文档文本内容
培优冲刺 04 新结构 19 题型卷导数“降温”题型归类
目录
题型一：切线型·········································································································································································1
题型二：零点型·········································································································································································2
题型三：单调或者不单调型··················································································································································3
题型四：常规型不等式的证明··············································································································································4
题型五：不等式“恒成立”求参···············································································································································4
题型六：不等式“能成立”求参···············································································································································5
题型七：求整数型参数···························································································································································6
题型八：二次求导型································································································································································7
题型九：双变量型构造···························································································································································7
题型十：数列型不等式证明··················································································································································8
题型十一：老高考压轴型导数题·········································································································································8
题型一：切线型
求切线的步骤：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
若切线与函数交点个数，可以通过联立方程，几个解来证明或者求参
1.已知函数 ．
(1)求函数 的极值点；
(2)记曲线 在 处的切线为 ，求证， 与 有唯一公共点．
2．已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在点 处的切线 与直线 垂直，解不等式 ．
3．已知函数
(1)判断函数 的单调性；
(2)曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，求a的值．4．已知函数 的图象在 处的切线方程为 .
(1)求 的解析式；
(2)若过点 可作 图象的三条切线，证明： .
题型二：零点型
极值点个数的判断问题，一般转化为零点的个数，注意求出导函数的零点，此零点不一定是原函数的极值
点，还要结合函数的单调性或函数图象进行验证.
1.已知函数 .
(1)当曲线 在点 处的切线与直线 垂直时，求a的值；
(2)讨论 的极值点的个数.
2．已知函数 ， ．
(1)求函数 图象上一点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点 （ ），求 的取值范围．
3．已知函数 .
(1)设 ，证明：当 时，过原点O有且仅有一条直线与曲线 相切；
(2)若函数 有两个零点，求a的取值范围.
4．已知函数 （ 为常数），函数 ．
(1)若函数 有两个零点，求实数 的取值的范围；
(2)当 ，设函数 ，若 在 上有零点，求 的最小值．
题型三：单调或者不单调型
利用导数解决不含参数函数的单调性的步骤：①确定函数 的定义域；
②求 ；
③在定义域内解不等式 ，得单调递增区间；
④在定义域内解不等式 ，得单调递增区间.
利用导数解决已知函数的单调性求参数问题的一般方法：
①利用集合间的包含关系处理： 在 上单调，
则区间 是相应单调区间的子集.
② 为增函数的充要条件是对任意的 都有 且在 内的任一
非空子区间上， 不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
③函数在某一个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
1.已知函数 .
(1)若 ，证明：当 时， ；
(2)求所有的实数 ，使得函数 在 上单调.
2．已知函数 .
（1）若 ，求证： ；
（2）若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围.
3．已知 ，函数 （ 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若 ，证明：曲线 没有经过点 的切线；
（Ⅱ）若函数 在其定义域上不单调，求 的取值范围；
4．已知函数 .
（1）若直线 与曲线 相切，求 的值；
（2）若函数 在 上不单调，且函数 有三个零点，求 的取值范围.
题型四：常规型不等式的证明
利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1.已知函数 ．
(1)若函数 的图象在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)当 时，求证： ．
2．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)当 ， 时，求证： ．
3．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)当 时，求证： ．
4．已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)证明： ．
题型五：不等式“恒成立”求参
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1.（23-24高三上·河南南阳·已知函数(1)当 时，求 的最小值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求a的取值范围．
2．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（22-23高三·河南焦作）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的图像在点 处的切线方程；
(2)若 ，求证：当 时， ；
(3)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
题型六：不等式“能成立”求参
有解和恒成立求参问题常转化为最值问题处理：
（1） 恒成立 ； 有解 ；
（2） 恒成立 ； 有解 .
1.（23-24高三·北京顺义·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 在区间 上的单调性；
(3)是否存在 ，使得 成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
2．（23-24高三山东·阶段练习）设函数 .（a， ），满足 在 和 处取
得极值.
(1)求a、b的值；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求实数c的最小值.3．（23-24高三·天津静海·阶段练习）已知 ，
(1)若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围；
(2)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围；
(3)若函数 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
题型七：求整数型参数
隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋
值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互
换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换
可能不止一次.
1.（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
2．（23-24高三·吉林长春·阶段练习）已知函数 在点 处的切线方程为
(1)求 ；
(2)求 的单调区间；
(3)求使 成立的最小整数 .
3．（22-23高三·陕西渭南·）已知函数
(1)若 ，讨论 的单调性.
(2)当 时，都有 成立，求整数 的最大值.
题型八：二次求导型
函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式.
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围
时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导，再结合导数与单调性等解决.
1.（23-24高三·山东淄博·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，试判断函数 与 的图象的交点个数，并说明理由．
2．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时， ，求 的取值范围；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围.
3.（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 在 内恒成立，求整数 的最大值.
题型九：双变量型构造
1.（23-24高三山东·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时（ 为大于0的常数），求 的最大值；
(3)若当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2．（23-24高三 江苏常州·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，且 ，都有 ，求实数 的取值范围.
3．（23-24高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ．(1)若函数 在 处取到极值，求实数a的值；
(2)若 ,对于任意 ,当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值
范围．
题型十：数列型不等式证明
1.（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)对任意的 ，求证： .
2．（23-24高三·湖北武汉·）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)试证明 ， .
3．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知 ， ， ， ，求证： ；
(3)证明： ．
题型十一：老高考压轴型导数题
1.（【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数
，曲线 处的切线斜率为0
求b;若存在 使得 ，求a的取值范围．
2．（【2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷））已知函数 ，曲线
在点 处的切线方程为 ．
（1）求 、 的值；
（2）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围．
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知函数 满足满足；
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值.
