23-24学年二中九年级（上）12月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（12 月份） 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．） 1．（3分）下列事件中是确定事件的是( ) A．直角三角形都相似 B．正方形都相似 C．等腰三角形都相似 D．菱形都相似 2．（3分）已知O 的半径是3，点O到直线l的距离为4，则直线l与O 的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 3．（3分）如图，在O 中，AB是直径，BC CDDE，AOE 60，则BOC的度数为( ) 学 升 哥 A．35 B．40 C．45 D．60 4．（3分）如图，O 是ABC 水的外接圆，连接OB、OC，若OBBC ，则BAC等于( ) A．60 B．45 C．30 D．20 5．（3分）如图，点D在ABC 的边AC 上，要判定ADB与ABC 相似，需添加一个条件，下列添加的 条件中，不正确的是( ) AB CB AD AB A．ABDC B．ADBABC C．  D．  BD CA AB AC 6．（3 分）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90得到EDC ，若点 A、D、E 在同一条直线上，且 ACB20，则E的度数为( ) 第1页（共31页）A．20 B．25 C．30 D．45 7．（3分）半径为R的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为( ) A．1: 2 B．1:2 C．1: 3 D． 3:1 8．（3分）如图，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP4，P30，则弦 AB的长为( ) 学 A．2 5 B．2 3 C．升5 D．2 9．（3分）如图，点O为ABC 的外心，点哥I 为ABC的内心，若BOC 140，则BIC的度数为( ) 水 A．110 B．125 C．130 D．140 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上， 且OAOB．点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 第2页（共31页）二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）正六边形的一个内角的度数是 ． 12．（3分）在ABC和△ABC中，若A50，B75，A50，则当C 时，ABC∽ △ABC． 13．（3分）如图，AB是半圆O的直径，D是AC上不与A、C重合的一点，若BAC 40，则ADC的 度数为 ． 学 14．（3分）如图，RtABC中，C 90，若AC 升 4，BC 3，则ABC的内切圆半径r  ． 哥 水 1 15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB12，AE  AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点 4 P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ． 16．（3分）如图，在ABC 中，ACB90，AC BC ，AB4，CD是中线，点E、F 同时从点D出 发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C 时，运动停止，直线AE分别与CF 、BC相 交于G、H ，则在点E、F 移动过程中，点G移动路线的长度为 ． 第3页（共31页）三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） AD 1 17．（4分）如图，在ABC 中，若DE//BC，  ，DE 4cm，求BC的长． DB 2 18．（4分）如图，已知AB、CD为O 的两条弦，ADBC，求证：ABCD． 学 升 哥 水 19．（6分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是 多少米？ 20．（6分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A(3,1)，B(3,1)，C(1,1)，D(2,2)，E(3,0)． （1）画出ABC 的外接圆P，则点P的坐标为 ； （2）点D与P的位置关系为：点D在P ；点E与P的位置关系为：点E在P ； （3）若在y轴上有一点Q，满足AQBACB ，请直接写出点Q的坐标为 ． 第4页（共31页）21．（8分）如图，O的直径AB4cm，AM 和BN 是它的两条切线，DE与O相切于点E，并与AM 、 BN 分别相交于D、C两点．设AD x，BC  y，求y关于x的函数解析式． 学 升 哥 水 22．（10分）如图，用一个半径为12cm，面积为48cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径r ． 23．（10 分）如图， AB 是O 的直径，点D在 AB 的延长线上，C 、E 是O 上的两点，CE CB ， BCDCAE，延长AE交BC的延长线于点F ． （1）求证：CD是O的切线； （2）求证：CE CF； （3）若BD1，CD 3，求弦AC的长． 第5页（共31页）24．（12分）在锐角ABC中，AB8，BC 10，ACB45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得 到△ABC ． 1 1 （1）当点C 在线段CA的延长线上时，如图1，求CC A 的学度数； 1 1 1 升 （2）如图2，ABC 绕点B按逆时针方向旋转，连接AA ，CC ，若ABA 的面积为16 3，求CC 的长度； 1 1 1 1 哥 （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程点P 水 的对应点是点P，求线段EP长度的最大值与最小值． 1 1 1 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线 y x2 bxc与y轴交于点A， 2 抛物线的对称轴与x轴交于点B． （1）如图，若A(0, 3)，抛物线的对称轴为直线x3．求抛物线的解析式，并直接写出y 3时x的取值 范围； （2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当PBC为等边三角形时，求 点P，C 的坐标； 1 （3）若抛物线 y x2 bxc 经过点 D(m,2) ， E(n,2) ， F(1,1) ，且 mn，求正整数 m ， n 的 2 第6页（共31页）值． 学 升 哥 水 第7页（共31页）2023-2024 学年广东省广州二中九年级（上）月考数学试卷（12 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．） 1．（3分）下列事件中是确定事件的是( ) A．直角三角形都相似 B．正方形都相似 C．等腰三角形都相似 D．菱形都相似 【分析】根据相似多边形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，随机事件，逐一判断 即可解答． 【解答】解：A、直角三角形都相似，是随机事件，属于不确定事件，故A不符合题意； B、正方形都相似，是必然事件，属于确定事件，故B符合题意； C、等腰三角形都相似，是随机事件，属于不确定事件，故C不符合题意； 学 D、菱形都相似，是随机事件，属于不确定事件，故D不符合题意； 升 故选：B． 哥 【点评】本题考查了相似多边形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，随机事件，熟 练掌握相似多边形的判定是解题水的关键． 2．（3分）已知O 的半径是3，点O到直线l的距离为4，则直线l与O 的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【分析】判断直线和圆的位置关系：设O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和O相交 d r②直线l和O相切d r③直线l和O相离d r，由此即可判断 【解答】解：O的半径r 3，点O到直线l的距离d 4， d r， 直线l与O的位置关系是相离． 故选：A． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，关键是掌握直线和圆位置关系的判定方法． 3．（3分）如图，在O 中，AB是直径，BC CDDE，AOE 60，则BOC的度数为( ) 第8页（共31页）A．35 B．40 C．45 D．60 1 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得BOC  BOE，即可求解． 3 【解答】解：AB是直径， AOB180， AOE 60， BOE 120， BC CDDE， 学 1 BOC  BOE 40． 3 升 故选：B． 哥 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 水 4．（3分）如图，O 是ABC 的外接圆，连接OB、OC，若OBBC ，则BAC等于( ) A．60 B．45 C．30 D．20 【分析】由OBBC，易得OBC是等边三角形，继而求得BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得BAC 的度数． 【解答】解：OBBC OC， OBC是等边三角形， BOC 60， 1 BAC  BOC 30． 2 故选：C． 【点评】此题考查了等边三角形的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注 第9页（共31页）意同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 5．（3分）如图，点D在ABC 的边AC 上，要判定ADB与ABC 相似，需添加一个条件，下列添加的 条件中，不正确的是( ) AB CB AD AB A．ABDC B．ADBABC C．  D．  BD CA AB AC 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【解答】解：若ABDC ，AA，则ADB∽ABC，故选项A不合题意； 若ADBABC，AA，则ADB∽ABC，故选项B不合题意； AD AB 若  ，AA，则ADB∽ABC，故选项D不合题意； AB AC 故选：C． 学 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 升 6．（3 分）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90得到EDC ，若点 A、D、E 在同一条直线上，且 哥 ACB20，则E的度数为( ) 水 A．20 B．25 C．30 D．45 【分析】由将ABC 绕点C顺时针旋转90得到EDC ，若点A、D、E在同一条直线上，可得AEC 中 CACE，又由ACB20，即可得EEAC(18090)245． 【解答】解：由将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC ，若点A、D、E在同一条直线上， 得AEC 中CACE， 由ACB20， 得EEAC(18090)245， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的旋转，解题关键是正确抓住旋转的性质． 7．（3分）半径为R的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为( ) A．1: 2 B．1:2 C．1: 3 D． 3:1 第10页（共31页）【分析】根据题意可以求得半径为R的圆内接正三角形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值． 【解答】解：如图，过点O作ODBC于点D，连接OB， ABC是正三角形，且是半径为R的圆O的内接正三角形， 1 OBD60 30， 2 1 1 OD OB R； 2 2 如图，过点A作ODBC于点D，连接OB，OA， 学 升 哥 六边形半径为R的圆的内接正水六边形， AOB60，OAOBR， AOB是正三角形， AOD30， 3 ODcos30OAcos30R R ， 2 1 3 圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为( R):( R)1: 3． 2 2 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆与正多边形，关键是等边三角形性质定理的应用． 8．（3分）如图，O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP4，P30，则弦 AB的长为( ) 第11页（共31页）A．2 5 B．2 3 C． 5 D．2 【分析】连接OA，作OC  AB于C ，根据垂直定理得到AC BC，根据直角三角形的性质得到OC 2， 根据勾股定理求出AC的长即可得到答案． 【解答】解：连接OA，作OC  AB于C， 则AC BC ， OP4，P30， OC 2， AC OA2 OC2  5， AB2AC 2 5， 故选：A． 学 升 哥 【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 水 两条弧、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 9．（3分）如图，点O为ABC 的外心，点I 为ABC的内心，若BOC 140，则BIC的度数为( ) A．110 B．125 C．130 D．140 1 【分析】根据圆周角定理得到A BOC 70，根据三角形的内心的性质得到BI 平分ABC，CI 平 2 分ACB，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：点O为ABC的外心， 1 A BOC 70， 2 ABCACB18070110， 第12页（共31页）点I 为ABC的内心， BI 平分ABC，CI平分ACB， 1 IBCICB (ABCACB)55， 2 BIC 18055125， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和 性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上， 且OAOB．点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为( ) 学 升 哥 A．10 B．12 水 C．14 D．16 【分析】连接OP，根据切线的性质与勾股定理可得答案． 【解答】解：由题意知，C的半径为3， 如图，连接OP， OAOB，APB90， 1 OP ABOAOB， 2 当OP最大时，AB最大， 如图，连接OC交C于P， 第13页（共31页）由勾股定理得，OC 32 42 5， OP8， AB长度的最大值为16， 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．熟练掌握切线的性 质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）正六边形的一个内角的度数是 120 ． 【分析】利用多边形的内角和公式180(n2)计算出六边形的内角和，然后再除以6即可． 【解答】解：由题意得：180(62)6120， 故答案为：120． 【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和公式． 学 12．（3分）在ABC和△ABC中，若A50，B75，A50，则当C 55 时，ABC∽ 升 △ABC． 哥 水 【分析】先根据ABC∽△ ABC，得CC ，由A50，B75，根据三角形的内角和求出 C 55，即可作答． 【解答】解：ABC∽△ABC， CC， A50，B75， C 180507555， 即C55， 故答案为：55． 【点评】本题考查了相似三角形的性质以及三角形的内角和，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（3分）如图，AB是半圆O的直径，D是AC上不与A、C重合的一点，若BAC 40，则ADC的 度数为 130 ． 第14页（共31页）【分析】由AB是半圆O的直径，可得ACB90，由三角形内角和定理求B，由题意知，四边形ABCD 是O的内接四边形，根据ADC 180B，计算求解即可． 【解答】解：AB是半圆O的直径， ACB90， B180BACACB50， 由题意知，四边形ABCD是O的内接四边形， ADC 180B130， 故答案为：130． 【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的对角互补，三角形内角和定理．熟练掌握 学 直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 升 14．（3分）如图，RtABC中，C 90，若AC 4，BC 3，则ABC的内切圆半径r  1 ． 哥 水 【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF 和BF ，而它们的和等于 AB，得到关于r 的方程，即可求出． 【解答】解：如图，设ABC的内切圆与各边相切于D，E，F ，连接OD，OE，OF ， 则OE BC，OF  AB，OD AC ， 设半径为r，CDr， C 90，AC 4，BC 3， AB5， 第15页（共31页）BE BF 3r，AF  AD4r ， 4r3r 5， r1． ABC的内切圆的半径为 1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定 理是解题的关键． 1 15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB12，AE  AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点 4 P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 4 ． 学 升 【分析】先证明BPE∽CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ y，BP x，则CP12x，代入解 哥 析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【解答】解：BEPBPE 水90，QPCBPE90， BEPCPQ． 又BC 90， BPE∽CQP． BE BP   ． PC CQ 设CQ y，BP x，则CP12x． 9 x 1   ，化简得y (x2 12x)， 12x y 9 1 整理得y (x6)2 4， 9 所以当x6时，y有最大值为4． 故答案为4． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用 二次函数最值求解考查了数形结合思想． 16．（3分）如图，在ABC 中，ACB90，AC BC ，AB4，CD是中线，点E、F 同时从点D出 第16页（共31页）发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C 时，运动停止，直线AE分别与CF 、BC相 2 交于G、H ，则在点E、F 移动过程中，点G移动路线的长度为 ． 2 【分析】先求出CD AD2，CD AB，AC 2 2，再证出ADE CDF，根据全等三角形的性质可 得DAE DCF ，从而可得CGE ADE 90，由此可判断出点A，C，G，D四点共圆，在以AC  为直径的圆上，取AC 的中点为点O，连接OD，则在点E、F 移动过程中，点G移动是劣弧CD，然后 利用弧长公式求解即可得． 【解答】解：在ABC 中，ACB90，AC BC ，AB学4，CD是中线， 1 CD AD AB2，CD AB， 升 2 哥  AC AD2 CD2 2 2， 由题意可知，DE DF ， 水 在ADE和CDF中， ADCD  ADE CDF 90，  DE DF ADECDF(SAS)， DAE DCF ， 又AEDCEG， CGE ADE 90， 点A，C，G，D四点共圆，在以AC为直径的圆上， 如图，取AC的中点为点O，连接OD， 第17页（共31页） 则在点E、F 移动过程中，点G移动轨迹是劣弧CD， 点O为RtACD的斜边AC的中点， 1 ODOC  AC  2 ， 2 90 2 2 点G移动路线的长度为  ， 180 2 2 故答案为： ． 2 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、弧长公式、直角三角形的性质等知识，正确判断出点G移 学 动轨迹是解题关键． 三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文升字说明、证明过程或演算步骤．） AD 1 17．（4分）如图，在ABC 中，若DE// 哥 BC，  ，DE 4cm，求BC的长． DB 2 水 【分析】由DE//BC，判断ADE∽ABC ，再由相似三角形的性质得出相似比求BC． AD 1 【解答】解：由  ，得BD2AD，则AB ADDB3AD， DB 2 DE//BC， ADE∽ABC， DE AD 1    ， BC AB 3 BC 3DE 12cm． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求解． 18．（4分）如图，已知AB、CD为O 的两条弦，ADBC，求证：ABCD． 第18页（共31页）【分析】首先根据两弧相等得到等弧，然后根据同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等即可得到结论． 【解答】解： ADBC，  ADBDBCBD， 即：ABCD， ABCD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弧对等弦求解． 19．（6分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2学米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是 多少米？ 升 哥 水 【分析】连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在RtOAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定 理即可求出半径的长度． 【解答】解：连接OA； 1 RtOAD中，AD AB1米； 2 设O的半径为R，则OAOC R，OD5R； 由勾股定理，得：OA2  AD2 OD2，即： R2 (5R)2 12，解得R2.6（米)； 答：圆柱形门所在圆的半径是2.6米． 【点评】此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦 心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等 a 式r2 d2 ( )2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 2 20．（6分）在同一平面直角坐标系中有5个点：A(3,1)，B(3,1)，C(1,1)，D(2,2)，E(3,0)． 第19页（共31页）（1）画出ABC 的外接圆P，则点P的坐标为 (1,0) ； （2）点D与P的位置关系为：点D在P ；点E与P的位置关系为：点E在P ； （3）若在y轴上有一点Q，满足AQBACB ，请直接写出点Q的坐标为 ． 学 【分析】（1）先在平面直角坐标系上标出A(3,1)，B(3,1)，C(1,1)，再作出线段AB，AC 的垂直平分线， 升 它们的交点，即为点P，即可作答． 哥 （2）先在平面直角坐标系上标出D(2,2)，E(3,0)，观察P与点D和点E的位置，即可作答． （3）根据同弧所对的圆周角是水相等的，取P与y轴的交点，即为Q，再连接AQ，BQ，即可作答． 【解答】解：（1）如图1所示： （2）如图1: 点D与P的位置关系为：点D在P外；点E与P的位置关系为：点E在P内； 第20页（共31页）（3）如图2: 在y轴上有一点Q，满足AQBACB ， 学 图中Q ，Q 即为所求， 1 2 升 且Q(0,2)，Q (0,2)． 1 2 哥 【点评】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位 水 置关系是解答本题的关键． 21．（8分）如图，O的直径AB4cm，AM 和BN 是它的两条切线，DE与O相切于点E，并与AM 、 BN 分别相交于D、C两点．设AD x，BC  y，求y关于x的函数解析式． 【分析】首先作DF BN 交BC于F ，可得四边形ABFD是矩形；然后根据切线长定理得到BF  AD x， CE CB y，则DC DECE x y ；在RtDFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【解答】解：作DF BN 交BC于F ． 第21页（共31页）AM 、BN 与O切于点定A、B， AB AM ，ABBN， 又DF BN ， BADABC BFD90， 四边形ABFD是矩形， BF  AD x，DF  AB4， BC  y， 学 FCBCBF  yx ． 升 DE切O于E， 哥 DE  DA x CE CB y， 则DC DECE x y ， 水 在RtDFC中，由勾股定理得：(x y)2 (yx)2 42， 4 整理为y ， x 4 y关于x的函数解析式为y (x0)． x 【点评】该题考查了圆的切线及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定 理来解题． 22．（10分）如图，用一个半径为12cm，面积为48cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）． （1）求扇形的圆心角的度数； （2）求圆锥的底面半径r ． 【分析】（1）先求出半径为12cm的圆面积，结合面积为48cm2的扇形，即可作答． 第22页（共31页）nR （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：l  ，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 180 12012 扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到2r  ，然后解方程求出r 即可． 180 【解答】解：（1）一个半径为12cm，面积为48cm2的扇形铁皮， 48  360120， 122 扇形的圆心角的度数为120； （2）根据题意得， 12012 2r  ， 180 解得r4cm． 所以圆锥的底面半径r 为4cm． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长． 学 23．（10 分）如图， AB 是O 的直径，点D在 AB 的延长线上，C 、E 是O 上的两点，CE CB ， 升 BCDCAE，延长AE交BC的延长线于点F ． 哥 （1）求证：CD是O的切线； （2）求证：CE CF； 水 （3）若BD1，CD 3，求弦AC的长． 【分析】（1）连接OC ，可证得CADBCD ，由CADABC 90，可得出OCD90，即结论 得证； （2）证明ABC AFC可得CBCF ，又CBCE ，则CE CF； （3）证明DCB∽DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BCa,AC 3a，则由勾股定理可得AC的 长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示， 第23页（共31页）AB是O的直径， ACB90， CADABC 90， CE CB， CAE CAB， BCDCAE， CABBCD， OBOC， 学 OBC OCB， OCBBCD90， 升 OCD90， 哥 OC CD， 水 OC为半径， CD是O的切线； （2）证明：BAC CAE ，ACBACF 90，AC  AC， ABCAFC(ASA)， CBCF ， 又CBCE， CE CF ； （3）解：BCDCAD，ADC CDB， DCB∽DAC ， CD AD AC    ， BD CD BC 3 AD AC    ， 1 3 BC DA3， 第24页（共31页）AB ADBD312， 设BCa,AC 3a， 由勾股定理可得：a2 ( 3a)2 22， 解得a1，a1（舍去），  AC  3． 【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、 勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 24．（12分）在锐角ABC中，AB8，BC 10，ACB45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得 到△ABC ． 1 1 学 升 哥 水 （1）当点C 在线段CA的延长线上时，如图1，求CC A 的度数； 1 1 1 （2）如图2，ABC 绕点B按逆时针方向旋转，连接AA ，CC ，若ABA 的面积为16 3，求CC 的长度； 1 1 1 1 （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程点P 的对应点是点P，求线段EP长度的最大值与最小值． 1 1 【分析】（1）由旋转的性质可得：ACBACB45，BC BC ，又由等腰三角形的性质，即可求得 1 1 1 CC A 的度数； 1 1 （2）由旋转的性质易证ABA∽CBC ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S 25 3， 1 1 CBC1 过点C 作C DBC，面积公式求出CD5 3，勾股定理求出BD的长，进而求出CD的长，再用勾股定 1 1 1 理即可求出CC 的长； 1 （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，ABC 绕点B旋转，使点P的对应点P在线段AB上时，EP最 1 1 小；②当P在AC上运动至点C ，ABC 绕点B旋转，使点P的对应点P在线段AB的延长线上时，EP最 1 1 第25页（共31页）大，即可求得线段EP长度的最大值与最小值． 1 【解答】解：（1）由旋转的性质可得：ACBACB45，BC BC ， 1 1 1 CCBCCB45， 1 1 CC A CCBACB454590． 1 1 1 1 1 （2）依据旋转的性质可知，BABA ，BC BC ，ABA CBC ， 1 1 1 1 BA BA   1 ， BC BC 1 ABA∽CBC ， 1 1 S AB 16  ABA1 ( )2  ， S BC 25 CBC1 ABA 的面积为16 3， 1 学 S 25 3， 升 CBC1 过点C 作C DBC交CB延长线于D，如哥图1: 1 1 水 1 则：S  BCCD25 3， CBC1 2 1 CD5 3， 1  BD CB2 CD2 5， 1 1 CDBCBD15， CC  CD2 CD2 10 3． 1 1 （3）过点B作BD AC，D为垂足，如图3， 第26页（共31页）ABC为锐角三角形， 点D在线段AC上， 在RtBCD中，ACB45，BDC 90， DBC 904545， DBC DCB， DBDC， DB2 DC2 BC2， 学 2DB2 102， 升 解得：DB5 2或DB5 2（舍去）， 哥 点E为线段AB中点， 水 1 BE  AE  AB4； 2 ①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P在线段AB上时，EP最 1 1 小，且最小值为：EP BP BE BDBE 5 24； 1 1 ②如图2，当P在AC上运动至点C，ABC 绕点B旋转，使点P的对应点P在线段AB的延长线上时，EP 1 1 最大，且最大值为：EP BCBE 10414． 1 第27页（共31页）综上分析可知，线段EP长度的最大值为14与最小值为5 24． 1 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．此 题难度较大，属于压轴题，利用数形结合思想和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键，注意旋转前后 的对应关系． 1 25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线 y x2 bxc与y轴交于点A， 2 抛物线的对称轴与x轴交于点B． 学 （1）如图，若A(0, 3)，抛物线的对称轴为直线x3．求抛物线的解析式，并直接写出y 3时x的取值 升 范围； 哥 （2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当PBC为等边三角形时，求 点P，C 的坐标； 水 1 （3）若抛物线 y x2 bxc 经过点 D(m,2) ， E(n,2) ， F(1,1) ，且 mn，求正整数 m ， n 的 2 值． b 【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，可得c，由对称轴是x ，可求得b；当y 3时， 2a 结合图象求得x的范围； （2）连接AB，在对称轴上截取BD AB，分两种情况进行讨论，根据题意可得A、B、C、P四点共 第28页（共31页）圆，先证A、D、C在同一直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标 特征等即可求解． 1 （3）)由抛物线过点D(m,2)，E(n,2)可设设抛物线解析式为y (xm)(xn)2，于是再将点F(1,1) 2 的坐标代入解析式中可得(m1)(n1)6，再利用mn，m，n为正整数求解即可． 【解答】解：（1）A (0, 3)，抛物线的对称轴为x3． b c 3， 3， 1 2( ) 2 解得：b3， 1 抛物线解析式为y x2 3x 3， 2 1 当y 3时， x2 3x 3 3， 2 解得：x 0，x 6， 1 2 学 x的取值范围是：0 x 6； 升 哥 （2）连接AB，在对称轴上截取BD AB， 水 由已知可得：OA 3，OB3， 在RtAOB中， 3 tanOAB  3 ， 3 OAB60， PAB180OAB120， BCP是等边三角形， BCP60， PABBCP180， A、B、C、P四点共圆， BAC BPC 60， BD AB， ABD是等边三角形， BAD60， 第29页（共31页）点D在AC上， BD AB OA2 OB2 2 3， D(3,2 3)， 设AD的解析式为ykxb，则有：  3kb2 3  ， b 3  3 k  解得： 3 ，  b 3 3 AC的解析式为： y x 3， 3 3 1 由 x 3 x23x 3，得： 3 2 学 2 3 x 0，x  6， 1 2 3 升 2 3 2 当x 6时，y3 3 ， 3 3 哥 2 3 2 C( 6，3 3 )， 3 3 水 设P(0,y)，则有： 2 2 y2 32 ( 36)2 (3 3  y)2， 3 3 4 解得：y3 3 ， 3 4 P(0,3 3 )； 3 当C与A重合时， OAB60， 点P与点A关于x轴对称，符合题意， 此时，P(0, 3)，C(0, 3)； 2 3 2 4 C( 6，3 3 )，P(0,3 3 )或P(0, 3)，C(0, 3)； 3 3 3 第30页（共31页）1 （3）抛物线y x2 bxc经过点D(m,2)，E(n,2)， 2 1 设抛物线解析式为y (xm)(xn)2， 2 1 1 将点F(1,1)代入 y (xm)(xn)2中，得 (1m)(1n)21， 2 2 学 整理得：(m1)(n1)6， mn，且m，n为正整数， 升 1mn， 哥 m1，n1为正整数，且m1n1， 水 当m11，n16时， 解得：m2，n7； 当m12，n13时， 解得：m3，n4． m2，n7或m3，n4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:24:02；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第31页（共31页）