OpenAI的数学核弹雨——722份数学手稿的影响力评估

开篇：先说我当时的反应

10 月 6 日那天，这个仓库上线。我点开，往下划了几屏，然后在椅子上瘫了一会儿。

举个最小的例子。「准黎曼猜想」听着像是黎曼猜想的缩水版，其实它硬得很：它要的是存在一个小于 1 的固定常数 θ，使得 Re(s) > θ 这半个平面里，ζ 函数一个零点都没有。难处从来不是「划出一块无零点区」——人类一百多年前就会划了；难在这块区域要足够宽，而且要能不随高度收窄。至今所有已知的无零点区都是越往上走越贴着 Re(s)=1 那条线，始终撑不成一条等宽的带子。这次给出的 θ 是 7/8。做过数论的人看到这个数字，应该会安静一下。

再比如「有理数域上的希尔伯特第十问题」：判定丢番图方程有没有整数解，这件事一九七〇年就被马蒂亚谢维奇终结了；可只要把「整数」换成「有理数」，它又原地站了五十多年。

所以当我一行行往下划，划到这些东西的时候——

准黎曼猜想。唯一游戏猜想。CM 阿贝尔簇上的霍奇猜想。有理数域上的希尔伯特第十问题。四维挂谷。自由群因子同构。De Giorgi 猜想的八维端点。

——我划得越来越慢。四维挂谷尤其扎眼：三维的情形去年刚被王虹和 Joshua Zahl 拿下，今年七月才颁的菲尔兹奖；而四维，一直是那张「下一座山」清单上的第一行。

这些名字不是随手攒出来的清单，它们每一个都是某个分支里被反复指认过的「那道题」——有的直接是千禧年难题的分支，有的曾经是菲尔兹奖级别工作的延伸方向。

而真正让我坐不住的，是数量。不是「解出了一道」，是 722 篇，归成 372 组，铺满 17 个分支。署名栏还是空的——作者是一个连名字都没公布的内部模型。

我去翻了手稿的文件夹名。文件夹以日期结尾，几乎全部挤在 9 月 23 日到 10 月 5 日之间，其中 9 月 23 日和 24 日这两天，各有近 200 篇。OpenAI 自己的说法是，模型被投喂约 4000 个研究问题，每走通一条，平均消耗相当于 3 小时 ChatGPT Pro 的思考算力。

也就是说，这批东西的产能单位不是「一篇论文」，是「三个小时」。

我一时找不到合适的表情。大概是：你一直以为数学是人类用手一件一件打出来的铁器，忽然有人推过来一辆卡车，说「这一车你先看看」。

罗格斯大学的 Alex Kontorovich 显然是同样的反应。他看到准黎曼猜想那一条时在 X 上写：「准黎曼猜想？！？你在开玩笑吗？如果这是人类做出来的，立刻就是一枚菲尔兹奖，毫无疑问。」

Sam Altman 的回应只有一句：我们正在进入一个大发现的新时代。

不过，这故事的另一半不是庆祝，是抗议。早在 9 月 11 日，25 位菲尔兹奖得主（含陶哲轩、邓煜）就联署了公开信《A Severe Misalignment of AI in Mathematics》，反对把「攻克难题」当成模型能力的基准。他们争的其实不是对错——陶哲轩把分歧点说得很准：真正的错配，不是人类推理对机器推理，而是充沛的证明产出与稀缺的专家注意力。他另一句流传更广的话更狠：好问题会比好答案更稀缺。

还有一个细节，懂的人会笑一下：整批 722 篇里唯一一份承认经过人工编辑润色的文稿，恰好就是 ζ 函数无零点区域那一份（Re(s) > 11/12）。README 里被单独列为「例外」的只有两项，另一项是 CM 阿贝尔簇的霍奇猜想。

好，先把椅子扶正。

既然这一车东西迟早要被人读懂，那不如我先动手。我读不了每一篇——那需要一整个领域的专家、好几年的时间——但有件事我现在就能做，而且我认为它是当下最要紧的那一件：

假如这些结果最后都成立，它们各自有多重要？

不判断对错，只排分量。这份文档只干这一件事。

统计口径：以仓库 overview.tex 解析出的 372 个 result families 为单位；preprints/ 目录实际存放 722 篇手稿（部分二手报道写作 772 篇，以仓库计数为准）。

前提声明：以下分级是我作的**「假设全部成果最终证实」的潜力判断**，非官方、非同行评议，也不构成对任何单篇成果的学术定论。

引言：这批成果的骨架

开篇讲的是反应，这一节讲事实。 下面所有数字都取自仓库自身文件——overview.tex、lean/docs/、lean/formalization.yaml 与 README.md，均可机械复核（仓库以 Apache-2.0 许可开源）。

「结果家族」是一个关键概念。 722 篇手稿并不是 722 个独立成果：仓库把它们归为 372 个族，同一族内可能是主结果 + 配套论证 + 推论 + 另一种证明。因此衡量学术影响力的正确单位是「族」而不是「篇」——这也是我全部分级都按 372 族统计的原因。

两个「偏离标准流程」的例外（据仓库 README.md）——黎曼 ζ 函数无零点区域、CM 阿贝尔簇的霍奇猜想；其中前者是整批发布中唯一承认经过人工编辑润色的文稿。这一点值得留意：它说明连发布方自己都承认，同一套流程并不总能得到同等可信度的产出。

仓库随论文发布了三件「证明工件」，这是本次发布在结构上最实质的变化：

1. Lean 形式化证明——机器可检验的证明证书；
2. 10 份模型推理摘要——覆盖 007、017、087、102、159、197、221、271、287、362 号族，是唯一能窥见模型推理路径的窗口；
3. 算力与尝试次数的统计——第一次把科研产出折算成消费者可理解的算力单位。

内容的射程边界很清楚：需要「构造新概念」的突破基本缺席。黎曼猜想本体、霍奇猜想一般情形、P vs NP 都没有被解决；数理逻辑只有 6 个族。而需要「在广袤空间里搜索证据」的突破，被大规模拿下。

组织方式：原仓库按学科划分，我改按影响力划分

1.1 原仓库的划分方式：按学科领域，共 17 个方向

仓库自带的 overview.tex 采用学科分类法：把 372 个族归入 17 个数学分支，每个分支下按编号顺序排列。这种划分回答的是「这些成果属于哪里」，适合做检索与查阅。

1.2 我的划分方式：按学术影响力，共六级

学科划分有一个盲点：它没法回答「这些成果有多重要」。一个分支里的两条结果，在学科表里看起来完全平权，实际上可能一条是三十年招牌问题的终结，另一条只是某个界的一个常数改进。

因此我改用影响力分级法：保留一个学科之外的维度——级别——并把它作为文档的主干结构。级别不是学科的替代品，而是叠加在学科之上的一层评价。

「数学四大」指：Annals of Mathematics / Inventiones Mathematicae / Journal of the American Mathematical Society / Acta Mathematica。

1.3 影响力的四个来源

分级不是凭感觉。每一级的高低，都可以拆解为四个可分别判断的因子：

四个因子同时拉满的，进入 S+；只有问题声誉高但结果带条件的，会落在 A+；问题不够有名但技术极其困难的，落在 A 或 B。这就是我对全部 372 项判定的统一标尺。

Ω 级成果：批次外历史级成果

Ω-1　Navier–Stokes 方程的千禧年问题

成果内容：构造出三维不可压缩 Navier–Stokes 方程的有限时间爆破解——即证明光滑解可以在有限时间内失去正则性。这是 Clay 数学研究所七道千禧年难题之一，且以「否定光滑解全局存在」的方向给出。

一个必须讲清的精度细节：它攻下的是 Clay 官方问题陈述中的 © 与 (D) 两个分支——即「带光滑外力」的版本，而不是 (A) 的无外力 Cauchy 问题。论文构造的是「对每个正黏性系数，存在光滑、紧支的外力，使从静止出发的解速度在有限时间内无界、而动能始终一致有界」；配套手稿则给出无外力 Euler 方程的光滑紧支初值爆破。

为什么它被排除在 372 族之外，单独列为 Ω 级

关键在于发布动作本身的信息量。OpenAI 把这一条从 372 族里拿了出来，以独立批次、独立篇幅、独立节奏公布。这个动作在说：他们自己也不认为它和其余 372 项在同一量级。

具体而言，它满足影响力四因子的极端组合：

1. 问题声誉满格——千禧年难题是当代数学公共认知的天花板，非从业者也能理解它在问什么；
2. 结果强度满格——不是部分进展、不是条件性结论，而是「构造性爆破」这种完全形态；
3. 影响半径极大——Navier–Stokes 是流体力学与天气/湍流建模的数学基础，结论会外溢到物理与工程；
4. 稀缺性极高——百年悬置，且它在此前已引发过一轮学界争议（2026-09-11，陶哲轩、邓煜等 25 位菲尔兹奖得主联署《A Severe Misalignment of AI in Mathematics》，批评以攻克难题充当模型基准的做法），说明它在专业共同体眼中足以撬动规则。

必要的边界说明：本条未被计入我的分级统计，其正确性也仍待数学共同体独立验证。所谓「攻克千禧年难题」目前仍是公告层面的主张——把「公告」等同于「已确立的定理」，是不成立的推理。

S+ 级：超强菲尔兹候选（19 项）

3.1 这一级的影响力从何而来

S+ 是 19 项（占 5.1%），是 372 族里最稀薄的一层。它们之所以被放在这一层，不是因为「技术最难」，而是因为同时满足下面三条中的至少两条：

第一条：命题本身就是那个领域的定义性问题。 这不是「某个重要猜想」，而是写在该分支综述第一段、教科书章标题上的东西——BSD、霍奇、希尔伯特第十、Mahler、唯一游戏、Hilbert–Smith、Cannon、De Giorgi、Connes、Toms–Winter、Mézard–Parisi。知道这个领域的人，不需要被解释为什么它重要。

第二条：结果是「关闭」而不是「推进」。 普通重要成果是往前推进一步；S+ 级成果是让一整条研究路线失去目标，或者让一个被普遍相信的信条失效。

第三条：稀缺性——30 到 60 年间，几乎所有从业者都投入过而失败。 这是 S+ 级最硬的判据，也是它最难被伪造的地方。

3.2 逐条深入

002　BSD 完整公式（Selmer 余秩 0 与 1）

成果内容：Proves the full Birch–Swinnerton-Dyer leading-term formula for every elliptic curve over Q whose full q-power Selmer group has corank zero or one for some prime q, including finiteness of the Tate–Shafarevich group.

为何是 S+：BSD 是千禧年七问之一。本条与 #006 合并后，在每条 Q 上椭圆曲线的密度为一的二次扭曲族上给出完整首项公式——这是「全族成立」而非「单例成立」，量级远超一般条件性结果。

003　准黎曼猜想

成果内容：Proves that every Dirichlet L-function, including ζ(s), is zero-free in Re s>7/8, resolving the quasi-Riemann hypothesis. The same half-plane is zero-free for every finite-order Hecke L-function over Q(√-3).

为何是 S+：一百多年来，已知的零点自由区域都只是贴着 Re(s)=1 的边界越收越窄，从未「撑」出固定宽度的竖带。7/8 是第一个固定常数界，且对全部狄利克雷 L-函数一致成立，并连带消除 Landau–Siegel 零点——后者是素数分布研究绕了近百年的障碍。

004　有理数域上的希尔伯特第十问题

成果内容：Proves that no algorithm decides whether an integer-coefficient polynomial in an arbitrary number of variables has a rational zero, resolving Hilbert’s tenth problem over Q negatively.

为何是 S+：希尔伯特第十问题是有理数域版本，悬置五十余年。结论是否定性的（不可判定），这类结果直接改变一个领域的可预期边界。

032　CM 阿贝尔簇的有理霍奇猜想

成果内容：Proves the rational Hodge conjecture for every complex CM abelian variety, in every dimension and codimension. Through Milne’s theorems, this also gives the Tate conjecture for all abelian varieties over finite fields and the Hodge standard conjecture for abel…

为何是 S+：霍奇猜想是千禧年七问之一。本条把它在「全部 CM 阿贝尔簇」这一完整大类上一次性解决，并经由 Milne 定理同时给出有限域上所有阿贝尔簇的 Tate 猜想与任意特征的 Hodge 标准猜想——一个结果连开三门。

087　Mahler 猜想与辛宽度

成果内容：Resolves the symmetric and nonsymmetric geometric Mahler conjectures in every dimension, with Hanner polytopes and simplices as the respective volume-product minimizers and all equality cases classified.

为何是 S+：凸几何的世纪核心问题，对称与非对称两个版本一并解决，且完整分类等号情形（Hanner 多面体、单纯形）。「解决 + 分类」的组合是最高完成度。

102　唯一游戏猜想与最优近似阈值

成果内容：Proves Khot’s Unique Games Conjecture. Independent direct reductions also establish NP-hardness, on unweighted graphs, of approximation beyond the Goemans–Williamson ratio for Max-Cut, below factor two for Vertex Cover, and within any fixed constant factor for…

为何是 S+：唯一游戏猜想是复杂度理论二十年的中枢假设。证明它，等于一次性封顶 Max-Cut、顶点覆盖、Min-UnCut、有向反馈顶点集等多条近似算法的硬度。

159　Erdős 倒数和猜想与拟多项式 Szemerédi 界

成果内容：Proves Erdős’s conjecture that every set of positive integers with divergent reciprocal sum contains arithmetic progressions of every finite length.

为何是 S+：加法组合的世纪问题。结论还带有定量的拟多项式 Szemerédi 界，把「存在性」推进到「速率」，量级跨了两档。

196　Kaplansky 零因子猜想的反例

成果内容：Constructs a finitely presented torsion-free group G whose group algebra F_2[G] has nonzero zero divisors, disproving Kaplansky’s zero-divisor conjecture. The group has a finite two-dimensional classifying space.

为何是 S+：群代数的六十年招牌。构造出有限表示无挠群 G 使 F₂[G] 含非零零因子——反例同时具备「有限表示」与「无挠」两个最难的附加条件。

197　非 sofic 群与群代数反例

成果内容：Constructs a finitely presented torsion-free nonsofic group whose group algebra over F_2 is not directly finite, disproving Kaplansky’s conjecture even without torsion.

为何是 S+：一次同时否定四个猜想：Kaplansky direct finiteness、Gottschalk 单射性（胞腔自动机）、Determinant 猜想，并给出有限表示无挠非 sofic 群。sofic 性问题被 Gromov 提出后悬置二十余年，此条直接给否。

221　稀释自旋玻璃的 Mézard–Parisi 公式

成果内容：Proves the Mézard–Parisi hierarchical cavity formula for Poisson-diluted even-arity Ising models satisfying the Panchenko–Talagrand factorization and positivity assumptions, with only first-moment integrability.

为何是 S+：自旋玻璃理论的核心变分公式首次被严格证明，覆盖 Viana–Bray、对称稀释 even-spin、加权软 even-K 可满足性。它是物理学用复制对称方法得到的「知道但证不出」的典范。

246　Cannon 猜想

成果内容：Every word-hyperbolic group with boundary homeomorphic to S^2 admits a proper cocompact isometric action on hyperbolic three-space with finite kernel, proving Cannon’s conjecture.

为何是 S+：几何群论招牌问题。无挠情形直接推出该群是闭双曲三流形的基本群——几何拓扑与群论在此交汇。

248　Thompson 群 F 非 amenable

成果内容：Proves that Thompson’s group F, the group of dyadic piecewise linear homeomorphisms of the interval, is nonamenable, resolving its longstanding amenability problem.

为何是 S+：Thompson 群 F 的 amenable 性是四十年招牌问题，与许多构造性群的分类纠缠。否定性结论切断了整条「F 属于可驯服群类」的期待。

260　时空 Penrose 不等式与刚性

成果内容：Proves the sharp enclosing-area spacetime Penrose inequality for smooth one-ended asymptotically flat initial data in every spatial dimension n≥3, under dominant energy, weak future trapping, positive enclosing area, and the stated decay assumptions.

为何是 S+：广义相对论的世纪级不等式，在任意空间维数下给出锐界并附等号刚性。「锐界 + 刚性」意味着不等式已被刻到极限。

287　所有非交换自由群因子同构

成果内容：Resolves the free group factor isomorphism problem: L( F_2)≅ L( F_3), and hence all interpolated free group factors, including L( F_∞), are isomorphic. Their common factor has fundamental group R_>0.

为何是 S+：自由群因子同构问题是算子代数四十年的核心纲领。结论是所有可插值自由群因子全部同构——这不是推进，而是关闭一个纲领，并顺手给出共同因子的基本群为 R_{>0}。

290　Connes 双中心化子猜想

成果内容：Proves Connes’ bicentralizer conjecture for every type III_1 factor with separable predual and every faithful normal state. More generally, for every inclusion N⊂ M of von Neumann algebras with separable preduals admitting a faithful normal conditional expecta…

为何是 S+：Connes 双中心化子猜想是类型 III₁ 因子结构理论的枢纽；本条在可分的可信态下全面成立，并推广到相对版本。

291　Toms–Winter 与等变 Jiang–Su 稳定性

成果内容：Proves equivariant Jiang–Su stability for every countable discrete amenable group action on a simple separable unital infinite-dimensional nuclear stably finite Jiang–Su-stable C^*-algebra, resolving this case of Szabó’s conjecture without restrictions on trac…

为何是 S+：Toms–Winter 猜想的证明等于核 C*-代数分类纲领（Elliott 纲领）收官——把「严格比较 / 有限核维数 / Jiang–Su 稳定性」三者拉平。

304　任意维数的 Hilbert–Smith 猜想

成果内容：Every locally compact second-countable Hausdorff group acting faithfully and jointly continuously on a connected finite-dimensional topological manifold is a Lie group.

为何是 S+：Hilbert–Smith 猜想是拓扑学的百年问题，问「流形上能否存在正维数的紧群作用」。全维成立意味着局部紧群作用于有限维连通流形必为 Lie 群。

362　相对论 Vlasov–Maxwell 的全局光滑性

成果内容：Proves large-data global existence and uniqueness for the three-dimensional, one-species relativistic Vlasov–Maxwell system. Smooth admissible initial data may be arbitrary provided the particle density is compactly supported and the electromagnetic fields hav…

为何是 S+：三维相对论 Vlasov–Maxwell 是等离子体物理与双曲 PDE 的交汇点。大初值全局光滑解是 PDE 界的里程碑式目标，且本条允许任意光滑初值。

375　八维的 De Giorgi 猜想

成果内容：Proves De Giorgi’s conjecture at its sharp dimension-eight endpoint: every entire C^2 solution u: R^8→(-1,1) of Δ u=u^3-u that is strictly increasing in one direction depends on only one linear coordinate.

为何是 S+：De Giorgi 猜想是几何分析的世纪问题。把临界维数确定为 8，既给出端点结果，也顺带给出更一般的稳定整解分类。

S 级：菲尔兹级（47 项）

4.1 这一级的影响力从何而来

S 是 47 项（占 12.6%）。它与 S+ 的差别不在技术难度，而在**「定义性」这一条**：

一句话概括：S 级是「这个领域的人会告诉你，这是一件大事」；S+ 级是「这个领域之外的人也知道，这是一件大事」。

4.2 逐条深入

理论计算机科学（3 项）

103　对数空间去随机化 L=RL=BPL　—

原题：Derandomization of logarithmic space: L=RL=BPL

成果内容：Proves L=RL=BPL, resolving derandomization for bounded-error logarithmic-space computation. An effective compiler converts each randomized polynomial-time logarithmic-space machine deciding…

影响力来源：去随机化纲领在空间复杂度一侧的完整落地，且给出显式多项式时间界——从「存在性」到「可构造」。

109　低于 n log n 的整数乘法　—

原题：Integer multiplication below n log n

成果内容：Multiplies two n-bit integers exactly at every input length in deterministic worst-case time O(n(log n)^1-κ), with κ=2^-182, on one fixed finite-alphabet Turing machine with finitely many on…

影响力来源：推翻 Schönhage–Strassen 自 1971 年以来被普遍接受的最优性信念。它动摇的不是某个算法，而是算法设计者对「自然下界」的默认信任。

120　一般图的近线性时间精确匹配　—

原题：Almost-linear-time exact matching in general graphs

成果内容：Gives a randomized algorithm finding an exact maximum-cardinality matching in any simple undirected graph in (n+m)^1+o(1) word time, with success probability at least 2/3.

影响力来源：一般图精确最大匹配的近线性时间算法是图算法半个世纪的未竟目标，本条以 (n+m)^{1+o(1)} 达成，并扩展到处方顶点度问题。

组合数学（3 项）

156　Borsuk 猜想在九维失效　Lean

原题：Borsuk’s conjecture fails in dimension nine

成果内容：Constructs a compact subset of R^9 that cannot be covered by ten sets of strictly smaller diameter, disproving Borsuk’s covering assertion already in dimension nine.

影响力来源：Borsuk 猜想是凸几何百年问题，反例构造极为干净——R⁴ 中直线的秩一正交投影算子，配 Frobenius 度量。九维是最小的可能反例维数之一。

157　Hadwiger 与 Colin de Verdière 猜想的反例　Lean

原题：Counterexamples to the Hadwiger and Colin de Verdière conjectures

成果内容：Disproves Hadwiger’s conjecture even for fractional coloring: arbitrarily large finite simple graphs with independence number at most two satisfy χ_f(G)>h(G), where h(G) is the largest cliqu…

影响力来源：Hadwiger 猜想是图论最著名的未解问题之一，本条连分数染色版本也一并推翻，同时在正向上给出 χ_list ≤ C·h 的普适界。

158　欧氏平面不能五着色　Lean

原题：The Euclidean plane cannot be colored with five colors

成果内容：Proves that every five-coloring of the Euclidean plane has a monochromatic pair at distance one, with no restriction on the color classes.

影响力来源：把 Hadwiger–Nelson 问题夹到只剩 6 或 7，且论证对任意着色成立、无需色类可测性——是肉眼可理解的世界级进步。

代数与复几何（4 项）

038　Fujita 自由性猜想　—

原题：Fujita’s freeness conjecture

成果内容：Proves Fujita’s freeness conjecture at its sharp bound in every dimension: for a smooth projective complex variety X of dimension n and an ample line bundle L, the adjoint K_X+mL is globally…

影响力来源：射影代数几何的招牌「有效性」问题。原手稿给出全维锐界 m ≥ n+1，即把常数同时做到最优与全维。

041　超凯勒 SYZ 与射影空间基　—

原题：Hyperkähler SYZ and projective-space bases

成果内容：Proves the strong hyperkähler SYZ conjecture: every holomorphic line bundle with nonzero nef isotropic first Chern class on a compact irreducible holomorphic symplectic Kähler manifold is se…

影响力来源：SYZ 猜想是超凯勒几何的核心纲领；本条在强形式下成立，并连带证明射影拉格朗日纤维化的基必为射影空间——一个纯结构的分类结论。

056　四维极小模型纲领的终止　—

原题：Termination of fourfold minimal model programs

成果内容：Proves termination of every existing generalized log canonical flip sequence on globally Weil Q-factorial compact Kähler fourfolds, with rational boundary, fixed rational analytically nef b-…

影响力来源：四维极小模型纲领的终止性是双有理几何最大的悬置之一。确立它，等于承认四维双有理分类的基础设施可用。

059　Zariski 重数猜想的反例　—

原题：Counterexamples to Zariski’s multiplicity conjecture

成果内容：Disproves Zariski’s multiplicity conjecture by constructing reduced holomorphic hypersurface germs that are ambiently homeomorphic but have different multiplicities.

影响力来源：Zariski 重数猜想极为符合直觉（同胚的奇点应当同重数），本条构造出同胚但重数不同的例子——反直觉反例的典型，且例子落在 C⁴ 内的孤立临界点。

数论（4 项）

006　Goldfeld 猜想　—

原题：Goldfeld’s conjecture

成果内容：Proves Goldfeld’s conjecture for quadratic twists of every elliptic curve over Q: analytic ranks zero and one each have density 1/2, and the mean analytic rank tends to 1/2.

影响力来源：椭圆曲线秩分布的核心猜想。它与 #002 合并后直接支撑「BSD 在密度为 1 的族上成立」，是让 002 从条件性结果升级为全族结果的关键齿轮。

007　二点 Chowla 与修正二元 Elliott 猜想　Lean

原题：Two-point Chowla and the corrected binary Elliott conjecture

成果内容：Proves the ordinary two-point Chowla conjecture, with a bound O(X/(log X)^c) for Liouville correlation sums along fixed nonproportional affine forms, where c>0 is absolute.

影响力来源：Chowla 猜想是 Sarnak 纲领的中枢，二点情形是长期卡点。本条给出定量上界，并推广到二元修正 Elliott 猜想。

017　π 的无理性指数为 2　Lean

原题：The irrationality exponent of π is 2

成果内容：Proves that the irrationality exponent of π is exactly 2: for every ε>0 and all sufficiently large denominators q, every rational p/q satisfies |π-p/q|≥ q^-2-ε.

影响力来源：π 的算术性质中最著名的一条，且结论是「恰为 2」这种干净锐界，顺带解决 Flint–Hills 级数收敛问题。

030　虚二次域上的模性　—

原题：Modularity over imaginary quadratic fields

成果内容：Proves the modularity conjecture for elliptic curves over imaginary quadratic fields: every elliptic curve over every imaginary quadratic field is modular, with matching local parameters at…

影响力来源：模性定理在虚二次域上的完整版本，把 Langlands 纲领的一大块从「猜想」变为「定理」，且逐处给出局部参数匹配。

概率与统计力学（3 项）

211　随机平面图的几何、扩散与谱　Lean

原题：Geometry, diffusion, and spectra of random planar maps

成果内容：Critical Fortuin–Kasteleyn planar maps converge to Liouville quantum gravity spheres for 0<q≤4 and to the Brownian continuum random tree for q>4, establishing the surface-to-tree geometric t…

影响力来源：把 LQG 球面、Brownian CRT、Liouville 布朗运动串成一条完整的相变图景（q≤4 与 q>4 两侧），是随机平面图领域的收束型成果。

215　平面 O(n) 模型的连续极限与质量渐近　Lean

原题：Massive continuum limits and exact mass asymptotics for planar O(n) models

成果内容：Constructs the canonical continuum limit of the two-dimensional nearest-neighbor O(3) model: a non-Gaussian local relativistic theory with a unique vacuum and a positive mass gap.

影响力来源：构造出二维 O(3) 模型的非高斯连续极限并证明唯一真空与正质量间隙，同时给出 O(4) 转移间隙的精确渐近——「构造 + 精确常数」的双重完成度。

230　SLE 的精确 Hausdorff 测度　Lean

原题：Exact Hausdorff measure for SLE

成果内容：Resolves Schramm’s Hausdorff-measure question for chordal SLE_κ, 0<κ<8. The explicit gauge r^d(log log(1/r))^(2-d)/2, d=1+κ/8, gives almost surely positive finite measure to every trace segm…

影响力来源：解决 Schramm 本人提出的 Hausdorff 测度问题，给出精确 gauge r^d(log log(1/r))^{(2-d)/2}。

微分几何（3 项）

338　Yau 一致化猜想　—

原题：Yau’s uniformization conjecture

成果内容：Proves Yau’s uniformization conjecture: every complete connected noncompact Kähler manifold with strictly positive holomorphic bisectional curvature is biholomorphic to C^n.

影响力来源：Yau 一致化猜想是 Kähler 几何的招牌，把正全纯双截曲率的完备非紧 Kähler 流形全部归约为 C^n。

344　度量 Blaschke 猜想　—

原题：The metric Blaschke conjecture

成果内容：Proves the metric Blaschke conjecture: every closed connected Riemannian manifold of positive dimension whose injectivity radius equals its diameter is, up to scaling, a standard compact ran…

影响力来源：度量 Blaschke 猜想把「单射半径等于直径」这一纯度量条件升级为强几何结论：必为标准紧秩一对称空间。

350　Yau 节点猜想：曲面与反例　Lean

原题：Yau’s nodal conjecture: surfaces and counterexamples

成果内容：Proves the sharp C√λ upper bound for nodal length on every fixed smooth closed surface, completing Yau’s conjecture there.

影响力来源：Yau 节点猜想在曲面上被完全证明，同时给出三维四维的反例——正反两面同时给出，边界画得极清楚。

数学物理（2 项）

268　spin-1 Haldane 能隙　—

原题：The spin-one Haldane gap

成果内容：Proves the spin-one Haldane gap conjecture for the pure antiferromagnetic Heisenberg chain on even periodic rings: the spectral gap stays uniformly positive as the chain grows.

影响力来源：量子磁性三十年招牌：spin-1 Heisenberg 链的 Haldane 能隙在偶数周期的环上一致为正，并给出奇数开链的边界态。

271　Bloch 定律与自发铁磁序　Lean

原题：Bloch’s law and spontaneous ferromagnetic order

成果内容：Proves Bloch’s T^3/2 law with its exact coefficient for three-dimensional quantum Heisenberg ferromagnets at every positive quantum spin, allowing nonnegative symmetric finite-range coupling…

影响力来源：给出三维量子 Heisenberg 铁磁体 Bloch T^{3/2} 律的精确系数（任意自旋、有限程耦合），并证明任意 d ≥ 3 的自发磁化。

算子代数（4 项）

288　Kadison 相似性猜想　Lean

原题：Kadison’s similarity conjecture

成果内容：Proves Kadison’s similarity conjecture: every bounded complex-linear unital algebra homomorphism from a unital complex C^*-algebra to operators on a Hilbert space becomes a *-homomorphism af…

影响力来源：1955 年以来的经典问题：有界同态在共轭后即为 *-同态。它是算子代数中「相似性」主题的顶点。

296　有限因子的生成元问题　Lean

原题：The generator problem for finite factors

成果内容：Proves that every type II_1 factor with separable predual is generated by a single operator, equivalently by two self-adjoint operators, resolving the generator problem.

影响力来源：II₁ 因子的结构基本问题：每个可分预对偶 II₁ 因子都由单个算子生成。原手稿进一步给出稠密 G_δ 的加强结论。

299　Kirchberg–Rørdam 特征判据　Lean

原题：The Kirchberg–Rø rdam character criterion

成果内容：A nonzero unital separable complex C^*-algebra is Jiang–Su stable exactly when its norm central-sequence algebra has no characters, for every free ultrafilter.

影响力来源：给出 Jiang–Su 稳定性的可判定特征（范数中心列代数无特征），把抽象性质落到可计算判据上。

303　从普通纯无限性到强纯无限性　Lean

原题：From ordinary to strong pure infiniteness

成果内容：Resolves the ordinary-to-strong pure-infiniteness question of Kirchberg and Rørdam for complex C^*-algebras.

影响力来源：解决 Kirchberg–Rørdam 的「普通到强纯无限性」问题，并给出无单位、非单的广泛推论。

代数学（3 项）

202　分块 Alperin 权猜想　—

原题：The blockwise Alperin weight conjecture

成果内容：Proves the numerical blockwise Alperin weight conjecture for every prime and every finite group: the number of irreducible Brauer characters in a block equals the number of conjugacy classes…

影响力来源：有限群表示论的核心计数猜想，原手稿证明数值形式对每个素数与每个有限群成立。

203　Donovan 猜想　—

原题：Donovan’s conjecture over fields and discrete valuation rings

成果内容：Proves Donovan’s conjecture: over each fixed algebraically closed field of characteristic p, blocks of finite groups with bounded defect-group order have only finitely many Morita-equivalenc…

影响力来源：块理论的结构性猜想：有界亏格群的块只产生有限多个 Morita 等价类。原手稿连整形式一并解决。

207　ℓ¹-Bass 与复 Bass 迹猜想　Lean

原题：The ℓ^1-Bass and complex Bass trace conjectures

成果内容：Proves the ℓ^1-Bass conjecture for every discrete group: Hattori–Stallings traces of idempotent matrices over ℓ^1(G) are supported on finitely many finite-order conjugacy classes.

影响力来源：群迹猜想家族的关键一环，ℓ¹ 形式与代数形式同时成立，并连带推出无挠群的幂等猜想。

拓扑学（2 项）

305　圆盘嵌入与 Wall 流形猜想的反例　—

原题：Counterexamples to disk embedding and Wall’s manifold conjecture

成果内容：The unrestricted four-dimensional disk-embedding conjecture fails: framed algebraic dual spheres do not suffice to obtain disjoint locally flat spanning disks.

影响力来源：同时否定四维圆盘嵌入猜想与 Wall 流形猜想，并证明自由群 F₂ 在 Freedman–Quinn 意义下「不好」——一个技术核心概念被否，影响面广。

309　素数 3 处的 Kervaire 不变量问题　—

原题：The Kervaire invariant problem at the prime three

成果内容：Resolves the odd-primary Kervaire invariant problem at the prime three: exactly the standard classes with indices 0, 2, and 3 survive in the mod-three Adams spectral sequence, in stems 10, 1…

影响力来源：奇素数处的 Kervaire 不变量问题在 p=3 被完全解决，给出三个存活类及其精确加性阶。

实与复分析（3 项）

073　Falconer 距离猜想　Lean

原题：The Falconer distance conjecture

成果内容：Resolves the Falconer distance conjecture in every dimension d≥2: every compact set E⊂ R^d with Hausdorff dimension greater than d/2 determines a set of Euclidean distances of positive Lebes…

影响力来源：几何测度论最著名的问题之一，本条一次性在所有 d ≥ 2 上解决，且不需要任何额外的维数或结构假设。

074　三维与四维挂谷问题　—

原题：Kakeya in three and four dimensions

成果内容：Resolves the Kakeya maximal conjecture in three dimensions and the Hausdorff-dimension conjecture in four.

影响力来源：挂谷问题是调和分析的旗舰（2025 年三维集合情形获菲尔兹奖）。本条补上三维极大函数与四维 Hausdorff 维数两个缺口，属于「补全最后拼图」型成果。

080　Carleson Schrödinger 收敛的 Sobolev 端点　—

原题：The Sobolev endpoint in Carleson’s Schrödinger convergence problem

成果内容：Proves almost-everywhere convergence e^itΔf→ f as t0 for every f∈ H^n/(2(n+1))( R^n) and every dimension n≥2.

影响力来源：达到锐 Sobolev 端点，含平面 H^{1/3} 这一长期悬置的端情形。端点结果的价值在于不可再改进。

偏微分方程（3 项）

367　单相 Bernoulli 问题的临界维数　Lean

原题：The critical dimension for the one-phase Bernoulli problem

成果内容：Establishes seven as the first dimension admitting a nonflat, one-homogeneous global minimizer of the one-phase Bernoulli energy.

影响力来源：确定单相 Bernoulli 问题的临界维数为 7：六维以下自由边界光滑，高维奇点集维数 ≤ n-7。

369　单连通平面域的热点猜想　Lean

原题：The hot spots conjecture for simply connected planar domains

成果内容：Proves a strict form of Burdzy’s simply connected hot spots conjecture. On every smooth bounded simply connected planar domain, each nonzero eigenfunction for the first positive Neumann eige…

影响力来源：单连通平面域的热点猜想（Burdzy 形式）被证明为严格版本：非零特征函数无内点临界点。

370　次临界 Lane–Emden 与 Hénon–Lane–Emden 猜想　Lean

原题：The subcritical Lane–Emden and Hénon–Lane–Emden conjectures

成果内容：Resolves the subcritical Lane–Emden conjecture and its weighted Hénon extension. For n≥2, p,q>0 and real A,B, the system -Δ u=|x|^A v^p, -Δ v=|x|^B u^q has no positive entire solution when (…

影响力来源：次临界 Lane–Emden 猜想及其加权限版本被解决，给出精确存在性判据，且不需要对称性或增长假设。

凸与度量几何（2 项）

091　对数 Brunn–Minkowski 猜想　Lean

原题：The logarithmic Brunn–Minkowski conjecture

成果内容：Proves the logarithmic Brunn–Minkowski inequality for origin-symmetric convex bodies in every dimension, and the scalar-dilation B-conjecture for all even log-concave Radon measures.

影响力来源：凸几何三十年核心不等式，且本条同时给出标度伸缩的 B-猜想与 0<p<1 的加性 L_p 版本，覆盖一整片不等式网络。

095　无半定提升的双曲锥　Lean

原题：Hyperbolicity cones without semidefinite lifts

成果内容：Disproves the Projected Lax conjecture: some hyperbolicity cones are not spectrahedral shadows. The examples admit no exact finite affine semidefinite lift, regardless of the number of auxil…

影响力来源：推翻 Projected Lax 猜想意味着「双曲锥都是谱面体投影」的希望破灭，直接冲击凸优化与半定规划的建模边界。

群论（3 项）

250　Boone–Higman 猜想与高阶有限性　Lean

原题：The Boone–Higman conjecture and higher finiteness

成果内容：A finitely generated group has decidable word problem exactly when it embeds in a finitely presented simple group, proving the Boone–Higman conjecture.

影响力来源：把「字问题可判定」与「嵌入有限表示单群」画上等号，并给出 type F_∞ 的加强版本，是判定性理论的结构性定理。

253　无限有限表示单 amenable 群　Lean

原题：An infinite finitely presented simple amenable group

成果内容：Constructs an infinite finitely presented simple amenable group, answering the longstanding question of whether these properties can occur simultaneously.

影响力来源：无限、有限表示、单、amenable 四个性质长期被认为难以共存，本条一次性让它们同时出现。

254　Artin 群的分类空间与几何障碍　Lean

原题：Classifying spaces and geometric obstructions for Artin groups

成果内容：The Salvetti complex of every finite-rank Artin group is aspherical, proving the Artin K(π,1) conjecture.

影响力来源：解决 Artin 群的 K(π,1) 猜想并证明抛物子群交性质，同时给出一个无 CAT(0) 作用的显式例子——正反两面同时推进。

动力系统与遍历论（2 项）

143　Hilbert 第十六问题的极限环一致界　Lean

原题：Uniform limit-cycle bounds in Hilbert’s sixteenth problem

成果内容：Resolves the uniform boundedness assertion in Hilbert’s sixteenth problem: the number of isolated periodic orbits of a real planar polynomial vector field is bounded by a finite constant dep…

影响力来源：希尔伯特第十六问题之一致有界性断言，是动力系统中最著名的「大问题」，本条给出与次数相关的有限界并确定五次 Liénard 系统的精确值。

145　Rokhlin 多重混合问题　Lean

原题：Rokhlin’s multiple-mixing problem

成果内容：Proves that every invertible mixing probability-preserving transformation is mixing of all finite orders, resolving Rokhlin’s multiple-mixing problem for a single transformation.

影响力来源：遍历论四十年招牌。把「混合是否蕴含各阶混合」这一基本问题在单个变换情形下彻底解决。

泛函分析（2 项）

322　Tingley 球面等距问题　Lean

原题：Tingley’s sphere-isometry problem

成果内容：Resolves Tingley’s problem: every surjective isometry between the unit spheres of nonzero real Banach spaces extends uniquely to a surjective real-linear isometry of the whole spaces.

影响力来源：Tingley 球面等距问题确立了「单位球面的度量几何决定 Banach 空间（差一个线性等距）」，是 Banach 空间几何的基础性定理。

325　完全 Crouzeix 猜想　Lean

原题：The complete Crouzeix conjecture

成果内容：Resolves the complete Crouzeix conjecture: for every bounded operator A on a complex Hilbert space and every finite matrix-valued polynomial P, one has P[A]≤2sup_z∈ W(A) P(z), where W(A) is…

影响力来源：完全 Crouzeix 猜想，常数恰为 2、与矩阵规模无关且在无穷维成立——数值域理论的核心不等式被彻底定稿。

数理逻辑（1 项）

241　图灵度的刚性　Lean

原题：Rigidity of the Turing degrees

成果内容：Every order automorphism of the Turing degrees is the identity, resolving their rigidity problem. Thus no nontrivial relabeling of degrees preserves the ordering by relative computability.

影响力来源：图灵度的刚性：计算性的基本结构被证明完全无对称性。结论极短，含义极深。

A+ 级：数学四大级（125 项）

这一级的影响力从何而来

A+ 是 125 项（占 33.6%），是我这份分级里最厚的一层。它的判据是：领域重要猜想（约 10–30 年、专家熟知）被完整解决或证伪，或达到数学四大刊水准的技术突破。

它和 S 级的分界在哪里？ 判断标准只有一条：如果这条结果从未出现，该领域的前沿会不会因此改道。S 级会——因为招牌猜想本身定义了研究议程。A+ 级通常不会——它会成为某个方向上的一座里程碑，被反复引用，但研究议程本身不变。

这一级的影响力从何而来，可以归为四种典型：

1. 知名猜想的关键情形被拿下——不是全部，但足以改变该问题的「可及性」判断（如 #010 素数 2 处的 Fontaine–Mazur 模性、#016 Zilber–Pink 的阿贝尔簇情形）。
2. 重大技术装备的建成——技术本身会在其他问题上复用（如 #034 对数丰度与有效 Iitaka 纤维化、#047 复消去律反例、#049 稳定坐标反例）。
3. 长时间被相信的壁垒被打破——尤其是算法领域（#107 ω ≤ 9/4、#126 完美匹配多态面的指数 SDP 复杂度）。
4. 随机系统相变的完整图景——需要多条结果拼合才能成立的方向（#213 准传递图临界无无穷团簇、#224 Voronoi 渗流的近临界普适性）。

一个值得注意的特征：A+ 级里反例型占比很高（Sidorenko、Ryser、Pixton、Hyperbolicity cones 的谱面体提升、Bang 的柱覆盖界）。反例的学术影响力常被低估——它改变的不是「我们知道什么」，而是「我们该相信什么」。

成果清单

下列条目保留仓库原始英文标题，作为可检索索引；分级依据见该级开头的判据说明。

理论计算机科学（13 项）

• 105　The 2-to-1 Games Conjecture with perfect completeness　Lean
• 106　Hardness of coloring three-colorable graphs　Lean
• 107　Matrix multiplication with exponent at most 9/4　Lean
• 108　A cubic permanent–determinant lower bound　Lean
• 110　Optimal-order randomized k-server on arbitrary metrics　Lean
• 113　Approximate counting and the perfect-matching entropy conjecture　Lean
• 117　Uniform sparsest cut: hardness and semidefinite gaps　Lean
• 119　The Courtade–Kumar and Hellinger conjectures　Lean
• 125　The approximation threshold for metric k-median　Lean
• 126　Exponential semidefinite complexity of perfect matching　Lean
• 130　Fourier transforms below n log n　Lean
• 138　Subset Sum in O(2^0.49n) time　—
• 142　Deterministic polynomial factorization over prime fields　—

组合数学（12 项）

• 155　A counterexample to periodic tiling in dimension three　Lean
• 160　Superexponential van der Waerden numbers　Lean
• 161　Counterexamples to Sidorenko’s conjecture and the forcing conjecture　Lean
• 162　Counterexamples to Ryser’s covering and Gyárfás’s tree-cover conjectures　Lean
• 164　Hindman’s finite sums and products conjecture　—
• 165　Exact crossing numbers of complete and complete bipartite graphs　Lean
• 168　Combinatorial invariance of Kazhdan–Lusztig polynomials　Lean
• 170　Sharp logarithmic exponents for off-diagonal Ramsey numbers　Lean
• 175　Talagrand’s conjectures and graph decompositions at expectation thresholds　Lean
• 176　The second Kahn–Kalai conjecture　Lean
• 178　Deterministic nonbipartite Ramanujan graphs in every fixed degree　—
• 184　Coloring and independence in graphs with forbidden subgraphs　Lean

代数与复几何（12 项）

• 033　Campana’s orbifold Iitaka conjecture and logarithmic subadditivity　Lean
• 034　Log abundance and effective Iitaka fibrations　—
• 039　Nagata’s conjecture and maximal Seshadri constants　Lean
• 040　Bloch’s conjecture for complex surfaces　—
• 043　P=W for fixed-determinant moduli spaces　—
• 051　Kobayashi’s canonical-ampleness conjecture　—
• 054　Counterexamples to Kuznetsov’s rationality conjecture　—
• 055　Toda’s Gepner conjecture and large-volume stability　—
• 057　Campana’s abelianity conjecture and special varieties　—
• 058　The Kollár–Pardon universal-cover conjecture　Lean
• 062　The LeBrun–Salamon conjecture and projective contact classification　—
• 063　The generalized Mukai conjecture　—

数论（11 项）

• 001　Milne’s rationality conjecture　—
• 005　Irrationality of Catalan’s constant　Lean
• 010　Fontaine–Mazur modularity at the prime 2 and 2-adic pro-modularity　—
• 016　Zilber–Pink in abelian varieties and the Siegel threefold　—
• 018　The Margulis–Platonov conjecture over global fields　—
• 019　The p-adic section conjecture　—
• 022　The weak inhomogeneous Duffin–Schaeffer conjecture　—
• 025　Erdős’s short Egyptian-fraction conjecture　Lean
• 028　The Gaussian moat conjecture　Lean
• 029　Artin’s primitive root conjecture: infinitude for every base　—
• 031　Uchida’s conjecture for open Galois homomorphisms　—

概率与统计力学（9 项）

• 213　No infinite critical clusters on quasi-transitive graphs　Lean
• 214　The Benjamini–Schramm nonuniqueness conjecture　Lean
• 216　Critical logarithmic corrections and BKT scaling for the planar XY model　—
• 217　The low-temperature Sherrington–Kirkpatrick fluctuation law　—
• 220　Directional zero–one laws and ballisticity in random environments　Lean
• 224　Critical and near-critical universality for Voronoi percolation　—
• 226　The double-dimer CLE_4 conjecture in the half-plane　—
• 235　Random-SAT thresholds, sharp variance and computability　Lean
• 237　The three-quarter diameter exponent for honeycomb walks　Lean

微分几何（9 项）

• 333　Smooth isometric immersions of surfaces into R^4　Lean
• 334　A smooth surface metric with no local immersion in R^3　Lean
• 335　Gromov’s integral scalar-curvature inequality　—
• 339　Katok’s entropy rigidity conjecture　—
• 340　A counterexample to the nearby Lagrangian conjecture　—
• 342　Donaldson’s tamed-to-compatible conjecture　Lean
• 346　Sharp singular-set bounds for stationary integral varifolds　—
• 352　Finite-time singularity of Calabi flow　—
• 356　Gigli’s characterization of Alexandrov curvature　Lean

数学物理（8 项）

• 261　Localization and delocalization in the Anderson model　Lean
• 263　The ionization and generalized ionization conjectures　Lean
• 264　Strong cosmic censorship near two-ended Kerr data　—
• 266　Exactly three mutually unbiased bases in dimension six　Lean
• 267　Positive-temperature Bose–Einstein condensation and quantum depletion　Lean
• 269　The Laughlin gap and stability under scalar disorder　Lean
• 273　The entropy photon-number inequality　Lean
• 279　Exact quantum factoring over a fixed finite gate set　Lean

算子代数（6 项）

• 285　Counterexamples to Baum–Connes and Kadison–Kaplansky　—
• 286　Arithmetic rigidity of lattice von Neumann algebras　—
• 289　The strong Kadison–Kastler conjecture　Lean
• 292　A counterexample to Kirchberg’s norm-ultrapower embedding problem　Lean
• 293　A counterexample to the hyperinvariant-subspace problem　Lean
• 295　The Kadison–Ringrose cohomology conjecture　Lean

代数学（6 项）

• 193　Serre’s intersection-multiplicity conjecture　—
• 194　Lech’s multiplicity conjecture　Lean
• 195　A counterexample to the small Cohen–Macaulay module conjecture　—
• 198　A counterexample to the little finitistic-dimension conjecture　Lean
• 199　Counterexamples to conjectures of Auslander–Reiten, Tachikawa, and Nakayama　Lean
• 200　Eisenbud–Green–Harris and lex-plus-powers in characteristic zero　—

拓扑学（6 项）

• 306　The purely cosmetic surgery conjecture for knots in S^3　—
• 307　Failure of rational injectivity for maximal coarse assembly　Lean
• 310　Quillen’s conjecture in rational homology　—
• 311　Chai’s invariant-ideal conjecture　—
• 313　Finite generation for the K(n)-local sphere　—
• 320　A four-dimensional counterexample to Borel rigidity　—

实与复分析（7 项）

• 071　Koebe’s circle-domain conjecture and circle-domain rigidity　Lean
• 072　Brennan’s conjecture and a counterexample to Kraetzer’s prediction　Lean
• 075　The L log L Fourier-convergence conjecture　—
• 078　The three-dimensional Bochner–Riesz conjecture　—
• 079　Sogge’s local smoothing conjecture in dimension three　—
• 081　The David–Semmes Riesz-transform problem in higher codimension　Lean
• 086　An L^3 bound for the trilinear Hilbert transform　—

偏微分方程（5 项）

• 364　Kinetic limits and fluctuations over the Boltzmann lifespan　—
• 365　Joint metric and connection recovery from one boundary patch　Lean
• 366　The planar Mumford–Shah regularity conjecture　—
• 372　Global uniqueness in smooth isotropic elasticity　Lean
• 377　Interior C^1,α regularity for infinity-harmonic functions　—

凸与度量几何（5 项）

• 088　Petty’s projection-volume conjecture and simplex counterexamples　Lean
• 090　Universal optimality of the triangular lattice　Lean
• 092　The optimal order of convex-body covering density　Lean
• 099　The sharp distortion of edit distance into ℓ_1　Lean
• 101　The sharp simplex conjecture for isotropic constants　—

群论（4 项）

• 247　An infinite finitely presented residually finite 2-group　Lean
• 249　A finitely generated counterexample to Eilenberg–Ganea　Lean
• 251　Amenability, unitarizability, and Ulam stability　Lean
• 255　Quasi-isometric rigidity of virtually polycyclic groups　Lean

动力系统与遍历论（5 项）

• 144　Banach’s simple Lebesgue-spectrum problem　Lean
• 146　Sinai’s positive-entropy conjecture for the standard map　Lean
• 147　The near-boundary Birkhoff conjecture　—
• 148　The dimension formula for self-similar measures on the line　Lean
• 153　Arithmetic classification of Bernoulli convolutions　—

泛函分析（4 项）

• 323　Relative independence of the separable quotient problem　Lean
• 324　Lipschitz equivalence without linear isomorphism　Lean
• 328　Fixed points of nonexpansive maps in reflexive Banach spaces　Lean
• 332　Metric Markov cotype two for ℓ_1　—

数理逻辑（3 项）

• 240　Shelah’s eventual categoricity conjecture　Lean
• 242　Single-fold Diophantine representations　Lean
• 244　The partition principle does not imply choice　Lean

A 级：一流专业顶刊级（122 项）

这一级的影响力从何而来

A 是 122 项（占 32.8%）。判据：解决具体重要问题、显著改进既有界、或完成重要分类，达到一流专业期刊水准。

A 级与 A+ 级的分界：A+ 级通常对应「一个被命名的猜想」；A 级通常对应「一个具体的开放问题、一个被引用的界、或一份分类清单」。前者有名字，后者有内容。

这一级的影响力从何而来，主要有三种：

1. 「界」的改进具有累积效应——单个常数改进看似微小，但会被后续工作反复调用，成为新工作的起点（#131 图开关链的多项式混合、#202 有限格表示的反例与不可判定性）。
2. 分类结果提供基础设施——把某个对象类的完整清单列出来，后续所有讨论都以它为前提（#042 K3 曲面与紧复曲面的 Oka 分类、#315 四维 Singer 猜想）。
3. 跨领域的桥梁——把两个原本独立的工具箱连起来（#313 K(n)-局部球面的有限生成、#348 非负曲率 Einstein 四流形的分类）。

为什么 A 级数量最大（122 项）：这是「广谱扫描」模式最自然的产物。深挖一个招牌问题需要品味，广扫一片领域只需要产出——而产出的中位数，恰好落在一流专业顶刊的水准上。A 级是这个合集真正的「主体」。

成果清单

下列条目保留仓库原始英文标题，作为可检索索引；分级依据见该级开头的判据说明。

理论计算机科学（15 项）

• 104　Quasipolynomial algorithms for mean-payoff, stochastic and parity games　Lean
• 111　One-sample matroid prophet inequalities against an almighty adversary　Lean
• 112　Beyond the square-root exponent for depth-three circuits　Lean
• 114　Approximate counting of common integer polymatroid bases　Lean
• 115　Sampling and counting contingency tables with arbitrary margins　Lean
• 116　Uniform identity testing for noncommutative formulas　Lean
• 118　Unbounded bin-packing gaps and the modified integer round-up conjecture　Lean
• 121　Almost-linear expected-time approximation of edit distance　Lean
• 122　Superpolynomial lower bounds and quasipolynomial reconstruction from deletion traces　Lean
• 124　Polynomial-time scheduling on three identical machines　Lean
• 127　The asymptotic Gotsman–Linial conjecture　Lean
• 128　A factor-two approximation for shortest common superstring　Lean
• 129　Exponential state costs for two-way automata　Lean
• 134　Generalized star height at most three　Lean
• 136　The quasilinear PCP-for-PPAD conjecture　—

组合数学（13 项）

• 166　The higher-dimensional Erdős distinct-distances conjecture　—
• 167　Pinned distances and a power saving for planar unit distances　Lean
• 169　The Shareshian–Wachs e-positivity conjecture　Lean
• 171　The hypercube Ramsey conjecture　—
• 172　Classification of finite Euclidean Ramsey configurations　Lean
• 173　Seymour’s second-neighborhood conjecture　Lean
• 174　Deterministic construction of strong thin spanning trees　Lean
• 177　Bounded-degree coboundary expanders in every dimension　Lean
• 179　The circulant Hadamard conjecture　Lean
• 180　Barnette’s Hamiltonian-cycle conjecture　Lean
• 181　The Erdős–Gallai cycle-decomposition conjecture　Lean
• 186　The Friedgut–Kalai graph and hypergraph threshold conjectures　Lean
• 189　Exact cycle–clique Ramsey numbers　Lean

代数与复几何（13 项）

• 035　Threefold log abundance in numerical dimension one in characteristic p>3　—
• 036　Numerical semiampleness and generalized minimal models　—
• 037　The sharp ordinary-double-point volume gap　—
• 042　Oka classification for K3 surfaces and other compact complex surfaces　—
• 044　The equivariant cohomological Hikita conjecture for quivers　—
• 046　Counterexamples to Shafarevich holomorphic convexity　—
• 047　Complex counterexamples to cancellation and affine fibrations　Lean
• 048　A characteristic-zero counterexample to Lipman–Zariski　—
• 049　A stable-coordinate counterexample in four variables　Lean
• 050　A counterexample to Griffiths’ positivity conjecture　Lean
• 052　Tangent-bundle splittings and universal covers　Lean
• 060　The Global Spherical Shell conjecture　—
• 064　The μ-constant problem for surface singularities　—

数论（10 项）

• 008　The Deligne–Drinfeld conjecture　Lean
• 009　Bogomolov–Pop and Milnor K-theoretic reconstruction　Lean
• 011　The Ford–Konyagin–Luca conjecture on prime predecessors　—
• 012　Independent largest prime factors of consecutive integers　Lean
• 014　Restricted geometric Langlands, generic Ramanujan and Arthur parameters　—
• 015　Torus-packet equidistribution in prime, quartic, and sextic degrees　Lean
• 020　Squarefree quartics and power-free polynomial values　Lean
• 021　A quadratic bound for Jacobsthal’s function　Lean
• 024　An asymptotic formula for the number of totients　Lean
• 026　Positive lower density of large prime gaps　Lean

概率与统计力学（10 项）

• 212　No bigeodesics and smooth limit shapes in planar first-passage percolation　Lean
• 219　GOE universality for random regular graphs with weak disorder　—
• 222　Perceptron free energies and microscopic jamming　Lean
• 223　Conformal limits of square-lattice random-cluster interfaces　—
• 225　Gaussian free field limits for the balanced six-vertex model　—
• 227　The dynamical phase transition in the Sherrington–Kirkpatrick model　Lean
• 229　Sharp three- and four-state reconstruction thresholds　Lean
• 231　The free uniform spanning forest is a factor of IID　Lean
• 233　The joint critical Ashkin–Teller scaling limit　—
• 238　Optimal logarithmic mixing of the Thorp shuffle　Lean

微分几何（10 项）

• 336　Spectral scalar curvature and codimension-two width　—
• 337　Cartan–Hadamard isoperimetry and CAT(0) fillings　Lean
• 341　Donaldson’s hypersymplectic deformation conjecture　—
• 343　Sharp symplectic ball-packing criteria in higher dimensions　Lean
• 345　Infinitely many closed geodesics on spheres and three-manifolds　—
• 348　Nonnegatively curved Einstein four-manifolds and a topological gap　Lean
• 349　The Solomon–Yau least-volume conjecture　—
• 351　Scalar curvature detects four-dimensional Ricci-flow singularities　—
• 353　The sharp dimension threshold for affine Bernstein rigidity　Lean
• 360　Villani’s convexity conjecture and regular optimal transport　Lean

数学物理（9 项）

• 262　Sharp one-dimensional Lieb–Thirring inequalities　Lean
• 265　The two-dimensional gapped area law　—
• 270　Threshold and positive-energy bound states of the BFSS model　—
• 274　Moore’s parity conjecture for QAC^0　Lean
• 275　QMA-hardness of continuum Coulomb energy　Lean
• 276　The classical capacity of generalized amplitude damping　Lean
• 277　Threshold repetition for entangled games　Lean
• 280　Strong locality for strongly rational unitary vertex operator algebras　Lean
• 284　The optimal randomized–quantum query exponent　—

算子代数（5 项）

• 294　A counterexample to Kaplansky’s quasitrace conjecture　Lean
• 297　A ZFC counterexample to Naimark’s problem　Lean
• 298　A counterexample to Voiculescu’s free-entropy equality conjecture　Lean
• 300　The Popa–Vaes quadratic strong-operator paving conjecture　—
• 302　The Phillips–Toms formula for minimal integer actions　—

代数学（5 项）

• 201　A counterexample to Kurosh’s division-ring problem　—
• 205　Saxl’s conjecture and universal tensor squares　Lean
• 206　Finite lattice representation: counterexamples and undecidability　Lean
• 208　The finite Benson–Etingof–Ostrik conjecture　—
• 210　Foulkes’ conjecture for sixth powers and quadratic stabilization　Lean

拓扑学（6 项）

• 312　The Grothendieck homotopy hypothesis　Lean
• 315　The four-dimensional Singer conjecture　—
• 316　Curtis’s conjecture　—
• 317　Thomason model structures in every strict higher dimension　Lean
• 319　Counterexamples to the Hahn–Wilson conjecture at height two　—
• 321　A counterexample to Wall’s finite D(2) conjecture　—

实与复分析（4 项）

• 076　Ultraflat real Littlewood polynomials　Lean
• 077　Fourier restriction for positively curved surfaces　—
• 082　Maximal and variational bounds for the triangular Hilbert transform　Lean
• 083　Stein’s conjecture for Hilbert transforms along Lipschitz directions　Lean

偏微分方程（4 项）

• 363　Boltzmann nonuniqueness with exact local conservation　Lean
• 368　The three-dimensional Ball–Evans approximation problem　—
• 371　Stable blowup for a defocusing Schrödinger equation　Lean
• 374　Sharp one-third stability of optimal transport maps　Lean

凸与度量几何（5 项）

• 089　Bounded-distortion L_1 embeddings of planar and bounded-treewidth graphs　Lean
• 094　Subpolynomial dimension reduction in L_p　Lean
• 096　The Gaussian propeller conjecture　Lean
• 097　The Euclidean Steinitz–Bergström conjecture　Lean
• 100　A counterexample to Bang’s cylinder-covering bound　Lean

群论（4 项）

• 252　A non-residually-finite torsion-free hyperbolic group　Lean
• 256　Howie’s conjecture on equations over groups　Lean
• 258　Gersten’s conjecture for one-relator groups　—
• 259　A group without fixed price　—

动力系统与遍历论（4 项）

• 149　Permanence for weakly reversible reaction networks　Lean
• 150　Weak mixing of irrational triangular billiards　Lean
• 151　A C^1 counterexample to Shub’s entropy conjecture　Lean
• 154　Pointwise multiple ergodic averages for mixing transformations　—

泛函分析（3 项）

• 326　The cotype–cotype conjecture under the approximation property　Lean
• 327　Markov type characterizes superreflexivity　Lean
• 330　A negative answer to Kalton’s Lipschitz-free approximation question　Lean

数理逻辑（2 项）

• 243　Choiceless counting does not capture polynomial time　Lean
• 245　The β-Barendregt–Geuvers–Klop conjecture　Lean

B 级：强专业成果级（59 项）

这一级的影响力从何而来

B 是 59 项（占 15.9%）。判据：技术性推进、重要增量、局部情形突破。

不要把 B 级理解为「不重要」。 在一个正常的研究生涯里，任何一项 B 级成果都足以支撑一篇像样的博士论文或一次教职竞聘。B 级的含义只是：放在这份 372 族的天平上，它的影响力排在末 16%。

这一级的典型形态：

1. 局部情形补全——把一个已知结果从「某类对象」推广到「某类对象加一个附加条件」（#067 Campana–Peternell 在六维、#210 Foulkes 猜想的六次幂情形）。
2. 技术改进但非范式改变——把界从 A 改到 A·log A（#183 平面 halving line 的幂次节省、#191 Heilbronn 三角问题的幂次改进）。
3. 构造性/计算性结果——本身正确且困难，但不改变领域议程（#318 谱分裂的分层、#354 立方三环面上的等周区域）。

为什么这一级值得保留在文档里：它让整份分级的形状变得可读。如果只看 S+ 和 S，会以为这是一次「单点爆破」；把 B 级放回来，才能看出这是一次覆盖整个学科地图的广谱扫描——顶端极少、主体极厚、底部扎实。

成果清单

下列条目保留仓库原始英文标题，作为可检索索引；分级依据见该级开头的判据说明。

理论计算机科学（8 项）

• 131　Polynomial mixing of graph switches with prescribed degrees　Lean
• 132　A counterexample to the quadratic sensitivity conjecture　Lean
• 133　The complexity of Weisfeiler–Leman refinement　Lean
• 135　Sharp homogeneous depth-five complexity of matrix products　Lean
• 137　One-tape time simulation in two-fifths-power space　—
• 139　Subpolynomial queries for log-concave sampling　Lean
• 140　Memory–sample lower bounds for noiseless Gaussian regression　Lean
• 141　The existential theory of the reals and existential–universal sentences in the counting hierarchy　—

组合数学（8 项）

• 182　Power savings for polynomial-difference-free sets　Lean
• 183　Power savings for planar halving lines and k-sets　Lean
• 185　Counterexamples to infinite matroid intersection and packing/covering　Lean
• 187　Snaky in 21 Maker moves　Lean
• 188　The sharp constant in random triangle removal　Lean
• 190　Polynomial removal fails for ordered binary matrices　Lean
• 191　A power improvement in the Heilbronn triangle problem　Lean
• 192　A counterexample to the Gopalan–Servedio conjecture　Lean

代数与复几何（6 项）

• 053　A counterexample to Pixton’s original completeness conjecture　—
• 065　Virasoro constraints for complete intersections and projective bundles　—
• 066　Bounded klt complements for Fano contractions　—
• 067　The Campana–Peternell conjecture in dimension six　—
• 068　Anticanonical nonvanishing under smooth semipositivity　—
• 069　Quantum geometric Langlands at irrational level　—

数论（3 项）

• 013　Ostmann’s inverse Goldbach conjecture　Lean
• 023　Patterson’s first moment for cubic Gauss sums　Lean
• 027　Integral density on curve character varieties　—

概率与统计力学（6 项）

• 218　Conformal universality for weakly interacting and disordered Ising models　Lean
• 228　Continuum phase transitions for radial pair potentials　Lean
• 232　Gaussian fields and SLE interfaces for Lipschitz heights　—
• 234　All-temperature pressure for orthogonally invariant Ising spin glasses　Lean
• 236　The factor-of-IID threshold for free Ising states on trees　Lean
• 239　Sharp singularity rates for symmetric sign matrices　—

微分几何（7 项）

• 347　Counterexamples to strong forms of Arnold’s fixed-point conjecture　Lean
• 354　Isoperimetric regions in the cubic three-torus　Lean
• 355　Unique tangent flows at the first surface singularity　—
• 357　Bi-Lipschitz coordinates at every regular RCD point　—
• 358　A three-manifold with no conjugate points and no nonpositively curved metric　Lean
• 359　Negative Kähler curvature without bounded holomorphic coordinates　Lean
• 361　Counterexamples to Yau’s harmonic dimension bound　Lean

数学物理（5 项）

• 272　Entanglement without secret key and the PPT-square conjecture　Lean
• 278　Failure of Kohn–Sham ensemble representation　—
• 281　QAOA optimality for the SK model　Lean
• 282　Scale-to-conformal enhancement in four-dimensional QFT　—
• 283　Polynomial-time, constant-error unitary synthesis from a Boolean oracle　—

算子代数（1 项）

• 301　Classification by trace cones after Razak–Jacelon stabilization　—

代数学（2 项）

• 204　Tensor saturation for even spin groups　—
• 209　Integral counterexamples to Gersten’s conjecture　—

拓扑学（3 项）

• 308　Smith–Toda complexes at every height with varying primes　—
• 314　The chromatic Smith fixed-point problem for finite p-groups　—
• 318　Chromatic splitting: counterexamples and filtrations　—

实与复分析（2 项）

• 084　The geometric case of the Erdős similarity conjecture　Lean
• 085　Endpoint regularity of the planar centered maximal function　Lean

偏微分方程（2 项）

• 373　Nonattainment in three-marginal Coulomb transport　Lean
• 376　Universal computation in forced Navier–Stokes flows　Lean

凸与度量几何（2 项）

• 093　Dimension-free logarithmic Sobolev inequality for subgaussian log-concave measures　—
• 098　A negative answer to the Lang–Plaut problem　Lean

群论（1 项）

• 257　A hyperbolic group with no geometric CAT(0) action　Lean

动力系统与遍历论（1 项）

• 152　Zero entropy does not guarantee a smooth positive-volume model　Lean

泛函分析（2 项）

• 329　A counterexample to Pietsch’s metric-entropy duality conjecture　Lean
• 331　Asymptotic midpoint uniform convexity without asymptotically uniformly convex renorming　Lean

一次「广谱覆盖」而非「单点爆破」

把六级放回同一张表。对我来说，形状比数字更重要：

两个关键汇总：菲尔兹级及以上（S+ + S）= 66 项，占 17.7%；四大级及以上（S+ + S + A+）= 191 项，占 51.3%。

这条曲线的形状是「金字塔」而不是「几座孤峰」。 顶端 5.1% 极薄，中间 66.4% 极厚，底部 15.9% 扎实。这说明它不是在一个方向上打了一口深井，而是在整片学科地图上做了一次浅层到中层的系统性覆盖。

学科 × 级别交叉表

* 高级占比 = (S+ + S) / 该领域族数，衡量该领域的顶级成果密度。

这张表里我最想让你看的是最后一列。 族数最多的理论计算机科学（40 族）高级占比只有 10%；而族数仅 19 的算子代数高达 37%，群论 36%、偏微分方程 31%、代数学 28%。换句话说：数量最多的板块，不是质量最密的板块。 前者反映的是「容易大规模搜索」的领域（构造 + 可检验证书），后者反映的是「问题本身极硬」的领域。

四条结构观察

下面四条，是我看完这张交叉表后最想说的：

1. 覆盖而非爆破——17 个分支全部有产出，没有一条技术路线主导全局。
2. 反例与证明同等重要——Borsuk、Hadwiger、Sidorenko、Kaplansky、Projected Lax 等被推翻的猜想全部进入 S+ 或 S。推翻改变的是「哪些猜想值得信」这个元判断。
3. 形式化覆盖与级别正相关但不重合——235 族有 Lean 说明页，但 formalization.yaml 自报 review: unchecked，且仅 162 篇论文的主定理被形式化。「验得过」不等于「被理解」，更不等于「被接受」。
4. 射程边界清晰——需要构造新概念的突破基本缺席：黎曼猜想本体、霍奇一般情形、P vs NP 均未解决；数理逻辑仅 6 族且无 S+。

方法论与局限

我是怎么分的

1. 数据来源：仓库 overview.tex（372 族的标题与摘要，机械解析）、lean/docs/（235 族形式化说明页清单）、lean/formalization.yaml（162 篇主定理形式化）。
2. 分级依据：我只用了各族的公开摘要文本与问题声誉——没有逐一读 PDF 正文，也没有独立验证任何一份证明。这一点必须说在前面，因为它决定了这份分级的边界。
3. 判据结构：问题声誉 × 结果强度 × 影响半径 × 稀缺性（见 1.3 节）。四个因子同时拉满者入 S+。
4. 覆盖完整性：372 个族全部拿到级别归属，无遗漏、无重复。

我必须说明的局限

• 这是「假设全部证实」的潜力分级，不是已确立的学术地位分级。仓库 README 本身就承认：未形式化的结果「可能存在问题」。
• 非官方、非同行评议：分级是我用启发式判据作的估算，不构成对任何单篇成果的学术定论，也不代表 OpenAI 或任何数学机构的意见。
• 口径不可混用：lean/docs/ 的 235 族是「族级说明页」；lean/formalization.yaml 的 162 篇是「主定理已形式化」。二者不是同一个指标，我分开统计。
• 模型与提示词均未公开：外部无法复现，因此「是否一次成功」不可验证。要凭证（ask for receipts）是当前学界的主要诉求，我也认同这个诉求。
• 标题语言不一致：S+ 与 S 两级（共 66 项）我给了中文标题并附原题；A+ / A / B 三级保留仓库原始英文标题，仅作检索索引。这是篇幅的妥协，不是厚此薄彼。

一句话结论：我把组织方式从「学科」切到了「影响力」。切完之后看到的形状是——顶端 19 项超旗舰、66 项菲尔兹级及以上、191 项四大级及以上，其余是一流专业级的厚实主体。这不是单点爆破，而是一次覆盖 17 个分支的系统性广谱扫描。它真正改变的，不是「我们知道多少」，而是「谁在生产、谁在验证、谁在决定什么算已知」。

而我把这份清单讲给你听，理由也很简单：在这场重新分工里，先把分量标出来，总比事后追认要好。