2025届浙江省温州市高三下学期学业水平评估数学_2025年2月_2502122025届浙江省温州市高三下学期学业水平评估(1)

温州市 届高三学业水平评估
2025
数学试题卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个
选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
在复平面内复数 对应的点为 则
z
1. , z −1,1 , 1+i =
A.−1+i B.−1−i C.i D.1+i
已知空间向量 则下列向量可以与 构成空间向量的一
组基底的是
2. a = 1,0,0 ,b = 0,1,0 , a,b
A.c = 0,0,0 B.c = 0,0,1 C.c = 1,1,0 D.c = 1,2,0
圆心为 且与抛物线 的准线相切的圆的方程是
2
3. 1, 3 y = 4x
2 2
2 2
A. x+1 + y+ 3 = 4 B. x+1 + y+ 3 = 3
2 2
2 2
C. x−1 + y− 3 = 4 D. x−1 + y− 3 = 3
已知 名学生的期中考试数学成绩分别为 且上四分位数为 则
4. 4 98,110,m,120, 118,
m =
A.115 B.116 C.117 D.118
已知数列 满足 则数列 中的最小项为
1 1 1
5. an a1 =−5,an+1 −an = 2, an
A.a2 B.a3 C.a4 D.a5
在 中角 所对的边分别为 已知 则
3
6. △ABC , A,B,C a,b,c, sinA = 5,B = 2A,b = 8, a =
5 10 20
A.2 B.5 C. 3 D. 3如图所示“田”字型方格是由 个边长为 的正方形组成 为其中的
个格点在 个格点中依次取不同的两点 则概率等于 的事件是
7. , 4 1 ,A,B,C,D 4
1
, 9 P,Q, 4
第 题图
7
∘
A.PQ⋅AB = 8 B.在< PQ,AB >=条45件下
C.PQ⋅CD = 0 D. PQ = 5 ,PQ//CD
已知函数 与 且 在
上都是增函数则实数 的取值范围是 x x
8. f x = log a+1 x−logax g x = a+1 +a a > 0 a ≠ 1
0,+∞ , a
5−1 5−1 5+1 5+1
A. 0, 2 B. 2 ,1 C. 1, 2 D. 2 ,+∞
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
已知实数 满足 则
9. a,b a > b > 0,
2 2 1 1
A.a > b B.a >−b C.a > b D.a > b
将下列平面四边形 中的 沿对角线 翻折成 使二面角
为直二面角其中四面体 的外接球的半径等于 ′的是
10. ABCD △ABD BD △ABD,
′ ′
A −BD−C , ABCD 2
A B C D给定 若集合 且存在 满足
则称 为“广义等差集合” 记 的元素个数为 则
11. n ∈  + , P ⊆ {1,2,3,⋯,n}, a,b,c,d ∈ P, a < b ≤ c <
是“广义等差集合”
d,b−a = d−c, P . P P ,
是“广义等差集合”
A.{1,2,3}
若 不是“广义等差集合”当 时 的最大值为
B.{1,3,4,6}
若 不是“广义等差集合”若 的最大值为 则 可以是
C. P , n = 8 , P 4
D. P , P 4, n 13
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
已知二项式的展开式 则
6 2 6
12.若角 的终边逆时针:旋1转−2后x经=过a点0 +a1x+a则2x +⋯+a6x , a3 =_____.
π π
13. α 3 P −3,4 , sin α−6 =_____.
已知 为椭圆 上一点 分别为椭圆的左右焦点直线
2 2
交 轴于点 x y
14. P a 2 +b 2 = 1 a > b > 0 ,F1,F2 , ,
PF
为1 坐标
y
原点若
Q,
则椭圆的离心率等于
O , QF1 = PF2 = OP , _____.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
分 已知函数 1 2 2 在 1处的切线垂直于 轴
2
15.求(1实3 数) 的值；   =  −   + ln   =  .
求函数 的极小值
(1) 
(2)   .
分 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性抽取了 名高三年
级的学生统计数据 整理得到如下列联表 并画出身高的频率分布直方图
16.(15 ) , 200
性别 , 身高, 合计 , :
低于 不低于
女
170cm 170cm
男
20
合计
50 
200根据身高的频率分布直方图求列联表中 的值；
(1)
依据小概率值 0.05的独立
,
性检验能否

认
, 
为高三年级学生的性别与身高是否
低于170 有关联？
(2)  = ,
用样本 c频m率估计总体的概率在全市不低于170 的学生中随机抽取 人其中
不低于175 的人数记为 求 的期望
(3) , cm 2 ,
2 cm  ,  .
≥  =  0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2
附 2
−  
:  =  +   +   +   + 
分 如图已知四棱锥 中顶点 在底面 上的射影 落在线
段 上 不含端点 底面 为直角梯形 2
17.(15 ) ,  −     ,      
2 2 2
( ),     ,   //   ,   ⊥   ,   = ,   =
求证 平面
= .
(1) :   ⊥    ;
第 题图
17若二面角 的大小为 直线 与平面 所成的角为
(2)求 的值  −   −   ,        .
tan 
(i) 当tan  60 时; 求 的最小值
∘
2 2
(ii)  分= 已知双, 曲  线  . 1 0 0 过点 22 其渐近线的方程为
2 2 1
2 按照如下方式依次  构  造点 23 过右支上点 作斜率为 的
1
18.(17 )  :  −  =  > ,  >  , ,()
直线与 的左支交于点 过 再作斜率为 的直线与 的右支交于点
=±  . 1  1   = , ,⋯ :   − 1
− ,   − -1 
求   双 ,  曲  线 . 的方程；
用 表示点 的坐标；
(1) 
1
(2) 求证   , 数   列 2   − 是等比数列
(3) :   −   .
分 已知函数

19.( 当 17 )4时判断   的 = 奇 sin 偶  性 + ； cos   ∈  + .
1
(1)当  为= 偶数,时方  程  有解求 的最小值
2025
(2)若存  在 使得,关于  的  不=等式 ,  ; 0恒成立求实数 的
取值范围
(3)  ,    +  sin  +cos  −  ≥ , 
.温州市 2025 届高三学业水平评估 数学试题卷 全解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
在复平面内复数 对应的点为 11 则
1

1. 1 , 1  1 − , , +  =
【答案】
A.− +  B.− −  C.  D. + 
【解析】
C
1 1
由题易知 1 则
1 1 1
− +  − 
故选择 :  =− +  , +  = +  −  =  .
已知空:C间向量 100 010 则下列向量可以与 构成空间向量的一组
基底的是
2.    = , , ,   = , , ,   ,  
000 001 110 120
【答案】
A.   = , , B.   = , , C.  = , , D.   = , ,
【解析】
B
易知 选项正确
故选择
B .
圆心为:B 1 3 且与抛物线 2 4 的准线相切的圆的方程是
3. 1 2 , 3 2 4  = 1  2 3 2 3
A.  + 1 2+  + 3 2 = 4 B.  + 1 2+  + 3 = 2 3
C.  − +  − = D.  − +  − =
【答案】
C
【解析】
抛物线的准线方程是 1 则满足题意的圆的方程为 1 2 3 2 4 故
选择
=− ,  − +  − = .
: 已知 名学生的期中考试数学成绩分别为98110 120 且上四分位数为 则
4. 4 , ,  , , 118,
=
【答案】
A.115 B.116 C.117 D.118
【解析】
B
120
4 75 3是整数所以 118 得 116
2
+
故×选择% = , = ,  = .
:B
1 1 1
已知数列 满足 2 则数列 中的最小项为
1
5 1
5.    =− ,   + −   = ,  
2 3 4 5
【答案】
A.  B.  C.  D. 
1
【解析】B由题意得 1 所以 4 0 故选择
2 3
3
=− ,  =− , ∀  ≥ ,   > . :B
在 中角 所对的边分别为 已知 3 2 8 则
5
5 10 20
6. △    ,  ,  ,   ,  ,  , sin  = ,  =  ,  = ,  =
2 3 3
A【.答案B】.5 C. D.
【解析】
B
4
2 则 是锐角则 所以 5
5 2 2
sin   sin  
故=选择  ,  , cos  = ,  = sin  = sin  = cos  = .
:B
如图所示“田”字型方格是由 个边长为 的正方形组成 为其中的
1
个格点在 个格点中依次取不同的两点 则概率等于 的事件是
7. , 4 1 4 ,  ,  ,  ,  4
, 9  ,  ,
第 题图
78 45
∘
A.    ⋅     =0 B.在<    ,     >=5条件下
C【.  答  案⋅】     = D.     = ,    //    
BD
【解析】
向量是矢量有方向有长度故有 2 72种取法
9
项 , 8 2, 2 故  = 2 2且与. 同向所以 只能在
A 只:能  在  ⋅    一 =种所,  以   = 1 ,     =     ,   ,
72
项  , 45  =可为; 图中
∘
B :<    ,     >= ,     :
  ,    1,8    种,  所  ,以    ,    , 1  8  , 1    ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,
72 4
   项 ,     , 0  即= =与; 垂直 可为 四种所以 4 1
72 18
C 项:   在   ⋅     = 5, 条   件    下即     可为,     :    ,    ,    ,     ,  = = ;
共 种与 平行有
D :     = ,    
4 1
四种所以
  ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,  1  6,  4  ,    ,    ,    ,    ,    ,    ,     16 ,    
故  选,  择  ,    ,     ,  = = .
:BD
已知函数 与 1 0 且 1 在 0
1
上都是增函数则实数 的取值范围是  
8.   = log  +  −log     =  + +   >  ≠ ,+
∞ 5 1 ,5 1  5 1 5 1
0 1 1
2 2 2 2
− − + +
A【.答案, 】 B. , C. , D. ,+∞
【解析】
B
1
1 1 1
ln  ln  ln  −ln  +
= log  +  −log   = − = ln  ,
ln  + ln  ln  ⋅ln  +1 0
0 1
1 1 0
ln  −ln  +
ln  <
ln  ⋅ln  + > ⇒ ⇒  < , 1
ln  + >
1 1 1 1

'     +
=  + +  ,   =  + ln  + +  ln  =  ln  + +ln  ,
只需 1 2 0 则 2 1 0  5 1 1
2
−
故选择ln  + +ln  = ln  +  ≥ ,  +  − ≥ ⇒  ∈ , .
:B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
已知实数 满足 0 则
9.  ,   > 2  >2 , 1 1
A.  >  B.  >−  C.  >  D.  > 
【答案】
【解析】
ABC
则 故 、 正确 则 2 2 故 正确
1 1
>项  举≥反  例, 取  >  2,  >−1  则, A B故 错; 误  >  ,  >  , C ;
D故选:择 ,  = ,  = ,  <  , D .
:ABC
将下列平面四边形 中的 沿对角线 翻折成 使二面角
为直二面角其中四面体 的外接球的半径等于 ′的是
10.     △      △    ,
′ ′
−   −  ,     2
【答案】
【解析】
ACD项 如图 2 3 2 3 2 2 6 12 得 2 正确
A项:底面半,  径= −2  3 + 2 而 =  故−  错+误 ,  = , ;
2 60
∘
B项: 中点即  球=心sin =1 ,  2 >故  , 正B确 ;
2
C 项:  题  中面 与面,  =  垂  =直若, 过C 中;点作垂线则交 于中点 其中点为球
心 故外接球半径为 故 正确
D :       ,   ,   ,
故选择
, 2, D .
:ACD
给定 若集合 123 且存在 满足
则称 为“广义等差集合” 记 的元素个数为 则
11.  ∈  + ,  ⊆ { , , ,⋯,  },  ,  ,  ,  ∈  ,  <  ≤  <
,  1−2  3= 是  “ − 广  , 义等差  集合” .   ,
A.{1,3,4}6 是“广义等差集合”
B.
若
{ , ,
不
,
是
}
“广义等差集合”当 8时 的最大值为
若 不是“广义等差集合”若 的最大值为 则 可以是
C.  ,  = ,  4
【答案】
D.  ,  4,  13
【解析】
ABC
选项 1 2 3 故 正确
选项 A:  = 1,  = 3  = ,4  = ,6 A ; 2 故 正确
选项 B: 当  = ,  =4时 ,  取 = ,  =12⇒48  − 当  =  −5  时 = 设 , B ; 由题意可
1 2 3 4 5
知 两两不同 则
2 1 3 2 4 3 5 4 5 1 5 4 4 3
C:  = ,  = { , , , },  ≥ ,  =  ,  ,  ,  ,  ,
1 2 3 4 10 矛盾故 正确
3 2 2 1
,  −  ,  −  ,  −  ,  −  .  −  =  −  +  −  +
选  项 −  当 +  1−3  时取 ≥ + 1+24+813= 与 , , C4矛盾 ; 故 错误
D:  = ,  = { , , , , },  max = ! D .故选择
:ABC
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
已知二项式的展开式 1 2 6 2 6 则
0 1 2 6 3
【答案】
12. : −  =  +   +   +⋯+   ,  =_____.
【解析】
-160
3 3 2 3 13 20 8 3 160 3 所以 160
3 6 3
故答案为
=  ⋅ −  ⋅ = ⋅ −  =−  ,  =− .
若角 :-的16终0边逆时针旋转 后经过点 34 则
3 6

1【3答. 案】   − , , sin  − =_____.
3
【解析】5
其中 3 所以
6 3 2 3 3 5 6
3      
sin  − = sin  + − =−cos  + , cos  + =− , sin  − =
5
故.答案为 3
5
:
2 2
已知 为椭圆 1 0 上一点 分别为椭圆的左右焦点直线
2 2 1 2
交 轴于点  为  坐标原点若 则椭圆的离心率等于
1 1 2
14.   +  =  >  > ,  ,  , ,
【  答案】  10  ,  ,   =   =   , _____.
5
【解析】
3 2 2 所以 2 所以 2 4 2 1 2 16 2 1 2
1 2
5 4 25 4
+   =  +1 2  1=6 2  1,2  =  ,   =  −  =  −  ,
10
在椭圆上所以4 25 4 1 解得
2 2 5
− 
,  +  = , :  = .1
1 9 2 4 2 4 2 1 10
另解 2
1 2
2 4 23 2 4 5
+  − 
故答 : 案 co 为 s∠  10   =  = = ⋅  ⋅  = ⇒  = .
5
:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
分 已知函数 1 2 2 在 1处的切线垂直于 轴
2
15.求(1实3 数) 的值；   =  −   + ln   =  .
求函数 的极小值
(1) 
【解析】
(2)   .
1 2 2 求导得 2
2
′
(1)  1处  切=线  斜−率   + ln 1  , 1  2  = 3  −  由+题  ,意知 0 则3 0 得
3 ′
=  =  = −  + = −  ,  = , −  = ,
= . 1 2 3 2 0 3 2 2 3 2 1 2
2
′  −  +  −  −
(当2)0   = 1  或−  2 +时ln   > 0 ,   单=调  −递增+  当= 1  = 2时  , 0 单调
递减 ′ ′
<  <  > ,   > ,   ; <  < ,   < ,  
因此 , 极小值 为 2 4 2 2
()  =− + ln .分 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性抽取了 名高三年
级的学生统计数据 整理得到如下列联表 并画出身高的频率分布直方图
16.(15 ) , 200
性别 , 身, 高 合计, :
低于 不低于
女
170cm 170cm
男
20
合计
50 
200
根据身高的频率分布直方图求列联表中 的值；
(1)
依据小概率值 0.05的独立
,
性检验能否

认
, 
为高三年级学生的性别与身高是否
低于170 有关联？
(2)  = ,
用样本 c频m率估计总体的概率在全市不低于170 的学生中随机抽取 人其中
2
不低于175 的人数记为 求 的期望 附 2
(3) , cm 2 ,
−  
2 cm  ,  . :  =  +   +   +   +  ,
0.050 0.010 0.001
≥  = 
【解  析】 3.841 6.635 10.828
由图低于170 的学生有200 5 0.005 0.015 0.030 0.060 110名
(则1)不低于, 170 的cm学生有 名从×而 × 110 +50 60+ 90+ 20 7=0 ,
2
2 200 60 c7m0 20 50 2 9 1 0 .5 , 3.841  = − = ,  = − = .
80 110 120 90
× − ×
(2)  = × × × ≈ > ,所以可以认为高三学生的性别与身高是否低于170 有关联 微信公众号 浙江省
高中数学 数度空间
cm . :
可取/ 抽中不低于175 的概率 40 4
90 9
(3)  0,1,24, 0 5 2 25 cm  =4 5= 4,0 4 2 5 0
0 0 1 1 2 2
2 9 9 81 2 9 9 81 2 9 9
16
= =  = ,   = =  ⋅ ⋅ = ,   = =  ⋅ ⋅
81
=25 , 40 16 8
所以 0 1 2
81 81 81 9
= × + × + × = .
分 如图已知四棱锥 中顶点 在底面 上的射影 落在线
段 上 不含端点 底面 为直角梯形 2
17.(15 ) ,  −     ,      
2 2 2
( ),     ,   //   ,   ⊥   ,   = ,   =
= .
第 题图
求证17 平面 ；
(1)若二:面  角  ⊥    的大小为 直线 与平面 所成的角为 求
tan 
的值； 当 60 时求 的最小值
(2)  −   −   ,        .(i) tan 
∘
【解析】
(ii)  = ,   .
由题 平面 平面 所以
(因1)为底面   ⊥ 为直   角  梯  ,形   所⊂以     ,2  2  ⊥6   , 2 2 2 3
将 沿   平   移 与 重合, 则   =2  2  +2   3=2 ,   2 =  2  +  2  =18 所以,
′ ′
,   ,   = + = ,   =   +   = ,
又因为 平面 所以 平面
⊥   ,
由  题  ⊥   ,   ⊥过   作,   ,  垂  线⊂ 垂足  为   ,  连  接∩   =  ,   ⊥    .

(2)(i) tan  =   ,    ,  ,   ,所以 从而 1 3
tan   
以tan  为=原  点  ,以 tan  =为   = sin轴∠   以  过= 点. 且垂直于平面 的直线为 轴建
系
(ii)  ,   ,    ,  ,      
则, 000 200 22 2 0 0 2 0 设 2 2 0
从而  , , ,  2, , 2,  , , 0,  2 2, 0 , ,   ,  ,  ,   ,  , ,
   =  − ,  ,  ,     = , , ,
设平面 法向量为
0   2 =  ,  2,  , 0
则
0 0
  ⋅     =  −  +   +   =
⇒ ,
令   ⋅     = 则  = 0 2 而平面 法向量为 001
所以  =−  ,    = −  , ,  2 − 1, 即4   2   2 2  2=2 , ,2 ,3 2 2
  ⋅   2  − 2 2 2
cos  =      = = ,  − =  +  − ⇒  =  − ,
+  −
又有 2 2 2 2 代入上式得 3 2 3 2 2
6 2 2 2 6
=  +  +  , ,   =  +  − =
所以  −的  最+小值 ≥ 为 ,6
2 2
分 已知双曲线 . 1 0 0 过点 22 其渐近线的方程为
2 2 1
2 按照如下方式依  次构  造点 23 过右支上点 作斜率为 的
1
18.(17 )  :  −  =  > ,  >  , ,
直线与 的左支交于点 过 再作斜率为 的直线与 的右支交于点
=±  . 1  1   = , ,⋯ :   − 1
− ,   − -1 
（   ）  , 求   双 . 曲线 的方程；（ ）用 表示点 1 的坐标；（ ）求证 数列
2 是等比数列
1  2   ,     − 3 :
−   .【解析】
2
2 3 2 2
由 4 4 解得 所以双曲线 的方程为 1
1 2 12 3 12
2 =  2  
=
(1) , ,  − = .
−  =  =
过 斜率是 的直线方程是
(联2立)其  与  双   曲,  线  方程有 -312 2  +  =   + 2   ,12 0
由韦达定理其两根是, :  则+   +    −​ 2  2  +   ​ − 2 12 = .​ 2 2 4 ​ 2
3 3
−   −     −   − −   −     −  
所以 ,5 2   ,   8,   5⋅   即= 点 的坐标为 =5 2 8 5 ,
1
3 3 3 3 3 3 3 3
=−   −   ,   =   +   ,   − −   −   ,   +   .
设
1 1
(则3)4   − ​ 2=   +  ,​   2 − =4   +  , 2 2 4 ​ 2 8 4 2 ​ 2
1 1
2 2 12 8 2 3 2 12
− −   − =   +  −   +  =   +    +  −   −
解   得  −  = 8 + 2    −    +  = ,
3 3
所以:  =−   5+   2, 5 5 2 2 8 5 41 20
1
3 3 3 3 3 3 3 3 9 9
− =− 8   + 5   =− 8−  5  −  2  + 5   8+   5 =   80+   4,1
1 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9
− =−   +82   =−40 − 80   − 4  1  + 1   +   =   +   ,
所以2 2 即 2 为等比
1 1
9 9 9 9 9
数列
− −   − =   +   −   −   =   −   ,   −  
.
分 已知函数

19.( 当 17 )4时判断   的 = 奇 sin 偶  性 + ； cos   ∈  + .
1
(1)当  为= 偶数,时方  程  有解求 的最小值
2025
(2)若存  在 使得,关于  的  不=等式 ,  ; 0恒成立求实数 的
取值范围
(3)  ,    +  sin  +cos  −  ≥ , 
【解析】
.
4 4 则
4 4 4 4 所以 为偶函数
(1)   = sin  +cos  ,
−  = sin −  +cos −  = −sin  +cos  =   ,   .注意到 2 所以只需讨论在
2 2

0 上的值域
(2)   +  =   ,   + =   ,  −  =   ,
4

, , 2 2 0恒成立所以 2
4 2 
′  −  − 
2
=  sin  cos  sin  −cos  ≤ ,   min =  = +
2 
, 1 21
1
所以2 2 1 1 2 1 其中 23时 1 2 1 1
2  2025 2  − 2025 2 1024 2 2025
24时 ⋅ 1 1≤1 1 ⇒ 1 所以 ≤ , 24  = , = > ,
2 2048 2025
=当 是,偶数时=恒有< , 1 且  当min = 2.时恒为 所以只需1
1 0恒成立
(3)  ,   ≤ ,  = 1, +  sin  +cos  −
1 1
当≥ . 1时 恒成立只需 2 1
1 1 2
当sin  +cos  > 1时,  ≥ −sin  1−cos  恒成立,只需  ≥ −1 =−
2
−
1
.
1 1 2
当sin是  奇+c数os时  设< ,  ≤ −sin  −cos  ,  ≤ +则= − .恒成立

而  ,   = sin 从  而 +cos  0+  sin  +  cos  ,   ≥  ,
令   +得  2 =−  2  ≥  2 ,()  ≤ 2 . 2 2 2
4 2 

反之  当= , ⋅2 2+  2≥  1⇒时令+  1≥等  式⇒左  边≥− − , 1
所以等式  左∈ 边−​ − ,−2 −1 ,  =2 , 1 2= sin2  +c1os  2  + 2 −  2,
2 2 2 2 2 2 0
min =  + −  = −  + ≥ − − − + =
−所以综−上 + + 2 + 2= 2, 1
, ,  ∈ − − , − .