每日一题_椭圆与直线_人教A选必一习题3.1第11题(教材116页)

1. 如图，矩形  中，， ()。 分别是矩形四条边的中点， 是线段  的四等分点， 是线段  的四等分点。证明直线  与 、 与 、 与  的交点  都在椭圆  () 上。

📐 方法一：联立三个方程组（基础通法）

思路： 最朴素的解析几何方法，暴力求解，步步为营。

1. 建立坐标系：以矩形中心为原点， 所在直线为  轴。

• , , , 。
• , , 。
• , , 。

2. 求交点

• 直线 ：过  和 ，方程为 。
• 直线 ：过  和 ，斜率 ，方程为 。
• 联立解得：。

3. 求交点

• 直线 ：。
• 直线 ：斜率 ，方程 。
• 联立解得：。

4. 求交点

• 直线 ：。
• 直线 ：斜率 ，方程 。
• 联立解得：。

5. 验证：

• 将三点坐标代入 ，结果均为 1，得证。

🔍 方法二：类比观察法（结构同构）

思路： 算出  后，观察  的坐标结构，利用对称性快速得出结论。

1. 计算：同方法一，解得 。

• 观察发现： （这里  对应  的分母）。
• 更直观地看： 的形式（其中  与斜率有关）。

2. 类比推导：

• 对于 ，直线  的斜率是  的 2 倍（因为  是  的 2 倍远）。
• 设  斜率对应参数 ，则  对应 。
• 直接观察  的坐标结构：（取绝对值或调整符号）。
• 同理  对应参数 （因为  是  的 3 倍远）：（需修正，实际是 ，对应参数  或类似关系）。
• 修正观察：直接看坐标数值。 对应勾股数 ； 对应 ； 对应 。
• 这三组都是勾股数，必然满足 （在单位圆下），映射到椭圆即满足方程。

3. 结论：由类比可知，三点坐标均满足椭圆方程。

📐 方法三：斜率关系法（几何性质）

思路： 利用直线  和  的斜率乘积为定值（或特定关系）来解题。

1. 设斜率：

• 设直线  的斜率为 。因为 ，所以 。
• 设直线  的斜率为 。因为 ，所以 。

2. 寻找  关系：

•  在  轴上，令  得 。
•  在  上，令  得 。
• 由题意， 和  是对应的四等分点。
•  分  为 ，故 ，即 。
•  分  为 （从  往下），故 ？不对， 到  是 。 是第一个分点，。
• 代入  方程：。
• 关键关系：。

3. 求交点轨迹：

• 联立 ，消去  得 。
• 消去参数 （利用 ），可推导出交点  满足 。
• 简略推导：，结合  定值，可证。

⚖️ 方法四：截距对称法

思路： 观察直线在  轴上的截距互为相反数（ 和 ），利用对称性。

1. 设直线方程：

2. 利用四等分点关系：

• 。
•  的纵坐标是 ，代入  得 。
• 发现 。

3. 联立求解：

• 两式相加：。
• 两式相减：？不对，是 。
• 代入  解得 ，验证满足椭圆方程。

🌀 方法五：椭圆参数方程法（高阶思维）

思路： 设交点为椭圆上的点，反推其几何位置。

1. 设点：设交点  在椭圆上，令 。
2. 连线 :
• ，斜率 。
• 直线  与  轴交点  的横坐标 ：令 ，得 。
3. 连线 :
• ，斜率 。
• 直线  与  交点  的纵坐标 ：令 ，得 。
4. 验证比例：
• 若  是 ，则  应为  的四等分点，即 。
• 解 。
• 解得 。
• 此时 ，正是点 。
• 同理可证 。

📐 方法六：椭圆万能公式法（代数技巧）

思路： 利用万能公式  将三角函数转化为有理式。

1. 公式回顾：。
2. 设交点：。
3. 求  坐标：
• 直线  过  和 。
• 令 ，解得  （经过化简）。
4. 对应四等分点：
• 对于 ，。
• 。
5. 代回求 :
• 。
• 。
• 得证。