形，
2
AB =
，
60
ABC
Ð
=
° ，
/ /
AC
平面BGH ，点G ，H 分别在棱PA ，PC 上，且GH
PD
^
．
(1)求证：PA
PC
=
；
(2)若
=
PB
PD ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，点A 关于平面PCD的对称点为M ，求点M 到平面PAB 的
距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 4 21
49
【分析】（1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得
/ /
AC
GH ，结合菱形对角线垂直及GH
PD
^
推出
GH ^ 平面PBD ，进而AC ^平面PBD ，从而AC
PO
^
，由中点性质即得PA
PC
=
.
（2）由
=
PB
PD 及第一问知
^
PO
底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利
用PB 与平面PAC 所成的角为60°，求出P 点坐标，再求平面PCD 的法向量以确定点A 关于该平面的对称
点M，最后通过平面PAB 的法向量计算点M 到该平面PAB 的距离.
【详解】（1）证明：连AC ，BD 相交于点O ，连PO ．∵底面ABCD 为菱形，∴AC
BD
^
且AO
OC
=
．
又
/ /
AC
平面BGH ，AC Ì 平面PAC ，平面PAC I平面BGH
GH
=
，∴
/ /
AC
GH ，
∴GH
BD
^
，又GH
PD
^
，而PD
BD
D
Ç
=
．
∴GH ^ 平面PBD ，又
/ /
AC
GH ，∴AC ^平面PBD ，而PO Ì 平面PBD ，
∴AC
PO
^
，AO
OC
=
，PAC
V
为等腰三角形，即PA
PC
=
．
（2）若
=
PB
PD ，则PO
BD
^
，由（1）知PO
AC
^
，∴
^
PO
平面ABCD ，
以O 为原点以OB ，OC ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，
又
2
AB =
，∵
60
ABC
Ð
=
° ，则
(0, 1,0)
A
-
，
( 3,0,0)
B
，
(0,1,0)
C
，
(
3,0,0)
D -
，
∵PO
AC
^
，AC
BD
^
，∴BO ^ 平面PAC ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，
∴
60
BPO
Ð
=
°，∴
1
PO = ，∴
(0,0,1)
P
．
∴
(0,2,0)
AC =
uuur
，
(
3, 1,0)
CD = -
-
uuur
，
(0,1, 1)
PC =
-
uuur
．
设平面PCD的法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
则
1
1
1
1
3
0
0
x
y
y
z
ì-
-
=
ïí
-
=
ïî
取
1
1
x = ，
1
3
y = -
，
1
3
z = -
，∴
(1,
3,
3)
m =
-
-
ur
，
设
2
2
2
,
,
M x
y
z
，
2
2
2
,1
,
MC
x
y
z
= -
-
-
uuuur
，则A ，M 到平面PCD的距离相等，
2
2
2
2 3
3
3
3
7
7
x
y
z
AC m
MC m
d
m
m
-
-
×
×
=
=
=
=
uuur
uuuur
r
r
r
r
，
∴
2
2
2
3
3
3
2 3
x
y
z
-
-
=
．
又m
AM
=
uuuur
r
，∴
2
2
2
1
1
3
3
x
y
z
=
=
-
-
，解得
4 3 5 12
,
,
7
7
7
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
11 3
5
12
,
,
7
7
7
MB
æ
ö
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
设平面PAB 的法向量为
3
3
3
,
,
n
x
y z
=
r
，∵
(
3, 1,0)
BA
CD
=
= -
-
uur
uuur
，
(0,1,1)
AP =
uuur
．
则
3
3
3
3
3
0
0
x
y
y
z
ì-
-
=
ïí
=
ïî
取
3
1
x = ，
3
3
y = -
，
3
3
z =
，∴
(1,
3, 3)
n =
-
r
，
则点M 到平面PAB 距离为
11 3
5 3
12 3
4 3
4 21
7
49
7
7 7
d
-
=
=
=
．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是梯形，
//
AD BC ，
侧面
1
1
ABB A 为菱形，
1
DAB
DAA
Ð
= Ð
．
(1)求证：
1
A B
AD
^
；
(2)若
2
AD
AB
BC
=
=
，
1
60
A AB
Ð
=
°，点D 在平面
1
1
ABB A 上的射影恰为线段
1A B 的中点，求
1
AB 与平面
1
1
DCC D 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
31
31
【分析】（1）通过连接辅助线，利用等腰三角形三线合一得到线线垂直，再结合线面垂直判定定理证明线
面垂直，最后由线面垂直的性质得到线线垂直；
（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而得到平面
1
1
DCC D 的法向量和直线
1
B A 的方向向
量，最后利用线面角与向量夹角的关系计算正弦值.
【详解】（1）连接
1
1
,
,
DA DB
DAB
DAA
Ð
= Ð
，易知
1
DB
DA
=
，
又O 为
1A B 的中点，
1A B
DO
^
，
又
1
,
A B
AO AO
DO
O
^
Ç
=
，
,
AO DO Ì 平面ADO ，
∴
1A B ^ 平面ADO ，AD Ì 平面ADO ，
∴
1
A B
AD
^
．
（2）∵D 在面
1
1
ABB A 上的射影为O ，又AO
OB
^
，
以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令
1
BC = ，则
1
0,1,0 ,
3,0,0 ,
0, 1,0 ,
0,0,1
B
A
A
D
-
，
∵
1
2
BC
AD
=
uuur
uuur
，则
3
1
,1,
2
2
C æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
∴
3
1
,1,
2
2
DC
æ
ö
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，又
1
1
3, 1,0
DD
AA
=
= -
-
uuuur
uuur
，
设平面
1
1
DCC D 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
1
0
0
n DC
n DD
ì
×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，
则
3
1
0
2
2
3
0
x
y
z
x
y
ì-
-
=
ïí
ï-
-
=
î
，令
1,
1, 3,3 3
x
n
= -
= -
r
，又
1
2 3,0,0
B A =
uuur
，
则
1
B A 与平面
1
1
DCC D 所成角的正弦值为
1
31
cos
,
31
n B A =
uuur
r
．
14．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，四边形
1
1
ACC A
是矩形，
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
BC
AA
=
=
.
(1)证明：
1
AA ^ 平面ABC .
(2)求平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值.
(3)在线段
1
BC 上是否存在点D，使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
？若存在，求出
1
BD
C D 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
3
3
；
(3)存在，
1
1
3
BD
C D =
【分析】（1）由勾股定理可得AB
AC
^
，然后由面面垂直性质可得AB ^平面
1
1
ACC A ，据此可得
1
AB
AA
^
，又由四边形
1
1
ACC A 是矩形可得
1
AA
AC
^
，据此可完成证明；
（2）由（1）可建立空间直角坐标系，求出平面
1
1
A BC 与平面ABC 的法向量，然后由空间向量知识可得答
案；
（3）假设存在满足条件的点D，且
1
BD
BC
l
=
uuur
uuur （0
1
l
≤
≤），使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为
2 2
3
，由（2）结合题设可得
2
2
2
2 2
2 2
| cos
,
|
3
3
4
4
8
4
8
n AD
l
l
l
l
á
ñ =
=
´
-
uuur
r
，据此可得答案.
【详解】（1）因为
2
AB
AC
=
=
，
2 2
BC =
，所以
2
2
2
AB
AC
BC
=
，所以AB
AC
^
.
因为平面
1
1
ACC A ^平面ABC ，且平面
1
1
ACC A I平面ABC
AC
=
，AB Ì 平面ABC ，
所以AB ^平面
1
1
ACC A .
因为
1
AA Ì 平面
1
1
ACC A ，所以
1
AB
AA
^
.
因为四边形
1
1
ACC A 是矩形，所以
1
AA
AC
^
.
因为AC Ì 平面ABC ，AB Ì 平面ABC ，且AB
AC
A
Ç
=
，所以
1
AA ^ 平面ABC ；
（2）由（1）可知AC ，AB ，
1
AA 两两垂直，则以A 为坐标原点，
AC ，AB ，
1
AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
2
AB
AC
=
=
，
1
2 2
AA =
，所以
1 0,0,2 2
A
，
0,2,0
B
，
1 2,0,2 2
C
，
1
0,2, 2 2
A B =
-
uuur
，
1
1
2,0,0
AC =
uuuur
.
设平面
1
1
A BC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
1
1
1
2
2 2
0
2
0
n A B
y
z
n AC
x
ì ×
=
-
=
ïí ×
=
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，令
2
y =
，得
0,
2,1
n =
r
.
易知平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
m =
r
.
设平面ABC 与平面
1
1
A BC 的夹角为q ，
则
|
|
1
3
cos
| cos
,
| |
||
|
3
3
n m
n m
n
m
q
×
=
á
ñ =
=
=
r r
r r
r
r
，
即平面ABC 与平面
1
1
A BC 夹角的余弦值为
3
3
.
（3）假设存在满足条件的点D，且
1
BD
BC
l
=
uuur
uuur （0
1
l
≤
≤），
使得直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
.
由（2）可知
0,0,0
A
，
0,2,0
B
，
1 2,0,2 2
C
，
则
1
2 ,2
2 ,2 2
AD
AB
BD
AB
BC
l
l
l
l
=
=
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
.
因为直线AD 与平面
1
1
A BC 所成角的正弦值为2 2
3
，
所以
2
2
2
|
|
2 2
2 2
| cos
,
|
3
|
||
|
3
4
4
8
4
8
n AD
n AD
n
AD
l
l
l
l
×
á
ñ =
=
=
´
-
uuur
r
uuur
r
uuur
r
.
解得
1
4
l =
，所以
1
1
4
BD
BC
=
，即
1
1
3
BD
C D =
，
则存在满足条件的点D，此时
1
1
3
BD
C D =
.
15．（2026·山西朔州·一模）如图，线段
,
BC DE 的中点都是
,
,
O AO
BC AO
DE
^
^
.
(1)若
2
OC OE
OE
×
=
uuur uuur
uuur ，证明：平面ABD ^ 平面ADE ；
(2)若
14,
10,
7,
BC
DE
AO
BD
BO
=
=
=
<
，且点B 到平面ADE 的距离为21
5 ，求直线AE 与平面ABD 所成角的
正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 7 222
111
【分析】（1）先证AO ^ 平面BDCE ，得AO
BD
^
，由
2
OC OE
OE
×
=
uuur uuur
uuur 及O 为中点可得
0
DB OD
×
=
uuur uuur
，进而
可得
^
BD
OD ，从而可得BD ^ 平面ADE ，即可证得面面垂直；
（2）先建立空间直角坐标系，再由点B 到平面ADE 的距离及
5
OD = 可得
3, 4,0
D -
-
，进而再用向量的方
法计算线面角可得.
【详解】（1）因为
,
AO
BC AO
DE
^
^
，且BC
DE
O
Ç
=
，
,
BC DE Ì 平面BDCE ，则AO ^ 平面BDCE
又因BD Ì 平面BDCE ，所以AO
BD
^
.
由
2
OC OE
OE
×
=
uuur uuur
uuur 可得
0
OC
OE
OE
-
×
=
uuur
uuur
uuur
，因为线段
,
BC DE 的中点都是O，
所以
,
OC
OB OE
OD
= -
= -
uuur
uuur uuur
uuur
，则得
0
OB
OD
OD
-
× -
=
uuur
uuur
uuur
，
即
0
OB
OD
OD
-
×
=
uuur
uuur
uuur
，即
0
DB OD
×
=
uuur uuur
，所以
^
BD
OD .
又因AO
BD
^
，AO
OD
O
Ç
=
，
,
AO OD Ì 平面ADE ，所以BD ^ 平面ADE ，
而BD Ì 平面ABD ，故平面ABD ^ 平面ADE .
（2）在平面BDCE 内，以过O 且垂直BC 的直线为x 轴，以
,
OC OA所在的直线为,y z 轴，建立空间直角坐
标系，如图：
设
( , ,0)(
0,
0)
D a b
a
b
<
<
，则
,
,0 ,
0, 7,0 ,
0,0,7
E
a
b
B
A
-
-
-
，
因为
10,
5
DE
OD
=
=
，所以
2
2
25
a
b
=
.
设平面ADE 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
(0,0,7),
( , ,0)
OA
OD
a b
=
=
uuur
uuur
，
所以
0
0
n OA
n OD
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
0
z
ax
by
=
ì
í
=
î
，故可取
,
,0
n
b
a
=
-
r
.
又因为点B 到平面ADE 的距离为21
5 ，且
0, 7,0
OB =
-
uuur
，
依题意可得
2
2
7
21
5
OB n
a
n
a
b
×
=
=
uuur r
r
，联立
2
2
25
a
b
=
，解得
3
a = - ，
将
3
a = - 代入
2
2
25
a
b
=
，解得
4
b = - (
4
b =
舍去).
所以
3, 4,0 ,
3,3,0 ,
0,7,7
D
BD
BA
-
-
= -
=
uuur
uuur
，满足BD
OB
<
.
设平面ABD 的法向量为
( , , )
m
x y z
=
ur
，
则
0
0
m BD
m BA
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
3
3
0
7
7
0
x
y
y
z
-
=
ì
í
=
î
，故可取
(1,1, 1)
m =
-
ur
.
因为
3,4,0
E
，
3,4, 7
AE =
-
uuur
，
设直线AE 与平面ABD 所成角为q ，
所以sin
cos
,
·
AE m
AE m
AE m
q
×
=
=
uuur r
uuur r
uuur r
2
2
2
3 1
4 1 7
1
3· 3
4
7
´ ´ - ´ -
=
-
14
7 222
111
3 74
=
=
.
16．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为正方形，PA ^底面ABCD ，
PA
AB
=
，E 为线段PB 中点，F 为线段BC 上的动点．
(1)证明：平面AEF ^ 平面PBC ；
(2)设直线AF 与平面PBC 所成角为q ，求sinq 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
2
,
2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明AE ^ 平面PBC ，再根据面面垂直的判定定理证明平面AEF ^
平面PBC .
（2）方法1：先确定
AFE
Ð
为直线AF 与平面PBC 所成的角，再利用直角三角形的边角关系求sinq 的取值
范围.
方法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角正弦的取值范围.
【详解】（1）因为PA
AB
=
，且E 为线段PB 中点，所以AE
PB
^
．
又因为PA ^底面ABCD ，
Ì
BC
平面ABCD ，所以PA
BC
^
．
而BC
AB
^
，且PA
AB
A
=
I
，因此
^
BC
平面PAB
而AE Ì 平面PAB ，因此BC
AE
^
．
又因为PB
BC
B
Ç
=
，所以AE ^ 平面PBC ．
而AE Ì 平面PAB ，所以平面AEF ^ 平面PBC .
（2）法一：由（1）可知直线AF 与平面PBC 所成角为
AFE
Ð
，
因此sin
sin
AE
AFE
AF
q =
Ð
=
不妨设AB
PA
a
=
=
，则
2
,
, 2
2
AE
a AF
a
a
é
ù
=
Îë
û ，
所以
1
2
sin
,
2
2
q
é
ù
Îê
ú
ë
û
法二：以A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
不妨设
1
AB = ，设BF
a
=
，
a
0,1
Î
，则
0,0,0
A
，
1,0,0
B
，
1,1,0
C
，
0,0,1
P
，
1, ,0
F
a
1, ,0
AF
a
=
uuur
，
0,1,0
BC =
uuur
，
1,0, 1
PB =
-
uuur
，
设平面PBC 的一个法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
0
0
n BC
n PB
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
0
y
x
z
=
ì
í -
=
î
，令
1
x = ，则
1,0,1
n =
r
，
则
2
1
1
2
sin
cos
,
,
2
2
2
1
n AF
n AF
n
AF
a
q
×
é
ù
=
=
=
Îê
ú
×
ë
û
uuur
r
uuur
r
uuur
r
，
因此
1
2
sin
,
2
2
q
é
ù
Îê
ú
ë
û
.
17．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥P
ABC
-
中，平面PAB ⊥平面ABC ，
2
2 2
AB
AC
AP
BP
=
=
=
=
，
，
2
3
BAC
p
Ð
=
，,
,
E F G 分别为棱
,
,
PA PB PC 上的点.
(1)若EF ∥AB ，FG ∥BC ，证明: EG ∥AC ；
(2)若
,
E F 分别为棱
,
PA PB 的中点，在棱PC 上是否存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ?若存
在，求 PG
PC 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,
1
PG
PC = 或
1
3
PG
PC =
【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面EFG ∥平面ABC ，再由面面平行的性质定理证明EG ∥AC ；
（2）由面面垂直的性质定理证明AP ^平面ABC ，建立空间直角坐标系，设棱PC 上是否存在点G，使得
平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ，且 PG
t
PC = ，由面面角的向量求法列出关于t 的方程，求解可得.
【详解】（1）若EF ∥AB ，EF Ë 平面ABC ，AB Ì 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ；
若FG ∥BC ，FG Ë 平面ABC ，BC Ì平面ABC ，所以FG ∥平面ABC .
因为
,
,
EF
FG
F EF FG
Ç
=
Ì 平面EFG ，所以平面EFG ∥平面ABC .
又平面EFG Ç 平面PAC
EG
=
，平面ABC Ç 平面PAC
AC
=
，
所以EG ∥AC .
（2）因为
2
2 2
AB
AP
BP
=
=
=
，
，所以
2
2
2
AB
AP
BP
=
，所以AP
AB
^
.
因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB Ç平面ABC
AB
=
，AP Ì 平面PAB ，所以AP ^平面ABC .
过A 作AD
AB
^
，垂足为D ，则
2π
π
π
3
2
6
CAD
Ð
=
-
=
.
所以
3
1
cos
2
3,
sin
2
1
2
2
CA
CAD
CA
CAD
Ð
=
´
=
Ð
=
´
= .
如图所示，以点A 为坐标原点，分别以
,
,
AD AB AP所在直线为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系A
xyz
-
.
则
0,0,0 ,
0,0,2 ,
0,2,0 ,
0,0,1 ,
0,1,1 ,
3, 1,0
A
P
B
E
F
C
-
.
所以
0,1,0 ,
0,0,1 ,
3, 1, 2
EF
EP
PC
=
=
=
- -
uuur
uuur
uuur
.
设：在棱PC 上是否存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ，且
0
1
PG
t
t
PC =
£ £
，
则
3 ,
, 2
PG
tPC
t
t
t
=
=
- -
uuur
uuur
，所以
3 ,
,1 2
EG
EP
PG
t
t
t
=
=
-
-
uuur
uuur
uuur
.
设平面EFG 的法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
·
0
·
3
1 2
0
n EF
y
n EG
tx
ty
t z
ì
=
=
ïí
=
-
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
.
令
2
1
x
t
=
- ，则
3
z
t
=
.
所以平面EFG 的法向量为
2
1,0, 3
n
t
t
=
-
r
.
由AP ^平面ABC ，知平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
m =
r
.
所以
·
π
3
cos
,
cos 6
2
m n
m n
m n
=
=
=
r r
r r
r r
，
即
2
2
2
3
3
3
2
7
4
1
2
1
3
t
t
t
t
t
t
=
=
-
-
，化简得
2
3
4
1
0
t
t
-
=
，解得
1
t = 或
1
3
t =
.
故在棱PC 上存在点G，使得平面EFG 与平面ABC 所成角为π
6 ，此时
1
PG
PC = 或
1
3
PG
PC =
.
18．（2024·吉林·模拟预测）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面为矩形，
3
3
AB
AD
a
=
=
，高
为h ，
,
O E 分别为底面的中心和CD 的中点．
(1)求证：平面
1AOE ^ 平面
1
1
CDD C ；
(2)若平面
1AOE 与平面
1
D BC 的夹角的余弦值为2 2
3
，求h
a 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
6
2
h
a =
【分析】（1）连接
1
,
AC D E ，结合题意根据面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面
1AOE 与平面
1
D BC 的夹角的余弦值，得到h 和a 的关系式
即可求出h
a 的值.
【详解】（1）连接
1
,
AC D E ，如图所示：
因为底面为矩形，O 为底面的中心，
所以O 为AC 的中点，又E 为CD 的中点，
所以OE 为ACD
V
的中位线，所以
/ /
OE
AD ，
因为
1
1
/ /
AD
A D ，所以
1
1
/ /
OE
A D ，
所以四点
1
1
,
,
O E A D
,
共面，
因为
1
1
1
1
1
1
1
, A D
D D
A D
C D
^
^
，且
1
1
1
1
D
C
D
D
D
=
I
，
1
1
1
,C
D
D
D
Ì 平面
1
1
CDD C ，
1
1
A D Ë 平面
1
1
CDD C ，
所以
1
1
A D ^ 平面
1
1
CDD C ，又
1
1
A D Ì 平面
1AOE ，
所以平面
1AOE ^ 平面
1
1
CDD C .
（2）由题意以点D 为坐标原点，分别以
1
,
,
DA DC DD 所在的直线为, ,
x y z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由
3
3
AB
AD
a
=
=
，
则
1
1
3
3
,0,
,
,
,0 ,
0,
,0 ,
0,0,
,
, 3 ,0 ,
0, 3 ,0
2
2
2
a
A a
h
O
a
E
a
D
h
B a
a
C
a
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则
1
1
1
3
,
,
,
,0,0 ,
0, 3 ,
,
, 3 ,
2
2
2
a
a
OA
a h
OE
D C
a
h
D B
a
a
h
æ
ö
æ
ö
=
-
= -
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuuur
uuuur
，
设平面
1AOE 的法向量
1
1
1
1
,
,
n
x y z
=
ur
，
则
1
1
1
1
1
1
1
3
0
·
0
2
2
·
0
0
2
a x
ay
hz
OA n
a
OE n
x
ì
-
=
ï
ì
=
ï
ï
Þ
í
í
=
ï
ï
î
-
=
ïî
uuur ur
uuur ur
，
令
1y
h
=
，则
1
3
2
z
a
=
，所以
1
3
0, , 2
n
h
a
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
uur
，
设平面
1
D BC 的法向量
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
uur
，
则
1
2
2
2
1
2
2
2
2
·
0
3
0
·
0
3
0
D C n
ay
hz
D B n
ax
ay
hz
ì
ì
=
-
=
ï
ï
Þ
í
í
=
-
=
ï
ï
î
î
uuuur uur
uuuur uur
，
令
2y
h
=
，则
2
0
x =
，
2
3
z
a
=
，所以
2
0, , 3
n
h
a
=
uur
，
设平面
1AOE 与平面
1
D BC 的夹角为q ，
则
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n n
n n
n
n
q =
=
ur uur
ur uur
ur uu
g
r
g
2
2
2
2
2
2
3
0 0
3
2
3
0
0
3
2
h h
a
a
h
a
h
a
´ ´
´
=
æ
ö
´
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
3
4
h
a
h
a
h
a
=
=
´
，
化简得：
2
4
4
2
0
4
12
9
h
a h
a
-
=
，
解得：
2
2
2
2
2
2
3
6
3
2
h
h
a
a
h
a
=
Þ
=
Þ
=
，
所以
6
2
h
a =
.
19．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥P
ABCD
-
的底面为正方形，平面PAB ^ 平面ABCD，
2
PA
AB
PB
=
=
=
．设E 为CP 的中点．
(1)求平面PAB 与平面ABE 夹角的正切值；
(2)设F 为线段PB 上一点（含端点），求CF 与平面ABE 所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥P
ABCD
-
的外接球表面积与体积（无需证明）．
【答案】(1)
2 3
tan
3
q =
；
(2)
21
42
[
,
]
7
7
；
(3)表面积为28π
3 ，体积为28 21π
27
.
【分析】（1）取AB 中点O ，连接PO ，过O 作
/ /
Oy
AD ，以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABE
的法向量，利用面面角的向量法求解.
（2）由（1）中信息，利用线面角的向量法列出函数关系，再求出函数的值域即可.
（3）利用两点间距离公式求出球心坐标及球半径，再利用球的表面积、体积公式求解.
【详解】（1）四棱锥P
ABCD
-
的底面为正方形，取AB 中点O ，连接PO ，过O 作
/ /
Oy
AD ，
则Oy
AB
^
，由
2
PA
AB
PB
=
=
=
，得OP
AB
^
，由平面PAB ^ 平面ABCD ，
OP Ì 平面PAB ，得OP ^ 平面ABCD ，则直线
,
,
OB Oy OP 两两垂直，
以点O 为原点，直线
,
,
OB Oy OP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
则
1
3
( 1,0,0), (1,0,0),
(1,2,0),
( 1,2,0), (0,0, 3),
( ,1,
)
2
2
A
B
C
D
P
E
-
-
，
3
3
(2,0,0),
( ,1,
)
2
2
AB
AE
=
=
uuur
uuur
，设平面ABE 的一个法向量
( , , )
n
a b c
=
r
，
则
2
0
3
3
0
2
2
n AB
a
n AE
a
b
c
ì ×
=
=
ïïí
ï ×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
2
c =
，得
(0,
3,2)
n =
-
r
，
而平面PAB 的一个法向量
(0,1,0)
m =
ur
，
设平面PAB 与平面ABE 的夹角为q ，
则
3
3
2
cos
cos
,
,sin
1
7
7
7
m n
m n
m n
q
q
×
=
=
=
=
=
´
n r rn
r r
r r
，
所以平面PAB 与平面ABE 的夹角的正切值为
2 3
tan
3
q =
.
（2）由（1）得
(0, 2,0)
CB =
-
uuur
，
1,0, 3
BP = -
uuur
，平面ABE 的一个法向量
(0,
3,2)
n =
-
r
，
令
(
,0, 3 ),0
1
BF
tBP
t
t
t
=
= -
£ £
uuur
uuur
，
则
(
, 2, 3 )
CF
CB
BF
t
t
=
= - -
uuur
uuur
uuur
，设CF 与平面ABE 所成的角为j ，
因此
2
2
2
|
|
2 3(
1)
21
(
1)
sin
| cos
,
|
7
(
1)
2(
1)
2
|
||
|
2
1
7
CF n
t
t
CF n
t
t
CF
n
t
j
×
=
á
ñ =
=
=
×
-
×
uuur r
uuur r
uuur
r
2
2
21
1
21
1
21
42
[
,
]
2
2
1
1
1
7
7
7
7
1
2(
)
(
1)
1
1
2
2
t
t
t
=
×
=
×
Î
-
-
，
所以CF 与平面ABE 所成角的正弦值的范围是
21
42
[
,
]
7
7
.
（3）设四棱锥P
ABCD
-
的外接球球心为
( , , )
M x y z ，则球半径R
MA
MB
MC
MP
=
=
=
=
，
因此
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
(
2)
(
3)
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
R
=
-
=
-
-
=
-
=
，
解得
3
7
0,
1,
,
3
3
x
y
z
R
=
=
=
=
，
所以四棱锥P
ABCD
-
的外接球表面积为
2
28π
4π
3
R =
，
体积为
3
3
4π
4π
7
28 21π
(
)
3
3
27
3
R =
=
.
20．（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥P
ABD
-
中，PA ^平面
,
90 ,
1
ABD
BAC
AB AC
Ð
=
=
=
o
，且C
为BD 的中点.
(1)求二面角C
AP
D
-
-
的余弦值；
(2)若
60
PCB
Ð
=
o ，在线段
,
PB PC 上各取一点
,
E F ，设
0,1
PE
PF
PB
PC
l l
=
=
Î
，若平面AEF ^ 平面PBC ，
求l 的值.
【答案】(1) 2 5
5
(2)
2
3
l =
【分析】（1）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案；
（2）根据
60
PCB
Ð
=
o 求出AP 的长，求解两个平面的法向量，利用法向量垂直可求答案.
【详解】（1）因为PA ^平面ABD ，
,
AB AC Ì 平面ABD ，所以
,
PA
AB PA
AC
^
^
，
因为
90
BAC
Ð
=
°，所以AB
AC
^
，所以
,
,
AB AC AP 两两垂直，
所以以A 为坐标原点，
,
,
AB AC AP 所在直线分别为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则
0,0,0 ,
1,0,0 ,
0,1,0
A
B
C
，因为C 为BD 的中点，所以
1,2,0
D -
，
设AP
a
=
，则
1,0,0 ,
1,2,0 ,
0,0,
AB
AD
AP
a
=
= -
=
uuur
uuur
uuur
，
设平面APD 的一个法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则
2
0
0
n AD
x
y
n AP
az
ì ×
= -
=
ïí ×
=
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，令
1
y = ，可得
2,1,0
n =
r
；
易知平面APC 的一个法向量为
1,0,0
AB =
uuur
，
二面角C
AP
D
-
-
的大小为q ，易知q 为锐角，
2
2 5
cos
5
5
AB n
AB n
q
×
=
=
=
uuur r
uuur r
，所以二面角C
AP
D
-
-
的余弦值为2 5
5
.
（2）由
60
PCB
Ð
=
o ，则
1, 1,0 ,
0, 1,
CB
CP
a
=
-
=
-
uuur
uuur
，
2
1
1
cos
cos60
2
2
1
CB CP
PCB
CB
CP
a
°
×
Ð
=
=
=
=
×
×
uuur uuur
uuur
uuur
，解得
1
a = ，即
0,0,1
P
.
因为
0,1
PE
PF
PB
PC
l l
=
=
Î
，所以PE
PB
l
=
uuur
uuur ,且
/ /
EF
BC ，
0,0,1
1,0, 1
,0,1
AE
AP
PE
AP
PB
l
l
l
l
=
=
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
,
, ,0
EF
BC
l
l l
=
= -
uuur
uuur
,
设平面AEF 的一个法向量为
, ,
m
x y z
=
r
，则
1
0
0
m AE
x
z
m EF
x
y
l
l
l
l
ì
×
=
-
=
ïí
×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
1
x = ，可得
1,
1
y
z
l
l
=
=
- ，即
1,1,
1
m
l
l
æ
ö
= ç
÷
-
è
ø
r
.
1,0, 1 ,
1,1,0
PB
BC
=
-
= -
uuur
uuur
,
设平面PBC 的一个法向量为
0
0
0
,
,
k
x
y
z
=
r
，则
0
0
0
0
0
0
k PB
x
z
k BC
x
y
ì ×
=
-
=
ïí ×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
0
1
x = ，可得
0
0
1,
1
y
z
=
= ，即
1,1,1
k =
r
，
因为平面AEF ^ 平面PBC ，所以
2
0
1
m k
l
l
×
=
=
-
r
r
，解得
2
3
l =
21．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD ^底面
,
ABCD
PAD
V
是边长为2
的等边三角形，四边形ABCD 为直角梯形，且
/ /
BC
AD ，
,
1,
AB
AD AB
BC
E
^
=
=
是棱PD 上一动点.
(1)若E 为棱PD 的中点，证明：
/ /
CE
平面PAB ；
(2)若E 为棱PD 上靠近P 点的三等分点，求平面EBC 与平面ABCD 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
7
【分析】（1）找PA 的中点F，证明
/ /
CE
BF 即可得出证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EBC 和平面ABCD 的法向量，然后根据向量法求两平面夹角的余弦
值即可.
【详解】（1）如图，取PA 的中点F ，连接
,
BF EF .
由E 为PD 的中点，F 为PA 的中点，
/ /
BC
AD ，且
2,
1
AD
BC
=
= ，
可得
/ /
/ /
EF
AD
BC ，
1
1
2
EF
AD
BC
=
= =
.
所以四边形BCEF 为平行四边形，故
/ /
CE
BF .
又BF Ì 平面PAB ，CE Ë 平面PAB ，所以CE / / 平面PAB .
（2）取AD 的中点O ，连接
,
PO OC .
由
PAD
△
为等边三角形，得PO
AD
^
，
又平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面ABCD
AD
=
，PO Ì 平面PAD ，
所以
^
PO
平面ABCD .
由
1
AO
BC
=
= ，
/ /
AO
BC ，得四边形ABCO 是平行四边形
于是
/ /
OC
AB ，又AB
AD
^
，则OC
AD
^
，直线
,
,
OC OD OP 两两互相垂直.
以O 为坐标原点，直线
,
,
OC OD OP 分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
1 2 3
1, 1,0 ,
1,0,0 ,
0,1,0 ,
0,0, 3 ,
0,
,
3
3
B
C
D
P
E æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
4 2 3
0,1,0 ,
1,
,
3
3
BC
BE
æ
ö
=
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
.
设平面EBC 的法向量为
, ,
m
a b c
=
r
，
则
0
0
m BC
m BE
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
0
4
2 3
0
3
3
b
a
b
c
=
ìïí-
=
ïî
，
令
1
c = ，可得
2 3 ,0,1
3
m
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
r
.
易知平面ABCD 的一个法向量为
0,0,1
n =
r
.
设平面EBC 与平面ABCD 的夹角为q ，
则
2
2
1
21
cos
7
2 3
1
3
m n
m
n
q
×
=
=
=
×
æ
ö
ç
÷
è
ø
r r
r
r
，
所以平面EBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为
21
7
.
22．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
2 6
FA
FC
=
=
，且
60
DAB
DBF
Ð
= Ð
=
°．
(1)求证：平面BDEF ^ 平面ACF ；
(2)求平面ABF 与平面ACF 的夹角的余弦值；
(3)试问直线BC 上是否存在点M，使直线
/ /
AE
平面FDM，若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
5
(3)存在，点M 在CB 延长线上
【分析】（1）设AC ，BD 的交点为O ，连接OF ，由四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，且
60
DAB
DBF
Ð
= Ð
=
°，得到FO
BD
^
，AC
BD
^
，根据线面垂直的判定定理得到AC ^平面BDEF ，根据
面面垂直的判定定理得到平面ACF ^ 平面BDEF ．
（2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而得到以O 为坐标原点，OA，OB ，OF 为x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量n
r
和平面ACF 的法向量BD
uuur ，设平面ABF 与平面ACF 的
夹角为q ，利用向量的数量积公式求出cos
n BD
n BD
q
×
=
uuur
r
uuur
r
的值.
（3）设BM
BC
l
=
uuuur
uuur
，求出M 的坐标，求出平面FDM 的法向量m
ur
，由
/ /
AE
平面FDM 得到
0
m AE
×
=
ur uuur
，计
算出l 的值，从而得到点M 在CB 延长线上，且满足BM
BC
=
.
【详解】（1）设AC ，BD 的交点为O ，连接OF ，
因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，且
60
DAB
DBF
Ð
= Ð
=
°，
所以FO
BD
^
，AC
BD
^
，
又因为FA
FC
=
，且O 为AC 中点，所以FO
AC
^
，
又因为FO
BD
O
Ç
=
，所以AC ^平面BDEF ，
因为AC Ì 平面ACF ，所以平面ACF ^ 平面BDEF ．
（2）因为FO
BD
^
，FO
AC
^
，且AC
BD
O
=
I
，所以FO ^ 平面ABCD ，
设AB
a
=
，因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
且
60
DAB
DBF
Ð
= Ð
=
°，所以BD
a
=
，
3
2
AO
OC
FO
a
=
=
=
，
又因为
2 6
FA
FC
=
=
，所以在AOF
V
中，
2
2
2
AF
AO
FO
=
，所以
4
a =
，
因为BD
FO
^
，BD
AC
^
，BD
FO
O
Ç
=
，
所以BD ^ 平面ACF ，
以O 为坐标原点，OA，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如下图：
所以
2 3,0,0
A
，
0,2,0
B
，
2 3,0,0
C -
，
0, 2,0
D
-
，
0,0,2 3
F
，
由EF
DB
=
uuur
uuur ，得到
0, 4,2 3
E
-
，
所以
2 3,2,0
AB = -
uuur
，
0, 2,2 3
BF =
-
uuur
，
0, 4,0
BD =
-
uuur
设平面ABF 的法向量
1
1
1
,
,
n
x y z
=
r
，
0
0
n AB
n BF
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，所以
1, 3,1
n =
r
，
因为平面ACF 的法向量
0, 4,0
BD =
-
uuur
，
设平面ABF 与平面ACF 的夹角为q ，所以
15
cos
5
n BD
n BD
q
×
=
=
uuur
r
uuur
r
.
（3）设BM
BC
l
=
uuuur
uuur
，所以
2 3 ,2
2 ,0
M
l
l
-
-
，
0,2,2 3
DF =
uuur
，
2 3 ,4
2 ,0
DM
l
l
= -
-
uuuur
，
2 3, 4,2 3
AE = -
-
uuur
，
设平面FDM 的法向量
2
2
2
,
,
m
x
y
z
=
r
，
0
0
m DF
m DM
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuuur
r
，所以
2
, 3 ,
m
l
l
l
=
-
-
r
，
因为
/ /
AE
平面FDM ，所以
0
m AE
×
=
ur uuur
，所以
1
l = - ，
所以点M 在CB 延长线上，且满足BM
BC
=
.
23．（25-26 高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 是边长为4 的正
方形，
2 5
PA
PD
M
N
G
=
=
，
、、
分别为PD
PB
AD
、
、
的中点，平面PAD ^平面ABCD ．
(1)求证：MN
PG
^
；
(2)求平面PBC 与平面AMN 所成角的余弦值；
(3)若截面AMN 与PC 交于点E ，且PE
PC
l
=
，求l 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
34
34
(3) 1
3
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得到PG
AD
^
，根据面面垂直的性质得到PG ^平面ABCD ，从而
PG
BD
^
，又易证得MN
BD
P
，故证出MN
PG
^
；
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，由两平面的法向量夹角的余弦值的绝对值即为两平面
夹角的余弦值；
（3）根据共线求出E 的坐标，求出AE
uuur 的坐标，然后与法向量n 垂直，得到数量积为0 即可算出.
【详解】（1）
PA
PD
G
=
Q
，
为AD 中点，
PG
AD
\
^
.
又平面PAD ^平面ABCD ，且交线为AD
PG Ì
，
平面PAD ，
PG
\
^ 平面ABCD ，而BD Ì 平面ABCD ，
PG
\
^ 平面ABCD ，
PG
BD
\
^
；
M
N
Q
、
为PD
PB
、
中点，则有MN
BD
∥
；
\
^
MN
PG ；
（2）如图以G 为坐标原点，过G 作直线GH 与AB 平行，以GA
GH
GP
、
、
分别为x
y
z
、、轴建立空间直角
坐标系，
2
2
20
4
4
PG
PD
GD
=
-
=
-
=
，
则
0,0,0 ,
2,0,0 ,
0,0,4 ,
2,4,0 ,
2,0,0 ,
2,4,0
G
A
P
B
D
C
-
-
，
1,0,2 ,
1,2,2
M
N
-
.
3,0,2
2,2,0 ,
2,4, 4 ,
2,0,4
AM
MN
PC
AP
\
= -
=
= -
-
= -
uuuur
uuuur
uuur
uuur
，
.
设平面AMN 的一个法向量为
, ,
n
x y z
=
r
，
则有
3
2
0
2
2
0
n AM
x
z
n MN
x
y
ì ×
= -
=
ïí
×
=
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
，令
2
x =
，可得
2, 2,3
n =
-
r
.
2,4, 4
4,0,0
PB
BC
=
-
= -
Q
uuur
uuur
，
，设平面PEN 的一个法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，
则有
1
1
1
1
2
4
4
0
4
0
m PB
x
y
z
m BC
x
ì
×
=
-
=
ïí
×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，可取
0,1,1
m =
r
，
2
3
34
cos
,
34
4
4
9 1 1
m n
-
=
=
r r
，
\平面PBC 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值为
34
34
.
（3）Q
2 ,4 , 4
PE
PC
l
l
l
l
=
= -
-
uuur
uuur
，
2,0,4
2 ,4 , 4
2
2 ,4 ,4
4
AE
AP
PE
l
l
l
l
l
l
=
= -
-
-
= - -
-
uuur
uuur
uuur
.
4
4
8
12 12
0
m AE
l
l
l
\
×
= - -
-
-
=
uuur
r
．
1
3
l
\
=
.
24．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
AD
DD
=
= ，直线
1
B D 与平面
1
1
BB C C
所成角的正切值为
2 ，M， N， P 分别为棱
1
DD ，DA，DC 上异于D 点的动点．
(1)若P 是CD 的中点，求证：
1
B P ^ 平面
1
APD ；
(2)定义：异面直线的距离指的是公垂线( 与两条异面直线都垂直相交的直线) 的两个垂足之间的线段长
度．求异面直线
1
BC 与
1
B D 的距离；
(3)若直线
1
B D 与平面MNP 交于点H，且
2
0
HN
HP
HM
=
uuur
uuur
uuuur
r ，求平面MNP 与平面
1
PBB 的夹角余弦值的取
值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
3
；
(3)
15
0,
.
15
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
【分析】
1 建立空间直角坐标系，由
1
DB C
Ð
为直线
1
B D 与平面
1
1
BB C C 所成角可得
2
CD =
，利用线面垂直
的判定定理证明；
2 由
0
1
·
0
n BC =
uur uuuur
，
0
1
·
0
n B D =
uur uuuur
，先求出公垂线所在向量，再求距离；
3 由点H 在直线
1
B D 上，则
1
1,2,1
DH
DB
l
l
=
=
uuuur
uuuur
，
,2 ,
H l
l l
\
，根据
2
0
HN
HP
HM
=
uuur
uuur
uuuur
r ，可得M，
N， P 的坐标，再利用空间向量法求夹角.
【详解】（1）证明：连接
1
B C ，
CD ^
Q
平面
1
1
BB C C ，
1
DB C
\Ð
为直线
1
B D 与平面
1
1
BB C C 所成的角，
1
1
tan
2
CD
DB C
B C
\
Ð
=
=
，
1
2
B C =
Q
，
2
CD
\
=
，
在长方体
1
AC 中，以D 为原点，分别以DA，DC，
1
DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
1
1
AD
DD
=
=
Q
，
0,0,0
D
\
，
1,0,0
A
，
1,2,0
B
，
1 0,2,1
C
，
1 1,2,1
B
，
1 0,0,1 .
D
当P 是CD 的中点时，
0,1,0
P
，
1
1,1,1
PB =
uuur
，
1,1,0
AP = -
uuur
，
1
1,0,1
AD = -
uuuur
，
1
0
PB
AP
\
×
=
uuur uuur
，
1
1
0
PB
AD
×
=
uuur uuuur
，
1
PB
AP
\
^
，
1
1
PB
AD
^
，
1
AP
AD
A
Ç
=
Q
，
1
,
AP AD Ì 平面
1
APD ，
1
B P
\
^ 平面
1
APD ；
（2）解：
1
1,0,1
BC = -
uuuur
Q
，
1
1, 2, 1
B D = - -
-
uuuur
，
1
0,0,1
BB =
uuur
，
设
0
0
0
0
,
,
n
x
y
z
=
uur
，
0
1
·
0
n BC =
Q
uur uuuur
，
0
1
·
0
n B D =
uur uuuur
，
0
0
0
0
0
0
2
0
x
z
x
y
z
-
=
ì
\í-
-
-
=
î
，
取
0
1
x = ，得
0
1, 1,1
n =
-
uur
，
\异面直线
1
BC 与
1
B D 的距离为：
1
0
0
1
3
3
3
BB n
d
n
×
=
=
=
uuur uur
uur
；
（3）设
0,0,
M
m ，
,0,0
N n
，
0, ,0
P
p
，
Q点H 在直线
1
B D 上，则
1
1,2,1
DH
DB
l
l
=
=
uuuur
uuuur
，
,2 ,
H l
l l
\
，
, 2 ,
HN
n
l
l
l
\
=
-
-
-
uuur
，
, 2 ,
HM
m
l
l
l
= -
-
-
uuuur
，
,
2 ,
HP
p
l
l
l
= -
-
-
uuur
，
因为
2
0
HN
HP
HM
=
uuur
uuur
uuuur
r ，
0
4 ,2
8 ,
4
n
p
m
l
l
l
\ =
-
-
-
r
，
4 ,
4 ,
4
n
p
m
l
l
l
\
=
=
=
，
*
4 ,0, 4
MN
l
l
\
=
-
uuuur
，
0,4 , 4
MP
l
l
=
-
uuur
，
设平面MNP 的法向量为
1
1
1
1
,
,
n
x y z
=
ur
，
由
1
1
0
0
n MN
n
NP
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
ur uuuur
ur uuur
，得
1
1
1
1
4
4
0
4
4
0
x
z
y
z
l
l
l
l
-
=
ì
í
-
=
î
，令
1
1
x = 得：
1
1,1,1
n =
ur
，
设平面
1
PBB 的法向量为
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
uur
，
1,2
,0
PB
p
=
-
uuur
，
1
0,0,1
BB =
uuur
，
由
2
2
1
0
0
n
PB
n
BB
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uur uuur
uur uuur
，得
2
2
2
2
0
0
x
p y
z
ì
-
=
í
=
î
，令
2
1
y = 得：
2
2,1,0
n
p
=
-
uur
，
设平面MNP 与平面
1
PBB 的夹角为q ，
1
2
2
1
2
1
|
|
cos
|
|
3 (
2)
1
p
n n
n
n
p
q
-
×
=
=
-
uur uur
uur uur
，
M
Q
，N，P 分别为棱
1,
,
DD DA DC 上异于D 点的动点，
由
* 得：0
1
p
<
£ ，
当
1
p = 时，cos
0
q =
，
当0
1
p
<
< 时，令
1
0,1
t
p
= -
Î
，则
1
1,
t Î
¥ ，
2
2
1
15
cos
0, 15
2
2
3
2
2
3
1
t
t
t
t
t
q
æ
ö
\
=
=
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
\平面MNP 与平面
1
PBB 所成夹角余弦值的取值范围为
15
0,
.
15
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
25．（2026·四川内江·二模）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^平面ABC，平面PAB ^ 平面PBC ，
1
AB
AP
=
= ，
2
AC =
．D 为BC 的中点，E 为PD 的三等分点（靠近P 点）．
(1)请用AB
uuur ，AC
uuur
，AP
uuur 表示AE
uuur ；
(2)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值；
(3)设F 为AB 的中点，过EF 的平面与射线AC、AP 分别交于点G、H，当三棱锥A
FGH
-
的体积最小时，
求平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值．
【答案】(1)
1
1
2
6
6
3
A
AB
AC
A
E
P
=
uuur
uuur
uuur
uuur
；
(2)
42
7
；
(3) 5 34
34
.
【分析】（1）连接AD ，结合空间向量的线性运算求解即可；
（2）过点A 作AM
PB
^
，垂足为M ，连接ME ，由平面PAB ^ 平面PBC 可得AM ^ 平面PBC ，则
AEM
Ð
为直线AE 与平面PBC 所成角，进而求解即可；
（3）建立空间直角坐标系，设
0,
,0 ,
0,0,
,
0,
0
G
m
H
n
m
n
>
>
，根据
,
,
,
G H E F 四点共面求出
2 2
2 2
m
n
mn
=
，进而得到
2
mn ³
，再利用等体积法求得三棱锥A
FGH
-
的体积最小时
2 ,
2
2
m
n
=
=
，
进而利用空间向量求解平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值即可.
【详解】（1）由题意，连接AD ，
则
1
1
3
3
AE
AP
PE
AP
PD
AP
AD
AP
=
=
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1 1
1
1
1
2
3 2
3
6
6
3
AP
AB
AC
AP
AB
AC
AP
=
×
-
=
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
（2）过点A 作AM
PB
^
，垂足为M ，连接ME ，
因为平面PAB ^ 平面PBC ，平面PAB Ç 平面PBC
PB
=
，AM Ì平面PAB ，
所以AM ^ 平面PBC ，则
AEM
Ð
为直线AE 与平面PBC 所成角.
因为PA ^平面ABC，
,
AB BC Ì 平面ABC，所以PA
AB
^
，PA
BC
^
，
又
1
AB
AP
=
= ，则
2
PB =
，即
1
2
2
2
AM
PB
=
=
，
又AM ^ 平面PBC ，
,
BC ME Ì 平面PBC ，则AM
BC
^
，AM
ME
^
，
因为
,
,
PA
AM
A PA AM
=
Ì
I
平面PAB ，
所以
^
BC
平面PAB ，因为AB Ì 平面PAB ，则BC
AB
^
，
又
1
AB = ，
2
AC =
，则
1
BC = ，即
ABC
V
为等腰直角三角形，
由（1）知，
1
1
2
6
6
3
A
AB
AC
A
E
P
=
uuur
uuur
uuur
uuur
，
则
2
2
2
1
1
4
1
1
1
36
36
9
18
18
18
AE
AB
AC
AP
AB AC
AB AP
AC AP
=
×
×
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
1
1
4
1
2
21
2
1
2
36
36
9
18
2
6
=
´
´ ´
´
=
，
所以
2
42
2
sin
7
21
6
AM
AEM
AE
Ð
=
=
=
，
则直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为
42
7
.
（3）由（2）知，PA
AB
^
，PA
BC
^
，BC
AB
^
，
以A 为原点，以
,
AC AP 所在直线为,y z 轴，以与AC 垂直的直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
2
2
2
2
2
2 2
0,0,0 ,
0,
2,0 ,
,
,0 ,
0,0,1 ,
,
,0 ,
,
,
2
2
4
4
12
4
3
A
C
B
P
F
E
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
设
0,
,0 ,
0,0,
,
0,
0
G
m
H
n
m
n
>
>
，
则
2
2
2
2
2
,
,0 ,
,
,
,
0,
,
4
4
12
4
3
GF
m
GE
m
GH
m n
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
由于
,
,
,
G H E F 四点共面，则存在实数,
l m 使得GH
GF
GE
l
m
=
uuur
uuur
uuur
，
即
2
2
0
4
12
2
2
4
4
2
3
m
m
m
n
l
m
l
m
m
ì =
ï
ï
ï
æ
ö
æ
ö
ï-
=
-
-
ç
÷
ç
÷
í
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ï
ï
ï =
ïî
，解得2 2
2 2
m
n
mn
=
，
而2 2
2 2
2 2 2
m
n
mn
mn
=
³
，即
2
mn ³
，
当且仅当2 2m
n
=
，即
2 ,
2
2
m
n
=
=
时等号成立，
而F 到平面PAC 的距离为1
2
2
2
2
4
´
=
，
又
1
2
1 1
2
2
2
1
2
3
4
3 2
4
24
24
12
A FGH
F
AGH
AGH
V
V
S
mn
mn
-
-
=
=
×
=
×
×
=
³
×
=
V
，
则三棱锥A
FGH
-
的体积最小时
2 ,
2
2
m
n
=
=
，
此时
2
2
2
,
,0 ,
0,
,2
4
4
2
GF
GH
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，
设平面FGH 的一个法向量为
, ,
j
x y z
=
r
，
则
2
2
0
4
4
2
2
0
2
j GF
x
y
j GH
y
z
ì ×
=
-
=
ïïí
ï ×
= -
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，取
1
z = ，得
2 2,2 2,1
j =
r
，
而
2
2
,
, 1 ,
0,
2, 1
2
2
PB
PC
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
设平面PBC 的一个法向量为
1
1
1
,
,
q
x y z
=
r
，
则
1
1
1
1
1
2
2
0
2
2
2
0
q PB
x
y
z
q PC
y
z
ì ×
=
-
=
ïí
ï ×
=
-
=
î
uuur
r
uuur
r
，取
1
2
z =
，得
1,1,
2
q =
r
，
设平面FGH 与平面PBC 所成角为q ，
则
5 2
5 34
cos
cos ,
34
17
4
j q
j q
j
q
q
×
=
=
=
=
×
´
r r
r r
r
r
，
所以平面FGH 与平面PBC 所成角的余弦值为5 34
34
．
26．（2026·湖南怀化·一模）如图，四棱锥P
ABCD
-
的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是等边三角形，
2
4,
AB
AD
AD
BD
=
=
^
，二面角P
AD
B
-
-
的平面角大小为
π 2π
,
,
,
6
3
Q
q q
é
ù
Îê
ú
ë
û
为AB 的中点.
(1)设平面QPC Ç 平面PAD
l
= ，求直线l 与直线AD 的夹角大小；
(2)求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值的最大值；
(3)设N 为侧棱PC 上一点，四边形AENF 是过
,
A N 两点的截面，分别交
,
PD PB 于
,
E F 两点，其中E 为PD
的中点，
/ /
BD
平面AENF ，求四棱锥P
AENF
-
的体积的取值范围.
【答案】(1) 6
p ；
(2) 3
1
- ；
(3) 1 2
,
3 3
é
ù
ê
ú
ë
û .
【分析】（1）作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值；
（3）首先计算得
1
3
PN
PC
=
uuur
uuur
，再计算体积表达式，最后根据q 范围即可得到答案.
【详解】（1）延长CQ 交DA 的延长线于点S ，则PS 为交线l ，
因为Q 为AB 的中点，
/ /
AD
CB ，所以A 为SD 的中点，所以SA
AD
=
，
因为侧面PAD 是等边三角形，所以
π
,
3
PA
AD
PAD
=
Ð
=
，
所以
2π
,
3
SA
PA
PAS
=
Ð
=
，所以
π
6
PSA
SPA
Ð
= Ð
=
，
所以所求角为6
p ．
（2）取AD 的中点O ，连接QO ，由AD
BD
^
，则OQ
AD
^
，
分别以
,
OA OQ 所在直线为x 轴和y 轴，
以过O 垂直于底面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，
(1,0,0), ( 1,2 3,0),
( 3,2 3,0),
( 1,0,0), (0, 3 cos , 3sin )
A
B
C
D
P
q
q
-
-
-
，
则
(1,0,0),
(0, 3 cos , 3sin ),
(3, 3 cos
2 3, 3sin )
OA
OP
CP
q
q
q
q
=
=
=
-
uuur
uuur
uuur
，
设平面ADP 的法向量为
( , , )
n
x y z
=
r
，
则
0
3 cos
3sin
0
OA n
x
OP n
y
z
q
q
ì
×
=
=
ïí
×
=
×
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，
令
sin
y
q
=
，则
cos ,
(0,sin , cos )
z
n
q
q
q
= -
=
-
r
．
设直线PC 与平面PAD 所成角为a ，
则
2
2
2 3sin
sin
1 cos
sin
2
cos
2
cos
24 12cos
q
q
q
a
q
q
q
-
=
=
=
-
-
-
．
π 2π
,
6
3
q
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
令
2
1
3
1
cos
,
,
( )
2
2
2
t
t
f t
t
q
é
ù
-
=
Î -
=
ê
ú
-
ë
û
，则
2
2
4
1
( )
(2
)
t
t
f t
t
-
¢
=
-
，
令
( )
0
f t
¢
=
，结合t 的取值范围可知
2
3
t =
-
，
当
1 ,2
3
2
t
é
ö
Î -
-
÷
êë
ø 时，
( )
0
f t
¢
>
，当
3
2
3, 2
t
æ
ù
Î
-
ç
ú
çè
û
时，
( )
0
f t
¢
<
，
所以函数
( )
f t 在
1 ,2
3
2
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，在
3
2
3, 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
上单调递减，
所以
( )
f t 的最大值为
(2
3)
4
2 3
f
-
=
-
，故
max
(sin
)
3
1
a
=
- .
（3）由题意可知
/ /
EF
BD ，所以点F 为PB 的中点，
设
,
PN
PC AN
xAE
yAF
l
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，
因为
1
1
1
1
,
2
2
2
2
AE
AP
AD AF
AP
AB
=
=
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，
则
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
AN
x
AP
AD
y
AP
AB
y
A
x
AP
AB
D
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又因为
(1
)
(1
)
AN
AC
AP
AP
AB
AD
l
l
l
l
l
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
1
2
2
2
2
x
y
y
x
l
l
l
ì -
=
ï
ïï
=
í
ï
ï
=
ïî
，解得
1
3
l =
．
即
1
1
4
4
P AENF
P AEF
P EFN
A PEF
N PEF
A PBD
N PBD
V
V
V
V
V
V
V
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
1
1
1
1
1
1
2
2 2 3
3sin
sin
4
12
3
3
3
2
3
P ABD
C PBD
P ABD
V
V
V
q
q
-
-
-
=
=
=
´
´
´ ´
´
=
，
因为
1
sin
,1
2
q
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
1 2
,
3 3
P AENF
V -
é
ù
Îê
ú
ë
û ．
27．（2026·河北保定·一模）如图，三棱锥P
ABC
-
中，
2
4
2 3
60
AB
AC
PA
PB
PC
BAC
=
=
=
=
=
Ð
=
o
，
，
，
(1)证明:平面PAC ^ 平面ABC .
(2)设三棱锥P
ABC
-
的外接球的球心为O.
（i）求球O 的体积;
（ii）求直线 OB 与平面PAB 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）9 2π ；（ii）
33
11
【分析】（1）取AC 中点D ，连接PD 、BD ，可证PD
AC
^
，
,
PD
BD
^
即可证明结论；
（2）（i）根据三棱锥P
ABC
-
的外接球球心O 在过D 且垂直于平面ABC 的直线PD 上, 设OD
h
=
，球半径
R
OP
OB
=
=
,可得
2
2
2
2 2
,
4
OP
PD
h
h OB
BD
h
h
=
-
=
-
=
=
∣
∣∣
∣
，计算可得h ，从而得到外接球的半径即可
求解；
（ii）以B 为原点建立空间直角坐标系， BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴,求出平面
PAB 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）取AC 中点D ，连接PD 、BD ，
由
2 3
PA
PC
=
=
，得PD
AC
^
,
在PAC
V
中，
4
AC =
，故
2
AD =
，
2
2
2
2
2 3
2
12
4
2 2
PD
PA
AD
=
-
=
-
=
- =
在
ABC
V
中，
2
AB =
，
4
AC =
，
60
BAC
Ð
=
o ，
由余弦定理：
2
2
2
2
cos60
4 16
8
12
2 3
BC
AB
AC
AB AC
BC
=
- ×
×
×
=
-
=
Þ
=
o
,
又
2
2
2
4 12
16
AB
BC
AC
=
=
=
，
故ABC
V
为直角三角形，
90
ABC
Ð
=
o ,
因为D 为AC 中点，所以
1
2
2
BD
AC
=
=
，
在PBD
V
中，
2 3
PB =
，
2 2
PD =
，
2
BD = ，
2
2
2
2
2
2
2 2
2
8
4
12
2 3
PD
BD
PB
=
=
=
=
=
,
所以由勾股定理逆定理得
,
PD
BD
^
又AC
BD
D
=
I
，且
,
AC BD Ì 平面ABC ，故PD ^ 平面ABC ，
因为PD Ì 平面PAC ，所以平面PAC ^ 平面ABC .
（2）（i）由ABC
V
为直角三角形，其外接圆圆心为斜边AC 中点D ，半径
2
2
AC
r =
=
,
三棱锥P
ABC
-
的外接球球心O 在过D 且垂直于平面ABC 的直线PD 上,
设OD
h
=
，球半径R
OP
OB
=
=
,
2
2
2
2
2 2
,
4
OP
PD
h
h OB
BD
h
h
=
-
=
-
=
=
∣
∣∣
∣
,
则
2
2 2
4
h
h
-
=
∣
∣
，平方得：
2
2
2
8
4 2
4
2
h
h
h
h
-
=
Þ
=
,
故
2
3 2
2 2
2
2
R
OP
=
=
-
=
3
3
4
4
3 2
4
54 2
π
π
π
9 2π
3
3
2
3
8
V
R
æ
ö
=
=
=
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
（ii）以B 为原点建立空间直角坐标系：
0,0,0
B
，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴,
则
0,2,0
(2 3,0,0)
( 3,1,0)
( 3,1,2 2)
A
C
D
P
，
，
，
，球心
)
2
3,1,
(
2
O
所以
)
3,1, 2 2
(
PA = -
-
uuur
，
)
3, 1, 2 2
(
PB = -
- -
uuur
。
设平面PAB 法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
则：
3
2 2
0
3
2 2
0
n PA
x
y
z
n PB
x
y
z
ì ×
= -
-
=
ïí
×
= -
-
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
取
3
z =
，得
( 2 2,0, 3)
n = -
r
，
2
3, 1,
2
OB
æ
ö
= -
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，设直线OB 与平面PAB 所成角为q ，
则
3 6
2
33
sin
cos
,
11
3 2
11
2
OB n
OB n
OB
n
q
×
=
=
=
=
×
×
uuur r
uuur r
uuur
r
∣
∣
∣∣∣∣
28．（2026·黑龙江吉林·一模）在
ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，
3
BC = ，
6
AC =
，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，
满足
//
DE
BC ，且
2
CD =
．将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，使
1AC
CD
^
，存在动点M 使
1
1 (
0)
A M
A D
l
l
=
>
uuuur
uuuur
，如图所示．
(1)求证：平面
1ACB ^ 平面BCDE ；
(2)当
1
2
l =
时，求平面CMB 与平面MBE 夹角的余弦值；
(3)设直线BM 与平面
1A BE 所成角为q ，当sinq 取得最大值时，求三棱锥
M
BCE
V
-
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 10
20
(3) 3 3
2
．
【分析】（1）借助线面垂直判定定理及其性质定理可得
1AC ^ 平面BCDE ，再利用面面垂直判定定理即可
得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，可求出平面CMB 与平面MBE 的法向量，再利用空间向量夹角公式计算
即可得；
（3）求出平面
1A BE 的法向量后，利用空间向量夹角公式可求出sinq 取最大值时的l ，则可得三棱锥的高
与底面积，再利用体积公式计算即可得解.
【详解】（1）因为
90
C
Ð
=
° ，则AC
BC
^
，且
//
DE
BC ，可得AC
DE
^
，
将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，始终有
1 ,
DE
A D DE
CD
^
^
，
因为
1
1
,
,
A D
CD
D A D CD
=
Ì
I
平面
1ACD ，所以DE ^平面
1ACD ，
由
1AC Ì 平面
1ACD ，可得
1
DE
AC
^
，
且
1AC
CD
^
，CD
DE
D
=
I
，CD ，DE Ì平面BCDE ，
所以
1AC ^ 平面BCDE ，又
1AC Ì 平面
1ACB ，所以平面
1ACB ^ 平面BCDE ；
（2）由（1）可知，
1 ,
,
AC CD CB 两两垂直，翻折前，因为
//
DE
BC ，且
2
CD =
，
所以
4
=
AD
，
4
2
6
3
DE
AD
BC
AC
=
=
=
，所以
2
2
3
DE
BC
=
=
，
翻折后
1
4
A D =
，由勾股定理得
2
2
2
2
1
1
4
2
2 3
AC
A D
CD
=
-
=
-
=
，
故可以C 为原点，直线
1
,
,
CD CB CA 分别为, ,
x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
当
1
2
l =
时，
0,0,0
C
，
1 0,0,2 3
A
，
2,0,0
D
，
0,3,0
B
，
2,2,0
E
，
1,0, 3
M
，可得
1,0, 3
CM =
uuuur
，
1,3,
3
MB = -
-
uuur
，
2, 1,0
BE =
-
uuur
，
设平面BMC 的法向量
1
1
1
,
,
m
x y z
=
r
，则
1
1
1
1
1
3
0
3
3
0
m CM
x
z
m MB
x
y
z
ì
×
=
=
ïí
×
= -
-
=
ïî
uuuur
r
uuur
r
，
令
1
3
z =
，则
1
1
3,
0
x
y
= -
=
，可得
3,0, 3
m = -
r
，
设平面BME 的法向量
2
2
2
,
,
n
x
y
z
=
r
，则
2
2
2
2
2
3
3
0
2
0
n MB
x
y
z
n BE
x
y
ì ×
= -
-
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
2
1
x = ，则
2
2
y =
，
2
5
3
z =
，可得
5
1,2,
3
n
æ
ö
= ç
÷
è
ø
r
，
设平面CMB 与平面MBE 夹角为j ，
则
2
2
2
5
3
1 0 2
3
10
3
cos
cos ,
20
5
3
( 3)
5
3
m n
m n
m
n
j
-
´ ´
´
×
=
=
=
=
×
æ
ö
ç
÷
è
ø
r r
r r
r
r
，
所以平面CMB 与平面MBE 夹角的余弦值为10
20
；
（3）由（2）可知
1
0, 3,2 3
BA =
-
uuur
，
2, 1,0
BE =
-
uuur
，
1
2,0, 2 3
A D =
-
uuuur
，
设平面
1A BE 的法向量
3
3
3
,
,
p
x
y z
=
r
，则
1
3
3
3
3
3
2 3
0
2
0
p BA
y
z
p BE
x
y
ì ×
= -
=
ïí ×
=
-
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，
令
3
1
x = ，则
3
2
y =
，
3
3
z =
，可得
1,2, 3
p =
r
，
且
2 ,0,2 3
2 3
M
l
l
-
，
2 , 3,2 3
2 3
BM
l
l
=
-
-
uuuur
，
因为直线BM 与平面
1A BE 所成角为q ，
则
2
4
sin
cos ,
2 2
16
24
21
p BM
p BM
p
BM
l
q
l
l
×
=
=
=
×
´
-
uuuur
r
uuuur
r
uuuur
r
2
2
2
2
14
8
21
24
1
4
64
16
21
7
7
l
l
l
=
=
£
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
7
4
l =
时，等号成立，sinq 取最大值，
则
1
1
7
4
A M
A D
=
uuuur
uuuur
，故点M 到平面BCE 的距离为7
3 3
2 3
2 3
4
2
´
-
=
，
又
1
3 2
3
2
BCE
S
=
´ ´
=
△
，则
1
3 3
3 3
3
3
2
2
M
BCE
V
-
=
´ ´
=
，
所以三棱锥
M
BCE
V
-
的体积为3 3
2
．
29．（2026·广东广州·二模）如图.底面为平行四边形的直四棱柱
1
1
1
1
1
,
4,
2
ABCD
A B C D DC
CC
BC
-
=
=
=
，点
M 为边DC 上的中点，点P 是空间一点.
(1)证明：
1
CA / / 平面
1
AMD ；
(2)若平面
1
1
AA B B 与平面
1
AMD 所成角的余弦值为2 5
5
，求cos BCD
Ð
；
(3)若BC
CD
^
，直线PC ^ 平面
1
PAD ，则在平面
1
AD M 内是否存在点Q ，使得PQ的长为定值，若存在，指
出点Q 的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
3
(3)不存在
【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明.
（2）以
1
,
,
AB AD AA
uuur uuur uuur
为基底，利用空间向量表示平面
1
1
AA B B 与平面
1
AMD 所成角的余弦值，列式可求
cos BCD
Ð
.
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量探索Q 的存在性.
【详解】（1）连接
1A D ，交
1
AD 于点E ，连接EM .如图：
因为四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
为直四棱柱，所以四边形
1
1
AA D D 为矩形，
所以E 为
1A D 中点，又M 为CD 中点，
所以
1
/ /
EM
CA ，又EM Ì 平面
1
AMD ，
1
CA Ë 平面
1
AMD ，所以
1 / /
CA
平面
1
AMD .
（2）以
1
,
,
AB AD AA
uuur uuur uuur
为基底，设
BCD
BAD
q
Ð
= Ð
=
，
则
4 2cos
8cos
AB AD
q
q
×
=
´
=
uuur uuur
，
1
1
0
AB AA
AD AA
×
=
×
=
uuur uuur
uuur uuur
，
2
2
1
16
AB
AA
=
=
uuur
uuur
，
2
4
AD =
uuur
.
设平面
1
1
AA B B 的法向量为
1
1
1
1
m
x AB
y AD
z AA
=
ur
uuur
uuur
uuur
，
则
1
m
AB
m
AA
ì
^
ïí
^
ïî
uuur
r
uuur
r
Þ
1
0
0
m AB
m AA
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
r
uuur
r
Þ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
x AB
y AD
z AA
AB
x AB
y AD
z AA
AA
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Þ
1
1
1
2
cos
0
0
x
y
z
q
×
=
ì
í
=
î
.
令
1
2
y = - ，则
1
cos
x
q
=
，所以
cos
2
m
AB
AD
q
=
-
ur
uuur
uuur .
设平面
1
AMD 的法向量为
2
2
2
1
n
x AB
y AD
z AA
=
r
uuur
uuur
uuur
，
又
1
2
AM
AB
AD
=
uuuur
uuur
uuur
，
1
1
AD
AD
AA
=
uuuur
uuur
uuur
.
由
1
n
AM
n
AD
ì ^
ïí ^
ïî
uuuur
r
uuuur
r
Þ
1
0
0
n AM
n AD
ì ×
=
ïí ×
=
ïî
uuuur
r
uuuur
r
Þ
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
0
2
0
x AB
y AD
z AA
AB
AD
x AB
y AD
z AA
AD
AA
ì
æ
ö
×
=
ç
÷
ï
è
ø
í
ï
×
=
î
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
2
1 cos
1 cos
0
2cos
4
0
x
y
x
y
z
q
q
q
ì
=
í
×
=
î
.
令
2
2
x =
，则
2
4
y = - ，
2
1 cos
z
q
= -
.
所以
1
2
4
1 cos
n
AB
AD
AA
q
=
-
-
uuur
uuur
uuur
r
.
又
1
cos
2
2
4
1 cos
m n
AB
AD
AB
AD
AA
q
q
é
ù
×
=
-
×
-
-
ë
û
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
r r
32cos
4cos
8cos
32cos
8 4
q
q
q
q
=
-
×
-
´
2
32sin q
=
.
2
cos
2
m
AB
AD
q
=
-
uuur
uuur
r
2
2
16cos
32cos
16
q
q
=
-
4sinq
=
，
2
1
2
4
1 cos
n
AB
AD
AA
q
=
-
-
uuur
uuur
uuur
r
2
4 9 10cos
cos
q
q
=
-
.
由
2 5
5
m n
m
n
×
=
×
r r
r
r
Þ
2
2
32sin
2 5
5
4sin
4 9 10cos
cos
q
q
q
q
=
´
-
，
所以
2
3cos
5cos
2
0
q
q
-
=
Þ
cos
1 3cos
2
0
q
q
-
-
=
，
所以
2
cos
3
q =
或cos
1
q = （舍去）.
所以
2
cos
3
BCD
Ð
=
.
（3）因为三棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
为直四棱柱，且BC
CD
^
，故可以D 为原点，
1
,
,
DA DC DD 所在的射线为
, ,
x y z 轴，建立如图空间直角坐标系.
则
2,0,0
A
，
0,4,0
C
，
1 0,0,4
D
，
0,2,0
M
.
设
, ,
P x y z ，则
1
2,0,4
AD = -
uuuur
，
,4
,
PC
x
y
z
= -
-
-
uuur
，
2
,
,
PA
x
y
z
=
-
-
-
uuur
，
因为PC ^ 平面
1
PAD ，所以
1
PC
AD
PC
PA
ì
^
ïí
^
ïî
uuur
uuuur
uuur
uuur Þ
1
2
2
4
0
(
2)
(
4)
0
PC AD
x
z
PC PA
x x
y y
z
ì
×
=
-
=
ïí
×
=
-
-
=
ïî
uuur uuuur
uuur uuur
.
整理得
2
2
2
2
0
1
2
5
x
z
x
y
z
-
=
ìïí
-
-
=
ïî
，即P 在以
(1,2,0)
N
为球心，5 为半径的球上，也在平面a ：
2
0
x
z
-
=
上，
其中平面a 的一个法向量
1
(1,0, 2)
n =
-
ur
，
要使得|
|
PQ 为定值，则
1
/ /
NQ
n
uuur
ur
，
由已知
π
2
q =
，由（2）得平面
1
AMD 的法向量
1
2
4
1 cos
(8,8,4)
n
AB
AD
AA
q
=
-
-
=
uuur
uuur
uuur
r
，
而
1
8
8
0
n n
×
=
-
=
r ur
，且点N Ï平面
1
AMD ，
则
/ /
NQ
uuur
平面
1
AMD ，
则直线NQ 与平面
1
AMD 无交点，故不存在点Q 使得|
|
PQ 为定值.
30．（2026·黑龙江·一模）如图，在三棱锥A
BCD
-
中，平面ABD ^ 平面BCD，AB
AD
=
，O 为BD 的中
点．
(1)证明：OA
BC
^
；
(2)若OCD
V
是边长为2 的等边三角形，三棱锥A
BCD
-
的体积为4 3
3
，点E 在棱AD 上，
2
DE
EA
=
，求二
面角E
BC
D
-
-
的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) 45°
【分析】（1）先证OA
BD
^
，再由平面与平面垂直的性质定理进行求解；
（2）法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；法2，过E 作EH
AO
∥
交BD 于H，过H 作HG
BC
^
于G，连EG .则
EGH
Ð
为二面角E
BC
D
-
-
的平面角，进行求解．
【详解】（1）因为AB
AD
=
，O 是BD 中点，所以OA
BD
^
，
因为OA Ì 平面ABD ，平面ABD ^ 平面BCD，
且平面ABD Ç平面BCD
BD
=
，所以OA ^ 平面BCD．
因为
Ì
BC
平面BCD，所以OA
BC
^
．
（2）如图所示，以O 为坐标原点，OA为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角
坐标系O
xyz
-
，
2
3
2
2
2
2 3
4
=
=
´
´
=
V
V
BCD
OCD
S
S
，
由（1）知OA ^ 平面BCD，三棱锥A
BCD
-
的体积为
1
4 3
3
3
BCD
V
S
OA
=
×
=
△
，
所以
2
OA =
．
法1：
3,1,0
C
，
0,2,0
D
，
0, 2,0
B
-
，
0,0,2
A
，
2 4
0,
,
3 3
E æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以
8
4
0,
,
3
3
EB
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
3,3,0
BC =
uuur
，
设
, ,
n
x y z
=
r
为平面EBC 的法向量，
则由
0
0
EB n
BC n
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，
8
4
0
3
3
3
3
0
y
z
x
y
ì-
-
=
ïí
ï
=
î
，
得平面EBC 的一个法向量为
3,
3,2 3
n =
-
r
．
又平面BCD的一个法向量为
0,0,1
m =
r
，
所以
2
cos
,
2
n m
n m
n
m
×
=
=
×
r r
r r
r
r
，
由观察知二面角为锐角，所以二面角大小为45°，
法2：
过E 作EH
AO
∥
交BD 于H，过H 作HG
BC
^
于G，连EG ，
因为AO ^ 平面BCD，所以EH ^平面BCD．
因为
Ì
BC
平面BCD，所以EH
BC
^
．
因为HG
EH
H
=
I
，HG，EH Ì 平面EHG ，所以
^
BC
平面EHG ，
因为EG Ì 平面EHG ，所以BC
EG
^
，
因为BC
HG
^
，所以
EGH
Ð
为二面角E
BC
D
-
-
的平面角，
因为
2
DE
EA
=
，所以
2
4
3
3
EH
AO
=
=
，
2
4
3
3
=
=
DH
DO
，
得
2
2
3
3
4
=
-
=
-
=
OH
DO
DH
，
得
2
2
2
3
4
3
=
=
BH
BD
，
由
2,
120
OB
OC
BOC
=
=
Ð
=
o，得
30
OCB
Ð
=
o ，而
60
OCD
Ð
=
o ，
得
90
BCD
Ð
=
o ，得DC
BC
^
，而EH
BC
^
，
得
/ /
HG
CD ，得
2
4
3
3
HG
CD
=
=
，
在Rt
EGH
△
中，tan
1
Ð
=
=
EH
EGH
HG
，
所以
45
EGH
Ð
=
° ，
所以二面角E
BC
D
-
-
的大小为45°．
31．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，四边形ABEF 是边长为1 的正方形，四边形ABCD 是梯形，AD ∥
,
,
BC AB
AD M
^
是BC 上的点，且
1
AD
BM
=
= ，平面ABEF ^ 平面ABCD .
(1)证明：
,
,
,
E F D M 四点共面；
(2)设
3
BC = ，且点
, ,
,
A B M F 均在球O 的球面上.
（i）求点O 到平面CDF 的距离；
（ii）记P 为球面上到点C 距离最小的点，求直线AP 与平面CDF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
6
6
；（ii）14
42
【分析】（1）结合已知条件证明
//
DM EF 即可；
（2）（i）求证FBM
V
和
FAM
△
都是直角三角形，即可找到球心，再以A 为原点建系，利用向量计算点到
平面的距离；
（ii）先找出点P 的位置，再计算平面CDF 的法向量，利用向量计算线面角.
【详解】（1）因为四边形ABEF 是正方形，所以AB ∥EF ，
又因为
,
,
AD
AB
BM AB
AD AD
=
=
^
∥BC ，所以四边形ABMD 是正方形，
所以
//
DM
AB ，所以
//
DM EF ，
所以
,
,
,
E F D M 四点共面.
（2）（i）因为AB
AD
^
，平面ABEF ^ 平面ABCD ，平面ABEF Ç平面ABCD
AB
=
，
AB Ì 平面ABEF ，
所以AD ^ 平面ABEF ，
因为
//
AD CB ，所以
^
BC
平面ABEF ，同理可得，AF ^平面ABCD ，
因为BF Ì 平面ABEF ，AM Ì平面ABCD ，所以BC
BF
^
，AF
AM
^
，
所以FBM
V
和
FAM
△
都是直角三角形，
所以MF 的中点就是球心O ，
如图所示，以A 为坐标原点，分别以
,
,
AB AD AF 所在直线为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
则
0,0,0 ,
1,0,0 ,
1,3,0 ,
0,1,0
A
B
C
D
，
1 1 1
0,0,1 ,
,
,
2 2 2
F
Oæ
ö
ç
÷
è
ø ，
则
1, 2,0 ,
0, 1,1
CD
DF
= - -
=
-
uuur
uuur
，
设平面CDF 的一个法向量
, ,
n
x y z
=
r
，
所以
2
0
0
CD n
x
y
DF n
y
z
ì
×
= - -
=
ïí
×
= -
=
ïî
uuur r
uuur r
，令
2
x =
，所以
2, 1, 1
n =
- -
r
，
所以
5
1
1
1
6
2
2
6
4 1 1
6
OC n
d
n
-
×
=
=
=
=
uuur r
r
，
所以点O 到平面CDF 的距离为
6
6
.
（ii）当
, ,
O P C 三点共线时，球面上点P 到点C 的距离最小，
因为
3
MF =
，所以球的半径
3
2
R =
，分别取
,
AM BM 中点
1,
O H ，
则
1
1
1
1
1
5
,
,
3
2
2
2
2
OO
O H
HC
=
=
=
-
=
，
所以
2
2
2
1
1
1
25
26
4
4
4
O C
O H
HC
=
=
=
，
所以
2
2
2
1
1
1
26
27
4
4
4
OC
OO
O C
=
=
=
，所以
3 3
2
OC =
，
因为
3
2
OP
R
=
=
，所以
1
1 5
1
,
,
3
6 6
6
OP
OC
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
所以
1 1 1
1 5
1
2 4 1
,
,
,
,
,
,
2 2 2
6 6
6
3 3 3
AP
AO
OP
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
由（i）知平面CDF 的一个法向量
2, 1, 1
n =
- -
r
，
所以直线AP 与平面CDF 所成角的正弦值为
2
2
2
2
4
1
2
1
1
14
3
3
3
cos
,
42
2
4
1
6
3
3
3
AP n
AP n
AP
n
´
- ´
- ´
×
=
=
=
×
æ
ö
æ
ö
æ
ö
´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur r
uuur r
uuur
r
.
32．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是边长
为2 的正方形，O，
1
O 分别为正方形ABCD 和
1
1
1
1
D
C
B
A
的中心点
1A 在底面ABCD 内的射影为O．
(1)证明：
1 //
AO
平面
1
O CD ．
(2)
1
6
AA =
，E，F 分别为BC，CD 的中点，点M 在棱
1
AA 上，E，F，B，D 四点到点M 的距离相等．
（i）求线段AM 的长；
（ii）求二面角B-CM-D 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
6
2
；（ii）2 22
13
．
【分析】（1）连接
1
1
,
OC A O ，证得四边形
1
1
AOCO 为平行四边形，得到
1
1
/ /
A O
CO ，结合线面平行的判定定理，
即可证得
1
/ /
AO
平面
1
O CD ．
（2）（i）以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设
1
(
,
,2 )
AM
AA
l
l
l
l
=
= -
-
uuuur
uuur
，得到
(2
,2
,2 )
M
l
l
l
-
-
，
要使
,
, ,
E F B D 四点到点M 的距离相等，只需MB
ME
=
，求得l 的值，即可求解；
（ii）由（i），分别求得平面BMC 和平面DMC 的法向量
(2,0, 3)
m =
-
r
和
(0,2, 3)
n =
-
r
，结合向量的夹角公式，
即可求解.
【详解】（1）证明：连接
1
1
,
OC A O ，
因为
1
,
O O 分别为正方形ABCD 和
1
1
1
1
D
C
B
A
的中心，所以
1
1 / /
AO
CO ，且
1
1
AO
OC
=
．
所以四边形
1
1
AOCO 为平行四边形，所以
1
1
/ /
A O
CO ，
又因为
1AO Ì/ 平面
1
O CD ，且
1
CO Ì 平面
1
O CD ，所以
1
/ /
AO
平面
1
O CD ．
（2）解：（i）以C 为坐标原点，以
1
,
,
CD CB CO 所在直线分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
(0,0,0),
(0,2,0),
(2,0,0),
(0,1,0),
(2,2,0)
C
B
D
E
A
，
连接AO ，可得
2
2
1
1
2
AO
AA
AO
=
-
=
，所以
1(1,1,2)
A
，
设
1
(
,
,2 ),
[0,1]
AM
AA
l
l
l
l l
=
= -
-
Î
uuuur
uuur
，则
(2
,2
,2 )
M
l
l
l
-
-
，
因为
,
B D关于平面
1
1
ACC A 对称，
,
E F 关于平面
1
1
ACC A 对称，
要使
,
, ,
E F B D 四点到点M 的距离相等，只需MB
ME
=
即可，
所以
2
2
2
2
2
2
(2
)
(2
2)
(2 )
(2
)
(2
1)
(2 )
l
l
l
l
l
l
-
-
-
=
-
-
-
，解得
1
2
l =
．
所以
1
1
6
2
2
AM
AA
=
=
；
（ii）由（i）知
3 3
,
,1
2 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ．
设平面BMC 的法向量为
( , , )
m
x y z
=
ur
，
由
3
1
,
,1 ,
(0,2,0)
2
2
BM
CB
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
uuuur
uuur
，则
3
1
0
2
2
2
0
m BM
x
y
z
m CB
y
ì
×
=
-
=
ïí
ï
×
=
=
î
uuuur
r
uuur
r
，
取
2
x =
，可得
0,
3
y
z
=
= - ，所以
(2,0, 3)
m =
-
r
，
同理可得平面DMC 的一个法向量为
(0,2, 3)
n =
-
r
，
所以
9
9
cos
,
13
13
13
m n
m n
m n
×
=
=
=
´
r r
r r
r r
，故二面角B-CM-D 的正弦值为2 22
13
．
33．（25-26 高三下·河南·开学考试）如图，在
ABC
V
中，
5
AB =
，
2
2
AC =
，D 为线段AC 上一点，
2
AD =
，
5
BD =
，过点D 作DE
AC
^
，交BC 于点E ，将CDE
V
沿DE 翻折至
PDE
△
的位置，使得
2
AP =
．
(1)证明：AP ^ 平面PDE ；
(2)在线段DE 上是否存在点M ，使得平面PBD 与平面PBM 的夹角的余弦值为7 6
18
？若存在，求出DM
DE 的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)在线段DE 上存在点M 使得平面PBD 和平面PBM 的夹角的余弦值为7 6
18
，且此时
2
2
4
DM
DE
=
【分析】（1）由线面垂直得到DE
AP
^
，由勾股定理逆定理得到AP
PD
^
，由线面垂直的判定定理判断即
可.
（2）建立空间直角坐标系，设出点M 坐标，求出平面PBD 和平面PBM 的法向量，结合向量法求面面角列
方程求解即可.
【详解】（1）证明：因为DE
AC
^
，所以DE
AD
^
，DE
PD
^
，
因为AD
PD
D
=
，且
,
AD PD Ì 平面PAD ，所以DE ^平面PAD ．
又AP Ì 平面PAD ，所以DE
AP
^
.
由题意易知
2
2
2
2
PD
DC
=
=
-
=
，又
2
AP =
，
2
AD =
，
所以
2
2
2
AP
PD
AD
=
，则AP
PD
^
．
又DE
PD
D
Ç
=
，且
,
DE PD Ì 平面PDE ，
所以AP ^ 平面PDE ．
（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，则OP
AD
^
，OB
AD
^
，
由（1）易证平面PAD ^平面ABED ，平面PAD Ç 平面ABED
AD
=
，OP Ì 平面PAD ，所以OP ^ 平面ABED ，
又OBÌ 平面ABED ，所以OP
OB
^
，故
,
,
OB OC OP 两两垂直．
以O 为原点，直线OB ，OC ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
2, 0, 0
B
，
0, 0,1
P
，
0,1, 0
D
，
所以
0,1,
1
PD =
-
uuur
，
2,1, 0
BD = -
uuur
，
2, 0,
1
PB =
-
uuur
．
设平面PBD 的一个法向量
, ,
m
x y z
=
r
，
则
0
0
PD m
BD m
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuur r
，即
0
2
0
y
z
x
y
-
=
ì
í-
=
î
，令
2
y =
，则
1
x = ，
2
z =
，所以
1,2,2
m =
r
．
易知OB//DE ，所以CD
DE
OC
OB
=
，又
1
2
OC =
，
2
CD =
，
2
OB =
，
所以
2
2
4
2 2
2
1
CD OB
DE
OC
×
´
=
=
=
-
．
设
,1, 0
M t
0
4
2 2
t
£ £
-
，
2,1, 0
BM
t
=
-
uuuur
.
设平面PBM 的一个法向量
, ,
n
a b c
=
r
，
则
0
0
PB n
BM n
ì
×
=
ïí
×
=
ïî
uuur r
uuuur r
，即
2
0
2
0
a
c
t
a
b
-
=
ì
í
-
=
î
，令
1
a = ，得
2
b
t
=
- ，
2
c =
，所以
1,2
,2
n
t
=
-
r
．
设平面PBD 与平面PBM 的夹角为q ，
则
2
9
2
7 6
cos
cos
,
18
3
4
9
m n
t
m n
m
n
t
t
q
×
-
=
=
=
=
×
´
-
r r
r r
r
r
，
解得
1
t = 或
9
5
t = -
（舍去），此时
1
2
2
4
4
2 2
DM
DE
=
=
-
，
所以在线段DE 上存在点M 使得平面PBD 和平面PBM 的夹角的余弦值为7 6
18
，且此时
2
2
4
DM
DE
=
．
34．（2026·福建莆田·二模）如图，五面体ABCDEF 中，
/ /
/ /
AE
BF
CD ，
1
AE = ，
3
BF =
，
5
CD = ，
2
AB
AC
=
=
，
EAB
EAC
a
Ð
= Ð
=
，
BAC
b
Ð
=
.
(1)证明：AE
BC
^
；
(2)当
π
3
a
b
=
=
时，求直线BE 与平面BCDF 所成角的正弦值；
(3)若
π
2
a
b
=
，当该五面体的体积取到最大值时，求cos b 的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
6
3
；
(3)
13
1
cos
6
b
=
.
【分析】（1）取BC 中点O ，利用全等三角形性质，线面垂直的判定及性质推理得证.
（2）利用余弦定理求出BE ，再利用线面垂直的性质及判断确定直线BE 与平面BCDF 所成角，进而求出其
正弦值.
（3）利用几何法由b 的余弦表示出点E 到平面ABC 的距离，再利用割补法及三棱锥的体积将五面体的体积
表示为cos b 的函数，然后利用换元法及导数求出取最大值的条件即可.
【详解】（1）取BC 中点O ，连接
,
,
EO AO EC ，由
,
,
AE
AE AB
AC
EAB
EAC
=
=
Ð
= Ð
，
得EAB
V
≌EAC
V
，则EB
EC
=
，EO
BC
^
，而
,
AO
BC AO
EO
O
^
=
I
，
,
AO EO Ì 平面AOE ，因此
^
BC
平面AOE ，又AE Ì 平面AOE ，
所以AE
BC
^
.
（2）当
π
3
a
b
=
=
时，在ABE
V
中，
2
2
2
cos
4 1 2
3
BE
AB
AE
AB AE
a
=
-
×
=
-
=
，
则
2
2
2
4
AE
BE
AB
=
=
，AE
BE
^
，由（1）知AE
BC
^
，
,
,
BE
BC
B BE BC
Ç
=
Ì 平面BCE ，
于是AE ^ 平面BCE ，而EO Ì 平面BCE ，则AE
EO
^
，而
/ /
AE
BF ，
因此BF
EO
^
，又BC
EO
^
，
,
,
BC
BF
B BC BF
=
Ì
I
平面BCDF ，
则EO ^ 平面BCDF ，
EBO
Ð
是直线BE 与平面BCDF 所成的角，
在等边
ABC
V
中，
1
1
1
2
2
BO
BC
AB
=
=
= ，
2
2
6
sin
3
EO
BE
BO
EBO
BE
BE
-
Ð
=
=
=
，
所以直线BE 与平面BCDF 所成角的正弦值为
6
3
.
（3）过E 作EH
AO
^
于H ，由（1）知
^
BC
平面AOE ，则BC
EH
^
，又AO
BC
O
=
I
，
,
AO BC Ì 平面ABC ，于是EH ^平面ABC ，由AB Ì 平面ABC ，得EH
AB
^
，
过H 作HM
AB
^
于M ，连接EM ，而
,
,
EH
HM
H EH HM
Ç
=
Ì 平面EMH ，
因此AB ^平面EMH ，而EM Ì 平面EMH ，则EM
AB
^
，
cos
cos
sin
cos
2sin
cos
2
cos
cos
2
2
AM
AH
BAE
AE
EAH
AM
AE
BAO
AH
a
b
b
b
b
Ð
Ð
=
=
=
=
=
=
Ð
，
2
sin
1 4sin
2cos
1
2
EH
AE
EAH
b
b
=
Ð
=
-
=
- ，
连接CF ，由
/ /
AE
BF ，得
1
3
A BCE
F BCE
V
AE
V
BF
-
-
=
=
，又
/ /
BF
CD ，则
3
5
B FCE
D FCE
V
BF
V
CD
-
-
=
=
，
5
5
5
3
D FCE
B FCE
A BCE
E ABC
V
V
V
V
-
-
-
-
=
=
=
，因此该五面体的体积
9
E ABC
V
V -
=
，
而
2
2
1
1 1
2
2
sin
sin
2cos
1
(1 cos
)(2cos
1)
3
3 2
3
3
E ABC
ABC
V
S
EH
AB
EH
b
b
b
b
b
-
=
×
=
×
×
=
- =
-
-
V
，
设
1
cos
( ,1)
2
t
b = Î
，
2
2
(1 cos
)(2cos
1)
(1
)(2
1)
( )
t
t
f t
b
b
-
-
=
-
-
=
，
求导得
2
( )
6
2
2
f t
t
t
¢
= -
，由
( )
0
f t
¢
>
，得1
13
1
2
6
t
< <
；由
( )
0
f t
¢
<
，得13
1
1
6
t
< < ，
函数
( )
f t 在1
13
1
( ,
)
2
6
上单调递增，在
13
1
(
,1)
6
上单调递减，
当
13
1
6
t
=
时，
( )
f t 取得最大值，此时
E ABC
V -
取得最大值，五面体的体积V 取得最大值，
所以当该五面体的体积取到最大值时，
13
1
cos
6
b
=
.
35．（2026·山东日照·一模）已知四棱锥P
ABCD
-
的底面ABCD 为平行四边形，
2,
2
AB
AC
BC
=
=
=
，
π ,
,
4
PAD
M N
Ð
=
分别是
,
BC PA的中点，二面角P
AD
B
-
-
为直二面角．
(1)证明：
^
MA
PD ；
(2)设直线MN 与平面PBC 所成角为q ，且
3
sin
6
q >
，求PA 的取值范围；
(3)与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点K 为线段AC 的中点，
,
G H 分别
在线段
,
PK CD 上（不包含端点），且GH 为
,
PK CD 的公垂线，如图所示，记四面体CKGH 的内切球半径
为r ，证明：1
1
1
2 >
r
KG
CH ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2,2
(3)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判定线面垂直，进而得到线线垂直，证明命题即可；
（2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求出直线方向向量和面的法向量，进而求
出线面角的正弦值的代数式，列出不等式，求出参数范围即可；
（3）根据等体积法，求出四面体CKGH 的内切球半径与四面体表面积之间的关系，再根据三角形正弦面积
公式，列出不等式，证明结果即可；
【详解】（1）由题意知
90
BAC
ACD
Ð
= Ð
=
o ，
又因为
,
AB
AC M
=
是BC 的中点，所以MA
BC
^
，
又因为
//
BC AD ，所以MA
AD
^
，
又平面PAD ^平面ABCD ，平面PAD Ç 平面
,
ABCD
AD MA
=
Ì平面ABCD ，
所以MA ^ 平面PAD ，
又PD Ì 平面PAD ，所以
^
MA
PD .
（2）在平面PAD 内作AD 的垂线作为z 轴，所以
^
MA
z 轴，
如图以A 为坐标原点，分别以
,
AM AD 为,x y 轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为
2
2
AB
CD
AC
BC
,
=
=
=
=
，设
0
PA
t t
=
>
，
所以
0,0,0 ,
1,0,0 ,
1, 1,0 ,
1,1,0 ,
0,2,0
A
M
B
C
D
-
，
则
2
2
2
2
0,
,
,
0,
,
2
2
4
4
P
t
t
N
t
t
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2
2
2
2
1,
,
,
1,
1,
4
4
2
2
MN
t
t
BP
t
t
æ
ö
æ
ö
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur
uuur
，
2
2
0,2,0 ,
0,
,
,
1,1,0
2
2
BC
AP
t
t
AC
æ
ö
=
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
．
设平面PBC 的法向量
1
1
1
1
,
,
n
x y z
=
ur
，
得
1
1
1
1
1
1
2
0
2
2
1
0
2
2
n BC
y
n BP
x
t
y
tz
ì
×
=
=
ï
æ
ö
í
×
= -
=
ç
÷
ï
ç
÷
è
ø
î
ur uuur
ur uuur
，
取
1
2 ,0,1
2
n
t
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
ur
，
1
1
4
2
2
2
1
2
2
2
4
3
sin
cos
,
6
1
1
6
8
1
1
2
4
t
t
n MN
t
n MN
n MN
t
t
t
t
q
-
×
=
=
=
=
>
ur uuuur
ur uuuur
ur uuuur
，
解得
2
2
t
< <
．
所以PA 长度的取值范围为
2,2 .
（3）设s是四面体的表面积，则
1
3
K CGH
V
S r
-
=
× ，
令KG 与面CGH 所成角为a ，
则
1
1
sin
6
6
K CGH
V
GH CH KG
GH CH KG
a
-
=
×
×
£
×
×
，
因为GH 是公垂线，CD 上的点和PK 上的点的最短距离是GH ，（取不到等号），
则
CKG
KGH
CKH
CHG
S
S
S
S
V
V
V
V
，
>
>
，又因为
1
1
2
2
CHG
KHG
S
CH GH
S
KG GH
V
V
，
=
×
=
×
，
S
CH GH
KG GH
GH
CH
KG
\
>
×
×
=
×
，
所以
1
1
6
3
GH CH KG
GH
CH
KG
r
×
×
>
×
× .
1
1
1
2
\
>
r
KG
CH .
