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唐超
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第一节 经济利润问题
第二节 容斥问题
第三节 几何问题
第四节 最值问题
CHAO GE
经济利润问题
一
经济利润问题
经济利润问题
最值类经济利润问题
1、特征：
①有两个量存在此消彼长的关系
②以最大获利或收入为目标
2、常见形式：降价多卖或涨价少卖
3、解题步骤
①设涨价或降价次数为x
②将收入或利润用x表示出来
③令两个括号的数等于0，解得x1和x2后加和求平均
例：原来卖一台空调老板可以赚500元，但是
每个月只能卖出12台，若每台降价50元，则会
多卖2台，降几次价才能利润最大？
经济利润问题
【例1】（2023江西）某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，
此时利润率是多少？
A.40%
B.30%
C.60%
D.50%
经济利润问题
【例2】（2024江苏）某商店购进一款无线路由器，进价100元/个，加价30%出售，
半年后将剩下的打7折全部售出，共盈利7410元。若成本利润率为19%，则打7折售出
的无线路由器共有（ ）。
A.90个
B.100个
C.105个
D.110个
经济利润问题
【例3】（2026国考）某种商品若按每件100元出售，每天售出m件；若降价10%，日
销量将提高25%且单日利润与降价前相同。问该商品成本为多少元/件？
A.50
B.60
C.70
D.80
经济利润问题
【例4】（2024浙江事业单位）某滑雪场门票价格为X元/人，场内A、B两条雪道价格
分别为200元/小时和300元/小时。单人消费金额不低于Y元时，总价打八折；单人消费
金额低于Y元时，仅雪道价格打八折。已知小张和小李分别在两条雪道各滑3小时，分
别消费580元和800元，那么Y的值最大是多少？
A.800
B.900
C.1000
D.1100
CHAO GE
容斥问题
二
容斥问题
容斥问题
两集合容斥
1、特征：两个类别有重复
2、方法：
①画图
②公式
例.某班级，有15人喜欢吃肠粉，有20人喜欢吃
炒米粉，有8人这两种食物都喜欢吃，还有5人这
两种都不喜欢吃，问求班级总人数。
第一步：根据“都”、“都不”画图
第二步：从里向外标数
第三步：尾数法计算面积
总数=A+B-都+都不
三集合容斥
标准型公式：总数=A+B+C-AB-AC-BC+都满足+都不满足
题干把AB、BC、AC描述的很详细，在题目中是三个条件（三句话）
非标准型公式：
总数=A+B+C-（只）满足两个条件的-都满足×2+都不满足
题干只说了“满足两个条件”，在题目中是一个条件（只有一句话）。
三集合容斥
容斥问题
【例1】（2021四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果
发现，适合种植A作物的自然村占
4
13。适合种植B作物的自然村有25个，同时适合种植
两种作物的自然村占总数的
1
14，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个？
A.57
B.67
C.114
D.134
容斥问题
【例2】（2025山东潍坊人才引进）某公司调查应聘者获取招聘信息的渠道，问卷回收
率为80%。调查对象中有160人从招聘会获取招聘信息，132人从公司官网获取招聘信
息，214人从微信公众号获取招聘信息，同时从这三种渠道获取招聘信息的有100人，
从其中两种渠道获取招聘信息的有20人，另有46人三种渠道都不使用。则这次调查共
发出了多少份问卷？
A.540
B.415
C.360
D.332
容斥问题
【例3】（2025事业单位联考）某社区共有550人参加了3项不同的惠民服务活动，3项
活动中仅参加其中任意2项的人数均为100人；仅参加1项的人数恰好为等差数列，其中
最小值为70人，公差与3项均参加的人数相同。问3项均参加的有多少人？
A.10
B.20
C.30
D.40
容斥问题
【例4】（2025年国考）某单位65名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的
职工正好占80%，没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有丙认证的职
工有3人，三项认证都有的职工有6人，问有多少人仅拥有甲、乙两项认证？
A.10
B.13
C.16
D.19
CHAO GE
几何问题
三
几何问题
几何问题
一、基本公式类
1.常见周长公式
正方形周长＝4a；长方形周长＝2（a＋b）；圆形周长＝2πR；
2.常见面积公式
正方形面积＝�2；长方形面积＝ab；三角形面积＝
1
2 ah；
平行四边形面积＝ah；梯形面积＝
1
2 （a＋b）h；
圆形面积＝π�2；扇形面积＝
�°
360° π�2。
几何问题
3.表面积公式
正方体的表面积＝6�2
长方体的表面积＝2×（ab＋bc＋ac）
球体的表面积＝4π�2＝π�2
圆柱体的表面积＝2π�2＋2πRh
圆柱体的底面积＝2π�2
圆柱体的侧面积＝2πRh
几何问题
4.体积公式
正方体的体积＝�3
长方体的体积＝abc
球的体积＝
4
3 π�3 ＝
1
6 π�3
圆柱体的体积＝π�2h
圆锥体的体积＝
1
3 π�2h
柱体的体积＝Sh
锥体的体积＝
1
3 Sh（S为底面积）
【例2】（2023深圳）有一个圆柱体花瓶，装有5cm深的水，花瓶的内底面直径为
12cm，现在往花瓶中放入一个玻璃球，当球掉入水底时，水面恰好与玻璃球相切，
则玻璃球的半径为（ ）cm。
A.3
B.4
C.5
D.6
几何问题
几何问题
二、最短路径类
1、特征：在AB两点连线的一侧找一个点，使得该点到A、B两点的距离之和最小。
2、解法：找A点的对称点A’，连接A’B，即为最短距离。
【例3】（2024国考）甲、乙两个联络站相距10千米。一条道路与甲、乙联络站连
线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为12千米。现需紧邻该道路建一个工作站，
问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20
B.22
C.24
D.26
几何问题
几何问题
四、三大模型
1、相似三角形
对应边成比例，面积比等于边长比的平方，体积比等于边长比的3次方。
一个圆锥形容器，尖朝上，装满水，现在倒掉一部分，使水面高度为原来的一半，则剩下
水的体积是原先的？
几何问题
四、三大模型
2、“拉窗帘“模型
主要用于求三角形面积
结论：
两条平行线，在其中一条线上取两个固定点A和B，另一条线上取任意点C，不管C点怎
么移动，三角形ABC的面积不变。
【例1】（2025天津市考）某矩形农场ABCD如图所示，矩形区域ADEF为生产区，
矩形区域BCEF为休闲区。现连接BD将两区域打通，与EF相交于O点。已知AF和FE
的长度分别为600米和400米，问COD围成的三角形阴影区域面积为多少万平方米？
A.12
B.15
C.16
D.18
几何问题
几何问题
3、蝴蝶模型（风筝模型）
主要用于求图形之间的面积比
四、三大模型
【例4】（2026国考）一块梯形场地如下图所示，已知OA=0.6OD，现在需要将这
块场地拓展为一块长方形场地，问扩展后场地面积比原来至少增加：
A.20%
B.25%
C.40%
D.50%
几何问题
CHAO GE
最值问题
四
最值问题
最值问题
最不利构造
1、特征：至少...保证
2、方法：最不利值+1
例.在一个口袋中有8个黑球、7个白球、5个红球，至少从中取出几个球才能保证其
中有2个白球？
【例1】（2025广东）箱子里装有红、蓝、绿、白、黑五种颜色的小球各20个。如
果从箱子里取出若干个小球，且确保其中有10个小球颜色相同，则至少要取出（ ）
个小球。
A.46
B.50
C.51
D.56
最值问题
最值问题
数列构造
1、特征：最多的（最少的）...最多（最少）、排名第几的...最多（最少）
2、方法：
①定位
②构造
③加和
3、注意：是否强调“各不相同”
例.将21本书分给5位小朋友，每人分到的数量都不
相同，则分到书最多的人最少有几本书？
【例2】（2025浙江事业单位）小张等5人的数学考试成绩之和为392分。排名第2
的分数是排名第4的分数的1.3倍。已知每人分数均为0至100之间的整数，且各不相
同，那么排名第5的分数最高可能是多少?
A.66
B.67
C.68
D.69
最值问题
最值问题
多集合反向构造
1、特征：至少...都
2、方法：
①反向
②加和
③作差
例.100道模拟题，甲做对了90题，乙做对了95题，
丙做对了98题，则3人都做对了的题至少有多少题？
【例3】（2022年江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，
观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。
这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人
B.440人
C.620人
D.690人
最值问题
