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2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决
赛试卷（小学高年级组）
一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）
1．（10分）计算： ＝ ．
2．（10分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯．自动扶
梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小
孩从扶梯底端到达顶端需要 秒．
3．（10分）两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人
B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进
了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6 B． ：10 C．3：4 D．3 ：40
4．（10分）山π洞里有一堆桃子π，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将π桃子按5：4的
比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按5：4的比例分
成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个
桃子，则猴老二拿了 个桃子．
5．（10分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中
有 条线段长度为整数．
6．（10分）从1、2、3、…、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的
取法（ ）种．
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（10分）若一个四位数5ab4是一个数的平方，则 a+b＝ ．
8．（10分）从小明家到游泳池的路上有200棵树．在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树
上做标记，去游泳池的时候，他在第1棵树、第6棵树、第11棵树、…上做了标记，每次都
第1页（共12页）隔4棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第1棵树、第9棵树、第17棵树、…上做了标记，
每次都隔7棵树标记一棵．则他回到家时，没有被标记的树共有 棵．
二、解答下列各题（每题10分，满分40分）
9．（10分）如图，沿正方体XYTZ﹣ABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成4
块．请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？
10．（10分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD＝12，则
AG等于多少？
11．（10分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大圣》四部动漫
电影，票价分别为50元、55元、60元、65元．来影院的观众至少看一场，至多看两场．因时
间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有200人看电影所花的钱一样
多，则影院今天至少接待观众多少人？
12．（10分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABC﹣A B C 各顶
1 1 1
点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一
个，安装方法共有多少种？
三、解答下列题（共2小题，每题15分，满分30分.要求写出详细过程）
13．（15分）将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所
第2页（共12页）有数的乘积B整除．则 的最小值是多少？
14．（15分）如图，在边长大于20cm的正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T
到PS的距离为8cm，到PQ的距离为9cm．则圆O的半径是多少厘米？
第3页（共12页）2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉
赛区）决赛试卷（小学高年级组）
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）
1．（10分）计算： ＝ 201 3 ．
【分析】首先根据平方差公式分别对繁分数的分子和分母进行化简，然后再求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝2013
故答案为：2013．
2．（10分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯．自动扶
梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端．若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小
孩从扶梯底端到达顶端需要 3 6 秒．
【分析】把自动扶梯的长度看作单位“1”，则这个小孩走完60米长的自动扶梯所用时间
为 ，自动扶梯将乘客从底端送到顶端用的时间为 ，那么小孩从扶梯底端到达顶端需
要的时间为1÷（ + ），解决问题．
【解答】解：1÷（ + ）
＝1÷
＝36（秒）
第4页（共12页）答：小孩从扶梯底端到达顶端需要36秒．
故答案为：36．
3．（10分）两个骑车人在不同的赛道上训练．骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人
B用直线赛道，其长度为5千米． 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进
了2个来回．那么骑车人A与骑车人B的速度比是（ ）
A．1：1.6 B． ：10 C．3：4 D．3 ：40
【分析】通π过分析可知；Aπ的速度为： D×3÷10＝ ×1000×3÷10＝300 （π米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分π） π π
其速度比为：A：B＝ ×1000×3÷10：5000×2×2÷5，据此解答即可．
【解答】解：由题目中π的数据，求得A的速度为： D×3÷10＝ ×1000×3÷10＝300 （米/分）
B的速度为：5000×2×2÷5＝4000（米/分） π π π
其速度比为：A：B＝300 ：4000
＝3 ：40 π
故选π：D．
4．（10分）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按5：4的
比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按5：4的比例分
成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个
桃子，则猴老二拿了 2 0 个桃子．
【分析】首先根据题意，设这堆桃子的总量为单位“1”，分别求出三只猴子各拿走的比例，
然后根据猴老大比猴老三多拿了29个桃子，求出桃子的总量，进而求出猴老二拿了多少
个桃子即可．
【解答】解：根据题意，设这堆桃子为单位“1”，
则猴老大拿走了 ，
则猴老二拿走了： × ，
猴老三拿走了： × ，
则桃子的总数： ＝81（个），
候老二拿走的个数：81× × ＝20（个）
第5页（共12页）答：猴老二拿了20个桃子．
故答案为：20．
5．（10分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中
有 11 0 条线段长度为整数．
【分析】观察图形可知：第一个三角形2条直角边长度为整数，从第二个三角形开始，每个
三角形都有一个边长为1的直角边；则边长为1的线段有：2+99＝101（条）；
前一个三角形的斜边是后一个三角形的一个直角边，根据勾股定理分别求出每个三角形
斜边的长，找出开方后为整数的边，再加上101即可求出答案．
【解答】解：观察图形可知：边长为1的线段有：2+99＝101（条）；
根据勾股定理分别求出每个三角形斜边的长为：
、 、 、 … 、 ；
根据：12＝1，22＝4，32＝9，…102＝100；可知三角形斜边的长中有9个开方后为整数，即三
角形斜边的长中有9条边的长度为整数．
则：101+9＝110（条）
答：构成这100个三角形的所有线段中有110条线段长度为整数．
故答案为：110．
6．（10分）从1、2、3、…、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的
取法（ ）种．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】找出1，2，3，…，7这7个自然数那些是奇数，哪些是偶数，列出符合条件偶数之和
等于奇数之和的算式，据此解答即可．
【解答】解：1，2，3，4，5，6，7中1，3，5，7是奇数，2，4，6是偶数，
1+3＝4
1+5＝6
3+7＝4+6
3+5＝2+6
1+7＝2+6
第6页（共12页）1+5＝2+4
5+7＝2+4+6
共7种
故选：B．
7．（10分）若一个四位数5ab4是一个数的平方，则 a+b＝ 9 ．
【分析】702＝4900，802＝6400，5000多的一个四位数，应该是70到80之间的一个两位数
的平方．又它的末位数是4，所以这个两位数的个位只能是2或8．
722＝5184，符合题意．再检验一下782是否符合题意即可．
【解答】解：722＝72×72＝5184符合题意．
782＝78×78＝6084，不符合题意．舍去．
所以a＝1，b＝8．
a+b＝1+8＝9．
故答案为：9．
8．（10分）从小明家到游泳池的路上有200棵树．在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树
上做标记，去游泳池的时候，他在第1棵树、第6棵树、第11棵树、…上做了标记，每次都
隔4棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第1棵树、第9棵树、第17棵树、…上做了标记，
每次都隔7棵树标记一棵．则他回到家时，没有被标记的树共有 14 0 棵．
【分析】根据题意，可得去游泳池的时候，每5棵树标记一棵，一共标记了200÷5＝40棵；
返回时，每8棵树标记一棵，一共标记了200÷8＝25棵；重复标记的棵数是200÷（5×8）＝5
棵，用40加上25，减去5，求出一共标记了多少棵树，最后用200减去标记的棵树，求出没
有被标记的树共有多少棵即可．
【解答】解：去游泳池的时候，每5棵树标记一棵，
一共标记了200÷5＝40（棵）；
返回时，每8棵树标记一棵，
一共标记了200÷8＝25（棵）；
重复标记的棵数是200÷（5×8）＝5（棵），
200﹣（40+25﹣5）
＝200﹣60
＝140（棵）
答：没有被标记的树共有140棵．
故答案为：140．
第7页（共12页）二、解答下列各题（每题10分，满分40分）
9．（10分）如图，沿正方体XYTZ﹣ABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成4
块．请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？
【分析】沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的 ，再沿BDTY切割，
含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的 ，由乘法原理可得含有顶点A的那一块占
正方体体积为： × ＝ ．
【解答】解：沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的 ，
再沿BDTY切割，含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的 ，
所以含有顶点A的那一块占正方体体积为： × ＝ ．
答：含有顶点A的那一块占正方体体积的 ．
10．（10分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD＝12，则
AG等于多少？
【分析】因为四边形ABCD是一个长方形，所以它的对角线相等，点O是AC，BD的中点，
所以点E是线段AD的中点，先根据中位线的性质求出AE的长，再根据EO与AB的比是
1：2，FH∥EO，求出AF的长．再根据GR∥FH，求出AG的长．
第8页（共12页）【解答】解：如图：
因为ABCD是一个长方形且点G、F、E引出的小横线都平行于AB
所以GR∥FH∥EO∥AB
所以△EOH∽△BAH
所以；OH：AH＝EO：AB
因为ABCD是一个长方形
所以AC＝BD＝2OC＝2OA＝2OB＝2OD
AE＝AB
所以，点E是线段AD的中点
所以，EO：CD＝AO：AC＝1：2
所以，OH：HA＝EO：AB＝AE：AD＝1：2
所以AF：AE＝FH：EO＝AH：AO＝2：3
又AD＝12
所以，AE＝6，AF＝4
FH：AB＝1：3
又GR∥FH
所以AG：AF＝AR：AH＝3：4
所以AG＝ ×AF＝ ×4＝3．
答：AG的长是3．
11．（10分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大圣》四部动漫
电影，票价分别为50元、55元、60元、65元．来影院的观众至少看一场，至多看两场．因时
间关系《冰河世纪》与《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有200人看电影所花的钱一样
多，则影院今天至少接待观众多少人？
【分析】这个根据抽屉原理，观众花钱的选择有：50，55，60，65，105，110，115，120，125，总
第9页（共12页）共9种选择，所以观众数为（200﹣1）×9+1人．
【解答】解：根据所给的条件，可以得到
（200﹣1）×9+1＝1792（人）
答：影院今天至少接待观众1792人．
12．（10分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABC﹣A B C 各顶
1 1 1
点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一
个，安装方法共有多少种？
【分析】根据题意，分3步进行，第一步，为A、B、C三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得
其情况数目，第二步，在A 、B 、C 中选一个装第4种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个
1 1 1
灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，
即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A 3种选法；
4
第二步，在A 、B 、C 中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
1 1 1
第三步，为剩下的两个灯选颜色，
假设剩下的为B 、C ，若B 与A同色，
1 1 1
则C 只能选B点颜色；若B 与C同色，
1 1
则C 有A、B处两种颜色可选．
1
故为B 、C 选灯泡共有3种选法，
1 1
即剩下的两个灯有3种情况，
则共有A 3×3×3＝216种方法．
4
答：安装方法共有216种．
第10页（共12页）三、解答下列题（共2小题，每题15分，满分30分.要求写出详细过程）
13．（15分）将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所
有数的乘积B整除．则 的最小值是多少？
【分析】首先把大数分解成多个小数的乘积，1﹣30内就有了很多相同的小的整数，要求两
组数的商的最小值，说明两组数的乘积很接近，把相同的小数均分到两组里面，剩下的单
个小数放到其中一个小组中，求出 的最小值即可．
【解答】解：1到30的自然数中质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，
合数：4＝2×2，6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，10＝2×5，12＝2×2×3，14＝2×7，15＝3×5，16＝
2×2×2×2，18＝2×3×3，
20＝2×2×5，21＝3×7，22＝2×11，24＝2×2×2×3，25＝5×5，26＝2×13，27＝3×3×3，28＝
2×2×7，30＝2×3×5，
把所有的因数整理一下，一共是：26个2，14个3，7个5，4个7，2个11，2个13，1个17，1
个19，1个23，1个29，即30!＝226×314×57×74×112×132×17×19×23×29，
若使 最小，则质因数只要尽量平分即可，
则 ＝5×17×19×23×29＝1077205．
答： 的最小值是1077205．
14．（15分）如图，在边长大于20cm的正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T
到PS的距离为8cm，到PQ的距离为9cm．则圆O的半径是多少厘米？
第11页（共12页）【分析】根据题意，作图如下：
设圆的半径为x（x＞10），则TM＝x﹣8，OM＝TN＝x﹣9，在直角三角形TMO中，根据勾
股定理有：（x﹣8）2+（x﹣9）2＝x2，解方程即可．
【解答】解：如图，
设圆的半径为x（x＞10），则TM＝x﹣8，OM＝TN＝x﹣9，
在直角三角形TMO中，根据勾股定理有：
（x﹣8）2+（x﹣9）2＝x2
整理得：x2﹣34x+145＝0
即（x﹣5）（x﹣29）＝0
得x＝5（舍去）或x＝29
答：圆O的半径是29厘米．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:51:17；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
