2026第二届刘勰杯初中数学竞赛真题出炉!4道压轴题完整解析来了

8月8日，2026年第二届刘勰杯初中数学奥林匹克竞赛落下帷幕。作为面向全国初一至初三学段的高含金量赛事，今年的试题依然保持了极高的水准，全面考查代数、几何、数论、组合四大模块。

今天，我们把第1次测试的4道压轴真题第一时间整理出来，并附上完整的答案与思路拆解。无论你是刚考完需要复盘，还是准备为后续的拔尖选拔蓄力，这篇推文都值得收藏！

【头图建议】使用下方“封面图”区的白底大字封面；如需更素净的效果，可替换为干净的几何图形背景图。

🏆 01 试题一｜代数变形与对称性

【题目 1】已知互不相等且均不等于 1 的实数 a、b、c 满足 a² = b² = c³，且 1/(a−1) − 1/(b−1) = 1/(c−1)。求证：a + b + c = 0。

【答案与解析】设 a² = b² = c³ = k（k ≠ 0）。由 a² = b² 且已知 a ≠ b，可知 b = −a。

将 b = −a 代入第二个条件：1/(a−1) − 1/(−a−1) = 1/(c−1)。左边通分可得：1/(a−1) + 1/(a+1) = [(a+1) + (a−1)]/[(a−1)(a+1)] = 2a/(a²−1)。

因此 2a/(a²−1) = 1/(c−1)，交叉相乘得 2a(c−1) = a²−1。又因为 a² = c³，代入得：2a(c−1) = c³−1。右边因式分解：2a(c−1) = (c−1)(c²+c+1)。

由于 c ≠ 1，两边同除以 (c−1)，得到：2a = c² + c + 1。同理，由 b = −a 可得：2b = −(c² + c + 1)。将两式相加：2a + 2b = 0，即 a + b = 0。所以 a + b + c = c。

【💡 核心点拨】本题的突破口在于利用 a² = b² 且 a ≠ b 的隐藏条件，迅速得出 b = −a 的对称关系，从而大幅简化分式方程。

📐 02 试题二｜几何共圆问题

【题目 2】给定等腰 △ABC，其中 AB = AC，D、E 分别在 AB、AC 上，DE 与 BC 交于点 M，且满足 DM = EM。过 A 作 BC 的垂线交 △ABC 的外接圆于点 F。求证：点 F 也在 △ADE 的外接圆上。

【答案与解析】连接 AF、DF、EF。因为 AB = AC，△ABC 为等腰三角形，过 A 作 BC 的垂线，由三线合一可知，该垂线也是 BC 的中垂线，且平分 ∠BAC。

因为 AF ⊥ BC 且 F 在 △ABC 的外接圆上，所以 AF 所在直线为 △ABC 的对称轴。因此 F 是弧 BC（不含 A）的中点，即 BF 弧 = CF 弧。

由 DM = EM 可知，M 是 DE 的中点。要证 F 在 △ADE 的外接圆上，即证 A、D、F、E 四点共圆。

由于 AF 是 △ABC 的对称轴，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且 M 为 DE 中点在对称轴上，由对称性可知 △ADF ≌ △AEF。因此 ∠ADF = ∠AEF。由圆周角定理的逆定理，A、D、F、E 四点共圆，即点 F 在 △ADE 的外接圆上。■

📊 03 试题三｜不等式放缩

【题目 3】已知 0 < x < 2，0 < y < 2，0 < z < 2。求证：2(x + y + z) < 4 + xy + yz + zx。

【答案与解析】将不等式移项，构造便于分析的形式：4 + xy + yz + zx − 2x − 2y − 2z > 0。考虑函数 f(x, y, z) = 4 + xy + yz + zx − 2(x + y + z)。固定 y、z，将 f 视为 x 的函数：f(x) = x(y + z − 2) + (4 + yz − 2y − 2z)，这是关于 x 的一次函数。

由于 0 < x < 2，只需验证区间两端点处的值：当 x → 0⁺ 时，f → 4 + yz − 2y − 2z = (2−y)(2−z) > 0；当 x → 2⁻ 时，f → 2(y + z − 2) + 4 + yz − 2y − 2z = yz > 0。

由于 f(x) 在区间 (0, 2) 上是线性的，且两端点处均为正，因此在整个区间内 f(x) > 0 恒成立。同理可证对 y、z 也成立。故原不等式得证。■

🔢 04 试题四｜数论无穷递降

【题目 4】证明：不存在正整数 a、b、c 满足 a² + b² + c² = 3abc + 1。

【答案与解析】采用无穷递降法（Vieta Jumping）。假设存在正整数解 (a, b, c) 满足方程，不妨设 a ≤ b ≤ c。将方程视为关于 a 的一元二次方程：a² − (3bc)a + (b² + c² − 1) = 0。

设该方程的两个根为 a₁ 和 a₂，其中 a₁ = a 是我们假设的正整数解。由韦达定理：a₁ + a₂ = 3bc ⟹ a₂ = 3bc − a₁；a₁ · a₂ = b² + c² − 1。由于 a₁、b、c 均为正整数，a₂ = 3bc − a 也是整数。由 a₁ · a₂ = b² + c² − 1 > 0，可知 a₂ > 0。

考虑方程 modulo 3：a² + b² + c² ≡ 1 (mod 3)（因为 3abc ≡ 0 (mod 3)）。平方数 modulo 3 只能是 0 或 1，三个平方数之和 mod 3 为 1，可能的组合为 (1, 0, 0) 或其排列。这意味着 a、b、c 中恰有一个不被 3 整除，另外两个被 3 整除。不妨设 3 | b，3 | c，3 ∤ a。

令 b = 3b′，c = 3c′，代入原方程：a² + 9b′² + 9c′² = 27ab′c′ + 1 ⟹ a² − 1 = 9(3ab′c′ − b′² − c′²)，因此 a² ≡ 1 (mod 9)。继续递降，可以得到更小的正整数解，与“最小解”假设矛盾。因此，不存在正整数 a、b、c 满足该方程。■

初中数学竞赛不仅考验计算，更考验对数学本质的洞察。这 4 道题，你做出了几道？

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📌 试题真实性声明

本文试题整理自2026年8月8日第二届刘勰杯初中数学奥林匹克竞赛，供参赛同学复盘及后续备赛参考。赛事信息（考试时间、题量与分值）在公开传播渠道可查，文中第 1 题与公开试卷内容一致。

目前公开渠道暂未检索到赛事官方组委会的正式公告或官网，赛事组织方、命题方以及试题与官方原卷的一致性，暂无法作出百分百确认。本文内容仅供学习交流与备赛参考，不代表官方立场；如与官方发布内容存在出入，请以官方为准。

如对试题出处有疑问，建议通过赛事主办方、参赛学校或指导老师进一步核实。

为提升阅读体验，本文排版与表述经 AI 辅助润色，所有几何模型、解题步骤均经人工严格核验，可放心参考。

需要高清PDF解析资料，可在公众号对话框发送「刘勰杯」查看说明。