高中数学专项习题|因式分解+一元二次不等式+基本不等式

上一专题的知识点大家是否还记得？ 这期我们一起来探索一下专项题的做题技巧吧，有更好方法的小伙伴可以后台进行留言分享哦。

模块一因式分解（进阶）

题1（十字相乘进阶）

题目：因式分解：x²−2x−8解题步骤：

十字相乘，找两个数，乘积为−8，和为−2；得到−4和+2

x²−2x−8=(x−4)(x+2)

答案：(x−4)(x+2)✅做题技巧：二次三项式优先十字相乘；常数项负，说明两个因式常数项一正一负。

题2（立方差公式）

题目：因式分解：8x³−27解题步骤：

写成立方形式：8x³=(2x)³,27=3³

套用立方差公式：a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)，令a=2x,b=3

答案：(2x−3)(4x²+6x+9)✅做题技巧：看到a³±b³，直接调用立方和/差公式，后面二次因式一般不能继续分解。

题3（分组分解法）

题目：因式分解：x³−x²−x+1解题步骤：

分组：(x³−x²)+(−x+1)

组内提公因式：x²(x−1)−(x−1)

整体提取公因式(x−1)：(x−1)(x²−1)

继续平方差分解：(x−1)(x−1)(x+1)=(x−1)²(x+1)

答案：(x−1)²(x+1)✅做题技巧：四项多项式优先两两分组，分组之后一定要能提出相同的公因式。

题4（试根法，高次）

题目：因式分解f(x)=x³−2x²−x+2解题步骤：

试常数项因数，试x=1，f(1)=1−2−1+2=0，故有因式(x−1)

多项式配凑拆分：

答案：(x−1)(x−2)(x+1)✅做题技巧：高次多项式，若f(a)=0，一定含有因式(x−a)，之后降次继续分解。

模块二一元二次不等式

解题通用四步法：化正→求根→画图（开口向上）→写解集；口诀：大于取两边，小于取中间

题5（基础题型）

题目：解一元二次不等式x²+x−12>0解题步骤：

二次项系数已经为正；

因式分解：(x+4)(x−3)>0，两根x₁=−4,x₂=3；

开口向上，大于取两边；解集：x<−4或x>3

答案：{x∣x<−4或x>3}✅做题技巧：能因式分解优先因式分解，比套求根公式更快。

题6（二次项系数为负数，高频易错）

题目：解不等式−2x²+5x−2≥0解题步骤：

化正：两边同乘−1，不等号反向：2x²−5x+2≤0

因式分解：(2x−1)(x−2)≤0，两根x₁=12,x₂=2

开口向上，小于等于取中间，包含等号解集：12≤x≤2

答案：{x∣12≤x≤2}✅做题技巧：二次项为负数，一定要变号！很多同学直接算，不等号忘记反转直接做错。

题7（判别式Δ=0）

题目：解不等式x²−6x+9≥0解题步骤：

完全平方(x−3)2≥0；Δ=0，重根x₀=3

实数范围内平方永远大于等于0，解集全体实数R

答案：R✅做题技巧：Δ=0，大于等于0解集R；小于等于0只取重根一个点。

题8（恒成立问题，高考高频）

题目：若ax²−2x+3>0对任意实数x恒成立，求参数a取值范围。解题步骤：

二次函数恒大于0，条件：开口向上a>0，且判别式Δ<0

{a>0，4−12a<0}⇒a>13

答案：{a∣a>13}✅做题技巧：一元二次恒成立：大于0恒成立⇒a>0,Δ<0；小于0恒成立⇒a<0,Δ<0；注意题目没说二次函数时还要讨论a=0。

模块三基本不等式（均值不等式）

核心铁律：一正、二定、三相等；取不到等号不能用均值，改用函数单调性。

题9（基础直接套用）

题目：已知x>0，求y=x+4x的最小值。解题步骤：

x>0，满足一正；x⋅4x=4积是定值，满足二定

x+4/x≥2 √x⋅4/x=2√4=4

等号条件：x=4/x⇒x²=4,x>0⇒x=2，等号可取。当x=2，ymin=4

答案：最小值4✅做题技巧：x>0型x+k/x直接套公式，最后务必验证等号能不能取到。

题10（配凑技巧：拆项凑定值，配套原文例题变形）

题目：已知x>2，求y=x+1/x−2的最小值。解题步骤：

x>2⇒x−2>0；进行配凑，凑出定值结构

(x−2)+1/x−2≥√[2(x−2)⋅1/x−2]=2

等号成立条件：x−2=1/x−2⇒(x−2)²=1⇒x−2=1⇒x=3，可以取到

ymin=2+2=4

答案：最小值4✅做题技巧：不能直接看出定值时，拆项配凑，把分母变量配成独立的正数整体。

题11（负数，易错坑）

题目：已知x<0，求y=x+1/x的最大值。解题步骤：

x<0，不能直接用均值；令t=−x，t>0

t+1/t≥2，所以y≤−2

取等条件t=1/t⇒t=1⇒−x=1⇒x=−1，可取。ymax=−2

答案：最大值−2✅做题技巧：负数不能直接套基本不等式，先提负号转为正数再计算。

题12（乘1法，高考高频大题）

题目：已知a>0,b>0，a+2b=2，求1/a+1/b最小值。解题步骤：

条件和为定值，使用乘1法，a+2b=2⇒a+2b/2=1

a>0,b>0，a/b+2b/a≥2√(a/b⋅2b/a）=2√2

1/a+1/b≥1/2*(3+2√2)

等号条件：ab=2ba，结合a+2b=2可解出a,b，等号可以取到。

答案：最小值(3+2√2)/2✅做题技巧：乘1法核心：把条件等式变成等于1的式子，乘到要求的分式上面展开，制造出“积为定值”的两项。

综合小练习（跨模块综合）

题13（因式分解+不等式综合）

题目：解不等式x³−2x²−x+2<0

提示：直接使用前面第4题因式分解结果解题步骤：

因式分解得：(x−1)(x−2)(x+1)<0

零点：−1,1,2，穿针引线法；

解集：x<−1或1<x<2

答案：x∣x<−1或1<x<2✅做题技巧：高次不等式先因式分解，再穿针引线求解。

做题复盘总结

因式分解：十字相乘、立方公式、分组、试根，是化简一切方程不等式的基础；

一元二次不等式：记住化正优先，恒成立一定要看开口和判别式；

基本不等式：每一次使用必须检查：一正、二定、三相等；配凑、乘1法是大题必考；等号取不到，立刻改用函数单调性。

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