随机微分方程系列：21. 综合例题与分层习题（A–C）

21. 综合例题与分层习题（A–C）

21.A.1 布朗运动的增量、协方差与条件矩

题目

设  为标准布朗运动，并令

求  的分布、、、，以及

思路

本题同时考查平稳独立增量、高斯结构、鞅性质和反射原理。计算条件二阶矩时，关键不是把整个增量误认为与  独立，而是先分解为“已经观测到的部分”和“未来独立增量”。

详细解答

由布朗运动的平稳增量，

所以本题中

布朗运动协方差为

而 $s

再写成

由于  独立于  且均值为零，

同理，

展开平方并取条件期望，交叉项消失，未来增量的条件二阶矩等于其方差 ，于是

最后使用反射原理，

因此

易错点

 本身不独立于 ；独立的是未来增量 。条件期望中已经发生的随机量不能被直接替换为其无条件均值。

21.A.2 布朗运动的增量、协方差与条件矩

题目

设  为标准布朗运动，并令

求  的分布、、、，以及

思路

本题同时考查平稳独立增量、高斯结构、鞅性质和反射原理。计算条件二阶矩时，关键不是把整个增量误认为与  独立，而是先分解为“已经观测到的部分”和“未来独立增量”。

详细解答

由布朗运动的平稳增量，

所以本题中

布朗运动协方差为

而 $s

再写成

由于  独立于  且均值为零，

同理，

展开平方并取条件期望，交叉项消失，未来增量的条件二阶矩等于其方差 ，于是

最后使用反射原理，

因此

易错点

 本身不独立于 ；独立的是未来增量 。条件期望中已经发生的随机量不能被直接替换为其无条件均值。

21.A.3 布朗运动的增量、协方差与条件矩

题目

设  为标准布朗运动，并令

求  的分布、、、，以及

思路

本题同时考查平稳独立增量、高斯结构、鞅性质和反射原理。计算条件二阶矩时，关键不是把整个增量误认为与  独立，而是先分解为“已经观测到的部分”和“未来独立增量”。

详细解答

由布朗运动的平稳增量，

所以本题中

布朗运动协方差为

而 $s

再写成

由于  独立于  且均值为零，

同理，

展开平方并取条件期望，交叉项消失，未来增量的条件二阶矩等于其方差 ，于是

最后使用反射原理，

因此

易错点

 本身不独立于 ；独立的是未来增量 。条件期望中已经发生的随机量不能被直接替换为其无条件均值。

21.A.4 布朗运动的增量、协方差与条件矩

题目

设  为标准布朗运动，并令

求  的分布、、、，以及