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倒卖拉黑不更新，其他任何渠道均属倒卖，淘宝店铺: 知二教育 售后微信: gcdzzgyjzt
2025 年长春市初中学业水平考试数学
本试卷包括三道大题、共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将
本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，学生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将系形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．答题时、考生务必按照考试要求在各题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上苏题无
效．
3．作用可先使用铅笔画出_确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降 记作 ，那么水位上升
记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“ ”表示，
那么水位上升就用“ ”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果水位下降 记作 ，那么水位上升 记作 ，
故选：B．
2. 下面几何体中为圆锥的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可．
【详解】解：A、该几何体为正方体，不符合题意；
B、该几何体为球，不符合题意；
C、该几何体为圆锥，符合题意；
D、该几何体为是三棱锥，不符合题意．
故选：C．
3. 下列计算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选
项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算正确，符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 下列不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大
大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：A、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
B、原不等式组无解，符合题意；
C、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
D、原不等式组的解集为 ，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达海拔高度为 米的点 处．测得山峰顶端 的仰
角为 ．则 、 两点之间的距离为（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确找构直角三角形是解题的关键．
由题意得四边形 是矩形，则 ，那么 ，再解 即可．
【详解】解：由题意得，四边形 是矩形，
∴ ，
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∴ ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则下列结论正确的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例
函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 、 在同一正比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，当 时 ，当 时 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴选项 正确，选项 错误，
故选： ．
7. 将直角三角形纸片 （ ）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．
由折叠可得： ， ，则 ，
那么 ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐
一判断即可．
【详解】解：由折叠可得： ， ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
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∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，故D错误，符合题意，
故选：D．
8. 在功 一定的条件下，功率 与做功时间 成反比例， 与 之间的函数关系如图
所示．当 时， 的值可以为（ ）
A. 24 B. 27 C. 45 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的
计算方法是解题的关键．
先求出 关于 的函数解析式，再分别求出 ， 时的函数值，然后根据反比例函数的性
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质求出 的取值范围，即可判断．
【详解】解：由题意设 关于 的函数解析式为： ，
代入点 得： ，
解得： ，
∴ 关于 的函数解析式为 ，
当 时， ；当 时， ，
∵ ，
∴在第一象限内， 随着 的增大而减小，
∴ ，
的
∴ 值可以为 ，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 8的立方根是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解．
【详解】解： ，
8的立方根是2．
故答案为：2．
10. 写出 的一个同类项：_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此进行
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作答即可．
【详解】解： 是 的一个同类项，
故答案为： （答案不唯一）．
11. 已知 ，则代数式 的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．
将 化为 ，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为：3．
12. 若扇形的面积是它所在圆的面积的 ，则这个扇形的圆心角的大小是_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积 是解题的关键．
设扇形的圆心角度数为 ，半径为 ，由扇形面积公式和圆的面积公式得到 ，即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角度数为 ，半径为 ，
由题意得 ，
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解得： ，
故答案为： ．
13. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则 为_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：
，再进一步求解即可.
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为： ，
∴ ，
故答案为：
14. 如图，在边长为4的正方形 中，对角线 、 相交于点 ．点 在线段 上．连接 ，
作 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④点 与点 之间的距离的最小值为 ．
上述结论中，正确结论的序号有_______．
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【答案】①②④
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得 ，结合 ，可得 ，
故①符合题意；证明 ，可得 ，故②符合题意；当 时， ，可
得 ， ，可得 ，故③不符合题意；如图，取 的中点 ，连接
，可得 在以 为圆心， 为直径的圆上，当 共线时， 最小，再进一步可判断④.
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，故③不符合题意；
如图，取 的中点 ，连接 ，
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∵ ，
∴ 在以 为圆心， 为直径的圆上，
当 共线时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 之间的距离的最小值为 ．故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定
与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解
本题的关键.
三、解答题：本题共10小题、共78分．
15. 先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把
代入计算即可．
【详解】解：
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，
当 时，原式 ．
16. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、
乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用
画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 ．
17. 如图， 的对角线 、 相交于点 ．求证： 是菱形．
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【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．
先由勾股定理逆定理得到 ，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
18. 小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到
达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设小林跑步的平均速度为 米每秒，则小吉的平均速度为 米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比
小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．
【详解】解：设小林跑步的平均速度为 米每秒，则小吉的平均速度为 米每秒，
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由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为： ，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
19. 图①、图②、图③均是 的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用
无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，使 的顶点均在格点上．
（1）在图①中， 是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中， 是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中， 是面积最大的等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的
关键．
（1）如图所示，取格点A、B、C，顺次连接A、B、C，则 即为所求；
（2）如图所示，取格点A、B、C，顺次连接A、B、C，则 即为所求；
（3）如图所示，取格点A、B、C，顺次连接A、B、C，则 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
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【小问2详解】
解；如图所示， 即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示， 即为所求．
20. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距
离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到
的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
身
16 16 16 17 17 17 17 17 17 17
高
6 9 9 1 2 3 3 3 4 4
臂
16 16 16 16 16 16 16 16 16 17
展
1 2 4 6 4 5 7 9 9 0
编
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
号
身
17 17 17 17 17 17 18 18 18 18
高
5 6 7 7 8 9 0 0 1 3
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臂
16 16 17 17 17 17 17 17 17 18
展
9 7 3 2 3 0 7 4 6 5
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高
175 m 173
臂展
170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组： ，
）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域
内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 与身高 之间关联关系的直线 ．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 、 的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于 的男生人数；
（3）图②中直线 近似的函数关系式为 ，根据直线 反映的趋势，估计身高为 男生的
臂展长度．
【答案】（1） ；
（2） 人
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（3）身高为 男生的臂展长度约为 .
【解析】
【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm 男生人数的占比为 ，再乘以总人数即可；
的
（3）把 代入 即可得到答案.
【小问1详解】
解：由表格信息可得： ；
；
【小问2详解】
解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
【小问3详解】
解：∵ ，
当 时， ，
∴身高为 男生的臂展长度约为 .
21. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不
同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，
甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快
递的总数量 （件）与乙机器人工作时间 （分钟）之间的函数关系如图所示．
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（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求 所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
【答案】（1） ，
（2）
（3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟.
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用；
（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解 的值即
可；
（2）由甲乙机器人的效率为每分钟 件，可得 所在直线对应的函数表达式为：
，再化简即可；
（3）把 代入 ，进一步即可得到答案.
【小问1详解】
解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为 分钟；
∵ ，
∴ （件）；
【小问2详解】
解：∵甲乙机器人的效率为每分钟 件，
∴ 所在直线对应的函数表达式为： ；
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【小问3详解】
解：当 时，
∴ ，
解得： ，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟.
22. 数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的
覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段 的覆盖圆有无数个，其中，以 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段 的最小覆盖圆一定经过点 、点 ．如图①，以 为直径作 ，再过 、
两点作 （ 与 不重合），连结 ．在 中，有 （
）．
，
，即 的直径大于 的直径．
是线段 的最小覆盖圆．“ ”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以
先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三
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角形的最小覆盖圆．如图②，在 中， ． 是以 为直径的圆．请你判断点
与 的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知， 是 最长边 的最小覆盖圆，所以， 是 的最小覆盖
圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形 中， ， ．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形 的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确
定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形 的最小覆盖圆的直径为 ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 ．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二： 在 上；证明见解析；拓展应用：
（1）作图见解析；（2） ；（3） ；
【解析】
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上 的中线的性质证明 即可得到答案；
拓展应用：（1）连接 ，交于点 ，以 为圆心， 为半径作圆即可；
（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；
（3）作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，可得四边形 ， 是两个全等的矩形，
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，用两个等圆完全覆盖矩形 ，可得两圆一定过 ，再进一步解答即可.
【详解】解：探究一：
理由如下：易知线段 的最小覆盖圆一定经过点 、点 ．如图①，以 为直径作 ，再过 、
两点作 （ 与 不重合），连结 ．在 中，有 （三角形的任意两边
之和大于第三边）．
，
，即 的直径大于 的直径．
是线段 的最小覆盖圆．“ ”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ 在 上；
拓展应用：（1）如图， 即为矩形 的最小覆盖圆；
（2）∵矩形 ， ， ，
∴ ， ；
（3）作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，
∴四边形 ， 是两个全等的矩形，
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∴ ，
∵用两个等圆完全覆盖矩形 ，
∴两圆一定过 ，
连接 ，交点分别为 ，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为 或 或 或 ，
∴最小直径为 ，
如图，作 的垂直平分线交 于 ，
同法作 ， ，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形 ．则这样的两个等圆的最小直径为 .
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的
位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键.
23. 如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，点 为边 上一动点，
连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
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的
（1）线段 长为 ；
（2）当 时，求 的长；
（3）当点 在边 上时，求证： ；
（4）当点 到 的距离是点 到 距离的2倍时，直接写出 的长．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析 （4） 的长为 或 .
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）如图，求解 ， ，证明 ，结合 ，可得
，再进一步求解即可；
（3）证明 ，结合 ， ，从而可得结论；
（4）如图，当 在 的左边时，结合题意可得： ， ， ，过 作
于 ，过 作 于 ，可得 ，结合（1）可得： ，
证明 ，可得 ，再进一步解得即可；如图，当 在 的右边时，过 作
于 ，过 作 于 ，同法可得答案.
【小问1详解】
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解：∵在 中， ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：∵旋转，
∴ ，
如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
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【小问4详解】
解：如图，当 在 的左边时，结合题意可得： ， ， ，
过 作 于 ，过 作 于 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
结合（1）可得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ；
如图，当 在 的右边时，过 作 于 ，过 作 于 ，
同理： ，
四边形四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ；
综上： 的长为 或 .
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
24. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 经过点 ．点 、 是该抛物线上的
两点，横坐标分别为 、 ，已知点 ，作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称
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点 ，构造四边形 ．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 的坐标；
（3）设抛物线在 、 两点之间的部分（含 、 两点）为图象 ．当 时，若图象 的最高点
与最低点的纵坐标之差为 ．求 的值；
（4）连结 、 ，当 时，直接写出 的取值范围（这里 、
、 均是大于 且小于 的角）．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
（4）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，将点 代入 即可求解．
（2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对
称的中点公式求对称点坐标．
（3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间 与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐
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标差建立方程求解 ．
（4）根据平行线的性质，先分析条件可得点 在 之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再
计算直线 的解析式，根据点 分别在 上时，取得临界值，求得 的值，即可求解．
【小问1详解】
将点 代入 中得：
解得： ，
∴ ．
【小问2详解】
根据抛物线对称轴公式 可知：
抛物线 的对称轴为 ，
∵ 、 关于对称轴对称，且横坐标分别为 、 ，
∴ 、 中点在对称轴上，
∴ ，
，
解得： ，
∵点 是该抛物线上的点，
将 代入抛物线解析式得，
，
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即
设 是A关于 的对称点，则：
解得 ， ，
∴ 点坐标为 ．
【小问3详解】
∵抛物线顶点为 ，开口向上， ， ，
当 时， 包含 ，最低点为 。
当 时， ，最高点为A，纵坐标差为： ，
解得： ；
当 时， ，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得： ．
综上，m的值为 或 ．
【小问4详解】
∵点 是点 关于点 的对称点，点 是点 关于点 的对称点，结合题意可知：
∴ ， ， ， ，
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∴ ， ， ， ，
如图，四边形 是平行四边形，当点 在 之间， 的左侧，过点 作
∴
∴
∴
当点 在 上时，
∴
∴
解得 ，
当点 在 上时
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
其中 ， ， 时，如图，经检验符合 ，
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综上， ．
【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质
等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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