高中数学公式全景：它们到底在解决什么问题？

「把公式讲明白」系列 · 收束篇：条件、变化、形状与不确定性

一块周长20米的长方形，面积最大能有多少？有人用基本不等式，有人给二次函数配方，还有人求导数。三种解法都得到25平方米。

它们只是碰巧算出同一个数吗？

再看另一个问题：判断一条直线是否与圆相切，可以比较圆心到直线的距离，也可以联立方程看判别式。同一个几何事实，又有两种完全不同的写法。

高中数学的公式，常在这些地方相遇。只按章节背，容易记住每一种形式，却看不见它们为何能够互相替换。

前面的专题把指数、对数、欧拉、泰勒和贝叶斯等分别展开。这一篇把视野拉回高中数学主干：公式解决什么问题，为什么成立，怎样与另一章接起来。正文覆盖常见必修与选择性必修内容，不按某一版教材章序，也不替代具体课程的全部定理与题型。积分单列为高中到大学拓展；全文不要求先读过本系列其他文章。

先找你要解决的问题。 第一次读，先看各节的问题和图；查公式时，按下表定位，再核对紧挨着公式的条件与例子。

图 1 从条件、变化、形状到不确定性，公式各有任务

01 集合、逻辑与不等式：先看这句话对谁成立

一条公式前面的“设”“若”“当”，往往决定了后面能不能用。

集合把讨论对象划清楚。A∩B是同时属于A和B的元素，A∪B是至少属于其中一个集合的元素；补集必须相对于事先选定的全集U来说。比如A表示“会游泳的学生”，B表示“会骑车的学生”，交集要求两件事都会，并集只要求至少会一种。

“不同时属于A和B”和“两者都不属于”也不同。德摩根律把这种差别写得很清楚：

逻辑中的充分、必要条件，是在检查推理方向。若p能推出q，p是q的充分条件，q是p的必要条件。x＝2能推出x²＝4；但x²＝4还可能对应x＝−2。因此，把箭头倒过来，需要另作判断。

“所有”和“存在”的否定同样值得留心。“所有实数的平方都大于0”的否定，只需找到一个平方不大于0的实数，x＝0就够了；不需要证明所有数都不满足。

用命题P(x)表达一个性质，量词的否定是：

“存在一个反例”足以推翻全称命题，却不能证明它的反面处处成立。后面遇到“导数为0就是极值”“抽样次数多就一定无偏”等说法，也可以先找一个反例检查。

不等式里也有隐藏条件。两边同乘负数，不等号要反向；不知道乘数的正负时，不能直接乘过去。分母含x的不等式，尤其容易在这一步丢解或添解。

例如解(x−1)/(x＋2)＞0，先排除x＝−2，再要求分子分母同号：x＜−2或x＞1。直接“去分母”写成x−1＞0，会把第一段解丢掉。类似地，平方、开方、约去含未知量的因子，都要检查变形是否仍然等价。

基本不等式给出一个常用的最大、最小值入口：

证明只需把一个平方展开：

等号在a＝b时成立。若长方形两边之和为10米，就有ab≤25平方米；两边都是5米时取到。这也为文末比较配方、不等式和导数留下同一个算例。[1]

找最值时，除了得到上界，还要检查等号条件能不能实现。 若题目另要求长必须大于宽，正方形就被排除了；此时面积可以接近25，却不能等于25。

02 函数与二次关系：把一个式子读出三种意思

函数描述对应关系：每个允许的输入，对应唯一输出。定义域就是允许输入的集合。分式要求分母非零，实数范围内的偶次根式要求被开方数非负，对数要求真数为正；几个条件同时出现时取交集。

看二次函数，配方尤其有用：

顶点横坐标是−b/(2a)。a＞0时，二次函数有最小值；a＜0时，则有最大值。若定义域限于闭区间，顶点不在区间内，就要比较端点值；若端点不包含在定义域中，还须检查相应界限能否取到，不能直接套用整条抛物线的最值。

同一个式子等于0时，判别式和求根公式回答“图像与横轴在哪里相交”：

Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0，分别对应两个不同实根、一个二重实根、没有实根。有根时，根与系数还满足：

例如y＝x²−4x＋3＝(x−2)²−1。顶点是(2，−1)，零点是1和3，图像在1与3之间位于横轴下方。于是方程的根、函数的最值、不等式的解，可以从同一张图上读出来。

把“等于0”改成“等于λ”，仍然不用换一套方法：

λ＜−1时没有实数解，λ＝−1时有一个不同实根，λ＞−1时有两个。代数里检查平方根的范围，图像里看水平直线与抛物线的交点，参数讨论里看解的个数——它们在问同一件事。

图 2 同一条抛物线，连接零点、顶点与正负区间

函数的其他性质也在回答具体问题：单调性看输入增大时输出怎样变；奇偶性看图像对称关系。判断奇函数或偶函数，定义域首先要关于0对称，再检查f(−x)＝−f(x)或f(−x)＝f(x)。

复合函数f(g(x))是先做g，再做f，g(x)必须落在f的定义域里。反函数则把输入与输出倒过来，要求原函数在所讨论的定义域上一一对应。y＝x²在全体实数上没有单值反函数；把定义域限为x≥0，才得到y＝√x。

有些基本图像适合放在一起对照：x²在实数范围有最小值但不一一对应，x³严格递增，1/x的定义域断成两段，√x只接受非负输入。1/x在两段上各自递减，不能因为导数处处为负，就说它在整个不连通定义域上递减。

f(x−h)＋k把原图像平移(h，k)；f(λx)中的非零λ作用在输入上，横向尺度对应1/|λ|，λ＜0时还伴随左右反射。先在式子中解出原输入，再判断位移或伸缩，会比死记“左加右减”稳妥。

03 指数与对数：知道走了几步，或反过来求步数

每次增加相同的量，会形成一次关系；每次乘上相同的倍率，会形成指数关系。若初始量为N₀，每一步乘b，走t步后：

b＞1表示增长，0＜b＜1表示衰减，b＝1表示不变。t可以先理解为整数步；允许连续取值时，就得到相应的连续模型，但是否能解释现实中的“半步”，要看具体对象。

指数律说明倍率怎样合并：

这里统一取b＞0，以便在实数指数范围讨论。负底数不能不加区别地照搬所有实指数运算。

对数把问题反过来。2的3次方等于8，所以“从1开始，要乘几次2才能到8”的答案是3，写成log₂8＝3。

条件是b＞0、b≠1、x＞0。底数为1时，所有指数都给出1，无法从结果唯一反求指数。

从指数律可以得到对数法则：

其中x、y都为正，r为实数。乘法变加法，除法变减法，乘方变乘法。这些规则没有“把和拆开”这一条：log₂(2＋8)约为3.322，而log₂2＋log₂8＝4，两者不同。

换底公式让不同底数之间可以换算：

ln表示以e为底的对数。若每步乘1.2，达到原来两倍需要ln2/ln1.2≈3.802步。若过程只能在每个完整步骤结束时计数，就要到第4步才首次达到或超过两倍。这一区别，会在数列和连续函数之间反复出现。

指数函数与对数函数互为反函数，图像关于y＝x对称；底数b＞1时都递增，0＜b＜1时都递减。后一点直接决定不等式的方向。比如：

定义域给出左边界，递减性给出右边界，缺一不可。

图 3 指数与对数互为反函数，图像关于直线对称

04 三角函数：把转动写成坐标，把角度接到长度

单位圆上的点转过角θ后，坐标是(cosθ，sinθ)。圆的半径为1，勾股关系立即给出：

正切式要求cosθ≠0。角可以超出直角三角形中的锐角范围，函数值的正负由点所在象限决定。弧度把角度写成“弧长与半径之比”，一整圈是2π弧度，也就是360°。

图 4 单位圆上的横纵坐标，把角度转为数值

转过α，再转过β，总角度是α＋β；但两个坐标不能直接相加。旋转后的坐标关系给出和角公式：

把β换成−β，就得到差角公式。再令β＝α，得到常用的倍角关系：

因此，sin75°可以拆成sin(45°＋30°)，算得(√6＋√2)/4。公式有用的地方，是把不熟悉的角转成已经认识的角。

正切和角公式同样来自前两式相除：

这里相关正切值都必须有定义，分母也不能为0。诱导公式则可以回到单位圆判断，例如sin(π−θ)＝sinθ、cos(π−θ)＝−cosθ，比只记符号更容易自查。

周期图像常写成y＝A sin(ωx＋φ)＋D。A≠0、ω≠0时，振幅是|A|，周期是2π/|ω|，D决定中线；横向平移量是−φ/ω，不能把φ直接当作平移距离。

反求角度还要把所有周期补回。例如sin x＝1/2的实数解是：

计算器给出的π/6只是其中一个值。题目若限制角度范围，再从这些解中筛选。

遇到普通三角形，用三边a、b、c及各自对角A、B、C，可以建立：

R是外接圆半径，S是面积。已知两边及夹角，余弦定理可求第三边，面积公式可直接求面积。例如两边长3、4，夹角60°，第三边长√13，面积3√3。正弦定理处理“已知边及其对角”的问题很方便，但两边一非夹角有时会对应两个三角形，不能看到一个反正弦值就结束。

05 数列：第几项有多大，和前面一共多少

数列可以看成定义在正整数上的函数。通项公式回答某一项是多少，求和公式回答前面累积了多少；这是两个问题。

等差数列每次加同一个数d：

从第一项走到第n项，经历n−1次变化，所以通项里是n−1。求和式来自首尾配对：第一项与末项之和，和第二项与倒数第二项之和一样。

等比数列每次乘同一个公比q：

q＝1时，每项都相同，单独算Sₙ＝na₁。求和式可以用“原和减去q倍的和”推出，中间项成批消去。按相邻项比值定义等比数列时，相应项非零；零公比的递推过程应另行说明，不把0/0当成公比。

两种求和各有一个可复查的中间等式：

第一行属于等差，第二行属于等比，不能把同名Sₙ误当作同一组数据。它们分别利用“配对后相同”和“错位后抵消”的结构。[1]

图 5 求和把一项项变化累积，作差又取回单项

一个容易误判的例子：两组都从2开始，一组每次加3，一组每次乘1.5。到第8项，等比项约34.17，大于等差项23；但前8项之和约98.52，仍小于100。后来者超过的是“这一项”，还未必补回前面落下的总量。

由部分和反求通项，也要分开第一项：a₁＝S₁；n≥2时，aₙ＝Sₙ−Sₙ₋₁。

这也适用于更一般的数列。比如uₖ＝1/[k(k＋1)]，先拆为1/k−1/(k＋1)，再相加：

相邻项抵消后只留首尾，叫裂项相消。求和与作差的互相配合，到了连续情形就会连接到导数与积分；最后一节再说明这种联系的条件。

无穷等比级数是进一步的拓展。只有|q|＜1时，非零首项的等比级数才收敛到a₁/(1−q)。把有限和公式中的qⁿ直接“去掉”，必须先有趋于0的理由。

06 平面向量：既看长度，也看方向

向量可以表示位移、速度等有大小和方向的量。坐标相加对应首尾相接；乘一个数会改变长度，负数还会把方向反过来。

若a＝(aₓ，aᵧ)，b＝(bₓ，bᵧ)，它们的数量积是：

夹角θ的写法要求两向量非零。数量积把b在a方向上的投影带进计算：同向时为正，反向时为负，垂直时为0。物理中的功就是一个熟悉的应用，恒力做功要看位移在力的方向上有多少分量。

图 6 向量的数量积，把方向投影接到长度和夹角

长度、夹角与平行判断可以统一用坐标表示：

谈夹角、用平行或垂直判据作几何判断时，先排除零向量。零向量和任何向量的数量积都是0，却没有可拿来画的方向。

例如a＝(3，4)、b＝(4，−3)，数量积12−12＝0，两向量垂直；它们的长度又都是5。这里没有量角器，也能准确判断几何关系。

投影有正负，投影长度取绝对值。把这两个概念混在一起，计算出的负数就容易被误当成“负的距离”。

从向量展开，找回余弦定理和三角公式

从三角形同一顶点引出u、v，边长分别为a、b，夹角为C，第三边对应u−v。平方展开给出：

余弦定理正是向量平方展开的三角形版本。C＝90°时，交叉项为0，退回勾股定理。

再取单位向量u＝(cosα，sinα)、v＝(cosβ，sinβ)。数量积同时有坐标与夹角两种算法，得到：

把β换成−β得到余弦和角式；再用sin t＝cos(π/2−t)便能推出正弦和角式。前面列出的公式，在这里有了共同的几何来源。[2]

还有一个有用的代数恒等式：

因此|a·b|≤|a||b|，这就是二维的柯西—施瓦茨不等式；等号要求两个向量线性相关。取向量(3，4)和(cos x，sin x)，立刻知道|3 cos x＋4 sin x|≤5。上界能在(cos x，sin x)＝(3/5，4/5)时取到。一个三角函数的最值，也可以由向量不等式解决。

07 直线与圆锥曲线：把几何条件翻译成方程

坐标法先问一个点必须满足什么条件，再把条件写成x、y之间的关系。

直线可以用一般式Ax＋By＋C＝0表示，A、B不同时为0。斜率式y＝kx＋b很方便，但竖直直线没有有限斜率，不能硬套。点(x₀，y₀)到直线的距离是：

比如点(1，2)到直线3x＋4y−6＝0的距离，等于|3＋8−6|/5＝1。分母负责把一般式中的系数归一化，否则把方程整体乘2，所谓“距离”也会跟着翻倍。

圆是到定点距离相同的点的集合。圆心(h，k)、半径r＞0时：

椭圆改为“到两个定点的距离之和恒定”。焦点在横轴上，半长轴a＞半短轴b＞0时：

两个焦点是(−c，0)、(c，0)，距离之和是2a，离心率e＝c/a，满足0＜e＜1。圆是c＝0的特殊情形。a、b不是整条轴的长度；椭圆长轴长2a，短轴长2b。

双曲线固定的是“两段距离之差的绝对值”：

这里a、b＞0，焦点仍在横轴，距离差的绝对值为2a，e＝c/a＞1。它的渐近线是y＝±(b/a)x。椭圆和双曲线只差一个符号，但几何形状和c的关系都变了；应连着定义一起记。

抛物线固定的是“到焦点与到准线的距离相等”。采用高中常见约定：

最后一式是准线。这里p是焦点到准线的距离。有的资料写y²＝4fx，f表示顶点到焦点的距离；两个记号描述同一件事，但不能把参数含义串用。

这个标准式可以直接由距离定义推出。设动点Q＝(x，y)，则：

第一行两边非负，平方等价；最终p＞0又使x≥0，代回距离关系也成立。方程与几何条件需要双向对应，不能只证明“曲线上的点都满足方程”，却忘了检查方程是否引入额外点。[3]

图 7 圆锥曲线的标准式，对应不同的距离约束

焦点在纵轴时，交换相应的x、y位置。曲线平移则用x−h、y−k替换坐标。例如椭圆x²/25＋y²/9＝1，有a＝5、b＝3、c＝4，焦点为(±4，0)，距离和为10；这一组数能同时检查定义与标准式。

相切：距离条件与判别式怎样相遇

考虑圆x²＋y²＝5与直线y＝x＋t，参数t为实数。代入消元：

每一个实数x根，代回直线便唯一确定一个交点。t²＜10时相交于两点，t²＝10时相切，t²＞10时不相交。

几何方法得到同样结论：圆心到直线x−y＋t＝0的距离是|t|/√2，圆半径为√5。比较距离与半径，门槛仍是t²＝10。判别式没有另外创造一种“相切”，只是把同一条件翻译成二次方程的根数。

图 8 直线离圆心多远，与消元后二次方程的根数一致

竖直直线也能代入消元，但不能用不存在的斜率k表示。消元后还要检查式子是否仍为二次、解能否代回原条件；判别式只处理得到的那一个二次方程。

08 立体几何：画出来的角，未必就是空间里的角

纸上的长方体，很多直角看起来都不是90°。立体图是投影，求空间角需要回到空间关系。

空间向量把平面坐标增加一维，数量积仍然好用：a·b＝aₓbₓ＋aᵧbᵧ＋a_zb_z。两条直线的方向向量为u、v时，取几何中的较小夹角θ：

用绝对值，是因为同一条直线可以选两个相反的方向向量。平面的法向量n则是与这个平面垂直的非零向量。直线与平面的夹角φ满足：

线面角与直线、法线之间的较小夹角互为余角，所以这里用正弦。两个平面的夹角取0°到90°时，可以对两个法向量使用绝对值余弦公式，平行时为0°；题目若指定某个二面角的内侧，还要判断应取哪个角，不能一律取较小角。

图 9 空间角先找正交投影，再用法向量计算

点到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离也很相似：

A、B、C不全为0。例如边长2的正方体，体对角线的方向可取(1，1，1)，底面法向量取(0，0，1)，线面角的正弦是1/√3，角约35.26°，不是图上看起来的45°。

点面距离也来自投影。取平面上一点Q，令n＝(A，B，C)，点P到平面的距离是|n·(P−Q)|/|n|。因为n·Q＋D＝0，分子就化成|Ax₀＋By₀＋Cz₀＋D|。平面的方程整体乘一个非零常数，不改变这个距离；与二维点线距离的归一化是同一个道理。

用几何语言判断线面垂直时，“垂直于平面内两条相交直线”是常用充分条件。只垂直于平面内一条线，通常还不够。

体积公式则把底面积和垂直高度联系起来。底面积为B，高为h：柱体V＝Bh，锥体V＝Bh/3。由同一个锥体平行截取得到的台体，上、下底面积B₁、B₂满足：

直圆柱半径r，高h，总表面积2πr²＋2πrh；直圆锥母线长l，总表面积πr²＋πrl，且l²＝r²＋h²。直圆台侧面积是π(R＋r)l，再加两个底面积才是总表面积。侧面积中的母线长l，不能拿垂直高度h代替。

球的半径为r时，表面积4πr²，体积4πr³/3。半径变为原来的2倍，面积变成4倍，体积变成8倍。量纲也能帮忙自查：面积式应是长度的平方，体积式应是长度的立方。

09 复数：多一个方向，乘法也能表示转动

方程x²＋1＝0在实数范围内没有解。引入满足i²＝−1的虚数单位后，复数写成z＝a＋bi，其中a、b为实数。

复数平面上，a是横坐标，b是纵坐标；共轭复数是a−bi，相当于关于实轴反射。模是点到原点的距离：

加减法分别合并实部、虚部。乘法按分配律展开，再把i²换成−1。例如(1＋2i)(3−i)＝5＋5i。除法可以同乘分母的共轭：

再看一个很直观的乘法：i(a＋bi)＝−b＋ai。点(a，b)变成(−b，a)，恰好逆时针转90°，长度不变。连续乘两次i，相当于转180°，得到原数的相反数，这也把i²＝−1连到了几何上。

若继续写成极坐标形式，非零复数z＝r(cosθ＋i sinθ)，相乘时模相乘、辐角相加；这一结论可由三角和角公式推出。它是很好的深化入口，但“画出了转动”本身还不是对任意复指数公式的证明。

具体展开一次，设两个非零复数z₁＝r₁(cosα＋i sinα)、z₂＝r₂(cosβ＋i sinβ)，其中r₁、r₂均大于0，有：

实部与虚部恰好组成两条和角公式。辐角按2π的整数倍视为等价，零复数没有确定辐角。比如(1＋i)²＝2i：模从√2乘成2，辐角从π/4加成π/2。

图 10 复数乘法把模相乘、角相加，与三角和角式相接

欧拉篇继续把cosθ＋i sinθ写成eⁱθ，需要复指数的定义与论证；本节停在可由复数运算和三角恒等式直接验证的位置。这样既看见延伸方向，也没有把大学拓展冒充所有高中公式的先决条件。

10 排列、组合与二项式：先决定顺序算不算不同

从5个人里选3个人组成小组，和选出第一、第二、第三名，是两种计数任务。

从n个不同对象里不重复选k个，考虑顺序用排列，不考虑顺序用组合：

n、k为整数，0≤k≤n，约定0!＝1。选3人小组有C₅³＝10种；安排三个不同名次有A₅³＝60种。两者相差3!，因为同一组三个人可以排出6种次序。

计数之前先分清“分类”和“分步”：互不重叠的方案类别相加；完成一件事需要接连选择、且每步可选数已明确时相乘。若分成的类别有重叠，需要扣掉重复部分；若后一步的选择数随前一步变化，就要分类细算。

二项式定理中的组合数，也有具体来历：

这条有限展开要求n是非负整数。把n个(a＋b)相乘，某一项里要出现k个b，就得从n个括号中选k个取b，其余取a，所以系数是Cₙᵏ。

例如(a＋b)³的系数为1、3、3、1。中间的3不是凭空出现的：选一个括号取b有3种，选两个也有3种。

令a＝b＝1，可以得到所有组合数之和；令a＝1、b＝−1，则得到奇偶交替的和：

第一式也可以直接数：n个对象各有“选、不选”两种状态，共2ⁿ个子集。一次展开、一次分类计数，给出了同一结果。

杨辉三角里，每个内部数等于上方相邻两数之和，对应Cₙᵏ＝Cₙ₋₁ᵏ₋₁＋Cₙ₋₁ᵏ。可以想成“选出的k个人里，某个指定的人在或不在”，两类恰好不重不漏。

图 11 从四次选择的位置数，走到二项分布的概率

图中的1、4、6、4、1是四次试验各成功次数对应的次序数。只有再乘上每种次序的概率，才成为下一节的概率分布；计数系数本身还不是概率。

11 概率与统计：算可能性，也看信息从哪里来

古典概型把有限、等可能的基本结果逐个数清，事件A的概率等于有利结果数除以总结果数。等可能是条件。 把“下雨、不下雨”列成两种结果，不能因此说下雨概率就是一半。

一般事件相加时要扣除重叠；知道B已经发生后，讨论范围缩到B内：

掷一枚公平骰子，A表示“点数大于4”，B表示“点数为偶数”。原来A的概率是2/6；知道B后，只剩2、4、6三个等可能结果，满足A的只有6，所以条件概率是1/3。这一例恰好没有改变A的概率，换成A表示“大于3”，则会从1/2变成2/3。

图 12 已知偶数后，概率的分母缩到三个可能结果

独立意味着P(A∩B)＝P(A)P(B)，互斥意味着P(A∩B)＝0。两件概率都大于0的互斥事件不独立：一件发生，另一件就被排除了。

条件概率还可以反向。若H₁至Hₘ互斥且覆盖全部情形，先验均为正，并且P(E)＞0，则：

分母来自对E各种来源的分类相加，分子是其中一类。这就是贝叶斯公式与全概率公式的连接，并不要求假设与证据独立。

例如设零件缺陷率1%，检出率90%，合格品误报率5%，按一万件构造件数，会有90件真报警、495件误报警。报警后有缺陷的概率为90/(90＋495)≈15.38%。这里全部是教学参数，不是真实生产或医疗数据；检出率是已知有缺陷时报警的概率，不是报警后有缺陷的概率。贝叶斯专题深入讨论了重复证据和参数不确定性，此处保留的是高中条件概率能够支持的这条推导线。

重复n次相互独立、每次成功概率同为p的试验，成功次数X服从二项分布。先取n为正整数、0＜p＜1：

例如公平硬币独立抛4次，恰好2次正面的概率是6/16＝3/8。p＝0或1时，成功次数分别恒为0或n；无需把端点代入含0⁰的写法。组合数数的是哪些位置出现正面，后面的乘积给出某一种具体次序的概率。抽取后不放回时，各次通常不独立，不能自动套二项分布。

不放回抽样可以直接数同样大小的子集。总体N件，其中M件为目标类，等可能不放回抽n件，目标件数X满足超几何分布：

N、M、n是整数，N≥1、0≤M≤N、0≤n≤N；k从max(0，n−N＋M)到min(n，M)。例如5件中有2件目标类，抽2件恰好抽到1件的概率是C₂¹C₃¹/C₅²＝3/5。若每次放回后独立重抽，才可用n＝2、p＝2/5的二项模型，结果变成12/25。抽法变了，概率也变了。[4]

若有限取值的离散随机变量X以概率pᵢ取值xᵢ，其中pᵢ≥0且总和为1，它的期望和方差为：

期望是按概率加权的平均，未必是一次试验能够取到的值。公平骰子的期望为3.5，但没有“掷出3.5点”这件事。二项分布的期望np、方差np(1−p)，分别描述中心位置与波动大小。

期望对加法是线性的，不要求独立；方差直接相加则需要控制关联。对方差有限的变量：

这里Cov(X，Y)＝E[(X−E(X))(Y−E(Y))]，叫协方差。独立时它为0；协方差为0通常不足以推出独立。

把每次成功记为1、失败记为0，二项计数就是n个这样的指标变量之和。每项期望p、方差p(1−p)，独立使交叉的协方差为0，因此得到np与np(1−p)。不放回抽样改变了关联，不能只因每次都可写0或1，就把方差照搬过来。

从概率模型回到数据：中心、波动与拟合

对实际收集到的数据x₁至xₙ，常见的描述性均值、方差写法是：

标准差是方差的平方根，与原数据单位相同。这里的分母n用于描述这组数据；统计推断中估计总体方差还会遇到分母n−1的版本，要按任务区分。均值相同的两组数据，分散程度可能很不一样；少数极端值还会明显拉动均值，此时中位数可以补充另一种信息。

对n≥1个数据，展开平方并利用Σ(xᵢ−x̄)＝0，有：

第二式说明，所有常数c中，取样本均值时平方偏差和最小。统计中的均值，也能由一个配方求最小值的问题得到。

例如三组教学数据(2，2，2)、(1，2，3)、(0，2，4)，均值都是2，描述性方差依次为0、2/3、8/3。只报均值会丢掉分散程度；数值都加10时方差不变，都乘3时方差变成9倍。

图 13 均值相同的数据可以有不同波动，平方偏差刻画差别

精确代数中，两种方差写法相同；浮点计算接近的大数相减时可能损失精度，不能把代数等价误当成任何计算环境里都同样稳定。

若随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，μ为均值，σ为标准差。标准化Z＝(X−μ)/σ把中心移到0、标准差改为1，σ必须大于0。约68.27%、95.45%、99.73%的概率分别落在均值两侧1、2、3个标准差以内；这些比例属于正态模型。实际总体若只是近似正态，相应比例也只是近似，不能套给任意一组数据。

抽样的方法同样影响结论。只问愿意主动回答的人，样本再大，也可能系统性漏掉另一群人。样本量增加能减少某些随机波动，却不会自动消除选择偏差。

进一步查阅：回归与独立性检验。 它们在不同教材中的位置有所不同。只想了解概率与数据波动的读者，可以先到第12节；需要拟合或检验时，再回来看这里。对带截距的一元线性最小二乘回归：

得到的直线为ŷ＝â＋b̂x，分母要求样本中的x不全相同。先固定斜率b，对截距配方，最优截距为ȳ−bx̄；代入后，剩下的是Σ[(yᵢ−ȳ)−b(xᵢ−x̄)]²，再对b配方，便得到上式。

例如教学点(1，1)、(2，2)、(3，2)，均值点为(2，5/3)，拟合斜率为1/2、截距为2/3，竖直残差平方和为1/6。这条直线经过均值点，却不必经过每个样本点。这里最小化的是竖直残差，不是点到直线的垂直距离；拟合也不自动证明因果或样本范围外的规律。[5]

列联表的独立性检验，会比较实际频数O与独立假设下的期望频数E：

求和遍历各单元格，E由行、列合计在独立假设下计算，必须为正并满足所用近似检验的频数要求。具体地，Eᵢⱼ＝第i行合计×第j列合计/样本总数。对r行c列、未增加其他拟合约束的通常列联表，参考卡方分布的自由度为(r−1)(c−1)。还要求观测相互独立、抽样方式适合该检验；采用所有期望频数至少为5的常见教材门槛时，小频数表应换用适当方法，而不是硬套近似。[6]

构造一个2×2教学表，两行为(20，10)与(10，20)，各行各列合计都是30，总数60。独立假设下四格期望频数均为15，χ²＝4×25/15＝20/3。它衡量观察与独立模型的偏离；是否拒绝还要事先确定显著性水平。拒绝不能推出因果，未拒绝也不等于已经证明独立。

12 导数：这一刻变得多快，哪里可能达到最值

平均速度是某段时间内的位移除以所用时间；求瞬时速度，则把这段时间不断缩短。导数采用同样的想法：

x₀是考察的位置，h是非零增量。极限存在且有限时，得到该点的导数。图像上，它是切线斜率；在附近，可以用直线近似函数：

这是局部近似，离得远以后，误差可能明显增加。以x²为例，在x＝2处，导数是4，切线近似给出(2＋h)²≈4＋4h；真正的值还多了h²。h＝0.1时，这个遗漏是0.01。

图 14 切线保留一阶变化，二次函数的偏差恰好为增量平方

常用求导关系可以放在一起查阅：

常数的导数为0；三角函数的这组简洁公式以弧度为单位。更一般的幂函数，使用求导式时要同时看定义域和该点是否可导。

设u、v是关于x的函数，和、积、商以及复合关系分别处理：

这些式子要求相应函数在讨论点可导，复合求导的学习深度按所用教材掌握。由它还能得到(aˣ)'＝aˣln a，以及(logₐx)'＝1/(x ln a)，其中a＞0、a≠1，后式还要求x＞0。

在一个区间上处处可导，若导数始终大于0，函数严格递增；始终小于0，则严格递减。前者是充分条件，不是必要条件：x³严格递增，却在0处导数为0。这里“区间”不能省掉，前面的1/x已经给出定义域不连通的提醒。[7]

可导函数在内部点取得极值，导数必须为0；反过来不成立。|x|在0处取得最小值但不可导，说明求最值还要考虑尖点。连续函数在闭且有界的区间上能取得最大、最小值，比较候选时检查端点、内部驻点和不可导点；不能漏掉连续性，就对任意闭区间函数作同样保证。

还可以用导数证明一条贯穿指数与对数的界：对x＞0，令g(x)＝x−1−ln x，则g′(x)＝1−1/x。它在(0，1)递减、在(1，∞)递增，最小值g(1)＝0，于是ln x≤x−1，等号仅在x＝1成立。

导数不只负责画切线，也能证明不等式、比较增长、检查近似。泰勒篇继续研究高阶变化和余项；一阶直线近似则已经是这里的基本工具。

13 积分拓展：变化怎样接到累积

这一段属于高中到大学的拓展。

速度告诉我们某一刻变化得多快；把一小段一小段的变化累积起来，可以求位置变化。定积分表达这样的有符号累积。速度为负的部分，对位移贡献为负；求总路程则要积累速度的绝对值。

若f在所讨论区间连续，定义从固定起点a到x的累积量F(x)，微积分基本定理告诉我们：

而若G是f的一个原函数，即G′＝f，则：

例如从0到2累积x²，结果是8/3。导数与积分能接在一起，有明确的条件和理由；有限张图上的“看起来吻合”只能帮助理解，不能代替一般证明。

有符号累计还需要注意方向。取一维教学运动，t以秒计，v(t)＝2t−2以米/秒计，观察0到2秒：

前一秒向负方向走1米，后一秒向正方向走1米，回到起点，所以位移为0，路程为2米。求和时已经遇到“每项究竟是什么”，积分也一样，符号和单位都不能略去。

图 15 同一速度曲线，净位移与总路程累积的量不同

微积分基本定理把局部变化与整体累计接起来；使用它仍要检查连续性或适当的可积条件。[8]

收束：把三条路线实际走通

同一个最值，用三种方法互相校验

回到周长20米的长方形。令一边为x米，另一边为10−x米，0＜x＜10，面积A(x)＝x(10−x)。

基本不等式与配方分别给出：

前一种利用两边非负、和固定，等号要求x＝10−x；后一种直接把离5的偏差写成平方。两者都在x＝5处取到25。

求导得到A′(x)＝10−2x，它在x＜5时为正、x＞5时为负，因而得到同一最大值。三种方法的工作不同：不等式给上界，配方显示偏离最优点的代价，导数说明变化方向。

图 16 面积最大值25，对应等号成立、平方为零与导数变号

如果题目另规定一边不能超过4米，取0＜x≤4，三种方法也应随之调整。此时最大值为24，在x＝4处取得；25仍是上界，却已经不能达到。边界条件改变后，结论需要跟着重算，不能只把熟悉的答案带回来。

同一个平方，连接几何与数据

向量长度的平方展开产生数量积与余弦定理，点到直线的距离由投影得到，联立方程的判别式又与相切条件一致。到了统计，平方偏差求和通过配方得到均值，继续对截距和斜率优化便进入最小二乘。

这些章节并非共用了一个巧合的符号。平方展开中的交叉项、长度和偏差，正在反复承担可比较、可优化的任务。

同一条变化，连接当前值、累计量与未来判断

等比数列说明每步如何变化，求和说明已经累计多少，对数反求需要几步；导数检查此刻变化的快慢，积分累积整段过程。计数先明确基本结果，概率再赋予权重，条件概率改变讨论范围，统计则用实际数据检验模型是否相容。

如果把本系列已经展开的专题放回地图，它们各有位置：

这些专题可以继续深读，却不是理解本篇主干的必读前置。遇到陌生问题时，先写下所求对象，再检查条件，最后选择一种表示。代数、图像和概率语言能够相互核对时，公式才从一串记号变成了可使用的方法。

最初那块长方形并没有三种不同的最大面积。我们只是换了三个角度，看清同一个约束下，为什么正方形达到最优。高中数学里，值得反复寻找的正是这样的联系。

参考资料

以下资料均可按标题检索。例子、推导顺序与配图独立编写；构造的数据仅用于解释数学，不是实际抽样、质量检测或学习效果测量。高中课程的具体范围与符号，以所用教材为准。

[1] OpenStax，Precalculus 2e，第1—4章函数、复数、二次关系、指数与对数；第11章数列、求和、计数与二项式。主干公式核对；文中的变形、等价条件和最值例子另行演算。

[2] OpenStax，Precalculus 2e，8.1 Non-right Triangles: Law of Sines、8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines、8.8 Vectors。三角、坐标与数量积的连接。

[3] OpenStax，Precalculus 2e，10.1 The Ellipse、10.2 The Hyperbola、10.3 The Parabola。圆锥曲线定义；抛物线采用本文明确给出的y²＝2px约定，避免与资料中的4p参数混用。

[4] OpenStax，Introductory Statistics 2e，3.1 Terminology、3.2 Independent and Mutually Exclusive Events、3.3 Two Basic Rules of Probability、4.3 Binomial Distribution、4.5 Hypergeometric Distribution。条件、计数与分布；总体和样本参数按正文定义。

[5] OpenStax，Introductory Statistics 2e，2.7 Measures of the Spread of the Data、6.1 The Standard Normal Distribution、12.3 The Regression Equation。描述性方差、标准化及最小二乘；样本量分母的不同任务分别说明。

[6] OpenStax，Introductory Statistics 2e，11.3 Test of Independence。列联表期望频数、自由度及近似检验前提。

[7] OpenStax，Calculus Volume 1，3.1 Defining the Derivative、4.3 Maxima and Minima、4.5 Derivatives and the Shape of a Graph。导数、连续性、候选极值与单调性。

[8] OpenStax，Calculus Volume 1，5.3 The Fundamental Theorem of Calculus。连续累积与原函数，仅作拓展，不作为高中主干全体读者的先修要求。

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