2025届浙江省温州市高三下学期学业水平评估数学_2025年2月_2502122025届浙江省温州市高三下学期学业水平评估(1)

温州市 届高三学业水平评估 2025 数学试题卷 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要 求的. 在复平面内复数 对应的点为 则 z 1. , z −1,1 , 1+i = A.−1+i B.−1−i C.i D.1+i 已知空间向量 则下列向量可以与 构成空间向量的一 组基底的是 2. a = 1,0,0 ,b = 0,1,0 , a,b A.c = 0,0,0 B.c = 0,0,1 C.c = 1,1,0 D.c = 1,2,0 圆心为 且与抛物线 的准线相切的圆的方程是 2 3. 1, 3 y = 4x 2 2 2 2 A. x+1 + y+ 3 = 4 B. x+1 + y+ 3 = 3 2 2 2 2 C. x−1 + y− 3 = 4 D. x−1 + y− 3 = 3 已知 名学生的期中考试数学成绩分别为 且上四分位数为 则 4. 4 98,110,m,120, 118, m = A.115 B.116 C.117 D.118 已知数列 满足 则数列 中的最小项为 1 1 1 5. an a1 =−5,an+1 −an = 2, an A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 在 中角 所对的边分别为 已知 则 3 6. △ABC , A,B,C a,b,c, sinA = 5,B = 2A,b = 8, a = 5 10 20 A.2 B.5 C. 3 D. 3如图所示“田”字型方格是由 个边长为 的正方形组成 为其中的 个格点在 个格点中依次取不同的两点 则概率等于 的事件是 7. , 4 1 ,A,B,C,D 4 1 , 9 P,Q, 4 第 题图 7 ∘ A.PQ⋅AB = 8 B.在< PQ,AB >=条45件下 C.PQ⋅CD = 0 D. PQ = 5 ,PQ//CD 已知函数 与 且 在 上都是增函数则实数 的取值范围是 x x 8. f x = log a+1 x−logax g x = a+1 +a a > 0 a ≠ 1 0,+∞ , a 5−1 5−1 5+1 5+1 A. 0, 2 B. 2 ,1 C. 1, 2 D. 2 ,+∞ 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 已知实数 满足 则 9. a,b a > b > 0, 2 2 1 1 A.a > b B.a >−b C.a > b D.a > b 将下列平面四边形 中的 沿对角线 翻折成 使二面角 为直二面角其中四面体 的外接球的半径等于 ′的是 10. ABCD △ABD BD △ABD, ′ ′ A −BD−C , ABCD 2 A B C D给定 若集合 且存在 满足 则称 为“广义等差集合” 记 的元素个数为 则 11. n ∈ + , P ⊆ {1,2,3,⋯,n}, a,b,c,d ∈ P, a < b ≤ c < 是“广义等差集合” d,b−a = d−c, P . P P , 是“广义等差集合” A.{1,2,3} 若 不是“广义等差集合”当 时 的最大值为 B.{1,3,4,6} 若 不是“广义等差集合”若 的最大值为 则 可以是 C. P , n = 8 , P 4 D. P , P 4, n 13 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 已知二项式的展开式 则 6 2 6 12.若角 的终边逆时针:旋1转−2后x经=过a点0 +a1x+a则2x +⋯+a6x , a3 =_____. π π 13. α 3 P −3,4 , sin α−6 =_____. 已知 为椭圆 上一点 分别为椭圆的左右焦点直线 2 2 交 轴于点 x y 14. P a 2 +b 2 = 1 a > b > 0 ,F1,F2 , , PF 为1 坐标 y 原点若 Q, 则椭圆的离心率等于 O , QF1 = PF2 = OP , _____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 分 已知函数 1 2 2 在 1处的切线垂直于 轴 2 15.求(1实3 数) 的值； = − + ln = . 求函数 的极小值 (1) (2) . 分 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性抽取了 名高三年 级的学生统计数据 整理得到如下列联表 并画出身高的频率分布直方图 16.(15 ) , 200 性别 , 身高, 合计 , : 低于 不低于 女 170cm 170cm 男 20 合计 50 200根据身高的频率分布直方图求列联表中 的值； (1) 依据小概率值 0.05的独立 , 性检验能否 认 , 为高三年级学生的性别与身高是否 低于170 有关联？ (2) = , 用样本 c频m率估计总体的概率在全市不低于170 的学生中随机抽取 人其中 不低于175 的人数记为 求 的期望 (3) , cm 2 , 2 cm , . ≥ = 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2 附 2 − : = + + + + 分 如图已知四棱锥 中顶点 在底面 上的射影 落在线 段 上 不含端点 底面 为直角梯形 2 17.(15 ) , − , 2 2 2 ( ), , // , ⊥ , = , = 求证 平面 = . (1) : ⊥ ; 第 题图 17若二面角 的大小为 直线 与平面 所成的角为 (2)求 的值 − − , . tan (i) 当tan 60 时; 求 的最小值 ∘ 2 2 (ii) 分= 已知双, 曲 线 . 1 0 0 过点 22 其渐近线的方程为 2 2 1 2 按照如下方式依次 构 造点 23 过右支上点 作斜率为 的 1 18.(17 ) : − = > , > , ,() 直线与 的左支交于点 过 再作斜率为 的直线与 的右支交于点 =± . 1 1 = , ,⋯ : − 1 − , − -1 求 双 , 曲 线 . 的方程； 用 表示点 的坐标； (1) 1 (2) 求证 , 数 列 2 − 是等比数列 (3) : − . 分 已知函数 19.( 当 17 )4时判断 的 = 奇 sin 偶 性 + ； cos ∈ + . 1 (1)当 为= 偶数,时方 程 有解求 的最小值 2025 (2)若存 在 使得,关于 的 不=等式 , ; 0恒成立求实数 的 取值范围 (3) , + sin +cos − ≥ , .温州市 2025 届高三学业水平评估 数学试题卷 全解析 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 在复平面内复数 对应的点为 11 则 1 1. 1 , 1 1 − , , + = 【答案】 A.− + B.− − C. D. + 【解析】 C 1 1 由题易知 1 则 1 1 1 − + − 故选择 : =− + , + = + − = . 已知空:C间向量 100 010 则下列向量可以与 构成空间向量的一组 基底的是 2. = , , , = , , , , 000 001 110 120 【答案】 A. = , , B. = , , C. = , , D. = , , 【解析】 B 易知 选项正确 故选择 B . 圆心为:B 1 3 且与抛物线 2 4 的准线相切的圆的方程是 3. 1 2 , 3 2 4 = 1 2 3 2 3 A. + 1 2+ + 3 2 = 4 B. + 1 2+ + 3 = 2 3 C. − + − = D. − + − = 【答案】 C 【解析】 抛物线的准线方程是 1 则满足题意的圆的方程为 1 2 3 2 4 故 选择 =− , − + − = . : 已知 名学生的期中考试数学成绩分别为98110 120 且上四分位数为 则 4. 4 , , , , 118, = 【答案】 A.115 B.116 C.117 D.118 【解析】 B 120 4 75 3是整数所以 118 得 116 2 + 故×选择% = , = , = . :B 1 1 1 已知数列 满足 2 则数列 中的最小项为 1 5 1 5. =− , + − = , 2 3 4 5 【答案】 A. B. C. D. 1 【解析】B由题意得 1 所以 4 0 故选择 2 3 3 =− , =− , ∀ ≥ , > . :B 在 中角 所对的边分别为 已知 3 2 8 则 5 5 10 20 6. △ , , , , , , sin = , = , = , = 2 3 3 A【.答案B】.5 C. D. 【解析】 B 4 2 则 是锐角则 所以 5 5 2 2 sin sin 故=选择 , , cos = , = sin = sin = cos = . :B 如图所示“田”字型方格是由 个边长为 的正方形组成 为其中的 1 个格点在 个格点中依次取不同的两点 则概率等于 的事件是 7. , 4 1 4 , , , , 4 , 9 , , 第 题图 78 45 ∘ A. ⋅ =0 B.在< , >=5条件下 C【. 答 案⋅】 = D. = , // BD 【解析】 向量是矢量有方向有长度故有 2 72种取法 9 项 , 8 2, 2 故 = 2 2且与. 同向所以 只能在 A 只:能 在 ⋅ 一 =种所, 以 = 1 , = , , 72 项 , 45 =可为; 图中 ∘ B :< , >= , : , 1,8 种, 所 ,以 , , 1 8 , 1 , , , , , , , , , 72 4 项 , , 0 即= =与; 垂直 可为 四种所以 4 1 72 18 C 项: 在 ⋅ = 5, 条 件 下即 可为, : , , , , = = ; 共 种与 平行有 D : = , 4 1 四种所以 , , , , , , , 1 6, 4 , , , , , , , 16 , 故 选, 择 , , , = = . :BD 已知函数 与 1 0 且 1 在 0 1 上都是增函数则实数 的取值范围是 8. = log + −log = + + > ≠ ,+ ∞ 5 1 ,5 1 5 1 5 1 0 1 1 2 2 2 2 − − + + A【.答案, 】 B. , C. , D. ,+∞ 【解析】 B 1 1 1 1 ln ln ln −ln + = log + −log = − = ln , ln + ln ln ⋅ln +1 0 0 1 1 1 0 ln −ln + ln < ln ⋅ln + > ⇒ ⇒ < , 1 ln + > 1 1 1 1 ' + = + + , = + ln + + ln = ln + +ln , 只需 1 2 0 则 2 1 0 5 1 1 2 − 故选择ln + +ln = ln + ≥ , + − ≥ ⇒ ∈ , . :B 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 已知实数 满足 0 则 9. , > 2 >2 , 1 1 A. > B. >− C. > D. > 【答案】 【解析】 ABC 则 故 、 正确 则 2 2 故 正确 1 1 >项 举≥反 例, 取 > 2, >−1 则, A B故 错; 误 > , > , C ; D故选:择 , = , = , < , D . :ABC 将下列平面四边形 中的 沿对角线 翻折成 使二面角 为直二面角其中四面体 的外接球的半径等于 ′的是 10. △ △ , ′ ′ − − , 2 【答案】 【解析】 ACD项 如图 2 3 2 3 2 2 6 12 得 2 正确 A项:底面半, 径= −2 3 + 2 而 = 故− 错+误 , = , ; 2 60 ∘ B项: 中点即 球=心sin =1 , 2 >故 , 正B确 ; 2 C 项: 题 中面 与面, = 垂 =直若, 过C 中;点作垂线则交 于中点 其中点为球 心 故外接球半径为 故 正确 D : , , , 故选择 , 2, D . :ACD 给定 若集合 123 且存在 满足 则称 为“广义等差集合” 记 的元素个数为 则 11. ∈ + , ⊆ { , , ,⋯, }, , , , ∈ , < ≤ < , 1−2 3= 是 “ − 广 , 义等差 集合” . , A.{1,3,4}6 是“广义等差集合” B. 若 { , , 不 , 是 } “广义等差集合”当 8时 的最大值为 若 不是“广义等差集合”若 的最大值为 则 可以是 C. , = , 4 【答案】 D. , 4, 13 【解析】 ABC 选项 1 2 3 故 正确 选项 A: = 1, = 3 = ,4 = ,6 A ; 2 故 正确 选项 B: 当 = , =4时 , 取 = , =12⇒48 − 当 = −5 时 = 设 , B ; 由题意可 1 2 3 4 5 知 两两不同 则 2 1 3 2 4 3 5 4 5 1 5 4 4 3 C: = , = { , , , }, ≥ , = , , , , , 1 2 3 4 10 矛盾故 正确 3 2 2 1 , − , − , − , − . − = − + − + 选 项 − 当 + 1−3 时取 ≥ + 1+24+813= 与 , , C4矛盾 ; 故 错误 D: = , = { , , , , }, max = ! D .故选择 :ABC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 已知二项式的展开式 1 2 6 2 6 则 0 1 2 6 3 【答案】 12. : − = + + +⋯+ , =_____. 【解析】 -160 3 3 2 3 13 20 8 3 160 3 所以 160 3 6 3 故答案为 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − =− , =− . 若角 :-的16终0边逆时针旋转 后经过点 34 则 3 6 1【3答. 案】 − , , sin − =_____. 3 【解析】5 其中 3 所以 6 3 2 3 3 5 6 3 sin − = sin + − =−cos + , cos + =− , sin − = 5 故.答案为 3 5 : 2 2 已知 为椭圆 1 0 上一点 分别为椭圆的左右焦点直线 2 2 1 2 交 轴于点 为 坐标原点若 则椭圆的离心率等于 1 1 2 14. + = > > , , , , 【 答案】 10 , , = = , _____. 5 【解析】 3 2 2 所以 2 所以 2 4 2 1 2 16 2 1 2 1 2 5 4 25 4 + = +1 2 1=6 2 1,2 = , = − = − , 10 在椭圆上所以4 25 4 1 解得 2 2 5 − , + = , : = .1 1 9 2 4 2 4 2 1 10 另解 2 1 2 2 4 23 2 4 5 + − 故答 : 案 co 为 s∠ 10 = = = ⋅ ⋅ = ⇒ = . 5 : 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 分 已知函数 1 2 2 在 1处的切线垂直于 轴 2 15.求(1实3 数) 的值； = − + ln = . 求函数 的极小值 (1) 【解析】 (2) . 1 2 2 求导得 2 2 ′ (1) 1处 切=线 斜−率 + ln 1 , 1 2 = 3 − 由+题 ,意知 0 则3 0 得 3 ′ = = = − + = − , = , − = , = . 1 2 3 2 0 3 2 2 3 2 1 2 2 ′ − + − − (当2)0 = 1 或− 2 +时ln > 0 , 单=调 −递增+ 当= 1 = 2时 , 0 单调 递减 ′ ′ < < > , > , ; < < , < , 因此 , 极小值 为 2 4 2 2 () =− + ln .分 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性抽取了 名高三年 级的学生统计数据 整理得到如下列联表 并画出身高的频率分布直方图 16.(15 ) , 200 性别 , 身, 高 合计, : 低于 不低于 女 170cm 170cm 男 20 合计 50 200 根据身高的频率分布直方图求列联表中 的值； (1) 依据小概率值 0.05的独立 , 性检验能否 认 , 为高三年级学生的性别与身高是否 低于170 有关联？ (2) = , 用样本 c频m率估计总体的概率在全市不低于170 的学生中随机抽取 人其中 2 不低于175 的人数记为 求 的期望 附 2 (3) , cm 2 , − 2 cm , . : = + + + + , 0.050 0.010 0.001 ≥ = 【解 析】 3.841 6.635 10.828 由图低于170 的学生有200 5 0.005 0.015 0.030 0.060 110名 (则1)不低于, 170 的cm学生有 名从×而 × 110 +50 60+ 90+ 20 7=0 , 2 2 200 60 c7m0 20 50 2 9 1 0 .5 , 3.841 = − = , = − = . 80 110 120 90 × − × (2) = × × × ≈ > ,所以可以认为高三学生的性别与身高是否低于170 有关联 微信公众号 浙江省 高中数学 数度空间 cm . : 可取/ 抽中不低于175 的概率 40 4 90 9 (3) 0,1,24, 0 5 2 25 cm =4 5= 4,0 4 2 5 0 0 0 1 1 2 2 2 9 9 81 2 9 9 81 2 9 9 16 = = = , = = ⋅ ⋅ = , = = ⋅ ⋅ 81 =25 , 40 16 8 所以 0 1 2 81 81 81 9 = × + × + × = . 分 如图已知四棱锥 中顶点 在底面 上的射影 落在线 段 上 不含端点 底面 为直角梯形 2 17.(15 ) , − , 2 2 2 ( ), , // , ⊥ , = , = = . 第 题图 求证17 平面 ； (1)若二:面 角 ⊥ 的大小为 直线 与平面 所成的角为 求 tan 的值； 当 60 时求 的最小值 (2) − − , .(i) tan ∘ 【解析】 (ii) = , . 由题 平面 平面 所以 (因1)为底面 ⊥ 为直 角 梯 ,形 所⊂以 ,2 2 ⊥6 , 2 2 2 3 将 沿 平 移 与 重合, 则 =2 2 +2 3=2 , 2 = 2 + 2 =18 所以, ′ ′ , , = + = , = + = , 又因为 平面 所以 平面 ⊥ , 由 题 ⊥ , ⊥过 作, , 垂 线⊂ 垂足 为 , 连 接∩ = , ⊥ . (2)(i) tan = , , , ,所以 从而 1 3 tan 以tan 为=原 点 ,以 tan =为 = sin轴∠ 以 过= 点. 且垂直于平面 的直线为 轴建 系 (ii) , , , , 则, 000 200 22 2 0 0 2 0 设 2 2 0 从而 , , , 2, , 2, , , 0, 2 2, 0 , , , , , , , , = − , , , = , , , 设平面 法向量为 0 2 = , 2, , 0 则 0 0 ⋅ = − + + = ⇒ , 令 ⋅ = 则 = 0 2 而平面 法向量为 001 所以 =− , = − , , 2 − 1, 即4 2 2 2 2=2 , ,2 ,3 2 2 ⋅ 2 − 2 2 2 cos = = = , − = + − ⇒ = − , + − 又有 2 2 2 2 代入上式得 3 2 3 2 2 6 2 2 2 6 = + + , , = + − = 所以 −的 最+小值 ≥ 为 ,6 2 2 分 已知双曲线 . 1 0 0 过点 22 其渐近线的方程为 2 2 1 2 按照如下方式依 次构 造点 23 过右支上点 作斜率为 的 1 18.(17 ) : − = > , > , , 直线与 的左支交于点 过 再作斜率为 的直线与 的右支交于点 =± . 1 1 = , ,⋯ : − 1 − , − -1 （ ） , 求 双 . 曲线 的方程；（ ）用 表示点 1 的坐标；（ ）求证 数列 2 是等比数列 1 2 , − 3 : − .【解析】 2 2 3 2 2 由 4 4 解得 所以双曲线 的方程为 1 1 2 12 3 12 2 = 2 = (1) , , − = . − = = 过 斜率是 的直线方程是 (联2立)其 与 双 曲, 线 方程有 -312 2 + = + 2 ,12 0 由韦达定理其两根是, : 则+ + −​ 2 2 + ​ − 2 12 = .​ 2 2 4 ​ 2 3 3 − − − − − − − 所以 ,5 2 , 8, 5⋅ 即= 点 的坐标为 =5 2 8 5 , 1 3 3 3 3 3 3 3 3 =− − , = + , − − − , + . 设 1 1 (则3)4 − ​ 2= + ,​ 2 − =4 + , 2 2 4 ​ 2 8 4 2 ​ 2 1 1 2 2 12 8 2 3 2 12 − − − = + − + = + + − − 解 得 − = 8 + 2 − + = , 3 3 所以: =− 5+ 2, 5 5 2 2 8 5 41 20 1 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 − =− 8 + 5 =− 8− 5 − 2 + 5 8+ 5 = 80+ 4,1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 − =− +82 =−40 − 80 − 4 1 + 1 + = + , 所以2 2 即 2 为等比 1 1 9 9 9 9 9 数列 − − − = + − − = − , − . 分 已知函数 19.( 当 17 )4时判断 的 = 奇 sin 偶 性 + ； cos ∈ + . 1 (1)当 为= 偶数,时方 程 有解求 的最小值 2025 (2)若存 在 使得,关于 的 不=等式 , ; 0恒成立求实数 的 取值范围 (3) , + sin +cos − ≥ , 【解析】 . 4 4 则 4 4 4 4 所以 为偶函数 (1) = sin +cos , − = sin − +cos − = −sin +cos = , .注意到 2 所以只需讨论在 2 2 0 上的值域 (2) + = , + = , − = , 4 , , 2 2 0恒成立所以 2 4 2 ′ − − 2 = sin cos sin −cos ≤ , min = = + 2 , 1 21 1 所以2 2 1 1 2 1 其中 23时 1 2 1 1 2 2025 2 − 2025 2 1024 2 2025 24时 ⋅ 1 1≤1 1 ⇒ 1 所以 ≤ , 24 = , = > , 2 2048 2025 =当 是,偶数时=恒有< , 1 且 当min = 2.时恒为 所以只需1 1 0恒成立 (3) , ≤ , = 1, + sin +cos − 1 1 当≥ . 1时 恒成立只需 2 1 1 1 2 当sin +cos > 1时, ≥ −sin 1−cos 恒成立,只需 ≥ −1 =− 2 − 1 . 1 1 2 当sin是 奇+c数os时 设< , ≤ −sin −cos , ≤ +则= − .恒成立 而 , = sin 从 而 +cos 0+ sin + cos , ≥ , 令 +得 2 =− 2 ≥ 2 ,() ≤ 2 . 2 2 2 4 2 反之 当= , ⋅2 2+ 2≥ 1⇒时令+ 1≥等 式⇒左 边≥− − , 1 所以等式 左∈ 边−​ − ,−2 −1 , =2 , 1 2= sin2 +c1os 2 + 2 − 2, 2 2 2 2 2 2 0 min = + − = − + ≥ − − − + = −所以综−上 + + 2 + 2= 2, 1 , , ∈ − − , − .