北大学姐妍妍:高中数学所有公式+考点合集,收藏!

大家好，我是妍妍，从数学68分逆袭到142分、考上北大，深知公式和考点是高中数学的“根基”——不管是基础题得分，还是难题突破，脱离公式和考点都是空谈。

很多同学数学学不好，要么记不住公式，要么记住了不会用，核心就是没理清“公式+考点”的对应关系。

今天，我把高中数学全学段（高一至高三）核心公式、高频考点，按模块整理好，无冗余、不杂乱，适配所有高中生，收藏起来，平时刷题、考前复习，直接对照查找，省时又高效，帮你少走弯路、精准提分！

温馨提示：公式不用死背，结合考点理解记忆，再搭配基础例题练习，才能真正吃透、灵活运用，这也是我当年从68分逆袭的关键技巧之一。

一、集合与常用逻辑用语（高一基础，必拿分）

核心公式

1. 集合运算公式：

– 交集：\(A\cap B = \{x | x\in A 且 x\in B\}\)

– 并集：\(A\cup B = \{x | x\in A 或 x\in B\}\)

– 补集：\(\complement_U A = \{x | x\in U 且 x\notin A\}\)（U为全集）

2. 常用性质：

– \(A\cap A = A\)，\(A\cap \varnothing = \varnothing\)；\(A\cup A = A\)，\(A\cup \varnothing = A\)

– \(\complement_U (A\cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B\)；\(\complement_U (A\cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B\)

高频考点

1. 集合的表示方法（列举法、描述法），区分元素与集合、集合与集合的关系（∈、⊆、⊇）；

2. 集合运算（交集、并集、补集），结合数轴解题（重点）；

3. 常用逻辑用语：充分条件、必要条件、充要条件的判断；全称量词与存在量词的否定。

二、函数（高一核心，贯穿整个高中）

核心公式

1. 函数的单调性与奇偶性：

– 奇函数：\(f(-x) = -f(x)\)，图像关于原点对称；

– 偶函数：\(f(-x) = f(x)\)，图像关于y轴对称；

2. 基本初等函数公式：

– 一次函数：\(y = kx + b\)（\(k\neq 0\)），斜率为k，截距为b；

– 二次函数：\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a\neq 0\)），顶点坐标\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac – b^2}{4a})\)，对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)；

– 指数函数：\(y = a^x\)（\(a\gt 0且a\neq 1\)），\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)，\((a^m)^n = a^{mn}\)；

– 对数函数：\(y = \log_a x\)（\(a\gt 0且a\neq 1\)），\(\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\)，\(\log_a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N\)，\(\log_a M^n = n\log_a M\)，换底公式\(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)；

– 幂函数：\(y = x^\alpha\)（α为常数），常见：\(y = x\)、\(y = x^2\)、\(y = x^3\)、\(y = \sqrt{x}\)、\(y = \frac{1}{x}\)。

高频考点

1. 函数的定义域、值域求解（重点：分式分母不为0、根号下非负、对数真数大于0）；

2. 函数的单调性、奇偶性判断及应用（求最值、解不等式）；

3. 二次函数的最值问题（含参数讨论，高考高频）；

4. 指数、对数函数的图像与性质，解指数、对数不等式。

三、三角函数与解三角形（高一重点，中档题核心）

核心公式

1. 任意角的三角函数：

– 定义：\(\sin\alpha = \frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha = \frac{x}{r}\)，\(\tan\alpha = \frac{y}{x}\)（\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)）；

– 同角三角函数关系：\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)，\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)；

2. 诱导公式（核心：奇变偶不变，符号看象限）：

– \(\sin(\pi – \alpha) = \sin\alpha\)，\(\cos(\pi – \alpha) = -\cos\alpha\)，\(\tan(\pi – \alpha) = -\tan\alpha\)；

– \(\sin(\frac{\pi}{2} – \alpha) = \cos\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2} – \alpha) = \sin\alpha\)；

3. 三角恒等变换：

– 和差公式：\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\)；\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\)；

– 二倍角公式：\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)；\(\cos2\alpha = \cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha – 1 = 1 – 2\sin^2\alpha\)；\(\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 – \tan^2\alpha}\)；

– 辅助角公式：\(a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\alpha + \varphi)\)（其中\(\tan\varphi = \frac{b}{a}\)）；

4. 解三角形公式：

– 正弦定理：\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)（R为三角形外接圆半径）；

– 余弦定理：\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A\)，\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}\)；

– 三角形面积公式：\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)。

高频考点

1. 三角函数的图像与性质（周期、奇偶性、单调性、对称性）；

2. 三角恒等变换（化简、求值、证明），辅助角公式的应用（重点）；

3. 解三角形（已知两边及一角、两角及一边、三边，求边长或角度）；

4. 三角形中的最值、范围问题（结合三角函数单调性求解）。

四、数列（高一重点，高考必考题）

核心公式

1. 等差数列：

– 通项公式：\(a_n = a_1 + (n – 1)d\)（\(a_1\)为首项，d为公差）；

– 前n项和公式：\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n – 1)}{2}d\)；

– 性质：若\(m + n = p + q\)，则\(a_m + a_n = a_p + a_q\)；

2. 等比数列：

– 通项公式：\(a_n = a_1 q^{n – 1}\)（\(a_1\)为首项，q为公比，\(q\neq 0\)）；

– 前n项和公式：\(S_n = \begin{cases} na_1 & (q = 1) \\ \frac{a_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{a_1 – a_n q}{1 – q} & (q \neq 1) \end{cases}\)；

– 性质：若\(m + n = p + q\)，则\(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)；

3. 常见求和方法：裂项相消法、错位相减法、分组求和法。

高频考点

1. 等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式求解（含参数）；

2. 已知\(S_n\)求\(a_n\)（重点：验证\(n = 1\)时的情况）；

3. 数列求和（裂项相消、错位相减为高考高频）；

4. 数列的最值、单调性问题，与不等式结合的综合题。

五、立体几何（高二重点，中档题）

核心公式

1. 空间几何体的表面积与体积：

– 正方体：表面积\(S = 6a^2\)，体积\(V = a^3\)（a为棱长）；

– 长方体：表面积\(S = 2(ab + bc + ac)\)，体积\(V = abc\)（a、b、c为棱长）；

– 圆柱：表面积\(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)，体积\(V = \pi r^2 h\)（r为底面半径，h为高）；

– 圆锥：表面积\(S = \pi r^2 + \pi r l\)（l为母线长），体积\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)；

– 球：表面积\(S = 4\pi R^2\)，体积\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)（R为球的半径）；

2. 空间向量（用于证明与计算）：

– 坐标运算：若\(\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)\)，\(\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)\)，则\(\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)\)，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)；

– 平行与垂直：\(\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}\)（k为常数）；\(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)；

– 夹角公式：\(\cos\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)。

高频考点

1. 空间几何体的表面积、体积计算（含组合体）；

2. 空间线面、面面平行、垂直的判定与证明（重点，高考大题必考）；

3. 空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的计算（用空间向量求解，步骤固定）；

4. 空间距离（点到面、线到面）的简单计算。

六、解析几何（高二难点，高考压轴题之一）

核心公式

1. 直线与方程：

– 点斜式：\(y – y_0 = k(x – x_0)\)（k为斜率，\((x_0, y_0)\)为直线上一点）；

– 两点式：\(\frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \frac{x – x_1}{x_2 – x_1}\)（\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)为直线上两点）；

– 一般式：\(Ax + By + C = 0\)（A、B不同时为0）；

– 两点间距离公式：\(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)；

– 点到直线距离公式：\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)；

2. 圆与方程：

– 标准方程：\((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\)（\((a, b)\)为圆心，r为半径）；

– 一般方程：\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)（\(D^2 + E^2 – 4F \gt 0\)），圆心\((-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})\)，半径\(r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 – 4F}\)；

3. 圆锥曲线：

– 椭圆：标准方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a \gt b \gt 0\)，焦点在x轴）、\(\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a \gt b \gt 0\)，焦点在y轴），离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(0 \lt e \lt 1\)，\(c^2 = a^2 – b^2\)）；

– 双曲线：标准方程\(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a \gt 0, b \gt 0\)，焦点在x轴）、\(\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1\)（\(a \gt 0, b \gt 0\)，焦点在y轴），离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(e \gt 1\)，\(c^2 = a^2 + b^2\)）；

– 抛物线：标准方程\(y^2 = 2px\)、\(y^2 = -2px\)、\(x^2 = 2py\)、\(x^2 = -2py\)（\(p \gt 0\)），焦点坐标、准线方程对应记忆。

高频考点

1. 直线与圆的位置关系（相切、相交、相离），弦长计算；

2. 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质（离心率、焦点、渐近线等）；

3. 直线与圆锥曲线的位置关系（联立方程、韦达定理应用，高考大题必考）；

4. 圆锥曲线的弦长、面积、最值问题（综合题，重点突破）。

七、导数及其应用（高二难点，高考压轴题核心）

核心公式

1. 基本导数公式（必记）：

– \((C)’ = 0\)（C为常数）；\((x^n)’ = nx^{n – 1}\)；

– \((\sin x)’ = \cos x\)；\((\cos x)’ = -\sin x\)；

– \((e^x)’ = e^x\)；\((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)；\((a^x)’ = a^x \ln a\)；\((\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}\)；

2. 导数四则运算：

– \((f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)\)；

– \((f(x) \cdot g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)；

– \((\frac{f(x)}{g(x)})’ = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)（\(g(x) \neq 0\)）；

3. 复合函数求导：\(y = f(g(x))\)，则\(y’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)（链式法则）；

4. 导数应用：

– 单调性：\(f'(x) \gt 0\)，f(x)单调递增；\(f'(x) \lt 0\)，f(x)单调递减；

– 极值：令\(f'(x) = 0\)，求解极值点，判断极值点左右导数符号，确定极大值、极小值；

– 最值：在闭区间上，比较极值点与区间端点的函数值，取最大值、最小值。

高频考点

1. 导数的计算（基础，必拿分）；

2. 利用导数判断函数的单调性、求极值、最值；

3. 导数在恒成立问题、能成立问题中的应用（求参数取值范围，高考高频）；

4. 导数与函数、不等式的综合题（压轴题，重点突破思路）。

八、不等式（贯穿全学段，基础+综合）

核心公式

1. 基本不等式：\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)（\(a \gt 0, b \gt 0\)，当且仅当\(a = b\)时取等号）；

2. 不等式性质：

– 若\(a \gt b\)，则\(a \pm c \gt b \pm c\)；

– 若\(a \gt b\)，\(c \gt 0\)，则\(ac \gt bc\)，\(\frac{a}{c} \gt \frac{b}{c}\)；

– 若\(a \gt b\)，\(c \lt 0\)，则\(ac \lt bc\)，\(\frac{a}{c} \lt \frac{b}{c}\)；

3. 一元二次不等式求解：\(ax^2 + bx + c \gt 0\)（\(a \neq 0\)），结合二次函数图像，根据判别式判断解集。

高频考点

1. 一元二次不等式的求解（基础，必拿分）；

2. 基本不等式的应用（求最值、比较大小）；

3. 不等式与函数、数列、导数的综合应用（求参数范围、证明不等式）。

妍妍学姐温馨提示

1. 公式记忆：优先理解推导过程，结合考点和例题练习，避免死记硬背（比如导数公式、三角诱导公式，理解逻辑后更容易记住）；

2. 重点突破：高一重点抓集合、函数、三角函数、数列（基础）；高二重点突破立体几何、解析几何、导数（难点）；高三侧重综合应用和错题复盘；

3. 收藏备用：平时刷题、考前复习，直接对照这份合集查找公式和考点，省去翻课本、翻笔记的时间，高效提分；

4. 灵活运用：公式不是孤立的，比如导数公式要结合单调性、极值问题，解三角形公式要结合三角恒等变换，多练习、多复盘，才能真正掌握。

这份合集涵盖高中数学所有核心公式和高频考点，不管你是高一打基础、高二攻难点，还是高三冲刺，都能用到。收藏起来，慢慢吃透，相信你也能像我一样，摆脱数学困境，稳步提分，冲刺高分！