文档内容
第 20 讲计数综合四
内容概述
了解对应的思想，维够建立起一类对象与另一类对象之间的对应关系，并通过对后者的计数得到前者的
答案；需要考虑对称性的各种复杂计数问题，解题时要注意旋转和翻转对结果的影响．
典型问题
兴趣篇
1．在8×8的方格表中，取出一个如图20-1所示的由3个小方格组成的“L”形，
共有多少种不同的取法？
2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃
法？
3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比
赛过程一共有多少种不同的方式？
4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？
5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多
少种安排播出的方法？
6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该
提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？
7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的 7盏．但为了行路安全，任意相
邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？
8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻
两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？
10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色
可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）
拓展篇
1．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图20-2所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
2．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图20.3）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一
列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部 7个靶子共有多少种不同的顺序？
3．(1)一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙
共有多少种可能的跳法？(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，
每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
4．如图20-4所示，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出5个
三角形；如图20.5所示，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如
果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？
5．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友
没有分到苹果，共有多少种分法？
6．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？
7．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对
票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果
是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？
8．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
9．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，
请问：共有多少种选菜方案？
10．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成
一圈呢？
11．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方
体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）
12．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，
如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？
超越篇
1．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着 13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果
2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．
那么一共可以生产多少种不同的圆环？
2．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：
记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136 可以进行两次操作：
245136→425136→125436.请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？3．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有 2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相
同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？
4．有8个队参加比赛，采用如图20-6所示的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不
同的比赛安排表？
5．平面上8个点构成一个凸八边形，将这8个点中任意2个点之间连接一条线段，已知任意3条线段都没
有交于一点，请问：(1)八边形内共连接了多少条线段？(2)这些线段在八边形内共有多少个交点？
(3)所形成的图形中最多可以数出多少个三角形7
6．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，
另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开
零钱？
7．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一
封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，……，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘
书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：
(1)如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？
(2)如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？
8．(1)将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？
(2)8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋
转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）
