夜雨聆风
费曼技巧拆解：习题1.3 逐题精讲
复习巩固 第1题：A={x|2≤x<4}, B={x|3x-7≥8-2x}，求 A∪B 和 A∩B
费曼第一步：先搞清楚 A 和 B 到底是什么
A = {x | 2 ≤ x < 4}：从 2 到 4 的区间，包含 2 但不包含 4
B 需要解不等式：3x - 7 ≥ 8 - 2x
移项：3x + 2x ≥ 8 + 7
5x ≥ 15
x ≥ 3
所以 B = {x | x ≥ 3}
费曼第二步：画数轴分析
A 的范围：[2, 4)，从 2 到 4（含 2 不含 4）
B 的范围：[3, +∞)，从 3 到正无穷（含 3）
费曼第三步：求 A∪B（合并）
A 从 2 开始，B 从 3 开始，B 延伸到无穷。
合并后：从 2 开始，延伸到无穷。
答案：A∪B = {x | x ≥ 2}
费曼第四步：求 A∩B（找共同）
A 和 B 的重叠部分：从 3 到 4（含 3 不含 4）
答案：A∩B = {x | 3 ≤ x < 4}
费曼提醒：遇到不等式形式的集合，先解不等式，再画数轴，最后看合并或重叠。
复习巩固 第2题：A={x|x是小于9的正整数}, B={1,2,3}, C={3,4,5,6}，求多个运算
费曼第一步：搞清楚各个集合
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}（小于 9 的正整数）
B = {1, 2, 3}
C = {3, 4, 5, 6}
费曼第二步：逐个求解
① A∩B
A 和 B 都有的元素：1, 2, 3
答案：A∩B = {1, 2, 3} = B
费曼解读：B 的元素都在 A 里，所以 B ⊆ A，A∩B = B。
② A∩C
A 和 C 都有的元素：3, 4, 5, 6
答案：A∩C = {3, 4, 5, 6} = C
费曼解读：C 的元素也都在 A 里，所以 C ⊆ A，A∩C = C。
③ A∩(B∪C)
先求 B∪C：B 和 C 合并 = {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
再求 A∩(B∪C)：A 和 {1,2,3,4,5,6} 的共同元素 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
答案：A∩(B∪C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
④ A∪(B∩C)
先求 B∩C：B 和 C 都有的元素 = {3}
再求 A∪{3}：A 已经包含 3，所以 A∪{3} = A
答案：A∪(B∩C) = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
复习巩固 第3题：运动会问题
A={参加100m跑的同学}, B={参加200m跑的同学}, C={参加400m跑的同学}
规则：每个同学最多只能参加两项比赛。
费曼第一步：用集合运算说明规则
"最多参加两项"意味着：不能有人同时参加三项。
同时参加三项的同学 = A∩B∩C
所以规则是：A∩B∩C = ∅（没有人同时参加三项）
费曼第二步：解释集合运算的含义
（1）A∪B
A∪B 是"参加100m跑或200m跑的同学"。
答案：A∪B = {x | x 是参加100m跑或200m跑的同学}
（2）A∩C
A∩C 是"既参加100m跑又参加400m跑的同学"。
答案：A∩C = {x | x 是既参加100m跑又参加400m跑的同学}
综合运用 第4题：A={x|3≤x<7}, B={x|2<x<10}，求补集相关运算
费曼第一步：画数轴搞清楚 A 和 B
A = [3, 7)：从 3 到 7（含 3 不含 7）
B = (2, 10)：从 2 到 10（不含 2 和 10）
费曼第二步：先求 A∪B 和 A∩B
A∪B：合并后从 2 到 10（不含端点）= (2, 10)
A∩B：重叠部分从 3 到 7（含 3 不含 7）= [3, 7)
费曼第三步：求各个补集
① ∁ᵣ(A∪B)
A∪B = (2, 10)，补集是"不在 (2,10) 里的实数"
答案：∁ᵣ(A∪B) = {x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}
② ∁ᵣ(A∩B)
A∩B = [3, 7)，补集是"不在 [3,7) 里的实数"
答案：∁ᵣ(A∩B) = {x | x < 3 或 x ≥ 7}
③ (∁ᵣA)∩B
∁ᵣA = {x | x < 3 或 x ≥ 7}
B = (2, 10)
(∁ᵣA)∩B：在 B 里但不在 A 里的部分
B 的范围是 (2, 10)，其中不在 A=[3,7) 里的部分是：(2, 3) 和 [7, 10)
答案：(∁ᵣA)∩B = {x | 2 < x < 3 或 7 ≤ x < 10}
④ A∪(∁ᵣB)
∁ᵣB = {x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}
A = [3, 7)
A∪(∁ᵣB)：A 和 ∁ᵣB 合并
答案：A∪(∁ᵣB) = {x | x ≤ 2 或 3 ≤ x < 7 或 x ≥ 10}
综合运用 第5题：A={(x-3)(x-a)=0}, B={(x-4)(x-1)=0}，求 A∪B 和 A∩B
费曼第一步：搞清楚 A 和 B
B：(x-4)(x-1) = 0 → x = 4 或 x = 1
B = {1, 4}
A：(x-3)(x-a) = 0 → x = 3 或 x = a
A = {3, a}（a 是参数）
费曼第二步：分类讨论
因为 a 的值不确定，需要分情况讨论。
情况1：a = 1
A = {3, 1}，B = {1, 4}
A∪B = {1, 3, 4}，A∩B = {1}
情况2：a = 4
A = {3, 4}，B = {1, 4}
A∪B = {1, 3, 4}，A∩B = {4}
情况3：a = 3
A = {3}（两个根相同），B = {1, 4}
A∪B = {1, 3, 4}，A∩B = ∅
情况4：a ≠ 1 且 a ≠ 4 且 a ≠ 3
A = {3, a}，B = {1, 4}，A 和 B 没有共同元素
A∪B = {1, 3, 4, a}，A∩B = ∅
费曼总结：含参数的集合问题，一定要分类讨论！根据参数不同取值，集合的元素可能不同。
拓展探索 第6题：U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}, A∩(∁ᵤB)={1,3,5,7}，求 B
费曼第一步：理解题意
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}（0 到 10 的自然数）
U = A∪B（A 和 B 合起来是全集）
A∩(∁ᵤB) = {1, 3, 5, 7}
费曼第二步：分析 A∩(∁ᵤB) 的含义
∁ᵤB 是"在 U 里但不在 B 里的元素"。
A∩(∁ᵤB) 是"在 A 里但不在 B 里的元素"。
所以 {1, 3, 5, 7} 这些元素：在 A 里，但不在 B 里。
费曼第三步：推理 B 的元素
因为 U = A∪B，所以 U 中的每个元素要么在 A 里，要么在 B 里，要么都在。
已知 1, 3, 5, 7 在 A 里但不在 B 里。
那么 U 中剩下的元素 {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10} 必须在 B 里（否则 A∪B 就不是全集了）。
费曼第四步：确定 B
B 必须包含 {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}。
B 可能还包含 {1, 3, 5, 7} 中的一些吗？不可能！因为已知这些元素不在 B 里。
答案：B = {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}
费曼验证：
如果 B = {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10}，那么：
∁ᵤB = {1, 3, 5, 7}
A 必须包含 {1, 3, 5, 7}（因为 A∩(∁ᵤB) = {1, 3, 5, 7}）
A∪B = {1, 3, 5, 7} ∪ {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = U ✓
费曼总结
核心方法：
1. 不等式集合先解不等式，再画数轴
2. 并集画数轴看总覆盖，交集看重叠部分
3. 补集是"剩下的"，全集去掉集合就是补集
4. 含参数问题要分类讨论
5. A∩(∁ᵤB) 表示"在 A 里但不在 B 里"
记住：不等式先解再画数轴；并集合并交集重叠；补集是剩下的；参数要分类；A∩(∁ᵤB)是在A不在B。
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