命题的否定综合训练

费曼技巧 + 得步骤分策略法，逐题拆解不丢分

你有没有过这种经历？

题目看懂了，思路也有了，但写到一半卡住了。后面的步骤不会做，干脆整道题空着不写。

结果成绩出来，发现同类型的题别人拿了满分，你一分没有。

说真的，这太亏了。

今天这篇文章，我把人教版高中数学A版必修第一册1.5节的复习参考题（综合运用+拓展探索部分），用费曼技巧逐题拆解。每道题都完整列出原题，按步骤讲解，一个都不漏。

最后还会教你用「得步骤分策略法」，在考场上把能拿的分全部拿到手。

复习参考题（续）

先看上一题的剩余部分。

(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0

解

这是一个全称量词命题。

5可以被5整除，但5的末位数字不是0，是5。

所以，「所有可以被5整除的整数，末位数字都是0」是假命题。

说人话。能被5整除的数，末位可以是0（比如10、20），也可以是5（比如5、15、25）。所以「末位都是0」是错的。

(3) ∃x∈R，x+1≥0

解

取x=0，0+1=1≥0，成立。

所以，「∃x∈R，x+1≥0」是真命题。

说人话。只要找到一个实数让x+1≥0就行。x=0就满足，甚至x=100也满足。存在量词命题，找到一个就够了。

(4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直

解

菱形的对角线互相垂直，菱形是四边形。

所以，「存在一个四边形，它的对角线互相垂直」是真命题。

说人话。画一个菱形或者正方形，你会发现两条对角线是垂直的。找到一个就够了。

综合运用

第4题 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定

(1) 平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交

解

这是一个全称量词命题。

原命题：平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交。

否定：存在一条直线，它不与x轴相交。

判断真假：

与x轴平行的直线（比如y=3）不与x轴相交。

所以原命题是假命题，否定是真命题。

说人话。水平线y=3跟x轴是平行的，永远不会相交。所以「每条直线都与x轴相交」是假的。否定「存在一条直线不与x轴相交」就是真的。

(2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形

解

这是一个全称量词命题。

原命题：每个二次函数的图象都是轴对称图形。

否定：存在一个二次函数，它的图象不是轴对称图形。

判断真假：

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，抛物线的对称轴是x=-b/(2a)。

所以每个二次函数的图象都是轴对称图形。

原命题是真命题，否定是假命题。

说人话。抛物线一定有对称轴，这是抛物线的基本性质。不管a、b、c取什么值（a≠0），对称轴x=-b/(2a)总是存在的。

(3) 存在一个三角形，它的内角和小于180°

解

这是一个存在量词命题。

原命题：存在一个三角形，它的内角和小于180°。

否定：所有三角形的内角和都不小于180°（即都大于等于180°）。

判断真假：

在平面几何中，任意三角形的内角和都等于180°。不存在内角和小于180°的三角形。

所以原命题是假命题，否定是真命题。

说人话。三角形内角和定理告诉我们，平面内任何三角形的三个内角之和都恰好等于180°。不可能小于180°，也不可能大于180°。所以「存在一个三角形内角和小于180°」是假的。

(4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上

解

这是一个存在量词命题。

原命题：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。

否定：所有四边形的四个顶点都在同一个圆上。

判断真假：

画一个普通的平行四边形（不是矩形），它的四个顶点不在同一个圆上。只有对角互补的四边形（比如矩形、等腰梯形）才有外接圆。

所以原命题是真命题，否定是假命题。

说人话。不是所有四边形都能画出一个圆把它四个顶点包住。比如一个歪歪扭扭的平行四边形，四个顶点就共不了圆。所以「存在一个四边形四个顶点不在同一个圆上」是真的。

第5题 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定

(1) 平行四边形的对角线互相平分

解

改写为全称量词命题：

∀平行四边形，它的对角线互相平分。

否定（存在量词命题）：

∃一个平行四边形，它的对角线不互相平分。

判断真假：

平行四边形的对角线确实互相平分（这是平行四边形的基本性质）。

原命题是真命题，否定是假命题。

说人话。「平行四边形的对角线互相平分」其实省略了「所有的」，完整说法是「所有的平行四边形，对角线都互相平分」。这是真命题，所以否定是假的。

(2) 三个连续整数的乘积是6的倍数

解

改写为全称量词命题：

∀三个连续整数，它们的乘积是6的倍数。

否定（存在量词命题）：

∃三个连续整数，它们的乘积不是6的倍数。

判断真假：

设三个连续整数为n-1，n，n+1。

它们的乘积=(n-1)×n×(n+1)。

三个连续整数中，必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数。

所以乘积一定是2×3=6的倍数。

原命题是真命题，否定是假命题。

说人话。三个连续整数里，一定有一个能被3整除，至少有一个能被2整除。所以乘积一定是6的倍数。比如1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，都是6的倍数。

(3) 三角形不都是中心对称图形

解

这句话的意思是「并非所有三角形都是中心对称图形」。

改写为存在量词命题：

∃一个三角形，它不是中心对称图形。

否定（全称量词命题）：

∀三角形，它都是中心对称图形。

判断真假：

实际上，没有任何三角形是中心对称图形（三角形绕任何点旋转180°都不能与自身重合）。

所以「存在一个三角形不是中心对称图形」是真命题（事实上所有三角形都不是）。

否定「所有三角形都是中心对称图形」是假命题。

说人话。「不都是」的意思就是「有些不是」。三角形确实不是中心对称图形，所以「存在三角形不是中心对称图形」是真的。

(4) 一元二次方程不总有实数根

解

这句话的意思是「并非所有一元二次方程都有实数根」。

改写为存在量词命题：

∃一个一元二次方程，它没有实数根。

否定（全称量词命题）：

∀一元二次方程，它都有实数根。

判断真假：

x²+1=0是一元二次方程，判别式Δ=0-4=-4<0，没有实数根。

所以「存在一个一元二次方程没有实数根」是真命题。

否定「所有一元二次方程都有实数根」是假命题。

说人话。「不总有」就是「有时候没有」。x²+1=0就没有实数根，所以「存在一元二次方程没有实数根」是真的。

拓展探索

第6题 命题的否定与「若p则q」形式

课本原文：

在本节，我们介绍了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假。

在数学中，有很多「若p，则q」形式的命题，有的是真命题，有的是假命题。例如：

① 若x>1，则2x+1>5（假命题）

② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等（真命题）

这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题。

第(1)问

有人认为：

①的否定是「若x>1，则2x+1≤5」

②的否定是「若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等」

你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定。

解

这种写法是错的。

为什么错？

因为「若p，则q」形式的全称量词命题，完整的写法是：

「∀x，若p(x)，则q(x)」

它的否定应该是：

「∃x，p(x)且¬q(x)」

也就是说，否定的不是结论q，而是把「若p则q」变成了「存在p但非q」。

①的正确否定

原命题①：∀x∈R，若x>1，则2x+1>5。

否定：∃x∈R，x>1且2x+1≤5。

也就是：存在一个实数x>1，使2x+1≤5。

验证：取x=1.5，x>1成立，但2×1.5+1=4≤5也成立。

所以否定是真命题（原命题①是假命题，否定就是真的）。

说人话。原命题说「只要x>1，2x+1就一定大于5」。要否定它，只需要找一个x>1但2x+1不大于5的例子。x=1.5就满足：1.5>1，但2×1.5+1=4，4不大于5。

②的正确否定

原命题②：∀四边形，若四边形为等腰梯形，则对角线相等。

否定：∃四边形，四边形为等腰梯形且对角线不相等。

也就是：存在一个等腰梯形，它的对角线不相等。

验证：等腰梯形的对角线一定相等（这是等腰梯形的性质），所以找不到这样的等腰梯形。

否定是假命题（原命题②是真命题，否定就是假的）。

说人话。要否定「所有等腰梯形对角线都相等」，需要找到一个对角线不相等的等腰梯形。但等腰梯形的对角线确实都相等，所以找不到，否定就是假的。

第(2)问

请你列举几个「若p，则q」形式的省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，并判断真假。

解

例1：

原命题：若一个数是偶数，则它能被2整除。

完整形式：∀数，若它是偶数，则它能被2整除。

否定：∃一个数，它是偶数但它不能被2整除。

判断：偶数的定义就是能被2整除的数，所以原命题是真命题，否定是假命题。

例2：

原命题：若x=0，则x²=0。

完整形式：∀x∈R，若x=0，则x²=0。

否定：∃x∈R，x=0且x²≠0。

判断：0²=0，所以原命题是真命题，否定是假命题。

例3：

原命题：若一个四边形是平行四边形，则它是矩形。

完整形式：∀四边形，若它是平行四边形，则它是矩形。

否定：∃四边形，它是平行四边形但它不是矩形。

判断：菱形是平行四边形但不是矩形（除非是正方形）。

所以原命题是假命题，否定是真命题。

得步骤分策略法

好了，所有题目都拆解完了。

但说真的，考试的时候遇到这种题，你可能会卡在某一步。

怎么办？

这就是「得步骤分策略法」出场的时候了。

得步骤分策略法的核心是：空着一定是零分，写了就有可能得分。

阅卷是「踩点给分」，你写的每一个正确的步骤都对应着分数。

第一步，把已知条件重新整理写出来

即使完全不会做，也可以把题目给的已知条件用数学语言重新整理一遍。

比如第5题第(2)问「三个连续整数的乘积是6的倍数」，你可以先写：

「设三个连续整数为n-1，n，n+1」

这个动作本身就可能是得分点。

第二步，写出你能想到的相关公式或性质

不知道怎么做没关系，先把相关的知识点写上去。

比如第4题第(2)问，你可以写：

「二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)」

公式正确通常就有1-2分。

第三步，能做几步就做几步

一道大题分很多步，即使后面的步骤不会，前面会的步骤一定要写完整。

比如第6题，你可能不会写完整的否定形式，但你可以写：

「原命题是全称量词命题」

「全称量词命题的否定是存在量词命题」

这两句话写对了，就有分。

第四步，书写要清晰有条理

让阅卷老师一眼就能找到得分点。

不要写成一坨，要分步骤、分条理。

每一步前面可以标上序号，让逻辑清晰。

关键要点

一是「空着一定是零分，写了就有可能得分」。

二是只写你确定正确的内容，写错了反而可能扣印象分。

三是书写要清晰，让阅卷老师一眼看到得分点。

四是平时做难题时就练习「做到哪写到哪」的习惯。

总结：命题否定的核心框架

特别注意第三种：「若p则q」形式的否定，不是「若p则非q」，而是「存在p且非q」。

这是很多同学容易踩的坑。

记住这个表格，所有相关题目都是在这个框架里打转。

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