2023年秋期高中三年级期终质量评估数学参考答案及评分细则_2024届河南省南阳市高三上学期1月期终质量评估_河南省南阳市2024届高三上学期1月期终质量评估数学

2023 年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题参考答案 一．选择题 1-8. CBDC BDAC 二．选择题 9.AC 10.ACD 11.ABD 12.CD 三．填空题 13. -12 14.（1,0）  （1，） 15. 89 16. 1 3 四．解答题 （答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分） 17.解析：（1）m  a,b，n    sinB, 3cosA  ，且m  n  0， asinB 3bcosA0， 由正弦定理得sinAsinB 3sinBcosA0.……………………………………………2分 0Bπ，sinB0，sinA 3cosA，tanA 3 . π 0 Aπ，A .………………………………………………………………………5分 3 （2）a10，由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA102 ， 即b2 c2 bc100.…………………………………………………………………………7分 b2 c2 2bc，100bc2bc，bc100. 1 3 3 S  bcsinA bc 10025 3 ，………………………………………………8分 2 4 4 当且仅当bc时，△ABC面积有最大值，最大值为25 3.…………………………10分 a a 2 3 1 18.解析：（1）因为 n1 n  2，所以a a   a  a 1， a a a n n1 2 n1 2 n n n1 n1 1 1 a a a a 则   n n1  n n1  2， a 1 a 1 a a a a 1 1 1 n1 n n n1 n n1 a  a 2 n 2 n1 所以b b  2，……………………………………………………………………………2分 n1 n 1 又a 0，所以b  1，故数列 b 是首项为1，公差为2的等差数列， 1 1 a 1 n 1 所以b 12(n1)  2n1，……………………………………………………………5分 n 1 1 2 2n a  1 1 .…………………………………………………………6分 n b 2n1 2n1 n 高三数学 第 1页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}1 1 （2）证明：（方法一）由（1）可得S  n2，所以  . n S n2 n 1 7 当n 1时，T = 1 .…………………………………………………………………7分 1 S 4 1 1 1 1 1 1  当n2时，      ，…………………………………………8分 n2 n2 1 2n1 n1 1 1 1 1 T     n S S S S 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1  1 1  1 1  1 1                  2 3 2 4 3 5 n2 n n1 n1 1  1 1 1  7 11 1  7 1  1          2  2 n n1 4 2n n1 4 .………………………………11分 7 综上可得T  .…………………………………………………………………………12分 n 4 1 1 （方法二）由（1）可得S  n2，所以  . n S n2 n 1 7 当n 1时，T = 1 .…………………………………………………………………7分 1 S 4 1 1 1 1 5 7 当n  2时，T = + 1+ =  .…………………………………………………8分 2 S S 4 4 4 1 2 1 1 1 1 当n3时，    ，…………………………………………………9分 n2 n(n1) n1 n 1 1 1 1 T     n S S S S 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 7 1 7 1 +  +       .…………………………………11分 4 2 3 3 4 n1 n 4 n 4 7 综上可得T  .…………………………………………………………………………12分 n 4 19.解析：(1)证明：如图，连接AC，在AAC中，AA2，AC1，AAC60， 1 1 1 1 高三数学 第 2页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}由余弦定理，得 1 AC2  AA2AC22AA ACcosAAC 41221 3， 1 1 1 1 2 所以AC 3，所以AC2AC2  AA2， 1 1 1 所以AC  AC， …………………………………………2分 1 同理AC BC，又BCAC C，AC,BC平面ABC, 1 所以AC 平面ABC,又AC平面AACC ， 1 1 1 1 所以平面ABC平面AACC . ……………………………………………5分 1 1 (2) 由平面几何知识可知，AC⊥CP， ……………………………………………6分 以C为坐标原点，以CA，CP，CA 为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 1 则A(1,0,0)，B( 1 , 3 ,0)，A(0,0, 3)，……………………………………………7分 1 2 2   3 3 所以AA (1,0, 3)，AB( , ,0) 1 2 2  m    A  A  x  3z  0,   1 1 1 设平面A 1 AB的法向量为m(x 1 ,y 1 ,z 1 )，则 m  ·  A  B   3 x  3 y  0,  2 1 2 1  令z 1，得m( 3,3,1). …………………………………………………………9分 1 又平面CAP的法向量为n(1,0,0)， …………………………………………10分 1 3 39 cos m,n   …………………………………………11分 391 13 130 所以二面角CAPB 的正弦值为 .……………………………………………12分 1 1 13 （若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分） 20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列， ∴设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. ……………………………4分 (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 0.80.7 应规定w2.5 2.83…………………………………………………8分 0.15 (3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量， 高三数学 第 3页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}可知P(A≤2.5)＝0.7， 由题意，知X～B(3，0.7)， P(X＝0)＝C0×0.33＝0.027， 3 P(X＝1)＝C1×0.7×0.32＝0.189， 3 P(X＝2)＝C2×0.72×0.3＝0.441， 3 P(X＝3)＝C3×0.73＝0.343. 3 ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ………11分 ∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12分 b a 21.解析：（1）设P(x,y)，则y  x，x  y， Q R a b 1 b 1 a ab x2 y2 | x( x)|| y( y)|  1 由题意可得， 2 a 2 b 2 ，即 a2 b2 ， x2 y2  1 ……………4分 故点P的轨迹C的方程为 ； a2 b2 x2  y2 1 （2）由（1）可知C： 4 假设存在常数n, 使ADAE（常数），设直线l：x  my  n ，代入C，整理得 (m2 4）y2 2mny(n2 4)0，设D(x ,y ),E(x ,y ) 1 1 2 2 2mn n2 4 则 y  y  ,y y  ……………6分 1 2 m2 4 1 2 m2 4 所以ADAE(x 4,y )(x 4,y ) 1 1 2 2 (x 4)(x 4) y y (my n4)(my n4) y y 1 2 1 2 1 2 1 2 (m2 1)y y m(n4)(y  y )(n4)2 ……………7分 1 2 1 2 (m2 1)(n2 4) 2m2n(n4)   (n4)2  m2 4 m2 4 （算法一） 整理化简得：(12)m2 5n2 32n6040对mR恒成立.……9分 故120,5n2 32n6040 2 12,5n2 32n120n 或6(舍去） ……………11分 5 高三数学 第 4页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}当直线l为x轴时ADAE 12 2 综上，存在常数n ,对任意直线l ,使 ADAE12 （为定值） ……………12分 5 （算法二） (m2 1)(n2 4) 2m2n(n4) (n2 8n4)m2 (n2 4)   (n4)2  (n4)2  m2 4 m2 4 m2 4 n2 4 根据对应系数成比例得：n2 8n4 . ……………9分 4 2 整理得5n2 32n120，解得n 或n6 5 当n6不能保证任意l成立，故舍去. 2 将n 代入上式可得ADAE 12 ……………11分 5 当直线l为x轴时ADAE 12 2 综上，存在常数n ,对任意直线l ,使 ADAE12 （为定值） ……………12分 5 22.解析：（1）依题意知：x0,， f'xalnxa， a 1 1 1 g(x)   (a ) …………………1分 x x2 x x ①a0时，g(x)0恒成立，g(x)在（0，）上单调递减； ……………………3分 1 1 ②a0时，由g(x)0,得0 x , g(x)0,得x , a a 1 1 g(x)在（0，）上单调递减，（ ，）上单调递增. ……………………5分 a a （2）依题意，要证：xlnxexsinx1， ①当0x1时，xlnx0,ex 1sinx0，故原不等式成立，…………………………7分 ②当x1时，要证：xlnxexsinx1， 即要证：xlnxexsinx10， 令h(x) xlnxex sinx1,(x1)则hxlnxex cosx1， 1 hx ex sinx， ………………………………8分 x x1,h(x)0 ………………………………9分 高三数学 第 5页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}hx在  1，+ 单调递减hxh1 1ecos10 ………………………10分 h(x)在  1，+ 单调递减，h(x)h(1)1esin10， 即：xlnxexsinx10，故原不等式成立. …………………………………12分 高三数学 第 6页 共 6 页 {#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}