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专题2-7 导数大题求参归类
目录
题型01 恒成立求参：常规型..............................................................................................................................................1
题型02 恒成立求参：三角函数型......................................................................................................................................2
题型03 恒成立求参：双变量型...........................................................................................................................................2
题型04 恒成立求参：整数型..............................................................................................................................................3
题型05 恒成立求参：三角函数型整数...............................................................................................................................4
/题型06“能”成立求参：常规型.......................................................................................................................................5
题型07“能”成立求参：双变量型....................................................................................................................................5
题型08 “能”成立求参：正余弦型..................................................................................................................................6
题型09 零点型求参：常规型..............................................................................................................................................7
题型10 零点型求参：双零点型..........................................................................................................................................8
题型11 零点型求参：多零点综合型..................................................................................................................................8
题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构...........................................................................................................................9
题型13 虚设零点型求参....................................................................................................................................................10
高考练场..............................................................................................................................................................................10
题型01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的
关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范
围最后取并集.
【典例1-1】（2024 上·北京·高三阶段练习）设
，函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
，求a．
【典例1-2】（2024 上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数
.
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【变式1-1】（2023 上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)若
对
恒成立，求实数a 的取值范围．
【变式1-2】（2024 上·山西·高三期末）已知函数
，
.
1
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(1)求证：函数
存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间
的长度
的取值范围；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
题型02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
三角函数与导数应用求参：
1. 正余弦的有界性
2. 三角函数与函数的重要放缩公式：
.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
．
(1)求证：
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【典例1-2】（2023 上·全国·高三期末）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值；
(3)设实数a 使得
对
恒成立，求a 的最大整数值.
【变式1-1】（2023 上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【变式1-2】（2023 上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数
为其导函数．
(1)求
在
上极值点的个数；
(2)若
对
恒成立，求
的值．
2
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题型03 恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数
，
(1)若
，
，总有
成立，故
；
(2)若
，
，有
成立，故
；
(3)若
，
，有
成立，故
；
(4) 若
，
，有
成立，故
．
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设函数
，当
有两个极值点
时，总有
成立，求实数的值．
【典例1-2】（2024 上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数
，其中
.
(1)讨论函数
在
上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点
，且满足
，求正实数
的取值范围.
【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值点；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
有三个不同的极值点
、
、
，且
，求实数a 的取值范围.
【变式1-2】（2023 下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
的取值范围为
，求a 的取值范围.
题型04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
恒成立求参的一般规律
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号
3
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【典例1-1】（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知
．
(1)若
恒成立，求实数
的取值范同：
(2)设
表示不超过
的最大整数，已知
的解集为
，求
．（参考数据：
，
，
）
【典例1-2】（2023 上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数
，
，
为自然对数底数．
(1)证明：当
时，
；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求整数
的最小值．
【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数
，
.
(1)若
，求函数
值域；
(2)是否存在正整数a 使得
恒成立？若存在，求出正整数a 的取值集合；若不存在，请说明理
由.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
．
(1)若函数
的图象在点
处的切线与函数
的图象相切，求k 的值；
(2)若
，且
时，恒有
，求k 的最大值．
（参考数据：
）
题型05 恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知
．
（1）证明：
；
（2）对任意
，
，求整数
的最大值．
（参考数据：
）
【典例1-2】（2020 上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数
，
.
（1）若
，求函数
在
上的单调区间；
（2）若
，不等式
对任意
恒成立，求满足条件的最大整数b.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
，
为
的导函数．
(1)讨论
在区间
内极值点的个数；
4
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(2)若
，
时，
恒成立，求整数
的最小值．
【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数
，
(1)求
在区间
上的极值点个数；
(2)若
为
的极值点，则
，求整数
的最大值.
/题型06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
形如
的有解的求解策略：
1、构造函数法：令
，利用导数求得函数
的单调性与最小值，只需
恒
成立即可；
2、参数分离法：转化为
或
恒成立，即
或
恒成立，只需利用导数求
得函数
的单调性与最值即可.
【典例1-1】（2023 上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若存在
，使
成立，求实数
的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【典例1-2】（2023 上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数
，
是
的导函数.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若存在实数
使
成立，求
的取值范围.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在
，使得
，求实数
的最小值．
【变式1-2】（2023 上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围.
5
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题型07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数
，
（1）相等关系
记
的值域为A,
的值域为B,
①若
，
，有
成立，则有
；
②若
，
，有
成立，则有
；
③若
，
，有
成立，故
；
（2）不等关系
(1)若
，
，总有
成立，故
；
(2)若
，
，有
成立，故
；
(3)若
，
，有
成立，故
；
(4) 若
，
，有
成立，故
．
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数
，其中a≠0.
(1)若
，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意
，总存在
，使得
成立？若存在，求出实数a
的值；若不存在，请说明理由．
【典例1-2】（2023 上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若存在
，
满足
，且
，
，求实数a 的取值范围．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
.
(1)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；
(2)求
的单调区间；
(3)若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围．
【变式1-2】（2023 上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在区间
上的最大值和最小值;
(2)若对任意的
，均存在
，使得
，求a 的取值范围．
6
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题型08 “能”成立求参：正余弦型
【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数
.
（1）求证：函数
在区间
内至少有一个零点；
（2）若函数
在
处取极值，且
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2
2cos
﹣
x
（1）求函数f（x）在[
，
]上的最值：
（2）若存在x∈（0，
）使不等式f（x）≤ax 成立，求实数a 的取值范围
【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数
.
（1）求证：当x (0,
∈
π]时，f(x)<1；
（2）求证：当m＞2 时，对任意x0 (0,
∈
π] ，存在x1 (0,
∈
π]和x2 (0,
∈
π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
．
（1）若
在
处的切线为
，求
的值；
（2）若存在
，使得
，求实数
的取值范围．
题型09 零点型求参：常规型
【解题攻略】
零点常规型求参基础：
1. 分类讨论思想与转化化归思想
2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线
处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
【典例1-1】（2023 上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
在
上只有一个零点，求实数
的取值范围．
【典例1-2】（2023 上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
7
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(2)若函数
无零点，求
的取值范围；
(3)设
，（其中实数
）．若函数
有且只有一个零点，求
的取
值范围．
【变式1-1】（2023 上·江苏南通·高三统考期中）已知
．
(1)试判断函数
的单调性；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．
【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求
的最小值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求
的取值范围．
题型10 零点型求参：双零点型
【解题攻略】
利用导数解决
有两个零点，求实数
的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范
围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单
调性.
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
过原点的切线的方程．
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围．
【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数
，且
恒成立．
(1)求实数
的最大值；
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围．
【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
的图象在
处的切线方程;
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
【变式1-2】（2023 下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
8
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题型11 零点型求参：多零点综合型
【解题攻略】
三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。
1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
【典例1-1】（2021 下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）已知函数
，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
【典例1-2】（2022 上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知
在区间
，
上的值域
，
.
（1）求
的值；
（2）若不等式
在
，
上恒成立，求实数
的取值范围；
（3）若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数
.
（1）求函数
的最值；
（2）已知函数
，设函数
，若函数
有三个
零点，求实数
的取值范围.
【变式1-2】（2022 上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)当
时,当函数
恰有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
题型12 同构型求参：X1，X2双变量同构
【解题攻略】
双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数
.
9
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（1）曲线
在点
处的切线方程为
，求
，
的值；
（2）若
，
时，
，都有
，求
的取值范围.
【典例1-2】（2020 上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数
.
（Ⅰ）若
在
处的切线方程为
，求a 的值；
（Ⅱ）若
，
，都有
恒成立，求实数a 的取值范围.
【变式1-1】（2019 上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）设
，若对任意
、
，且
，都有
，求实数
的取值范围.
【变式1-2】（2019 上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数
.
(
)
Ⅰ求函数
的单调区间；
(
)
Ⅱ设
，
，若对任意
，且
，都有
，求实数
的取值
范围.
.题型13 虚设零点型求参
【解题攻略】
虚设零点转化技巧：
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式
子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无
关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变
量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。
【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数
，
．
(1)若曲线
有两条过点
的切线，求实数m 的取值范围；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数a 的取值集合．
【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
10
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(3)若对任意的
，都有
成立，求整数
的最大值.
【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数
.
(1)证明：曲线
在
处的切线经过坐标原点；
(2)记
的导函数为
，设
，求使
恒成立的
的取值范围.
【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数
，
（
，
为自然对数的底数）.
(1)求函数
的极值；
(2)若对
，
恒成立，求
的取值范围.
高考练场
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围．
2.（2023 上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数
.
(1)讨论
在区间
上的单调性；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
3.（2023·山东德州·三模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
存在两个极值点
的取值范围为
，求
的取值范围．
4.（2023 下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若
，讨论
的单调性.
(2)当
时，都有
成立，求整数
的最大值.
5.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求证：
；
(2)当
时，对任意
，都有
，求整数
的最大值．
6.（2023 上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数
．
11
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(1)试讨论
的极值点的个数；
(2)若
，且对任意的
都有
，求
的取值范围．
7.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数
.
(1)若
，设
，讨论函数
的单调性；
(2)令
，若存在
，使得
，求
的取值范围.
8.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若对于任意的
，都存在
，使得
成立，试求实数
的取值范围.
9.（2020·江西·校联考模拟预测）已知函数
在
上单调递增，函数
．
（1）求
的值；
（2）若存在
，使得
成立，求m 的取值范围．
10.（2024·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若函数
在
上只有一个零点，求实数a 的取值范围.
11.（2022 上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数
是
自然对数的底数，
且
．
(1)若
是函数
在
上的唯一的极值点，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个不同的零点，求实数
的取值范围．
12.（2021 上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知
，
.
（1）讨论
在区间
上的单调性；
（2）若
，且
在
上有三个零点
，求实数
的取值范围.
13.（2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数
.
12
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（1）讨论函数
的单调性；
（2）对任意的
，
，
，恒有
，求实数
的取值范围.
14.（2020 秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数
，
（1）判断函数
在区间
上的单调性；
（2）若当
时，
恒成立，求正整数
的最大值．
13
