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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2等式性质与不等式性质（共2课时）
（第1课时）
一、选择题
1．（2019·内蒙古集宁一中高一期末）下列不等式一定成立的是（ ）
a+b a+b 1 1
A． ≥√ab B． ≤-√ab C．x+ ≥2 D．x2+ ≥2
2 2 x x2
【答案】D
【解析】当a,b,x都为负数时，A,C选项不正确.当a,b为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，
1 √ 1
有x2+ ≥2 x2 ⋅ =2，故选D.
x2 x2
2．（2019山东师范大学附中高一期中）已知x＞0，函数 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵x＞0，∴函数 ，当且仅当x=3时取等号，
∴y的最小值是6．故选：C．
3.（2019广东高一期末）若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是( )
1
A．ab有最小值 B．√a+√b有最小值√2
4
1 1 √2
C． + 有最小值4 D．a2+b2有最小值
a b 2
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，且a+b=1；∴1=a+b≥2√ab；
1 1
∴ab≤ ；∴ab有最大值 ，∴选项A错误；
4 4
(√a+√b) 2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2
√1
=2，∴√a+√b≤√2，即√a+√b有最大值√2，∴B
4
项错误.
1 1 a+b 1 1 1
+ = = ≥4，∴ + 有最小值4，∴C正确；
a b ab ab a b1 1 1 √2
a2+b2=(a+b) 2-2ab=1-2ab≥1-2× = ,∴a2+b2的最小值是 ，不是 ，∴D错误．
4 2 2 2
4
4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若x>-5，则x+ 的最小值为（ ）
x+5
A．-1 B．3 C．-3 D．1
【答案】A
4 4
【解析】x+ =x+5+ -5≥2×2-5=-1，当且仅当x=-3时等号成立，故选A.
x+5 x+5
5．（2019吉林高一月考）若 在 处取得最小值，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】： 当且仅当
时,等号成立;所以 ,故选B.
6．（2019·广西桂林中学高一期中）已知 ,则f(x)= 有
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【解析】
当 即 或 （舍去）时， 取得最小值
二、填空题
7．（2019·宁夏银川一中高一期末）当 时， 的最大值为__________.
【答案】-3.【解析】当 时，
又 ， ,故答案为：-3
8．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若 ， ， ，且 的最小值是
___.
【答案】9
【解析】∵ ， ， ，
,
当且仅当 时“=”成立，故答案为9.
9．（2019·浙江高一期末）已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值
为______．
【答案】9.
【解析】由 得 恒成立，而
，故 ，所以 的最大值为 .
10．（2019·浙江高一月考）设函数 ．若 ，则 ________．
【答案】2
【解析】因为 ，当 时，取最小值；
又 时， ，当且仅当 ，即 时，取最小值；所以当且仅当 时， 取最小值 .
即 时， .故答案为2
三、解答题
11．（2016·江苏高一期中）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；
（3）已知x＜ ，求f（x）＝4x－2＋ 的最大值；
【答案】（1） 的最大值 ；（2） 的最小值为5；
（3）函数 的最大值为
【解析】（1）
,
当且仅当 , 时取等号，故 的最大值为
（2）
，
当且仅当 即 时取等号
（3）当且仅当 ,即 时,上式成立,故当 时,
函数 的最大值为 .
12．（2019·福建高一期中）设 求证：
【答案】可以运用多种方法。
【解析】证明[法一]：
当且仅当 ，取“=”号。 故
证明[法二]：
当且仅当 ，取“=”号。故
证明[法三]
当且仅当 时，取“=”号。故证明[法五]：
2.2基本不等式（第2课时）二、选择题
1．（2019·四川高一期中）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少
时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30 B．36 C．40 D．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为 ，则宽为 ，设所用篱笆的长为 ，所以有
，根据基本不等式可知： ，（当且仅当
时，等号成立，即 时，取等号）故本题选C.
2．（2019·北京高一期中）若实数x，y满足2x+ y=1，则x⋅y的最大值为( )
1 1 1
A．1 B． C． D．
4 8 16
【答案】C
【解析】∵实数x，y满足2x+ y=1，∴y=1-2x，∴xy=x(1-2x)=-2x2+x
1 1 1 1 1
=-2(x- ) 2+ ≤ ，当x= ，y= 时取等号，故选：C．
4 8 8 4 2
3．（2019·北京北师大实验中学高一期末）宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假
设一个三角形，边长分别为 ，三角形的面积 可由公式
求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长
满足 ，则此三角形面积的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，p＝10，
S8 ，∴此三角形面积的最大值为8 ．故选：C．
2a
4．（2019·湖南高一期中）当a>0，关于代数式 ，下列说法正确的是( )
a2+1
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最小值也有最大值 D．无最小值也无最大值
【答案】A
2a 2 2
∴ = ≤ =1 1
【解析】∵a>0， a2+1 a+ 1 2 √ a⋅ 1 ，当且仅当a= a 即a=1时取等号，
a a
2a
故a>0，关于代数式 有最大值1，没有最小值，故选：A．
a2+1
5．（2019·全国高一课时练习）汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽
车全程的平均速度比a，b的平均值( )
A．大 B．小 C．相等 D．不能确定
【答案】B
s s
【解析】令单程为s,则上坡时间为t = ,下坡时间为t = ,
1 a 2 b
2s 2s 2 a+b
= = ≤√ab≤
平均速度为t +t s s 1 1 2 .故选B.
1 2 + +
a b a b
6．（2019·龙岩市第一中学高一月考）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾
客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又
将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于10g B．小于10g C．大于等于10g D．小于等于10g
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a>b），
先称得的黄金的实际质量为m ，后称得的黄金的实际质量为m ．由杠杆的平衡原理：bm =a×5，
1 2 1
5a 5b 5b 5a
am =b×5 ．解得m = ，m = ，则m +m = + ．
2 1 b 2 a 1 2 a b
下面比较m +m 与10的大小：
1 2
5b 5a √5b 5a
因为(m +m )-10= + -10≥2 ⋅ -10=0，又因为a≠b ，所以，(m +m )-10>0，
1 2 a b a b 1 2
即m +m >10 ．这样可知称出的黄金质量大于10g ．故选：A
1 2
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练）某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足f (10)
f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出[如前10天的平均售出为 ]的月饼最少为
10
【答案】18
f(t) t2+10t+16 16
【解析】平均销售量y= = =t+ +10≥18．
t t t
16
当且仅当t= ，即t=4∈[1，30]等号成立，即平均销售量的最小值为18．
t
8．（2016·青海平安一中高一课时练习）有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠
墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的
最大面积为____m2(围墙厚度不计).
【答案】2500
【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-
4x)=-4(x-25)2+2500(00. ，
即 .当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
（2）
(a+
1
)
2
+(b+
1
)
2
=4+a2+b2+(
1
+
1
) =4+a2+b2+
(a+b) 2
+
(a+b) 2
a b a2 b2 a2 b2
2b b2 a2 2a b a b2 a2
=4+a2+b2+1+ + + + +1 =4+(a2+b2 )+2+2( + )+( + )
a a2 b2 b a b a2 b2(a+b) 2 25
≥4+ +2+4+2= ，
2 2
1 2 1 2 25
即(a+ ) +(b+ ) ≥ ，当且仅当a=b时，等号成立．
a b 2
