夜雨聆风一、选择题
1．如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A．9cm2B．24cm2
C．45cm2D．51cm2
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
3．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1B．
C．
D．2
4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4．以AB、BC、AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°
B．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
C．△ABC是直角三角形，且AC是它的斜边
D．△ABC的面积为60
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＝b，则|a|＝|b|
B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0
D．有两边相等的三角形是等腰三角形
7．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
8．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣5，0）
C．（0，1）D．（﹣1，0）
二、填空题
9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，则AC的长为 ．
10．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 ．
11．如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．
12．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要
三、解答题
13．（10分）若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
14．（10分）根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．这辆小汽车超速了吗？
15．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝
AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
16．（12分）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．
（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
（3）利用图2中的直角梯形中线段BC与AD的大小关系，可以证明
＜
．请完成其证明．
17．（14分）能构成为直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数的公式为：
，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
（1）当m＝5，n＝3时，求这个三角形的面积．
（2）当m＝5+t，n＝5﹣t时，计算三角形的周长（用含t的代数式表示），并直接写出符合条件的三角形的周长值．
答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | A | C | B | B | D | B | D |
二、填空题
9．4.55．
10．直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
11．
．
12．解：将长方体展开，如图，连接A、B′，
∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
∴根据两点之间线段最短，AB′＝
＝10cm．
三、解答题
13．解：（1）由题意得a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
所以a＝5，b＝12，c＝13．
（2）△ABC是直角三角形，
理由：因为a2+b2＝52+122＝25+144＝169，c2＝132＝169，
所以a2+b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
14．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
BC＝
＝40（m），
∴小汽车的速度为v＝
＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
15．解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB＝BC＝CD＝AD＝4a．
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝2a．
∵AN＝
AD，AD＝4a，
∴AN＝a，DN＝3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM2+AN2＝MN2，且AM＝2a，AN＝a，
∴MN＝
a．
同理可得：MC＝
a，NC＝5a．
∵MN2+MC2＝（
a）2+（
a）2＝25a2，NC2＝（5a）2＝25a2，
∴MN2+MC2＝NC2，
∴△CMN是直角三角形．
16．解：（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB＝∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴
（a+b）（a+b）＝
ab+
ab+
c2，
整理，得a2+b2＝c2．
（3）∵AD＝
c，BC＜AD，
∴a+b＜
c，即
＜
．
17．解：（1）当m＝5，n＝3时，
∵a＜b＜c，
∴长度为a，b的边是直角边，
这时三角形的面积为：
；
（2）
当m＝5+t，n＝5﹣t时，
m+n＝10，
a+b+c＝10（5+t）＝10t+50，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数可知，
∴t＝2，
∴a+b+c＝10×2+50＝70，
符合条件的三角形的周长 为70．
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