【八上】开学考常见选填压轴题型:“倍长中线”模型

“倍长中线”是深圳初中数学中一个非常重要的几何模型，其核心思想是通过构造“8字型”全等三角形，将分散在图形不同位置的线段或角转换到一个新的三角形中，从而进一步得出后续结论。

就名称而言，“中线”二字其实有一定的误导性。在实际应用中，“倍长”的对象是以线段中点为一端的线段，并不一定是三角形的中线。利用中点形成的等长线段构造全等三角形才是此模型的要义。

以下分别以深圳七下期末和八上开学的两道填空压轴题为例进行说明。

【典型例题】

1. (2026罗湖区七下期末第13题)如图， 是  的中线， 交  于点 ，且 ，若 ，，则线段  的长是 ____。

易知 ，要求 ，只须求出  即可。有中线 ，且  的长度事实已知（），则通过“倍长中线”模型构造全等，将  转换到  下方，并与  形成一个新的三角形，则本题可解。

【简答】延长  至点 ，使 ，连接 。

∵ ，，，∴ ，∴ ，。又 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

注意到所求线段  与中点  构成 ，因此，本题也可以不倍长“中线”，而是在  下方构造  的全等三角形，从而将线段  进行转换后，与线段  形成等腰三角形。

如图，连接 ，

则有 ，∴ ，∴ ，∴ 。

2. (2025翠园东晓中学八上开学考第13题)如图， 中，，点  为  延长线上一点，作  射线  于点 ，点  为  延长线上一点，连接  交  的延长线于点 ，点  是  的中点。若 ，，则  ____。

题中求  的长度，其中  已知，实际只须求  即可。，可知 ；点  是  中点，用“倍长中线”法在  下方构造  的全等三角形，从而在新的三角形中得到  的等角，进而得到以  为底角的等腰三角形；再由 ，结合“三线合一”此题得解。

【简答】延长  至点 ，使 ，连接 。

∵ ，，，∴  (SAS)。∴ 。又 ，∴ ，∴ ，∴ 。∵ ，由“三线合一”知  是等腰  的中线，∴ ，∴ 。