北京大学数学强基试题-三角函数

题目分析与三种解法

题目：若,是方程  在  上的两个解，求 。

前置知识

辅助角公式：本题：=其中 ,。

方法一：图像对称法（几何直观）

 是正弦型曲线，直线  与曲线交于两点 。 正弦曲线对称轴性质：若两交点横坐标为 ，则两点中点在对称轴上： = = 其中 满足  的极值点满足导数为0： 求导：

令，则 。

由二倍角正切公式：

==

方法二：方程作差+和差化积

由题意：

两式相减：

和差化积：

代入：

，故 ，两边约去：

再二倍角：

方法三：万能代换法

设 ，则 ,。

代入原方程：

整理：

设  对应的 ,，由韦达定理：

目标：，先算 ：

,

相除消分母：

代入韦达： 换一条更简便路径：令 ，由方法二得 ，直接：

结论无论哪种方法，结果一致：

1. 结果与 c 的取值无关，只要方程在 有两个不同解，； 有两个不同解，；

2. 方法二（作差+和差化积）是考试标准最简解法；

3. 方法一利用三角函数图像对称性，理解最快；

4. 方法三万能代换计算量大，适合验证，不推荐考场优先使用。

END