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2025 年长春市初中学业水平考试数学
本试卷包括三道大题、共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将
本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，学生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将系形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．答题时、考生务必按照考试要求在各题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上苏题无
效．
3．作用可先使用铅笔画出_确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降 记作 ，那么水位上升
记作（ ）
A. B. C. D.
2. 下面几何体中为圆锥的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列不等式组无解的是（ ）
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A. B. C. D.
5. 如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达海拔高度为 米的点 处．测得山峰顶端 的仰
角为 ．则 、 两点之间的距离为（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
6. 已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则下列结论正确的是
（ ）
A. B. C. D.
7. 将直角三角形纸片 （ ）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
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8. 在功 一定的条件下，功率 与做功时间 成反比例， 与 之间的函数关系如图
所示．当 时， 的值可以为（ ）
.
A 24 B. 27 C. 45 D. 50
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 8的立方根是______．
10. 写出 的一个同类项：_______．
11. 已知 ，则代数式 的值为_______．
12. 若扇形的面积是它所在圆的面积的 ，则这个扇形的圆心角的大小是_______度．
13. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则 为_______度．
14. 如图，在边长为4的正方形 中，对角线 、 相交于点 ．点 在线段 上．连接 ，
作 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④点 与点 之间的距离的最小值为 ．
上述结论中，正确结论的序号有_______．
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三、解答题：本题共10小题、共78分．
15. 先化简．再求值： ，其中 ．
16. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、
乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用
画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
17. 如图， 的对角线 、 相交于点 ．求证： 是菱形．
18. 小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到
达终点．求小林跑步的平均速度．
19. 图①、图②、图③均是 的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用
无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，使 的顶点均在格点上．
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（1）在图①中， 是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中， 是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中， 是面积最大的等腰直角三角形．
20. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距
离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到
的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
身
16 16 16 17 17 17 17 17 17 17
高
6 9 9 1 2 3 3 3 4 4
臂
16 16 16 16 16 16 16 16 16 17
展
1 2 4 6 4 5 7 9 9 0
编
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
号
身
17 17 17 17 17 17 18 18 18 18
高
5 6 7 7 8 9 0 0 1 3
臂
16 16 17 17 17 17 17 17 17 18
展
9 7 3 2 3 0 7 4 6 5
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高
175 m 173
臂展
170 169
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c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组： ，
）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域
内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展 与身高 之间关联关系的直线 ．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 、 的值： ， ；
的
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于 男生人数；
（3）图②中直线 近似的函数关系式为 ，根据直线 反映的趋势，估计身高为 男生的
臂展长度．
21. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不
同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，
甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快
递的总数量 （件）与乙机器人工作时间 （分钟）之间的函数关系如图所示．
的
（1）甲机器人停工保养 时间为 分钟， ；
（2）求 所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
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22. 数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的
覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段 的覆盖圆有无数个，其中，以 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段 的最小覆盖圆一定经过点 、点 ．如图①，以 为直径作 ，再过 、
两点作 （ 与 不重合），连结 ．在 中，有 （
）．
，
，即 的直径大于 的直径．
的
是线段 最小覆盖圆．“ ”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以
先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三
角形的最小覆盖圆．如图②，在 中， ． 是以 为直径的圆．请你判断点
与 的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知， 是 最长边 的最小覆盖圆，所以， 是 的最小覆盖
圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
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如图③，在矩形 中， ， ．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形 的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确
定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形 的最小覆盖圆的直径为 ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 ．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
23. 如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，点 为边 上一动点，
连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
（1）线段 的长为 ；
的
（2）当 时，求 长；
（3）当点 在边 上时，求证： ；
（4）当点 到 的距离是点 到 距离的2倍时，直接写出 的长．
24. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 经过点 ．点 、 是该抛物线上的
两点，横坐标分别为 、 ，已知点 ，作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称
点 ，构造四边形 ．
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（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 的坐标；
（3）设抛物线在 、 两点之间的部分（含 、 两点）为图象 ．当 时，若图象 的最高点
与最低点的纵坐标之差为 ．求 的值；
（4）连结 、 ，当 时，直接写出 的取值范围（这里 、
、 均是大于 且小于 的角）．
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