文档内容
2016 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
2．（3分）吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉
林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．45×103 B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103
3．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯
视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向
旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
7．（3 分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，若 OA=2，∠P=60°，则 的长为（ ）
A． π B．π C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、Q（m，n）在函数y=
（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点
A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着
m的增大，四边形ACQE的面积（ ）
A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
9．（3分）计算（ab）3= ．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值
是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C
为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M和点N，作直线MN
交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为 ．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对称中心与原点重合，
顶点A的坐标为（﹣1，1），顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则
k的值为 ．
13．（3 分）如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是 上一点．若∠OAB=25°，
∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的顶点A在x轴正半轴上，
顶点 C的坐标为（4，3），D是抛物线 y=﹣x2+6x 上一点，且在 x轴上方，则
△BCD面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共10小题，共78分
15．（6分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a= ．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 0，1，2，每
个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数
字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列
表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
17．（6分）A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知 A型机器比B型机器
每小时多加工 20 个零件，A型机器加工 400个零件所用时间与 B型机器加工
300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
18．（6分）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了 n名学生
进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答
下列问题：
（1）求n的值；（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人
数．
19．（7分）如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B
相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求
纪念碑的高度（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】
20．（7分）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，
且DF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．21．（9分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达
B地立即以另一速度按原路匀速返回到 A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两
车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数
图象如图所示
（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．22．（9分）感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：
DB=DC．
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：
DB=DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=
（用含a的代数式表示）
23．（10 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=8，
∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过
点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动
的时间为t秒
（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点H与点D重合时t的值；
（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之
间的函数关系式；
（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为 ；
当OO′⊥AD时，t的值为 ．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a（x﹣h）2．抛物线
y=a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是
抛物线y=a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线
y=a（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=a（x﹣h）2于点Q′（不与
点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．
（1）求a的值；
（2）当抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周
长为l．
①求 的值；
②求l与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称
图形？直接写出h的值．2016 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）（2016•长春）﹣5的相反数是（ ）
A． B． C．﹣5 D．5
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2016•长春）吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选
出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．45×103 B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于
1时，n是负数．
【解答】解：45000这个数用科学记数法表示为4.5×104，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的
值．
3．（3分）（2016•长春）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这
个立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解．
【解答】解：从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个
正方形，
故选C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的
定义，属于基础题，难度不大．
4．（3分）（2016•长春）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（
）
A． B． C． D ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解： ，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3，
故不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
在数轴上表示为：．
故选C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3 分）（2016•长春）把多项式 x2﹣6x+9 分解因式，结果正确的是
（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2 C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题
的关键．
6．（3分）（2016•长春）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点
C按逆时针方向旋转 48°得到 Rt△A′B′C′，点 A在边 B′C 上，则∠B′的大小为（
）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角
△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋
转48°得到Rt△A′B′C′，
∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，
∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．
故选A．
【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角
形两锐角互余的性质．
7．（3分）（2016•长春）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若
OA=2，∠P=60°，则 的长为（ ）
A． π B．π C． D．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再
利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出 的长即可．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴ 的长l= = π，
故选C
【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本
题的关键．
8．（3 分）（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、Q
（m，n）在函数y= （x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴
的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD
交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ）A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利
用m、n表示，然后根据函数的性质判断．
【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，
则S =AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．
四边形ACQE
∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y= （x＞0）的图象上，
∴mn=k=4（常数）．
∴S =AC•CQ=4﹣n，
四边形ACQE
∵当m＞1时，n随m的增大而减小，
∴S =4﹣n随m的增大而增大．
四边形ACQE
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出
四边形ACQE的面积是关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
9．（3分）（2016•长春）计算（ab）3= a 3 b 3 ．
【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=a3b3，
故答案为：a3b3
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）（2016•长春）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实
数根，则m的值是 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴22﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次
方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．
11．（3分）（2016•长春）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分
别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点
N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为 10
．
【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证
明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，
∵点D在直线MN上，
∴DC=DB，
∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ACD的周长为10．
故答案为10．【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题
的关键是学会转化，把△ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中
考常考题型．
12．（3分）（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对称
中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），顶点B在第一象限，若点B在
直线y=kx+3上，则k的值为 ﹣ 2 ．
【分析】先求出B点坐标，再代入直线y=kx+3，求出k的值即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，
1），
∴B（1，1）．
∵点B在直线y=kx+3上，
∴1=k+3，解得k=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各
点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（3 分）（2016•长春）如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是 上一点．若
∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 30 度．【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由
∠OCA=40°，可求得∠CAO的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，
∵∠ACO=40°，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40°，
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形
的性质求解是关键．
14．（3分）（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的顶点A
在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且
在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．
【分析】设 D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得 OC，根据菱形的性质得出
BC，然后根据三角形面积公式得出∴S = ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣
△BCD3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC= =5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S = ×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣ （x﹣3）2+15，
△BCD
∵﹣ ＜0，
∴S 有最大值，最大值为15，
△BCD
故答案为15．
【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决
本题的关键．
三、解答题：本大题共10小题，共78分
15．（6分）（2016•长春）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），
其中a= ．
【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将 a= 代
入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）
=a2﹣4+4a﹣a2
=4a﹣4，
当a= 时，原式= ．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合
运算的计算方法．16．（6分）（2016•长春）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数
字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一
个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用
画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸
出的小球上的数字之和是3的概率．
【解答】解：列表得：
1 2 0
和
1 2 3 1
2 3 4 2
0 1 2 0
∴P（和为3）= ．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步
以上完成的事件；解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验．
17．（6分）（2016•长春）A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机
器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B
型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
【分析】关键描述语为：“A型机器加工 400个零件所用时间与 B型机器加工
300个零件所用时间相同”；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数
=300÷B型机器每小时加工零件的个数．
【解答】解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x
﹣20）个．
根据题意列方程得： = ，
解得：x=80．
经检验，x=80是原方程的解．
答：A型机器每小时加工零件80个．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的
等量关系是解决问题的关键．
18．（6分）（2016•长春）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽
取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，根据统计图提
供的信息解答下列问题：
（1）求n的值；
（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人
数．
【分析】（1）可直接由条形统计图，求得n的值；
（2）首先求得统计图中课外阅读量超过10本的百分比，继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：n=6+33+26+20+15=100，
答：n的值为100；
（2）根据题意得： ×1100=385（人），
答：估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数为：385人．
【点评】此题考查了条形统计图的知识以及由样本估计总体的知识．注意能准
确分析条形统计图是解此题的关键．
19．（7分）（2016•长春）如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与
纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰
角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】【分析】作DE⊥AB于E，根据正切的概念求出 AE的长，再结合图形根据线段
的和差计算即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，
AB=AE+BE≈30.4米，
答：纪念碑的高度约为30.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的
概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（7分）（2016•长春）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD
的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．
【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，
∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴ = ，
∴CE= =4× =6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性
质，相似三角形的判定与性质．
21．（9分）（2016•长春）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速
前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A
地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y
与x之间的函数图象如图所示
（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．
【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论；
（2）根据题意列方程组即可得到结论；
（3）根据题意列算式即可得到结论．
【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时），
答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时；（2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）；
（3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时，
当x=3.75时，y=175千米，
答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米．
【点评】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关
系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
22．（9 分）（2016•长春）感知：如图 1，AD 平分∠BAC．∠B+∠C=180°，
∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：
DB=DC．
应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=
a （用含a的代数式表示）
【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD= EB即可解决
问题．
【解答】探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，
∴BE= a，
∴AB﹣AC= a．
故答案为 a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角
形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三
角形，属于中考常考题型．
23．（10分）（2016•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向
终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交
AC 于点 G，过点 G 作 GH⊥AD 交 AD（或 AD 的延长线）于点 H，得到矩形
EFHG，设点E运动的时间为t秒
（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点H与点D重合时t的值；
（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之
间的函数关系式；
（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为 4
；当OO′⊥AD时，t的值为 3 ．
【分析】（1）由题意知：AE=2t，由锐角三角函数即可得出EF= t；
（2）当H与D重合时，FH=GH=8﹣t，由菱形的性质和EG∥AD可知，AE=EG，
解得t= ；
（3）矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H
在线段AD上，此时重合的部分为矩形EFHG；②当H在线段AD的延长线上时，重合的部分为五边形；
（4）当OO′∥AD时，此时点E与B重合；当OO′⊥AD时，过点O作OM⊥AD
于点M，EF与OA相交于点N，然后分别求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列
出方程即可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意知：AE=2t，0≤t≤4，
∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，
∴sin∠BAD= ，
∴EF= t；
（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，
∴AF=t，
当H与D重合时，
此时FH=8﹣t，
∴GE=8﹣t，
∵EG∥AD，
∴∠EGA=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠EGA=30°，
∴AE=EG，
∴2t=8﹣t，
∴t= ；
（3）当0＜t≤ 时，
此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG，
∴由（2）可知：AE=EG=2t，
∴S=EF•EG= t•2t=2 t2，当 ＜t≤4时，如图1，
设CD与HG交于点I，
此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID，
∵AE=2t，
∴AF=t，EF= t，
∴DF=8﹣t，
∵AE=EG=FH=2t，
∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，
∵∠HDI=∠BAD=60°，
∴tan∠HDI= ，
∴HI= DH，
∴S=EF•EG﹣ DH•HI=2 t2﹣ （3t﹣8）2=﹣ t2+24 t﹣32 ；
（4）当OO′∥AD时，如图2
此时点E与B重合，
∴t=4；
当OO′⊥AD时，如图3，
过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，
由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，
∴FN= t，FM=t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中点，
∴O′O是△FNG的中位线，
∴O′O= FN= t，
∵AB=8，
∴由勾股定理可求得：OA=4
∴OM=2 ，∴O′M=2 ﹣ t，
∵FE= t，EG=2t，
∴由勾股定理可求得：FG2=7t2，
∴由矩形的性质可知：O′F2= FG2，
∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2，
∴ t2=（2 ﹣ t）2+t2，
∴t=3或t=﹣6（舍去）．
故答案为：t=4；t=3．
【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．
24．（12分）（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a（x﹣
h）2．抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交
于点B，P是抛物线y=a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂
线交抛物线y=a（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=a（x﹣h）2于
点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．
（1）求a的值；
（2）当抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周
长为l．
①求 的值；
②求l与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称
图形？直接写出h的值．
【分析】（1）把（0，0）代入y=a（x﹣3）2+4即可解决问题．
（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题．
②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函
数求出相应线段即可解决．
（3），①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ′是等腰梯形．②当
四边形OQ′ Q A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．
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【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，
∴x=0时，y=0，
∴9a+4=0，∴a=﹣ ．
（2）∵抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，
∴h=0，∵a=﹣ ，
∴y=﹣ x2．
①∵P（m，﹣ + m），Q（m，﹣ ），
∴PQ=﹣ + m﹣（﹣ ）= m，QQ′=2m，
∴ = = ．
②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，
∵ = ，∠PQQ′=∠BMO=90°，
∴△PQQ′∽△BMO，
∴∠QPQ′=∠OBM，
∵EF∥BM，
∴∠OEF=∠OBM，
∴∠OEF=∠QPQ′，
∴OE∥PQ′，
∵ = ，
∴EF= ，OE= ，
∴l=OF+EF+OE=m+ + m=4m，
当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB
于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．
∵AF=6﹣m，tan∠EAF= = ，∴EF= （6﹣m），AE= ，
∵tan∠PGF= = ，PF=﹣ + ，
∴GF=﹣ m2+2m，
∴AG=﹣ m2+m+6，
∴GM=AM=﹣ m2+ m+3，
∵HG=HA= =﹣ m2+ m+5，
∴l=GH+EH+EF+FG=﹣ m2+4m+8．
综上所述l= ，
（3）如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，
∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称，
∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，
∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形．
②当四边形OQ′ Q A是菱形时，OQ′ =OA=Q =Q′ =6，
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当顶点在原点时，Q 点横坐标为3，将x=3代入
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y=﹣ x2，得 y=4，由于是平移，Q点纵坐标不变，
∴点Q 的纵坐标为4，
1
在RT△OHQ′ ，中，OH=4，OQ′ =6，
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∴HQ′ =2 ，
1
∴h=3﹣2 或3+2 ，
综上所述h=3或3﹣2 或3+2 时点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图
形．【点评】本题考查二次函数的综合题、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、
等腰梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正
确画出图象解决问题，属于中考压轴题．
