文档内容
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模
型-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
金字塔和沙漏模型 C 1.能够准确理解金字塔和沙漏模型 少考
2.能够用相似模型解决复杂的几何
问题
知识提要
金字塔和沙漏模型
金字塔模型
CD CE DE
= =
CA CB AB
沙漏模型AB AO BO
= =
CD DO CO
精选例题
金字塔和沙漏模型
1. 如图，已知 DE 平行 BC，BO:EO=3:2，那么 AD:AB= ．
【答案】 2:3
【分析】 由沙漏模型得 BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得
AD:AB=DE:BC=2:3．
2. 如图，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，那么 S :S = ．
△ADE △ECB【答案】 4:15
【分析】 根据金字塔模型 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，
S :S =22:52=4:25，
△ADE △ABC
设 S =4 份，则 S =25 份，S =25÷5×3=15 份，所以
△ADE △ABC △BEC
S :S =4:15．
△ADE △ECB
3. 如图，△ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，
则 S :S :S :S :S = ．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB
【答案】 1:3:5:7:9
【分析】 设 S =1 份，S :S =AD2:AF2=1:4，因此 S =4 份，
△ADE △ADE △AFG △AFG
进而有 S =3 份，同理有 S =5 份，S =7 份，S =9
四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB
份．
所以有 S :S :S :S :S =1:3:5:7:9.
△ADE 四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB4. 如图，△ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD=DF=FB，则
S :S :S = ．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGCB
【答案】 1:3:5
【分析】 设 S =1 份，根据面积比等于相似比的平方，
△ADE
所以 S :S =AD2:AF2=1:4，S :S =AD2:AB2=1:9，因此
△ADE △AFG △ADE △ABC
S =4 份，S =9 份，进而有 S =3 份，S =5 份，所以
△AFG △ABC 四边形DEGF 四边形FGCB
S :S :S =1:3:5．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGCB
5. 如下图所示，将边长 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的
面积是 平方厘米．【答案】 43.2
【分析】 给图中标上字母，如下图．
OC BC 8 2
根据沙漏模型 = = = ．
OF EF 12 3
3
所以 OF=12× =7.2(厘米)．
2+3
S =7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．
△EFO
1 1
6. 如图，△ABC 中，AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，△EOD 的面积是 1
4 4
平方厘米．那么 △AED 的面积是 平方厘米．5
【答案】
3
1 1
【分析】 因为 AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，
4 4
根据相似模型可知 ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S =4S =4 平方厘米，
△COD △EOD
则 S =4+1=5 平方厘米，又因为 S :S =AD:DC=1:3，所以
△CDE △AED △CDE
1 5
S =5× = (平方厘米)．
△AED 3 3
7. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，
BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 = ．
【答案】 3
【分析】 因为 FGHE 为平行四边形，所以 EC∥AG，所以 AGCE 为平行四边
形．
BG:GC=3:1，那么 GC:BC=1:4，所以
1 1
S = ×S = ×16=4．
平行四边形AGCE 4 平行四边形ABCD 4
又 AE=GC，所以 AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，
3 3
FG:AF=BG:AE=3:1，所以 S = S = ×4=3．
平行四边形FGHE 4 平行四边形AGCE 4
8. 如图，DE 平行 BC，且 AD=2，AB=5，AE=4，求 AC 的长．【答案】 10
【分析】 由金字塔模型得 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以
AC=4÷2×5=10．
9. 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的中点，求 △AOD 的面积．
【答案】 12．
【分析】 连结DE，因为 BE 与 AD 之比是 1:2，可如图所示设份数，可知
△AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是 12．
10. 如图：MN 平行 BC，S :S =4:9，AM=4cm，求 BM 的长度．
△MPN △BCP【答案】 2cm
【分析】 在沙漏模型中，因为 S :S =4:9，所以 MN:BC=2:3，在金字塔
△MPN △BCP
模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为 AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以
BM=6-4=2cm．
11. 图中 ABCD 是边长为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，
已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？
【答案】 108cm2
【分析】 做 GM 垂直 DC 于 M，交 AB 于 N．因为 EF∥DC，所以三角形 GEF 与三角形 GDC 相似，且为
EF:DC=4:12=1:3,
所以
GN:GM=1:3,
又因为
MN=GM-GN=12,
所以
GM=18(cm),
所以三角形 GDC 的面积为
1
×12×18=108(cm2 ).
2
12. 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 15 厘米，AC 被分为 60 等份．如
果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处（DE 平行 AB），那么小玻璃管口径 DE
是多大？【答案】 10 厘米．
【分析】 有一个金字塔模型，所以 DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以
DE=10 厘米．
13. 两盏 4 米高的路灯相距 10 米，有一个身高 1.5 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么
他的两个影子总长度是多少米？
【答案】 6
【分析】 根据题意画出如图所示的图，延长 FE 与 AC 交于 I，则 △AEI 和
△EFH 以及 △CEI 和 △EFG 都能组成沙漏三角．
不难看出，EI=4-1.5=2.5(米)．
AE IE 2.5 5
而在沙漏 AIEFH 中，又有 = = = ．
EH EF 1.5 3
AC AE 5
在沙漏 ACEGH 中，有 = = ．
GH EH 3
3 3
由此可知 GH= AC= ×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．
5 5
14. 如图，在 △ABC 中，有长方形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC
上，AH 是 △ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M，DG:DE=1:2，BC=12 厘米，AH=8
厘米，求长方形的长和宽．48 24
【答案】 长和宽分别是 厘米， 厘米．
7 7
【分析】 观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DE AD DG BD
= , = ,
BC AB AH AB
所以有
DE DG AD BD
+ = + =1,
BC AH AB AB
设 DG=x，则 DE=2x，所以有
2x x
+ =1,
12 8
解得
24 48
x= ,2x= ,
7 7
48 24
因此长方形的长和宽分别是 厘米， 厘米．
7 7
15. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么 FC 的长度是
多少？
【答案】 8
【分析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平
4
行于 CD，所以 BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以 FC=10× =8．
1+4
16. 如图所示，三角形 ABC 中，DE 与 BC 平行，且 AD:DB=5:2，求 AE:EC 及
DE:BC．【答案】 5:2，5:7
【分析】 根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．
17. 如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长 1 和 3，割出图中的阴影部分，求阴影
部分的面积是多少？
1
【答案】
30
【分析】
根据相似三角形的对应边成比例有：NF 3
= ,
1+2 2+3
EM 1
= ,
2+3 1+2
则
5 5
NF= ,EM= ,
9 3
所以
1 ( 9) ( 5) 1
S = × 2- × 2- = .
阴 2 5 3 30
18. 已知正方形 ABCD，过 C 的直线分别交 AB、AD 的延长线于点 E、F，且
AE=10cm，AF=15cm，求正方形 ABCD 的边长．
【答案】 6
【分析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有
BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,
设正方形的边长为 xcm，所以有
BC DC CE CF
+ = + =1,
AF AE EF EF
即
x x
+ =1,
15 10
解得
x=6,
所以正方形的边长为 6cm．
方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即
x 15-x
= ,
10 15解得
x=6.
19. 在图中的正方形中，A，B，C 分别是所在边的中点，△CDO 的面积是 △ABO 面积的
几倍？
【答案】 3
【分析】
连接 BC，易知 OA∥EF，可知 OB:OD=AE:AD，且 OA:BE=DA:DE=1:2，所以
1 1
△CDO 的面积等于 △CBO 的面积；由 OA= BE= AC 可得 CO=3OA，所以
2 4
S =S =3S ，即 △CDO 的面积是 △ABO 面积的 3 倍．
△CDO △CBO △ABO
20. 如右图，长方形 ABCD 中，EF=16，FG=9，求 AG 的长．【答案】 15
DG AG AG DG FG 9 AG 9
【分析】 因为 = = ，且 = = ，所以 = 即
GB GE 25 GB GA AG 25 AG
AG2=25×9=225，所以 AG=15．
21. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4，那么阴
影部分的一块直角三角形的面积是多少？
25
【答案】
8
【分析】 连接 OB，由已知可得
S =4-3=1,
△OEB
所以
OE:EA=1:3,
可以得到
CE:CA=5:8,
由三角形相似可得阴影部分面积为
(5) 2 25
8× = .
8 8
22. 如图，正方形 ABCD 中E是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于F点，三角形 DEF 的
面积是 2，那么正方形 ABCD 的面积是_________．
【答案】 12
【分析】 左边梯形 ABED，因为 E 为 BC 的中点，所以 BE:AD=1:2 所以
BF:FD=1:2 又因为三角形 DEF 的面积是 2 所以三角形 BEF 的面积是 1，三角形
ABF 的面积为 2，三角形 AFD 的面积为 4 而 S =S ，所以 S =3
△BED △DEC △DEC
S =1+2+2+4+3=12
△ABCD
23. 已知 △ABC 中，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，且 S 比 S 大
梯形DBCE △ADE
8.5cm2，求 S ．
△ABC【答案】 12.5cm2
【分析】 根据金字塔模型
AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,
S :S =22:52=4:25,
△ADE △ABC
设 S =4 份，则 S =25 份，S =25-4=21 份，S 比 S 大 17
△ADE △ABC 梯形DBCE 梯形DBCE △ADE
份，恰好是 8.5cm2，所以 S =12.5cm2 ．
△ABC
24. 如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120 毫米，高 AD=80 毫米，要
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这
个正方形零件的边长是多少？
【答案】 48
【分析】 观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
有
PN AP PH BP
= , = ,
BC AB AD AB
设正方形的边长为 x 毫米，
PN PH AP BP
+ = + =1,
BC AD AB AB
即x x
+ =1,
120 80
解得
x=48
即正方形的边长为 48 毫米．
25. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，AD=2 厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的
面积．
【答案】 3.5 平方厘米
【分析】 连接 DE、FC，在梯形 CDEF 中，由梯形基本结论知：
EF:DC=EO:OC=1:3，S❑ =6×2=12 由一半模型得所以 S =6 又
长ABCD △DEC
1
EO:OC=1:3，S =6× =1.5（平方厘米）又 S =2×2÷2=2（平方厘米）所以
△DEO 4 △ADE
S =2+1.5=3.5（平方厘米）
阴
