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2021年中科大强基计划数学试题 +2022年强基计划测试数学试题 2022年创新班招生考试初试数学一 复试数学 +行列式计算4题
2021年中科大强基计划数学试题
已知正实数，二次函数，若任意长度为的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于，则的最小值为______.
已知正实数满足，则的最小值为______.
已知正实数满足，则的取值范围为______.
抛物线上有两点，，则中点的轨迹方程为______.
抛掷一个均匀的骰子（六个面上分别标有数字-）次，记该过程中出现的最大数字为，则______.
有边长为的正，在边上，在边上，，沿折起，求四棱锥体积的最大值。
已知的整数部分，证明：。
已知，求的最小值。
为实系数多项式，且两两互素，，证明：或。
2022年中国科学技术大学强基计划测试数学试题
在中，，，求的面积。
已知，求素因子个数的最小值。
已知（1）求满足什么条件恒成立； （2）若存在，使得，则满足什么条件。
位学生参加面试，学生来自三校，其中校人，校人，校人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后再选择下一位面试，求校学生先于其他两校学生完成面试的概率。
是五个矩形区域（边平行于坐标轴），存在两个集合，证明：。
2022年中国科学技术大学创新班招生考试初试数学一
，，则的取值范围为________。
向量，则的值可能为（）。 A. B. C. D. E.以上都不对
如图，为的重心，，，，，则下列正确的有（）。 A.为定值 B.为定值 C.不为定值 D.为定值
若函数在上恒大于，则的取值范围是________。
，求的最大值与最小值之差为________。
在锐角中，角的对角分别为，，则的取值范围为________。
满足，为的前的和为（）。 A.B.C.D.
在中，，，则的可能正确的是（）。 A. B. C. D.
菱形，，，将沿折起至，为中点，，则为________。
已知不等式在上恒成立，求的取值范围。
2022年中国科学技术大学创新班招生考试复试数学试题
一、求最小的正整数使得存在一个实部和虚部都是正数的使得。
二、（1）已知为周期，为正整数，证明：为周期。 （2）为一个函数满足：为有理数，为无理数，证明：任意正有理数都是周期。 （3）已知任意正有理数都是周期，且恒成立，证明：是常值函数。
三、记，，其中为整数。 （1）写出的表达式。 （2）求集合（3）已知函数满足，证明：即是单射也是满射。 （4）是否存在函数使得？证明你的结论。
四 记为三次单位根。记集合
（1）是实系数多项式，证明：存在实数使得；
（2）上一个小题中是不是唯一的？为什么？
（3）对整数，记。 ① 求所有，使得； ② 证明：。并求所有，使得。 ③ 对任意的，证明：存在使得，且。
（4）对任意的，证明：存在使得下面两个条件成立： ① 存在，使得； ② 存在，使得。
2022年中国科学技术大学创新班招生考试数学A卷
一
求满足且可被整除的正整数集合个数。
二
求满足如下条件的所有函数： ① 定义域为； ② ； ③ 恒成立。
三
欧拉有著名公式，求最小正整数，使得。
四
在圆周上独立地随机选取个点，求这个点可以被半圆周覆盖的概率。
五
设函数。 (1) 证明：方程有唯一实数解，记作。 (2) (1)中的数列是否为单调数列？请证明你的结论。
行列式计算
题目1：
题目2：
题目3：
题目4：
题目1：
题目2：
题目3：
题目4：
