幂级数:精选习题

阅读须知：

1.本文较长，一共8题，如有错漏请指出;

2.本次选择的习题均是我做过的认为比较有意义的题目，不见得一定很难或者很简单，请根据自己的需要来学习。

★幂级数第一类经典题目就是求收敛半径和收敛域，步骤总结如下：

★验证x取区间端点级数是否收敛时，用数项级数的判别法。

★这里我们对un进行化简，利用沃利斯不等式进行放缩。不等式的证明在文后附上。

★第二类经典题目是求函数的麦克劳林展开式。方法总结如下：

★下题的方法一在求收敛域时易错，

已知：

★所以x/3<1，于是x<3。当x=-3时，由数项级数的比较判别法，级数发散，因此x∈(-3,3)。

★方法二虽然复合函数求导会麻烦一点，但是在求收敛域的时候不容易出错。

★答案选择在-3到x进行积分的原因是原函数在x=-3时，函数值等于0，于是等号左侧定积分的计算会变得简单，但是等号右侧的计算又变得复杂了。实际上，还是都从0到x积分整体来看更简便，等号左侧代入0是易算的，右侧级数积分也更简单。

★这一题运用裂项，再借助已知麦克劳林展开式的函数。

★下题是对等号右侧的级数拆项，将n=0的一项移到左侧cost处进行合并。

★下题应根据给出的函数的结构特点决定借助什么函数的展开式。这一题还用到广义二项式系数和沃利斯公式。

★接着就是利用幂级数求和。下题结合了计算和证明，是不错的题目。

★这里用到阿贝尔第二定理，还有证明x=1时级数收敛，原因是我们的幂级数收敛域为|x|﹤1，但是我们的原级数是幂级数在x=1时的取值，因此我们需要证明幂级数的和函数在x=1是连续的。可以借助“延拓”来理解整个证明过程。

★这样的做法是严谨的要求，不可省略。其余计算和上一题类似。

★对于(2n-1)!!/(2n)!!，相邻项作比可得它单调递减，利用沃利斯不等式与迫敛性定理可知它趋于零(n→∞)。证明在文后附上。

★第三类题目是求在x=x₀处的泰勒展开式，我们可以通过换元令y=x-x₀，借助已知的麦克劳林公式求出答案。最后不要忘记收敛区间是关于y的，要继续求出x的范围。

★下面这题首先要明确定义域，否则在收敛区间上易出现矛盾。

★求ln(4-x)时，出现单独的一项ln2，这是因为如果用直接法求ln(4-x)的高阶导，会出现(n-1)!，因此需要将n=0的情况单独拿出来，如图：

★而用答案的换元间接法显然简单一些。

★这道题实际上是阿贝尔第二定理关于和函数连续性的推论的逆定理证明：

★阿贝尔第二定理如下：

附：

沃利斯不等式的证明：

先证右侧：

再证左侧：