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2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组A卷）
一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）
1．（8分）算式 的计算结果是 ．
2．（8分）销售一种商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高
%．
3．（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还
是9的倍数，那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是 年．
4．（8分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着
的多三分之一；过了一会了再有2个山妖打倒，但是又站起来了10个山妖，此时站着的比
打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有 个．
5．（8分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数
字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数
是 ．
二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）
6．（10 分）请将 0﹣9 分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将
“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是 ．
7．（10分）2016名同学排成一排，从左到右依次按照1，2…，n报数（n≥2），若第2016名同学
所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有
名同学将不可能得到新年礼物．
8．（10分）如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是 平
第1页（共12页）方厘米．
9．（10分）四位数 除以两位数 的余数恰好为 ，如果不同的汉字表示不
同的数字且 和 不互质，那么四位数 最大是 ．
10．（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两
位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，
并依次发生如下对话：
A说：“我的数最小，而且是个质数．”
B说：“我的数是一个完全平方数．”
C说：“我的数第二小，恰有6个因数．”
D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．”
E说：“我的数是某人的数的3倍．”
那么这五个两位数之和是 ．
三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）
11．（12分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是12厘米，AC的长度是24厘米，D、E分别
在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是 平方厘米．
12．（12分）已知S＝ + + +…+ ，那么S的小数点后第2016位是 ．
13．（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；
甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一
辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B地开出的第6辆班车
追上；乙到A地时，恰被B地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B地还有21千米．那么
乙的速度是每小时 千米．
第2页（共12页）14．（12分）将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式：如果将
一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有 种不同方式．
第3页（共12页）2016 年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组 A
卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分）
1．（8分）算式 的计算结果是 201 7 ．
【解答】解：
＝
＝
＝2016×（1+ ）
＝2017；
故答案为：2017．
2．（8分）销售一种商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高
12 %．
【解答】解：1+25%＝125%
1+40%＝140%
（140%﹣125%）÷125%
＝15%÷125%
＝12%
答：售价应该提高 12%．
故答案为：12．
3．（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还
第4页（共12页）是9的倍数，那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是 2088
年．
【解答】解：依题意可知：
6，8，9的最小公倍数为：8×3×3＝72．
2016后的下一个数字就是2016+72＝2088．
故答案为：2088．
4．（8分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着
的多三分之一；过了一会了再有2个山妖打倒，但是又站起来了10个山妖，此时站着的比
打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有 3 5 个．
【解答】解：根据分析，一开始打倒的比站着的多 ，所以打倒的占总山妖的 ，过一会儿，
站着的比打倒的多 ，
∴打倒的占总山妖的 ；这中间打倒的数量减少了8个，
∴一共有山妖：8÷（ ）＝63；
此时，站着的山妖有：63× ＝35个．
故答案是：35．
5．（8分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数
字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数
是 4612 3 ．
【解答】解：依题意可知：
首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．
继续推理可知答案如图所示：
第5页（共12页）故答案为：46123．
二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分）
6．（10 分）请将 0﹣9 分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将
“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是 219 6 ．
【解答】解：依题意可知：设字母如图所示
首先这个四位数的千位如果A≥3，则不可能减完以后得2016．所有A＝2．
其次后面的两个数的乘积为整数， 是100的倍数．所以这两个乘数一个是4的
倍数一个是25的倍数．
所有必有一个数是以75结尾的．如果 ＝75．则与 的积大于200．等式不可能成立．
当 ＝375，如果 ≥60，同样的道理等式不成立，所有 是小于60的4的倍数，剩下
的数（4，6，8，9）中，只能是48满足要求．
所有 ．
所有这个四位数是2016+375×0.48＝2196．原式是2196﹣375×0.48＝2016．
故答案为：2196．
7．（10分）2016名同学排成一排，从左到右依次按照1，2…，n报数（n≥2），若第2016名同学
所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有
576 名同学将不可能得到新年礼物．
【解答】解：首先从左到右这2016名同学编号为1﹣2016．如果某个同学报的数是n，则说
明这个同学的编号恰好是n的倍数，所以n的倍数的同学都是n的倍数，那么n一定能被
2016整除，对2016分解质因数2016＝25×32×7．那么与2016互质的数字是永远不可能得
到礼物的．
第6页（共12页）互质的个数有2016× × × ＝576（个）．
故答案为：576．
8．（10分）如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是 67 2 平
方厘米．
【解答】解：根据分析，如图，首先将阴影部分等积变形成下图形状，并设正三角形面积为
a，
四边形面积为b，整个正十二边形是由12个a这样的正三角形和6个b这样的四边形组
成，
而阴影部分是由4个a这样的正三角形和2个b这样的四边形组成，恰好是整个正十二边
形的 ，
故阴影部分面积＝2016× ＝672平方厘米．
故答案是：672．
9．（10分）四位数 除以两位数 的余数恰好为 ，如果不同的汉字表示不
同的数字且 和 不互质，那么四位数 最大是 728 1 ．
【解答】解：依题意可知：
除以两位 的余数恰好为 ，则 除以 余数也是 ．
第7页（共12页）所以 ＝ + ，即 ＝ ×N．
由余数与除数的关系可知， ，设 ， 的公因数为d．
则有（ ）×99＝（ ÷d）×N．
因为 与 互质，那么 就是99的约数．所以 的结果为
9（11，1和99，33和3都不符合题意）．
为了使 最大， ＝9×d， ．当d＝9时． 取最大值
7281．
故答案为：7281
10．（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两
位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，
并依次发生如下对话：
A说：“我的数最小，而且是个质数．”
B说：“我的数是一个完全平方数．”
C说：“我的数第二小，恰有6个因数．”
D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．”
E说：“我的数是某人的数的3倍．”
那么这五个两位数之和是 18 0 ．
【解答】解：A能判断出自己的数最小，说明A的十位是1，又因为是一个质数，所以A可能
是13，17，19；
C能判定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；
B是一个完全平方数，但不能含有1、2，所以B的数可能是36，49，64；
D又能刚好知道A，B，C三人中的其中两个数，经实验，D＝36，37，39，40，47，48，49时，
可以推断出A，B，C三人中的其中两个数，如下：
第8页（共12页）发现无论哪种情况，5均没有出现，所以E中一定有一个数字5；
E说自己的数字是某个人的数的三倍，与5组合能构成3的倍数的数只有7还没有被用到，
所以E的数只能是57或75，显然75÷3＝25没有在上表中出现过，所以E的数是57，
则ABCDE这5个人手中的数有以下两种可能：19，36，28，40，57或者19，36，20，48，57，
19+36+28+40+57＝180
19+36+20+48+57＝180
答：这五个两位数之和是 180．
故答案为：180．
三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分）
11．（12分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是12厘米，AC的长度是24厘米，D、E分别
在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是 8 0 平方厘米．
【解答】解：根据分析，如图，作DF⊥BC交BC于F，在等腰直角三角形BDE里，很显然
FB＝FD＝FE，
在△ABC中，在AB⊥AC的情况下，AB：AC＝1：2，同样的道理，DF⊥FC，所以DF：FC＝
1：2，
又 ∵ DF ＝ FE ， ∴ DF ＝ EC ， 即 FD ＝ FB ＝ FE ＝ EC ， ∴ BE ＝ ， 故
，
所以，阴影部分的面积S＝ ＝ （平方厘
米）．
第9页（共12页）故答案是：80．
12．（12分）已知S＝ + + +…+ ，那么S的小数点后第2016位是 4 ．
【解答】解：根据分析，
S＝ + + +…+ ＝0. + + + +…+ ； ＝
，
小数点后第n，2n，3n…位都是1，当n是2016的约数时，小数点后第2016位是1，其它情
况小数点的2016位是0，
，2016＝25×32×7，有（5+1）×（2+1）（1+1）＝36个约数，而大于1000的约数有两个：1008、
2016，不大于1000的约数有：36﹣2＝34个；
在不考虑进位的情况下，这一位上有34个1相加，这一位的数字是4．
下面考虑进位，
第2017位：2017是质数∴2017位上只有1个1相加，不构成进位；
第2018位：2018＝2×1009，有4个约数，所以2018位上有2个1累加，也不构成进位；
第2019位及以后都不足以进位到第2016位上；
综上所述，S小数点后第2016位是4．
故答案是：4．
13．（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；
甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一
辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B地开出的第6辆班车
追上；乙到A地时，恰被B地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B地还有21千米．那么
乙的速度是每小时 2 7 千米．
【解答】解：依题意可知：
设甲乙在C点相遇，由于班车的速度一定，所以从某一辆车追上甲（乙）到下一辆车追上
甲（乙）的时间是相等的．
先考虑乙B到C（相遇点），乙被6辆车追上，从C到A又被2辆车追上，说B到C的时间
第10页（共12页）是A到C的时间的3倍．
所以BC＝3AC．又因为C是相遇点，所以乙的速度是甲的速度的3倍．所以当乙走完全程
时，甲走完全程的 ．
此时甲距离B还有21千米，所以全程的路程是21÷（1﹣ ）＝ 千米．
当甲乙相遇时，甲被9辆车追上，乙被6辆车追上，追上乙的那辆车比追上甲的那辆车早
出发了15分钟．即 小时．
因为两车相遇是全程的四等分点，所以追上乙的那辆车比追上甲的那辆车夺走了全程的
，即 千米．
所以班车的速度是 ÷ ＝63千米/小时．所以班车跑完全程需要 ÷63＝ 小时．
在乙到达A第8辆车恰好追上，这辆车出发时乙已经走了40分钟，即 小时．这辆车在路
上用去 小时．
乙从B到A共用了 小时．
那么乙的速度是 ＝27千米/小时；
故答案为：27
14．（12分）将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式：如果将
一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有 2 1 种不同方式．
【解答】解：如图：
第11页（共12页）1+8+4+8＝21（种）
答：共有21种不同的方法．
故答案为：21．
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日期：2019/5/5 18:16:37；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
