教案精编(二十二)

一、教学内容解析

1.内容：勾股定理的探究、证明及简单应用。

2．内容解析

（1）本课时课程标准内容

本课时内容是《17.3勾股定理》第一课时，《义务教育数学课程标准（2022年版）》在 “图形与几何”领域的 “图形的性质”主题中明确提出了对勾股定理的要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

（2）本课时内容解析

勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a² +b²=c².勾股定理以简洁而深刻的方式揭示了直角三角形三边之间的数量关系，实现了从几何形态到代数表达的转化，是数形结合思想的典范体现。勾股定理的探究是从特殊的直角三角形出发，到一般的直角三角形，经历“观察—猜想—证明”的完整数学发现过程，渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想，培养学生独立学好数学的自信心。证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路。最后，通过逻辑推理完成对一般直角三角形的严格证明。这一循序渐进的探究过程，不仅使学生亲历了数学知识的生成过程，而且还有效培养了其抽象能力、几何直观、推理能力等核心素养。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理。

二、教学目标解析

1.教学目标

（1）经历勾股定理“观察特例—提出猜想—逻辑证明”的完整探究过程，发展对图形性质和数量关系猜想的能力，体会拼图验证的合理性。体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展合情推理与逻辑推理能力。

（2）掌握勾股定理的内容，能运用勾股定理解决简单问题，发展数学建模与运算能力。

（3）通过了解勾股定理的数学文化背景，感受数学的历史与发展，培养学生的民族自豪感。

2.目标解析

目标（1）达成标志：学生能完整经历从特殊直角三角形到一般直角三角形的探究过程中发现三边关系，能通过割补、拼图等操作验证猜想，理解从特殊到一般及数形结合的数学思想方法，展现合情与逻辑推理能力。

目标（2）达成标志：学生能准确陈述勾股定理内容与公式，并能在已知两边长时正确求出第三边。能识别实际，问题中的直角三角形模型，并运用定理解决简单应用问题，展现计算与建模能力，并能在解题过程中合理使用方程思想或分类讨论思想。

目标（3）达成标志：学生能讲述勾股定理的相关历史背景，并体现出学生对数学文化的兴趣与民族自豪感。

学生已有基础：八年级学生掌握了三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和判定、面积计算等基础知识。具备一定的计算能力、动手画图、动手操作、观察归纳和合作探究的能力。八年级学生思维活跃，好奇心强，对数学故事感兴趣。但是他们对代数与几何的综合运用能力较弱，数学证明的逻辑性和几何语言表达的严谨性还不成熟。

基于以上分析，本节课的教学难点是：勾股定理的证明。

第一环节：复习回顾，提出问题

回顾  我们在研究三角形性质的时候，是从哪些方面开始研究的？三角形的角和边有怎样的性质？特殊的三角形等腰三角形角和边有怎样的性质？直角三角形的角的性质？直角三角形的三边，是否也像它的角一样，存在一个固定的数量关系呢？

师生活动：教师引导学生回顾三角形的一般研究方法（边和角），并聚焦到直角三角形。通过对比其“角的性质已知”而“边的性质未知”，引出本节课的探究问题：“直角三角形的三边满足什么数量关系？”。

四、教学过程设计

回顾  我们在研究三角形性质的时候，是从哪些方面开始研究的？三角形的角和边有怎样的性质？特殊的三角形等腰三角形角和边有怎样的性质？直角三角形的角的性质？直角三角形的三边，是否也像它的角一样，存在一个固定的数量关系呢？

师生活动：教师引导学生回顾三角形的一般研究方法（边和角），并聚焦到直角三角形。通过对比其“角的性质已知”而“边的性质未知”，引出本节课的探究问题：“直角三角形的三边满足什么数量关系？”。

设计意图：从学生已有的知识体系入手建立知识联系，制造认知冲突，激发探究欲望。

问题1:

图中每个小方格子都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°.

1、 AC=___, BC=___, AB=___

4、能不能用直角三角形ABC的三边表示S黄、S蓝、S红的等量关系？

问题2：观察用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90.

1、以AC、BC、AB为边的三个正方形的面积之间有怎样的关系？

2、用直角三角形ABC的三边表示三个正方形的面积的等量关系为:___________

问题3：以上两个直角三角形具有特殊性，是否其它直角三角形也具有类似的三边关系呢？

请同学们在网格纸上任意构建格点直角三角形ABC，其中∠C=90°，再分别以AB、AC、BC为边构建正方形，三个正方形的面积有怎样的关系呢？直角三角形ABC的三边有怎样的关系呢？

追问1 你是如何求斜正方形的面积的？

师生活动：教师引导学生从割（补）的角度求斜正方形的面积.

追问2 请问还有不同的求法吗？ 

师生活动：教师引导学生从补（割）的角度求斜正方形的面积.

追问3观察数据，你发现了什么规律？请用数学式子表达；

师生活动：教师引导学生说出.

追问4 通过以上计算，你能猜想出三个正方形围成的直角三角形的边长有什么样的特殊数量关系？

师生活动：通过多个特例，教师引导学生从面积关系得出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图：引导学生独立画出格点直角三角形，及相应边长的三个正方形，同学们归纳出，在计算的过程中进一步体会割补法求面积的过程，为进一步探究脱离网格的直角三角形的三边关系搭好脚手架，提供可借鉴的思想方法.

为了验证咱们的猜想，老师手上有一个勾股定理验证器，请大家仔细观察，老师在转动过程中，你发现了什么？你能得到什么结论？ 

师生活动：教师通过转动勾股定理验证器，学生观察到两个小正方形中的水恰好装满大正方形. 

设计意图：通过观察勾股定理验证器，帮助学生直观的得到两个小正方形的面积等于大正方形的面积，进一步得出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

为了进一步验证如果直角边不是整数时，猜想还成立吗？请同学们观察几何画板的动态变化，你能得到相同的结论吗？

师生活动：教师打开几何画板，动态展示直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，帮助学生进一步认识勾股定理. 

设计意图：通过观察，再一次直观的帮助学生得出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

任务：利用手中四个全等的直角三角形（直角边a, b，斜边c），类比刚才“割补”的思路，拼成大正方形，用等面积法来证明对于任意直角三角形，都有a² +b²=c².

师生活动：学生小组合作进行拼图，教师巡视指导。小组代表上台展示拼图成果并讲解证明思路。

设计意图：类比在网格背景中探究使用的“割补”法思路，利用等面积法，证明猜想。学生完整经历数学探究的一般路径：观察 、猜想 、证明。培养学生的推理能力的同时加深对“等面积法”的理解。融入数学史，使课堂不仅有“数学味”，更有“文化味”和“历史味”，增强民族自豪感。

任务：利用手中四个全等的直角三角形（直角边a, b，斜边c），类比刚才“割补”的思路，拼成大正方形，用等面积法来证明对于任意直角三角形，都有a² +b²=c².

师生活动：学生小组合作进行拼图，教师巡视指导。小组代表上台展示拼图成果并讲解证明思路。

设计意图：类比在网格背景中探究使用的“割补”法思路，利用等面积法，证明猜想。学生完整经历数学探究的一般路径：观察 、猜想 、证明。培养学生的推理能力的同时加深对“等面积法”的理解。融入数学史，使课堂不仅有“数学味”，更有“文化味”和“历史味”，增强民族自豪感。

例1  在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB的长。

设计意图：定理应用，已知两条直角边，求斜边长。规范书写过程。

【变式】1. 在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，求AB的长.

设计意图：帮助同学们进一步熟悉勾股定理求边长，同时要注意直角三角形的边有直角边和斜边两类，在解题过程中渗透分类讨论思想.

2.在△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=6，b=8，则c=        .  

（2）若c=13，b=12，则a=       .

设计意图：熟悉勾股定理的计算和总结常见勾股数。

3.如图，下图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．

（1）正方形B，C的面积分别为9和16，则正方形A的面积为_____

（2）正方形D，E，F，G的面积分别为3、6、7、9，则正方形A的面积为_____

设计意图：巩固以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系.展示了勾股树的一部分，进一步感受数学美.

4、在Rt△ABC中， ∠C=90°,

（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;

（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

设计意图：在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，求第三边长，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想。

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，梳理本节课的探究路径和思想方法，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）我们是如何探究勾股定理？

（3）在探究勾股定理的过程中，体会哪些数学思想？

（4）你认为还要研究什么内容？

设计意图：通过回顾，巩固勾股定理知识、实验探究步骤、数学探究一般路径，感悟数学思想，构建系统知识结构。引发学生更深层次的思考，促进学生数学素养的提高。

1.必做作业：课本习题P209页第1、3、4题.

2.实践作业：

作业名称： 勾股定理的“证明之旅”探究报告

作业要求：

     请同学们独立地查阅资料（书籍、网络、视频等），探索勾股定理的其他证明方法，至少查找并理解两种不同的证明方法。

五、教学反思