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专练 37 直线、平面垂直的判定与性质
授课提示：对应学生用书79页
[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：如图ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题不正确的是(
)
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
答案：D ⊂
解析：易知A、B、C均正确，D错误，m与n也可能异面．
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
答案：C
解析：⊂ 当α∥β，b⊥β时，b⊥α， ⊂ 又a α，∴b⊥a，故C正确.
4．在正方体ABCD－ABC D 中，E为CD的中点，则( )
1 1 1 1
A．AE⊥DC B．AE⊥BD ⊂
1 1 1
C．AE⊥BC D．AE⊥AC
1 1 1
答案：C
解析：∵AB⊥平面BCC B，
1 1 1 1
BC 平面BCC B，∴AB⊥BC ，
1 1 1 1 1 1
又BC ⊥BC且BC∩AB＝B，
1 1 1 1 1 1
⊂
∴BC ⊥平面ABCD，又AE 平面ABCD，
1 1 1 1 1 1
∴BC ⊥AE.
1 1
⊂5．在正方体ABCD－ABC D 中，E为AC 的中点，则直线CE垂直于( )
1 1 1 1 1 1
A．AC B．BD
1 1
C．AD D．AA
1 1 1
答案：B
解析：连接 BD ，∵ABCD－ABC D 为正方体，∴E∈BD 且 BD⊥AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BD⊥CC ，又AC ∩CC ＝C ，∴BD⊥平面AC C，又CE 平面AC C，∴BD⊥CE，又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BD∥BD，∴BD⊥CE.
1 1
⊂
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由“m⊥α 且 l⊥m”推出“l α 或 l∥α”，但由“m⊥α 且 l∥α”可推出
“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线⊂ l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案：C
解析：∵α∩β＝l，∴l β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．在长方体ABCD－⊂ABC D 中，AB＝4，BC＝3，AA ＝5，则AC与平面ABCD所
1 1 1 1 1 1
成角的正切值为( )
A． B．
C． D．1
D
答案：解析：如图所示，连接AC，∵AA⊥平面ABCD，∴AC与平面ABCD所成的角
1 1
为∠ACA，∵AB＝4，BC＝3，
1
∴AC＝5，∵AA＝5，
1
∴tan ∠ACA＝1，故选D.
1
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD且平面ACD⊥平面BDE
答案：C
解析：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC 平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.
二、填空题 ⊂
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的
________心．
答案：外
解析：连结OA，OB，OC，OP，∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，
若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
答案：②④
解析：∵γ∩β＝l，∴l γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l β，又
l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．在四棱锥P－ABC ⊂ D中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥⊂的五个
面中两两互相垂直的共有________对．
答案：5
解析：
∵PA⊥平面ABCD，又PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；同理平面PAB⊥平面ABCD，
⊂
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD 平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD，同理平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，共有5对．
⊂ [能力提升]
13．在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
1 1 1 1
A．平面BEF⊥平面BDD
1 1
B．平面BEF⊥平面ABD
1 1
C．平面BEF∥平面AAC
1 1
D．平面BEF∥平面AC D
1 1 1
答案：A
解析：如图，在正方体ABCD－ABC D 中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的
1 1 1 1
中点，所以 EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知 DD ⊥平面ABCD.又EF 平面
1
ABCD，所以DD ⊥EF.因为BD∩DD ＝D，所以EF⊥平面BDD .因为EF 平面BEF，所以
1 1 1 1
⊂
平面 BEF⊥平面 BDD ，A 正确．假设平面 BEF⊥平面 ABD.因为平面 BEF⊥平面
1 1 1 1 1
⊂
BDD ，且平面ABD∩平面BDD ＝BD，所以BD⊥平面BEF.在正方体ABCD－ABC D 中，
1 1 1 1 1 1 1 1
显然BD与平面BEF不垂直，B错误．设AA与BE的延长线相交于点P，所以平面BEF
1 1 1 1
与平面AAC不平行，C错误．连接AB，BC，易证平面ACB∥平面AC D.因为平面ACB
1 1 1 1 1 1 1
与平面BEF相交，所以平面BEF与平面AC D不可能平行，D错误．故选A.
1 1 1 1
14.
如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结
论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
答案：C
解析：如图，
因为 D、F 分别是 AB、AC 中点，所以 BC∥DF，因为 DF 平面 PDF，BC⊄平面
PDF，所以 BC∥平面 PDF.因为该几何体是正四面体，E 是 BC 中点，所以 BC⊥PE，
⊂BC⊥AE，因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，又
因为DF 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故A、B、D都成立．故选C.
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，
当点M满⊂足________时，平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：
当BM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥平面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
16. ⊂
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P
分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
答案：①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，
VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对
于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC
与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即
MN 与 BC 所成的角为 90°，故③不正确；对于④，易得 OP∥VA，VA⊥MN，所以
MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以VA⊥BC，又
BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC 平面VBC，所以平面VAC⊥平面
⊂
VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.
⊂
