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今天聊"函数的运算"——函数也能做加减乘除？没错，而且其中藏着一个非常漂亮的定理。
加乘之外还有"拆"——把任意函数拆成一个偶函数加一个奇函数，这个结论太优雅了。咱们一步步来。
先说基本概念。设函数 f 括号 x 和 g 括号 x 的定义域分别是 D 下标 f 和 D 下标 g，如果它们的交集 D 不为空集，那就可以对这两个函数做运算。
对，一共有四种运算——
第一，和与差：f 加减 g 括号 x 等于 f 括号 x 加减 g 括号 x，x 属于 D。就是把同一点的两个函数值加减。
第二，积：f 乘 g 括号 x 等于 f 括号 x 乘以 g 括号 x，x 属于 D。两个函数值相乘。
第三，商：f 除以 g 括号 x 等于 f 括号 x 除以 g 括号 x，但定义域要额外去掉 g 括号 x 等于 0 的那些点。也就是说，x 属于 D 减去集合大括号 x 竖线 g 括号 x 等于 0，x 属于 D。
简单说——和、差、积的定义域就是两个函数定义域的交集；商的定义域在交集的基础上，还要挖掉分母为零的那些点。
没错！四则运算的核心原则就是：定义域取交集，运算对函数值逐点进行。商运算多一步——排除分母为零的点。
这个规则其实和数的运算一模一样——两个数能加就能加，能乘就能乘，但除法分母不能为零。函数只是把这个规则"逐点"推广了。
接下来是今天的主角——例11。设函数 f 括号 x 的定义域为开区间负 l 到 l，证明必存在这个区间上的偶函数 g 括号 x 及奇函数 h 括号 x，使得 f 括号 x 等于 g 括号 x 加 h 括号 x。
这道题的意思是：任何定义在原点对称区间上的函数，都可以拆成一个偶函数和一个奇函数之和。这个结论非常深刻。
怎么证明呢？
教材用的是"分析—构造"法。先不急着证明，而是先"假设"这样的 g 和 h 存在，看能不能推出它们长什么样，然后再验证。
好，假设 f 括号 x 等于 g 括号 x 加 h 括号 x，其中 g 是偶函数——g 括号负 x 等于 g 括号 x，h 是奇函数——h 括号负 x 等于负 h 括号 x。
对。把 x 换成负 x，得到 f 括号负 x 等于 g 括号负 x 加 h 括号负 x 等于 g 括号 x 减 h 括号 x。
现在我们有两个方程：f 括号 x 等于 g 括号 x 加 h 括号 x，f 括号负 x 等于 g 括号 x 减 h 括号 x。
两个方程，两个未知数 g 括号 x 和 h 括号 x——解方程组！
没错！第一个方程加第二个方程，2 倍的 g 括号 x 等于 f 括号 x 加 f 括号负 x，所以 g 括号 x 等于 2 分之 1 乘以中括号 f 括号 x 加 f 括号负 x。
第一个方程减第二个方程，2 倍的 h 括号 x 等于 f 括号 x 减 f 括号负 x，所以 h 括号 x 等于 2 分之 1 乘以中括号 f 括号 x 减 f 括号负 x。
这就是 g 和 h 的构造！但光构造出来不够，还得验证。
对，要验证三件事——
第一，g 加 h 等于 f：g 括号 x 加 h 括号 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号 x 加 f 括号负 x 加 2 分之 1 乘以括号 f 括号 x 减 f 括号负 x，两个 f 括号 x 相加得 f 括号 x，f 括号负 x 一加一减消掉，结果就是 f 括号 x。✓
第二，g 是偶函数：g 括号负 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号负 x 加 f 括号 x 等于 g 括号 x。因为加法可交换，f 括号负 x 加 f 括号 x 和 f 括号 x 加 f 括号负 x 是同一件事。✓
第三，h 是奇函数：h 括号负 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号负 x 减 f 括号 x，而负 h 括号 x 等于负 2 分之 1 乘以括号 f 括号 x 减 f 括号负 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号负 x 减 f 括号 x，两者相等。✓
三项验证全部通过！所以结论成立——任何定义在关于原点对称区间上的函数，都可以唯一地分解为一个偶函数和一个奇函数之和。
而且这个分解还是唯一的！因为两个方程两个未知数，解是唯一的——不存在另一种拆法。
我来打个比方。偶函数就像一个人"对称"的那部分——左右脸的共同特征；奇函数就像"反对称"的那部分——左右脸的差异。任何一张脸，都能拆成"对称模板"加上"左右偏差"，而 g 和 h 就是这两个分量。
这个比喻太妙了！在信号处理里，这叫"偶部分"和"奇部分"分解，是非常基础的工具。数学上的本质是：定义在对称区间上的函数空间，可以分解为偶函数子空间和奇函数子空间的直和。
习题16，这是一道几何与函数结合的好题。xOy平面上有正方形 D 等于大括号括号 x, y 竖线 0 小于等于 x 小于等于 1，0 小于等于 y 小于等于 1，以及直线 l 是 x 加 y 等于 t，t 大于等于 0。S 括号 t 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，求 S 括号 t 与 t 之间的函数关系。
先想象画面——一个边长为 1 的正方形，左下角在原点，右上角在括号 1, 1。一条直线 x 加 y 等于 t 从左下方向右上方"扫"过去。随着 t 从 0 增大，直线从左下角出发，逐渐穿过正方形，最终完全覆盖。S 括号 t 就是直线左下方那块面积。
那显然要分情况讨论——直线和正方形的相对位置不同，面积的形状就不同。
对，分三种情况——
第一种，t 在 0 到 1 之间。此时直线只在正方形的左下角"切"出一个等腰直角三角形。三角形的两条直角边长度都是 t，所以面积等于 2 分之 1 乘以 t 的平方。
第二种，t 在 1 到 2 之间。此时直线已经穿过正方形的右上角区域，左下方的面积不再是三角形，而是正方形减去右上角的一个三角形。右上角的三角形也是等腰直角三角形，两条直角边长度都是 2 减 t，面积等于 2 分之 1 乘以括号 2 减 t 的平方。所以 S 括号 t 等于 1 减 2 分之 1 乘以括号 2 减 t 的平方。展开化简：2 减 t 的平方等于 t 的平方减 4t 加 4，所以 S 等于 1 减 2 分之 1 乘以 t 的平方加 2t 减 1 等于负 2 分之 1 乘以 t 的平方加 2t 减 1。
第三种，t 大于 2。此时直线已经完全越过正方形，左下方覆盖了整个正方形，面积就是 1。
所以最终结果是——
当 t 大于等于 0 且小于等于 1 时，S 括号 t 等于 2 分之 1 乘以 t 的平方；
当 t 大于 1 且小于等于 2 时，S 括号 t 等于负 2 分之 1 乘以 t 的平方加 2t 减 1；
当 t 大于 2 时，S 括号 t 等于 1。
没错！这是一个分段函数，三段各有各的规律。我们还可以验证几个关键点——
当 t 等于 0 时，直线过原点，左下方面积为 0，公式给 2 分之 1 乘以 0 等于 0，正确。
当 t 等于 1 时，直线过点括号 1, 0 和括号 0, 1，左下方是正方形的下半三角，面积 2分之 1。第一段公式给 2 分之 1 乘以 1 等于 2 分之 1，正确。
当 t 等于 2 时，直线过点括号 2, 0 和括号 0, 2，已经越过整个正方形，面积应为 1。第二段公式给负 2 分之 1 乘以 4 加 4 减 1 等于负 2 加 4 减 1 等于 1，正确。
端点连续，过渡自然——分段函数写得好不好，端点验证是关键。
还可以从图形角度理解这个函数的"形状"——第一段是抛物线上升，从 0 到 2 分之 1；第二段也是抛物线但开口向下，从 2分之 1 到 1，增速放缓；第三段是常数 1，达到饱和。整个过程就像往方形容器里注水——一开始水面积加速增大，然后减速，最后注满了。
今天的内容覆盖了函数运算的三个层面，我来总结——
第一，函数的四则运算：和差积的定义域是两个函数定义域的交集，商的定义域要额外排除分母为零的点。运算规则与数的运算一致，只是"逐点"进行。
第二，函数的奇偶分解——这是今天最核心的结论：任何定义在关于原点对称区间上的函数，都可以唯一地分解为一个偶函数加一个奇函数。构造公式是——g 括号 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号 x 加 f 括号负 x，h 括号 x 等于 2 分之 1 乘以括号 f 括号 x 减 f 括号负 x。证明方法是先假设存在、推出构造、再验证三条性质。
第三，几何驱动的分段函数：习题16 通过直线扫过正方形的几何过程，自然地产生了三段式分段函数。关键技巧是：分情况讨论几何形态，逐段求面积，端点验证连续性。
我再补充一点——例11 的重要性远超这道题本身。奇偶分解的思想贯穿整个数学：傅里叶级数把信号分解为正弦和余弦分量，本质上就是奇偶分解在无穷维空间的推广；量子力学中波函数也可以分解为偶宇称和奇宇称部分。一个简单的"加法拆分"，背后是极为深远的数学结构。
函数的运算，加乘之外还有"拆"——你学会了吗？咱们下期见！
下期见！
