文档内容
2023 年长春市初中学业水平考试
数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形
码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无
效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数 、 、 、 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知， ， ， ， ，
比较四个数的绝对值排除 和 ，
根据绝对值的意义观察图形可知， 离原点的距离大于 离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
2. 长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足 年旅客吞吐量 人次目标设计的，
其中 这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为： ， ，n为整数的位数减
1．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 与 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（
）
A. 面① B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥
【答案】C
【解析】
【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径 的卡钳，卡钳交叉点O为 、 的中点，只要量出
的长度，就可以道该零件内径 的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易证 ，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为 、 的中点，
， ，（对顶角相等），
在 与 中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 到地面，如图所
示．已彩旗绳与地面形成 角（即 ）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即
米），则彩旗绳 的长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解： 表示的是地面， 表示是图书馆，
，
为直角三角形，（米）.
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.
7. 如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可得 ，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，故A，C正确；
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ ，故D选项正确，
而 不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点 、 在函数 的图象上，分别以 、 为圆心， 为
半径作圆，当 与 轴相切、 与 轴相切时，连结 ， ，则 的值为（ ）A. 3 B. C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 交于点 ，得出 的横坐标为 ，
的纵坐标为 ，设 ， ，则 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， 交于点 ，
依题意， 的横坐标为 ， 的纵坐标为 ，设 ，
∴ ，则 ，
又∵ ， ，
∴
∴ （负值已舍去）
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）
9. 分解因式： =____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
10. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式求出 ，再求出不等式的解集即可．
【详解】解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
解得： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的
关键，注意：已知一元二次方程 为常数， ，①当 时，方程
有两个不相等的实数根，②当 时，方程有两个相等的实数根，③当 时，
方程没有实数根．
11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开
始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代
数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
12. 如图， 和 是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 上．若 ，
则 和 的周长之比为__________．
【答案】
【解析】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解： ，
，
设 周长为 ，设 周长为 ，
和 是以点 为位似中心的位似图形，
．
．
和 的周长之比为 ．
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
13. 如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使
边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则 的大小为__________度．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为 ，根据折叠的性质求得
在 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为 ，
将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 ，
∵将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14. 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航班抵达
北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的
一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此
时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状
及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面__________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移后的抛
物线与 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：
、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移
动前后抛物线的解析式．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：当 时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项
式的运算法则是解题的关键．
16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸
杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从
中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机
选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画
树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．
【答案】
【解析】
【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有 种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有 种，
则某同学获一等奖的概率为： ，
答：某同学获一等奖的概率为 ．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．17. 随着中国网民规模突破 亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使
伽瑶 ，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作 个 伽瑶 玩偶摆件，为了尽快完成任务，
实际平均每天完成的数量是原计划的 倍，结果提前 天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？
【答案】原计划平均每天制作 个摆件．
【解析】
【分析】设原计划平均每天制作 个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划平均每天制作 个，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作 个摆件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18. 将两个完全相同的含有 角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次
在同一直线上，连结 、 ．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ，当四边形 是菱形时． 的长为__________ ．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知 易得 ， 即 ，依
据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在 中，由 角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得
， ；由菱形得对角线平分对角得 ，再由三角形外
角和易证 即可得 ，最后由 求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知 ，
， ，
，
四边形 地平行四边形；
【小问2详解】
如图，在 中， ， ， ，
， ，
四边形 是菱形，
平分 ，
，
，
，
，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，
角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟
练掌握相关知识综合求解．
19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（
，缩写 ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
例如：某人身高 ，体重 ，则他的 ．
中国成人的 数值标准为： 为偏瘦； 为正常； 为偏胖；
为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的 值并绘制
了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司 名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高 ， 值为 ，他想通
过健身减重使自己的 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________ ．（结果精确到 ）
【答案】（1）见解析 （2） 人
（3）
【解析】
【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进
而补全统计图即可求解；
（2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以 即可求解；
（3）设小张体重需要减掉 ，根据 计算公式，列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
抽取了 人，
属于偏胖的人数为： ，
补全统计图如图所示，
【小问2详解】
（人）【小问3详解】
设小张体重需要减掉 ，
依题意，
解得： ,
答：他的体重至少需要减掉9kg，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统
计图表获取信息是解题的关键．
20. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，点C在格点上．
（1）在图①中， 的面积为 ；
（2）在图②中， 的面积为5
（3）在图③中， 是面积为 的钝角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）以 为底，设 边上的高为 ，依题意得 ，解得 ，即点在 上方且到 距离为 个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知， ，以 为底，设 边上的高为 ，依题意得
，解得 ，将 绕 或 旋转 ，过线段的另一个端点作 的平行线，
与网格格点的交点即为点 ；
（3）作 ，过点 作 ，交于格点 ，连接A、B、C即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
以 为底，设 边上的高为 ，
依题意得：
解得：
即点 在 上方且到 距离为 个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
【小问2详解】
由网格可知，
以 为底，设 边上的高为 ，
依题意得：
解得：将 绕 或 旋转 ，过线段的另一个端点作 的平行线，与网格格点的交点即为点 ，
答案不唯一，
【小问3详解】
如图所示，
作 ，过点 作 ，交于格点 ，
由网格可知，
， ，
∴ 是直角三角形，且
∵
∴ ．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形 的高的有关计算；解题的关键是熟练
利用网格作平行线或垂直．
21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘
坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当 时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度 y 与 x 之间的函数关系式为 ，联立
，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 ，将 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点 代入得，解得： ，
∴ ；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
22. 【感知】如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐角 的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与
点A、C重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点E，使
，连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点P在 上，且点P与点B在
的两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________．
【答案】感知： ；探究：见解析；应用： ．
【解析】
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三
角形，进而得证；
应用：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 得，可推得 是等腰
直角三角形，结合 与 可得 ，代入 即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得 ，
故答案为： ；
探究：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴ ， ，
，
是等边三角形，
，
，
即 ；
应用：
延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴ ， ，
，
是等腰直角三角形，，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角
形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造 ，
进行转换求解．
23. 如图①．在矩形 ． ，点 在边 上，且 ．动点 从点 出发，沿
折线 以每秒 个单位长度的速度运动，作 ， 交边 或边 于点 ，
连续 ．当点 与点 重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 秒．（ ）（1）当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
（2）当点 和点 重合时，求 ；
（3）当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
的
（4）作点 关于直线 对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部分图
形为轴对称四边形时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4） 或 或
【解析】
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解．
（2）证明 ，得出 ；
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重合时符合题意，
此时如图，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，连接 ，∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
【小问2详解】
如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
【小问3详解】
如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴
又∵
∴ ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形；
【小问4详解】
①如图所示，当点 在 上时，∵ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：
当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中，，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，
分别画出图形，数形结合是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 （ 是常数）经过点 ．点 的
坐标为 ，点 在该抛物线上，横坐标为 ．其中 ．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点 在 轴上时，求点 的坐标；
（3）该抛物线与 轴的左交点为 ，当抛物线在点 和点 之间的部分（包括 、 两点）的最高点与
最低点的纵坐标之差为 时，求 的值．
（4）当点 在 轴上方时，过点 作 轴于点 ，连结 、 ．若四边形 的边和抛物
线有两个交点（不包括四边形 的顶点），设这两个交点分别为点 、点 ，线段 的中点为 ．当以点 、 、 、 （或以点 、 、 、 ）为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半
时，直接写出所有满足条件的 的值．
【答案】（1） ；顶点坐标为
（2）
（3） 或 或 或
（4） 或 或
【解析】
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；
（2）当 时， ，求得抛物线与 轴的交点坐标，根据抛物线上的点 在 轴上时，横
坐标为 ．其中 ，得出 ，即可求解；
（3）①如图所示，当 ，即 时，②当 ，即 时，③当
，即 时，④当 ，即 ，分别画出图形，根据最高点与最
低点的纵坐标之差为 ，建立方程，解方程即可求解；
（4）根据 在 轴的上方，得出 ，根据题意分三种情况讨论①当 是 的中点，②同理
当 为 的中点时，③ ，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将点 代入抛物线 ，得，
解得：
∴抛物线解析式为 ；∵ ，
∴顶点坐标为 ，
【小问2详解】
解：由 ，
当 时， ，
解得： ，
∵抛物线上的点 在 轴上时，横坐标为 ．其中 ．
∴
∴
解得： ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ；
【小问3详解】
①如图所示，当 ，即 时，
抛物线在点 和点 之间的部分（包括 、 两点）的最高点为顶点，最低点为点 ，
∵顶点坐标为 ，
则纵坐标之差为依题意，
解得： ；
②当 ，即 时，
∵ ，即 ，
依题意， ，
解得： 或 （舍去），
③当 ，即 时，
则 ，解得： 或 （舍去），
④当 ，即 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
综上所述， 或 或 或 ；
【小问4详解】
解：如图所示，
∵ 在 轴的上方，∴
∴
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
∵ ,
①当 是 的中点，如图所示
则 ，
∴ 代入 ，
即 ，
解得： （舍去）或 ；
②同理当 为 的中点时，如图所示， ， ，则点 、 、 、 为顶点
的四边形的面积是四边形 面积的一半，∴ ，
解得： ，
③如图所示，
设 ，则 ，
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积是四边形 面积的一半，线段 的中点为
∴
即
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 关于 对称，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
