文档内容
2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义
专题01 数图形
知识精讲
专题简析：
小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角
形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数
出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有
多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
典例分析
【典例分析01】数出下面图中有多少条线段？
A B C D
思路导航：我们可以采用以线段左端点分数数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；
以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；
以C点为左端点的线段有：CD共1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1=6条。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看作基本线段来数，那么：
由1条基本线段构成的线段：AB、BC、CD共3条；
由2条基本线段构成的线段：AC、BD共2条；
由3条基本线段构成的线段：AD只1条。
所以，图中共有3＋2＋1=6条线段。
【典例分析02】数出下图中有几个角。A
O
B
C
D
思路导航：数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；
以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD两个；
以CO为一边的角有：∠COD一个。
所以图中共有3＋2＋1=6个角。
小朋友，如果把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。
【典例分析03】数出下面图中共有多少个三角形。
A
B C D E
思路导航：数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个；
以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个；
以AD为边的三角形有：△ADE一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE的底边中包含几条线段就可
以了，即3＋2＋1=6条。所以图中共有6个三角形。【典例分析04】数出下图中有多少个长方形。
A B
C D
思路导航：数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对
线段围成，线段CD上有3＋2＋1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为
长方形的长和宽，这里共有6×1=6个长方形；而AC上共2＋1=3条线段也就有6×3=18个
长方形。它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
【典例分析05】有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张照片？
思路导航：这道题可以用数线段的方法来解答。
根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
从图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小
朋友还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片……以此类推，第9个小朋友只要再与1
个小朋友合影，再照1张照片。所以，一共要照9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=45张
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•汇川区期末）如图中一共可以数出（ ）条线段。
A．4 B．5 C．7 D．10
【思路点拨】两点组成一条线段，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n﹣1）÷2
解答。
【规范解答】解：5×（5﹣1）÷2
＝20÷2
＝10（条）
答：一共可以数出10条线段。故选：D。
【考点评析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量
比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式n（n﹣1）÷2解答。
2．（2分）（2022秋•枣阳市期末）如图所示的点子图上有3个点，请再选一个点，使得4
个点依次连接成为平行四边形，有（ ）种选法。
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据平行四边形的特征画出图形即可解决问题。
【规范解答】解：
再选一个点，使得4个点依次连接成为平行四边形，有3种选法。
故选：C。
【考点评析】解答本题关键是明确平行四边形的特征。
3．（2分）（2022春•新泰市期末）图中一共有（ ）个角。
A．3 B．5 C．6
【思路点拨】根据角的概念，即由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，即可找出所
有的角。
【规范解答】解：根据角的概念可知图中共有6个角。
故选：C。
【考点评析】此题考查了角的概念。注意：此图中共有4条射线，则共有3+2+1＝6（个）角。
4．（2分）（2022春•黄石期末）如图中有（ ）个长方形。
A．5 B．7 C．9
【思路点拨】根据分类数图形的计数原理，再利用数线段的方法，分别计算出行、列所
包含的长方形的个数，再用乘法求一共有多少个长方形即可。
【规范解答】解：（2+1）×（2+1）
＝3×3
＝9（个）
所以图中一共有9个长方形。
故选：C。
【考点评析】本题考查了组合图形中长方形的计数，一般情况下，如果有类似图中的任
一个长方形一边上有（n﹣1）个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有（m﹣
1）个分点（不包括这条边的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边
相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+……
+m）×（1+2+3+……+n）。
5．（2分）（2022春•邹城市期末）如图2个偏旁和4个字，一共可以组成（ ）个字。
A．7 B．8 C．9
【思路点拨】从2个偏旁中选一个有2种选法，从4个字中选一个有4种选法，然后根
据乘法原理解答即可。
【规范解答】解：2×4＝8（个）
答：一共可以组成8个字。
故选：B。
【考点评析】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，……，做第n步有m
1 2 n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×m×m×……×m种不同的方法。
1 2 3 n
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022春•市中区期末）如图中一共有 1 2 个长方形。
【思路点拨】单个的长方形有5个，两部分组成的有4个，三部分组成的有1个，四部
分组成的有1个，五部分组成的有1个，然后把个数相加即可。
【规范解答】解：5+4+1+1+1＝12（个）
答：图中一共有12个长方形。
故答案为：12。
【考点评析】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏。
7．（2分）（2022春•广饶县期末） 这幅图中有 4 条射线，组成了 6 个角。
【思路点拨】观察图形可知，图中一共有4条射线；每一条射线都分别与其它的射线组
成一个角，依此可得组成（1+2+3）个角。
【规范解答】解：图中有4条射线，组成了1+2+3＝6（个）角。
故答案为：4，6。
【考点评析】本题考查了角的计数，此题可得结论：当一个顶点处引出n条射线时，组
成的角的总个数是：1+2+3+……+（n﹣1）。
8．（2分）（2022春•东莞市期末）如图中一共有 9 个长方形。
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合
成1个长方形的，最后数4个长方形角合成1个长方形的，据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。
9．（2分）（2021春•井研县期末）数一数，如图中一共有 1 0 三角形。【思路点拨】图中小三角形有4个，由2个小三角形组成的三角形有3个，由3个小三
角形组成的三角形有2个，由4个小三角形组成的三角形有1个，把这几种三角形的个
数相加，即是三角形的总个数。
【规范解答】解：1+2+3+4＝10（个）
答：图中一共有10个三角形。
故答案为：10。
【考点评析】解答此题的关键在于数组合图形中三角形的个数的方法，不重数、不漏数。
10．（2分）（2022春•龙口市校级期中） 图中共
有 1 条直线， 8 条射线。
【思路点拨】根据射线和直线的含义：射线有一个端点，无限长；直线没有端点，可以
无限延伸；据此求解即可。
【规范解答】解： 图中共有1条直线，8条射线。
故答案为：1；8。
【考点评析】本题主要考查射线、直线的定义，在射线、直线的计数时，应注重分类讨
论的方法计数，做到不遗漏，不重复。
11．（2分）（2021春•平湖市期末）数一数，一共有几个长方形？
想：由1个长方形组成的长方形有 5 个。
由2个长方形组成的长方形有 4 个。
答：一共有 1 2 个长方形。
【思路点拨】数：由1个长方形组成的长方形有5个，由2个长方形组成的长方形有4
个，由3个长方形组成的长方形有2个，由4个长方形组成的长方形有0个，由5个长
方形组成的长方形有1个；
算：一共有（5+4+2+1）个长方形。
【规范解答】解：5+4+2+1＝12（个）；答：图中一共有12个长方形。
故答案为：5，4，12。
【考点评析】按一定的顺序数组合图形的个数，是数组合图形个数的常用方法。
12．（2分）（2022春•渑池县期末）一个圆上有6个点，以任意两个点相连接组成一条线
段，一共可以连 1 5 条线段。
【思路点拨】圆上有每个点都要和另外的5个点能画5条线段，一共可以画5×6＝30
（条），由于每两个点只能画1条线段，去掉重复计算的情况，实际可以画（30÷2）
条，据此解答。
【规范解答】解：（6﹣1）×6÷2
＝30÷2
＝15（条）
答：一共可以连15条线段。
故答案为：15。
【考点评析】本题考查了排列组合问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果
点比较少可以用枚举法解答，如果点比较多可以用公式：线段的条数＝n（n﹣1）÷2解
答。
13．（2分）（2021春•唐河县期末）如图中一共有 9 个长方形。
【思路点拨】单个的长方形有4个，两个长方形组成的长方形有4个，四个长方形组成
的长方形有1个，相加求解即可。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，
逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋•应城市期末）如图中有 2个平行四边形，有2个梯形。 ×
（判断对错）【思路点拨】根据平行四边形的定义可知，中间和外围分别有1个平行四边形；根据梯
形的定义可知，左、右各有1个梯形，由两个图形组成的梯形有2个，据此解答。
【规范解答】解：1+1＝2（个）
1+1+2＝4（个）
图中有2个平行四边形，有4个梯形，本题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】解决本题的关键是明确平行四边形的两组对边分别平行且相等，梯形只有
一组对边平行。
15．（2分）（2022春•新泰市期末）同一平面内，3条直线最多有3个交点。 √ （判
断对错）
【思路点拨】根据同一平面内的两条直线相交，只有一个交点，解答即可。
【规范解答】解：同一平面内，3条直线最多有3个交点；说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查了直线相交知识，结合题意分析解答即可。
16．（2分）（2022秋•卢龙县期末）图中一共有6条射线。 √ （判断对错）
【思路点拨】每个点可以画出2条射线，所以可以画出3个2条射线；据此解答即可。
【规范解答】解：3×2＝6（条）
即图中一共有6条射线，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】解答本题关键明确每个点可以画出2条射线。
17．（2分）（2022春•鹤城区期末）图中 一共有9个长方形。 √ （判断
对错）
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合
成1个长方形的，最后数4个长方形合成1个长方形的。据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中 一共有9个长方形。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。18．（2分）（2020•虹口区模拟）在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成38条线
段． × （判断对错）
【思路点拨】从第一个点可以引出8条线段，第二个点可以引出7条不重复的线段，
……，倒数第二个点可以引出1条不重复的线段，把这些线段条数相加就是构成线段的
总条数．
【规范解答】解：8+7+6+5+4+3+2+1＝36（条）
即，在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成36条线段．
原题说法错误．
故答案为：×．
【考点评析】此题主要考查通过数线段找规律，线段上的端点为n，线段中共有线段的
条数为：1+2+3+…+（n﹣1）或n×（n﹣1）÷2．
五．解答题（共12小题，满分64分）
19．（5分）（2021春•达孜区期末）如图1是由若干个相同的三角形组成的大三角形，图
中一共有 13 个三角形；如图2是一个由若干个完全相同的小正方形组成的大正方
形，图中一共有 3 0 个正方形。
【思路点拨】（1）把每个小三角形的边长看作1，分类别，分方向来数：①尖朝上的：
基本三角形：1+2+3＝6（个），边长为2的三角形：1+2＝3（个），边长为3的三角形：
1个；②尖朝下的：基本三角形：1+2＝3（个），相加即可求解。
（2）1×1的正方形有16个，2×2的正方形有9个，3×3的正方形有4个，4×4的正
方形有1个，据此加起来即可解答。
【规范解答】解：（1）①尖朝上的：基本三角形：1+2+3＝6（个）
边长为2的三角形：1+2＝3（个）
边长为三的三角形：1个
②尖朝下的：基本三角形：1+2＝3（个）
所以总数为：6+3+1+3＝13（个）（2）4×4＝16（个）
3×3＝9（个）
2×2＝4（个）
1×1＝1（个）
16+9+4+1＝30（个）
答：一共有30个正方形。
故答案为：13；30。
【考点评析】此题主要考查了计数问题，本质上是数数问题，应注意分类，以免重复，
防止遗漏。
20．（5分）（2022秋•井研县期末）数一数，填一填。
一共有 6 个角
一共有 6 条线段
【思路点拨】根据角的意义可知，共顶点的四条射线，由于每条射线都要和另外的3条
组成一个角，一共组成：3×4＝12（个）；又因为每两条线射线只组成一个角，去掉重
复计算的情况，实际只有：12÷2＝6（个），据此解答。
由图可得：第一个端点可以画3条线段，第二个端点可以画2条线段，第三个端点可以
画1条线段，第四个端点可以画0条线段，相加即可。
【规范解答】解：（4﹣1）×4÷2
＝12÷2
＝6（个）
答：一共有6个角。
0+1+2+3＝6（条）
答：一共有6条线段。
故答案为：6，6。
【考点评析】此题考查组合图形的计数。进一步考查学生识图解决问题的能力。在计数
问题中常常利用握手问题的解答方法，来计数线段的条数、角的多少、正方形的个数等
等。
21．（5分）（2012春•祁东县校级月考）右图中有多少个三角形？【思路点拨】我们可以根据图形特征将它分成3类：第1类： 有6个；第
2类： 有6个；第3类： 有3个，相加即可求解．
【规范解答】解：6+6+3＝15（个）
图中有15个三角形．
【考点评析】考查了组合图形中三角形的计数，注意分类思想的运用，做到不重复不遗
漏．
22．（5分）（2022春•德阳期末）数一数，填一填。
如图中一共有 9 个长方形。
【思路点拨】数长方形时要按照一定的顺序数，先数单个的长方形，再数2个长方形合
成1个长方形的，最后数4个长方形合成1个长方形的。据此解答。
【规范解答】解：4+4+1＝9（个）
答：图中一共有9个长方形。
故答案为：9。
【考点评析】本题考查组合图形的计数，按一定顺序不重不漏地数是解本题的关键。
23．（5分）（2021春•栖霞市期末）右图这个网格正方形是用平行线画出的，共用了 6
组平行线。在这个正方形中，共能找出 1 2 组平行线。【思路点拨】根据平行线的意义和特征进行观察判断即可解决。
【规范解答】解：①横着的平行线用了3组，竖着的平行线用了3组，共用了6组平行
线；
②在这个正方形中，4条横线，两两平行，共能组成6组平行线，同理，竖着的平行线
也有6组，共能找出12组平行线。
故答案为：6，12。
【考点评析】解决本题的关键是正确理解平行线的意义和特征，根据图示找到平行线。
24．（5分）（2021春•娄星区期末）直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶
点可以画出多少个三角形？
【思路点拨】
如图，连接直线a，b上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数，再算出三角形总
个数即可。
【规范解答】解：如图，连接直线a，b上各点，分别数出以各点为顶点的三角形个数；
其中A、B、C、D为顶点的三角形都是1个，以E为顶点的三角形和以F为顶点的三角形
个数相同；
以E为顶点的三角形有6个，分别是△ABE、ACE、△ADE、△BCE、△BDE、△CDE；
再计算出以各点为顶点的三角形总个数即可。
1×4+6×2
＝4+12
＝16（个）
答：以这些点为顶点可以画出16个三角形。【考点评析】在图形的计数时，应注重分类讨论的方法，做到不遗漏，不重复。
25．（5分）（2021春•武安市期末）数一数，一共有多少条线段？
【思路点拨】根据数线段的方法，如果线段上有n个端点，这条线段中存在的线段条数
为：1+2+3+…+（n﹣1）条，由此解答．
【规范解答】解：1+2+3＝6（条）
答：一共有6条线段．
【考点评析】此题考查的目的是掌握数线段的方法，其规律是：如果线段上有 n个端点，
这条线段中存在的线段条数为：1+2+3+…+（n﹣1）条．
26．（5分）数一数．
【思路点拨】（1）边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，同理边AB上
有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，AB的下边有三角形3个，据此解答即可．
（2）图中有15个小格即是15个小正方形，由4个小正方形组成的是8个，由9个小正
方形组成的是3个，共有正方形26个，据此解答即可．
【规范解答】解：（1）边AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，同理边
AB上有4个点，有三角形：4×（4﹣1）÷2＝6个，AB的下边有三角形3个，
6+6+3＝15（个）
答：有15个三角形．
（2）图中有15个小格即是15个小正方形，由4个小正方形组成的是8个，由9个小正
方形组成的是3个，15+8+3＝26（个）
答：有26个正方形．
如图所示：
故答案为：15；26．
【考点评析】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，
逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
27．（6分）数一数，下图中共有 8 个三角形．
【思路点拨】①单个三角形有：4个，②两个图形组成的有：4个，合起来即可求解．
【规范解答】解：①单个三角形有：4个，
②两个图形组成的有：4个，
一共有：4+4＝8（个）．
答：图中共有8个三角形．
故答案为：8．
【考点评析】考查了组合图形中三角形的计数，解答此题的关键是，在数三角形时，可
以分情况数，要做到不重复，不遗漏．
28．（6分）数一数，每个图形各有多少个长方形（或正方形、三角形）
【思路点拨】（1）单个的长方形有3个，两个图形组成的有1个，外面最大的有1个，
然后把个数相加即可．（2）单个的正方形有9个，4个图形组成的有4个，外面最大的有1个，然后把个数相
加即可．
（3）根据数线段的方法，大三角形底边有几条线段，就有几个三角形，5×4÷2＝10
（个）；据此解答即可．
【规范解答】解：（1）3+1+1＝5（个）
（2）9+4+1＝14（个）
（3）5×4÷2＝10（个）
故答案为：5；14；10．
【考点评析】此题主要考查图形计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习
惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
29．（6分）如图的图形中，每个小正方形的面积都是1平方厘米．图形中有多少个面积
是1平方厘米的小正方形？还有面积是其他数值的正方形吗？
【思路点拨】观察可知，图形中有4×4＝16个面积是1平方厘米的小正方形，面积是
其他数值的正方形有2×2的9个，3×3的4个，4×4的1个，依此即可求解．
【规范解答】解：4×4＝16（个）
面积是其他数值的正方形有2×2的9个，3×3的4个，4×4的1个．
答：图形中有16个面积是1平方厘米的小正方形，还有面积是其他数值的正方形．
【考点评析】考查了正方形的面积，本题关键是按照一定的顺序计算，以免遗漏．
30．（6分）数一数，下列图形中共有几个三角形？【思路点拨】（1）按照一定规律来找：先找单个的，再找与其它 2个三角形组合的，
相加即可．
（2）4个小三角形，再加上一个大三角形．
【规范解答】解：（1）3+2+1＝6（个）
答：一共有6个三角形．
（2）4+1＝5（个）
答：一共有5个三角形．
故答案为：6，5．
【考点评析】解决此题的关键按照一定的顺序和方法，数数做到不重不漏
