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强化提升-数资 3
（笔记）
主讲教师：周末
授课时间：2024.07.15
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 3（笔记）
【注意】三大方法：代入排除法、倍数特性法、方程法，在考题中大概占比
20%～30%。代入排除、倍数特性的优点是快（利用了题目是选择题的形式，答案
不需要算出来，本质是结合选项），方程法做题可能会慢一些。
1.代入排除法：
（1）范围：
①典型题：余数、不定方程、多位数、年龄。
②看选项：选项为一组数、可转化为一组数。
③剩两项：只剩两项时，代入一项即得答案。
（2）方法：
①优先排除：尾数、奇偶、倍数。
②直接代入：最值、好算、居中。
2.倍数特性法：
（1）基础知识：
①当 B、C为整数时，如果 A=B*C，则 A能被B、C整除。
②口诀：3、9看各位数字之和，4看末两位，2、5看末位。
1③因数分解：12=3*4≠2*6，分解时必须互质。
④拆分：拆成两个数的和或差。
（2）余数型：利用多退少补，找倍数关系。
①若 y=ax+b，则y-b能被a整除。
②若 y=ax-b，则y+b能被a整除。
③前提：a、x均为整数。
（3）比例型：
①若 A/B=m/n，则A是m的倍数，B 是n的倍数，A±B是m±n 的倍数。
②前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
1.（2023 事业单位）分别用红、黄、蓝、绿四种颜色标记 4 个号码。若红
色号码加4，黄色号码减 4，蓝色号码乘 4，绿色号码除以8，它们最后结果都相
同。在这 4 种颜色的号码中，一种颜色标记了三位数，两种颜色标记了两位数，
一种颜色标记了一位数（且这个数字不超过 4），那么，三位数的号码是：
A.120 B.128
C.256 D.512
【解析】1.根据题意，四个颜色对应 4 个数字，红+4=黄-4=蓝*4=绿/8，但
是四个号码都不知道，未知数个数（4个号码）＞方程个数（三个连等关系）→
不定方程问题；也可以根据出现“三位数”→多位数问题，考虑代入排除。三位
数肯定是最大的，一位数肯定是最小的，结合算式，绿色号码肯定是最大的，故
绿色号码是三位数，蓝色号码是最小的，蓝色号码是一位数。代入 A项：120/8=15，
蓝色*4 结果肯定是偶数，15 不是偶数，排除；代入 B 项：128/8=16，4*4=16，
说明最小数字是 4，满足数字不超过 4，往前推，黄色-4=16，黄色=20，黄色是
两位数；红+4=16，红色=12，红色是两位数，满足题目全部条件，当选，选择 B
项。【选 B】
【注意】
1.特征：
（1）未知数个数（4 个号码）＞方程个数（三个连等关系）→不定方程问
2题。
（2）出现三位数→多位数问题。
2.方法：代入排除。
3.有同学根据一位数不超过4，那就有 4、3、2、1四种，但是不会是1和2
（结果就是 1位数），要么是4，要么是 3，直接试4也可以把答案找出来。
2.（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28米的篱笆围成
一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m米，由于条件限制第二条边长只能
是第一条边长度的 1/2多4米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】2.“一个三角形形状的场地”，一共 28 米。三条边不知道，未知
数个数（三条边）＞方程个数（1 个等量关系——和为 28），不定方程问题，考
虑代入排除。根据题意，“第二条边长只能是第一条边长度的 1/2多4米”，已
知第一条边长为m米，则第二条边为1/2m+4，求出m，“第一条边是唯一最短边”，
即 m 是最短边。代入 A 项：m=6，1/2m+4=7，则第三条边为 28-6-7=15，注意三
角形两条边之和大于第三条边，6+7＜15，无法构成三角形，排除 A 项；代入 B
项：m=7，1/2m+4=7.5，则第三条边为28-14.5=13.5，满足三角形三边关系，当
选，选择 B项。【选 B】
【注意】
1.特征：未知数个数（三条边）＞方程个数（1个等量关系——和为28）→
不定方程问题。
2.方法：代入排除。
3.基础知识：三角形三边关系需满足：
（1）任意两边之和大于第三边。
（2）任意两边之差小于第三边。
4.代入 D 项：m=9，1/2m+4=8.5，m 不是最短边，8.5＜9，不符合题意。代
入C项：m=8，1/2m+4=8，两条边相等，也不满足第一条边是唯一最短边，排除。
35.根据 m＜1/2m+4→m＜8，可以排除 C、D项，剩二代一即可。
3.（2021 事业单位）小王计划背完一本单词书，如果每天背 6 页单词，若
干天后还剩1页，如果每天背 7页，则若干天后还剩 5页。问这本单词本可能有
多少页单词？
A.187 B.193
C.201 D.215
【解析】3.“还剩 1 页”，说明有余数，考虑代入排除。“如果每天背 6
页单词，若干天后还剩 1 页”，根据多退少补，总页数-1=6 的倍数，选项-1 分
别为186、192、200、214，排除 C、D项；“如果每天背 7页，则若干天后还剩 5
页”，总页数-5=7 的倍数，A、B 项-5 分别为 182、188，188 不是 7 的倍数，排
除B项，选择 A项。【选 A】
【注意】
1.特征：出现剩余（剩 1页）→余数问题。
2.方法：多退少补，代入排除。
4.（2021 广东）某学校组织学生外出学农。如果每间宿舍住 6 名学生，就
会缺7张床位，如果每间宿舍住 8名学生，就会空出 3张床位，则这批学生一共
有多少人？
A.50 B.45
C.43 D.37
【解析】4.出现剩余（缺 7张床，空 3张床）→余数问题。注意分配与剩余
主体不一致，分的是人，余数是床，“缺 7 张床”说明人多了 7 个，和常见的余
数不同。可以翻译成“每间宿舍住 6 名学生，会多 7 人”，根据多退少补，总人
数-7=6 的倍数，选项-7 分别为 43、38、36、30，排除 A、B 项；“每间宿舍住 8
名学生，就会空出 3 张床位”，空 3 张床，说明少了 3 人，翻译为“每间宿舍住
8名学生，就会少 3人”，总人数+3=8的倍数，C、D项+3分别为 46、40，排除C
项，选择D项。【选 D】
4【注意】
1.特征：出现剩余（缺 7张床，空3 张床）→余数问题。
2.方法：多退少补，代入排除（注意分配与剩余主体不一致）。
3.也可以设房间数，列方程解决。
5.（2024 联考）运动会招募志愿者，第一次招募了不到 100 人，其中男女
比例为11：7；补招若干女性志愿者后，男女比例变为 4：3。问最多可能补招了
多少名女性志愿者？
A.3 B.5
C.6 D.10
【解析】5.出现比例（前后两次招录男女之比 11：7与4：3），考虑倍数特
性。“男女比例为 11：7”，即男/女=11/7，说明男生人数是 11 的倍数，女生人
数是7的倍数；“补招若干女性志愿者后，男女比例变为 4：3”，男生人数不变，
男/女=4/3，男生人数是 4的倍数，男生人数既是11的倍数又是 4的倍数，说明
男生人数是 11*4=44 的倍数，11 份可以写成 44n，则女生可以写成 7*4n=28n，
44n+28n=72n，“招募了不到 100 人”，故 n 只能取 1，说明第一次招募的男生
人数就是 44 人，第一次招募的女生就是 7*4=28 人；补招后女生人数是 33 人；
所求=33-28=5人，选择 B项。【选B】
【注意】
1.特征：出现比例（前后两次招录男女之比 11：7与4：3）+问题所求与比
例相关。
2.方法：倍数特性，列式 A/B=m/n解题，再结合范围求解。最近两年考查比
5例型的题目难度升级了一点，需要结合范围求解。
6.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】6.根据题意，拥有中级工程师职称的人数=50*40%=20 人。出现比
例（甲乙两部门中级职称占比 45%与32%），问题所求与比例相关，考虑倍数特性。
甲部门中级职称人数/甲部门人数=45/100=9/20，说明甲部门中级职称人数是 9
的倍数，甲部门的人数是 20 的倍数；乙部门中级职称人数/乙部门人数
=32/100=8/25，说明乙部门中级职称人数是 8 的倍数，乙部门的人数是 25 的倍
数，结合“3个部门共有员工 50人”，说明甲部门是 20人，中级职称人数就是
9 人；乙部门是 25 人，中级职称的人数就是 8 人。则丙部门人数=50-20-25=5
人，丙中级职称的人数=20-9-8=3人，所求=3/5=60%，选择A项。【选A】
【注意】
1.特征：出现比例（甲乙两部门中级职称占比 45%与32%）+问题所求与比例
相关。
2.方法：倍数特性，列式 A/B=m/n解题，再结合范围求解。
【注意】方程法：
61.普通方程：设未知数。
（1）设小不设大（避免分数）。
（2）设中间量（方便列式）。
（3）求谁设谁（避免陷阱）。
（4）出现比例：设份数。
2.不定方程：思维逻辑是代入排除。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。
（3）尾数特性：系数尾数为 0或5。
（4）直接代入选项。
7.（2022 浙江）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加 2 人并重
新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加 10 人，
第二小组人数减少 1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人
数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15 人 B.21人
C.24 人 D.32人
【解析】7.题干信息比较多，有 4个组，未知量也比较多，可以设中间量（四
个小组人数相等），再反推原来求解。设分配后每组人数都是 x，则总人数=4x；
原先的总人数=4x-2，原先的第一组：x-10，第二组：x+1，第三组：1/2x，第四
组：2x，列式：x-10+（x+1）+1/2x+2x=4x-2，4.5x-9=4x-2，0.5x=7，解得x=14，
问原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差多少，人数最少的是
x-10=14-10=4，人数最多的是 2x=2*14=28，所求=28-4=24，对应 C项。【选C】
7【注意】技巧：主体太多，设中间量（方便列式），再反推原来求解。
8.（2020 四川下）某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个
品种的樱桃单价分别为 28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒
丙品种的樱桃？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】8.根据题意，未知数个数（甲、乙、丙盒数）＞方程个数（共 400
元）→不定方程。设甲、乙、丙三个品种的樱桃分别买了 x、y、z 盒，列式：
28x+32y+33z=400，求的是丙，即求z，既能用奇偶又能用倍数，优先考虑倍数。
28、32和400都含有公因子 4，说明33z 是4的倍数，33不是4 的倍数，说明z
是4的倍数，结合选项，只有 B项符合。【选B】
【注意】
1.识别：未知数个数（甲、乙、丙盒数）＞方程个数（共 400 元）→不定方
程。
2.解不定方程：既能用奇偶又能用倍数，一般优先用倍数。奇偶的本质也是
倍数，奇数、偶数看 2的倍数，而 4的倍数要比 2的倍数高，要求越高，符合要
求的答案就越少，优先用倍数效率比较高。
3.33z是4的倍数，根据代数思维，33z=400-28x-32y=4*（100-7x-8y）。
4.考虑奇偶：28x+32y+33z=400，28x、32y、400 都是偶数，说明 33z 是偶
数，33 不是偶数，说明 z 是偶数，排除 A、C 项；剩二代一，代入 D 项：
28x+32y+198=400，28x+32y=202，每一项约掉 2 后为 14x+16y=101，偶数+偶数
≠奇数，排除D项，选择 B项。
9.（2022 江苏 A）某企业年终评选了 30 名优秀员工，分三个等级，分别按
每人 10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1 万元
奖金的员工有：
8A.14 人 B.19人
C.20 人 D.21人
【解析】9.根据题意，3 个未知数（三个奖金等级）＞2 个方程（共 30 人；
共89万元）→不定方程组。
方法一：求人数，有三个等级 10 万元、5 万元、1 万元，设获得 10 万元奖
励的人数为 x、获得 5 万元奖励的人数为 y、获得 1 万元奖励的人数为 z，“某
企业年终评选了 30 名优秀员工”、“共发放奖金 89 万元”，列式：x+y+z=30
①，10x+5y+z=89②，未知数是人数，人数为整数，考虑消元。求 z，消 y 比较
好算，①*5得：5x+5y+5z=150，①*5-②得：4z-5x=61，为不定方程，系数一个
是 4，一个是 5，可以分析奇偶，还可以分析尾数。分析尾数：5x 要么 5 结尾，
要么0结尾，说明 4z 的尾数为6或1，4z 是偶数，尾数不可能是 1，说明 4z的
偶数一定是6，则 z的尾数是4或 9，排除 C、D项；剩二代一，代入 A项：z=14，
4z=56，56-5x=61，则5x是负数，人数不可能为负，排除A项，选择 B项。
方法二：列方程为 x+y+z=30①，10x+5y+z=89②，求z，x、y的系数分别为
10、5，都可以分析尾数，10x 的尾数为 0，5y 的尾数可能是 5 或者 0，尾 0+尾
5+尾 4=尾 9、尾 0+尾 0+尾 9=尾 9，则 z 的尾数可能是 4 或者 9，排除 C、D 项。
剩二代一，排除 A项，选择B项。【选B】
【注意】识别：3 个未知数（三个奖金等级）＞2 个方程（共 30 人；共 89
万元）→不定方程组。
9【注意】不定方程组：ax+by+cz=M，ax+by+cz=N。
1 1 1 2 2 2
1.第一类：
（1）未知数一定是整数（根据设的未知数的含义，比如人数、车辆数、铅
笔数）的不定方程组。
（2）方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。用奇偶、倍数、
尾数、代入分析。
2.第二类：
（1）未知数不一定是整数（比如钱、时间）的不定方程组（很少考查）。
（2）方法：
①特值法（一般赋 0）：可以赋其中 1 个未知数为零，从而快速计算出其他
未知数。
②配系数（不推荐）：很难。
10.（2023 事业单位）顾客安女士在水果店里购买了 1 箱苹果、3 盒草莓和
5盒蓝莓，共花费 260元。顾客何先生在同一水果店以同样的单价购买了 1箱苹
果、4 盒草莓和 7 盒蓝莓，共花费 320 元。那么购买 1 箱苹果、1 盒草莓和 1 盒
蓝莓需花费多少元？
A.140 B.150
C.160 D.170
【解析】10.根据题意，3 个未知数（三种水果价格）＞2 个方程（共花费
260 元与 320 元）→不定方程组。设苹果、草莓、蓝莓的价格分别为 x、y、z，
列式：x+3y+5z=260，x+4y+7z=320，价格不一定是整数，考虑赋 0法。z的系数
比较复杂，令 z=0，x+3y=260①，x+4y=320②，②-①得：y=320-260=60，代入
①，解得x=80，所求=60+80=140，对应 A项。【选A】
【注意】
1.识别：3个未知数（三种水果价格）＞2个方程（共花费260 元与320元）
→不定方程组。
2.解不定方程组：未知数不一定是整数时，赋值系数复杂的为 0（好算），
10求出其中一组解即可。x+y+z 是定值，z=0，y=60，x=80 只是其中的一组解。不
定方程组指的是 x、y、z有多组解，未知数不一定是整数时，说明满足不定方程
组的解有无数个，答案就有无限个，而考试是单选题，说明加和答案是一样的。
而未知数是整数时，不能赋 0，因为前提是有无限个解，未知数是整数时，是有
限解，只不过是有多个解，选项中只有1 个满足，选出即可。
【拓展】（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种
新年用品，已知大班采购春联 7幅、窗花 12对、小狗玩偶5个，共花费 200元，
中班采购春联 9 幅、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。问小班采购春
联10幅、窗花 10 对、小狗玩偶10个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】拓展.设春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品的价格分别为 x、y、
z，“已知大班采购春联 7幅、窗花12对、小狗玩偶 5个，共花费 200元，中班
采购春联9幅、窗花19对、小狗玩偶5个，共花费224元”，列方程：7x+12y+5z=200，
9x+19y+5z=224，为不定方程组，未知数是价格，不一定是整数，考虑赋零。令
y=0，7x+5z=200①；9x+5z=224②，②-①：9x-7x=224-200，2x=24，解得x=12，
代回①式，7*12+5z=200，5z=116，z=116/5=23.2，x+y+z=12+0+23.2=35.2，所
求=10*（x+y+z）=35.2*10=352，对应D 项。【选D】
【注意】
1.识别：3个未知数（三种新年用品价格）＞2个方程（共花费 200元与224
元）→不定方程组。
2.解不定方程组：未知数不一定是整数时，赋值系数复杂的为 0（好算），
求出其中一组解即可。
11【注意】工程问题：讲解具体题型。工程问题是高频题型，基本每年一道，
并且是比较容易得分的题型，建议好好准备。
1.给具体单位型（效率或总量的单位）：设未知数，找等量关系列方程。
2.给完工时间型：考查多。
（1）先赋总量（公倍数）。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
3.给效率比例型：考查多。
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子或方程。
11.（2023国考）一项工作甲独立完成需要 3小时，乙独立完成的用时比其
与甲合作完成多 4小时，且乙和丙合作完成需要 4小时。问丙独立完成需要多少
小时？
A.10 B.12
C.6 D.8
【解析】11.“一项工作甲独立完成需要 3小时”，3小时能将工作干完，如
果一道题目出现 2 个以上完工时间，就属于完工时间型考法。“乙独立完成的用
时比其与甲合作完成多 4 小时”，乙独立完成比甲乙合作多用 4 小时，是时间差
值。“乙和丙合作完成需要 4小时”，是乙丙合作的完工时间，出现 2个完工时间，
考查给完工时间型工程问题。
12（1）赋总量：赋值成多少都可以，好算即可，一般赋值成完工时间的公倍
数，赋值成3和 4的公倍数12。
（2）算效率：甲=12/3=4，乙+丙=12/4=3，不知道乙和丙单独的效率，如果
做题经验丰富，一般数量题目中数据都是整数，可以猜乙和丙的效率是 2 和 1
或1和 2。
（3）列式求解：t =12/丙的效率，需要求出丙的效率。如果不试数，列式
丙
求解的方法是：“乙独立完成的用时比其与甲合作完成多4小时”，即12/乙-12/
（4+乙）=4，可以求出乙的效率，然后推出丙的效率，对于分式方程不好算，题
目是选择题，式子不好算时选项代入。选项是丙的时间，可以求出丙的效率，然
后推出乙的效率，验证方程是否成立。共四个选项，代入时本着好算原则，优先
代入B项：t =12，则丙=1，已知乙+丙=3，则乙=2，代入验证，12/2-12/（4+2）
丙
=6-2=4，正确，当选。【选 B】
【注意】识别：出现≥2个完工时间→完工时间型；式子不好算时选项代入。
12.（2022事业单位）某项工程，甲、乙、丙、丁四个人单独完成分别需要
16、12、16、20 小时。现按照甲、乙、丙、丁的顺序轮流来完成此项工程，每
人每次1小时。当工程完成时，恰好轮到：
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
【解析】12.给了甲、乙、丙、丁四个人单独完成工作的时间，属于四个完
工时间，考查给完工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值总量为 16、12、16、
20的公倍数，16=4*4、12=3*4、20=4*5，赋值总量需要同时包含 3、4、5因子，
3*4*5=60，但60不是16的倍数，因为16包含两个4，可以赋值总量为3*4*4*5=240。
（2）算效率：甲=240/16=15，乙=240/12=20，丙=甲=15，丁=240/20=12。（3）
列式求解：“现按照甲、乙、丙、丁的顺序轮流来完成此项工程”，按照一轮接着
一轮的形式完成，一轮工作量=15+20+15+12=62。240/62=3……54，经过完整 3
轮，剩余 54 个工作量。工程需要完成，剩余 54 个工作量仍然按照甲、乙、丙、
丁的顺序轮流来完成，15+20+15=50，剩余 4 个工作量，一定是到丁才能完成，
13对应D项。【选 D】
【注意】识别：出现≥2个完工时间→完工时间型，轮流完工—先求一轮的
工作量。
13.（2024山东）甲、乙、丙三个工程队共同承担一项市政工程。甲队独立
完成需要 30 天，乙队效率比甲队高 20%。丙队仅提供技术支持，即能够为其他
队伍提高效率，其与甲队或乙队合作时效率可提高 120%，三个队伍合作时效率
可提高 200%。甲、乙两队合作 3 天后，丙队加入，最后两天乙队休息。问该工
程耗时约多少天？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】13.“甲队独立完成需要 30 天”，30 天是完工时间。“甲、乙两队
合作3天”不是完成总量的时间，只给了一个完工时间，没有出现≥2个完工时
间，不是给完工时间型工程问题。出现“乙队效率比甲队高 20%”，考查给效率
比例型工程问题。
（1）赋效率：“乙队效率比甲队高20%”，即乙=甲*（1+20%）→乙/甲=6/5，
赋值甲=5，乙=6。“丙队仅提供技术支持，即能够为其他队伍提高效率”，可以理
解为丙队是啦啦队，可以提高甲和乙的效率；“其与甲队或乙队合作时效率可提
高120%，三个队伍合作时效率可提高 200%”，丙与甲合作，或者与乙合作，效率
可以提高120%，如果三个队伍一起合作可提高 200%。
（2）算总量：“甲队独立完成需要 30 天”，总量=5*30=150。
（3）列式求解：“甲、乙两队合作 3 天后，丙队加入，最后两天乙队休息”，
丙加入后是三个队合作，效率提高 200%，变成原来的 3倍；最后两天乙队休息，
甲和丙合作，效率提高 120%，变成原来的 2.2 倍。设中间三队合作 t 天，列式
为：（5+6）*3+（5*3+6*3）*t+（5*2.2）*2=150→33+33t+22=150→33t=95，解
得t=95/33=2+。工程问题总算时间，要么选项是小数，求具体值；要么选项是整
数，取整。甲乙丙合作 2天多，取整是3 天，总时间=3+3+2=8天，对应 B项。【选
B】
14【注意】效率比例型：没有出现≥2 个完工时间，直接给出效率比例。
牛吃草问题
识别：1.出现排比句
2.有增长有消耗
公式：Y=（N-X）*T
Y：原草量
N：牛的头数*牛吃草速度（一般设为 1）
X：草长的速度
T：时间
【引例】牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片
青草供给 10 头牛，可以吃 20 天；供给 15 头牛吃，可以吃 10 天。问供给 25 头
牛吃，可以吃多少天？
【注意】牛吃草问题：不属于高频考法，属于特色考法，遇到了会操作即可。
类似于效率比例问题中，出现 n个人或n 台机器，赋值效率为1。牛吃草问题中，
一般会出现多头牛，只要题目中没有说牛和牛效率不同，就默认每头牛吃草速率
相同，赋值每头牛速度都为 1。
1.识别：考场中遇到的问题通常没有牛也没有草。
（1）出现排比句：两句话句式结构一模一样。
（2）有增长有消耗：速度有两个量是反向的，有增有减。牛吃草，草会减
少，但是草有生命力，随着时间的推移还会生长。
2.公式：Y=（N-X）*T。Y：原草量；N：牛的头数*牛吃草速度（一般设为 1）；
X：草长的速度；T：时间。牛在来之前，原来草原上的草量就是原草量。牛一旦
来了，牛的存在会让草减少，同时草也会生长，意味着每天实际减少的速度为
N-X。
3.引例：牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片
青草供给 10 头牛，可以吃 20 天；供给 15 头牛吃，可以吃 10 天。问供给 25 头
牛吃，可以吃多少天？
15答：“这片青草供给 10头牛，可以吃 20天；供给15头牛吃，可以吃 10天”，
句式结构一模一样，出现排比句。通过排比句套公式：Y=（10-X）*20，Y=（15-X）
*10，因为是同一片青草，原草量相同，则 Y=（10-X）*20=（15-X）*10=（25-X）
*T，求出 T 即可。通过前面两个排比句求得 X=5。代回后面两个等式，（15-5）
*10=（25-5）*T，解得 T=5。
14.（2020浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分
钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放
3 个窗口，需耗时 90 分钟，若开放 5 个窗口，则需耗时 45 分钟。问如果开放 6
个窗口，需耗时多少分钟？
A.36 B.38
C.40 D.42
【解析】14.售票窗口上班之前就有若干人排队，排队人随着时间增加。“从
开始办理购票手续到没有乘客排队”，开始办理手续人就会减少。“若开放 3个窗
口，需耗时 90 分钟，若开放 5 个窗口，则需耗时 45 分钟”，出现排比句，考查
牛吃草问题。牛是消耗，窗口打开人就会减少，所以窗口是牛，对应公式中的 N，
排队的人对应草。套公式：Y=（3-X）*90=（5-X）*45=（6-X）*t。利用前面两
个等式求得 X=1，代回后面两个等式，（5-1）*45=（6-1）*t，解得 t=36，对应
A项。【选A】
【注意】
1.识别：
（1）出现排比句。
（2）有增长（草—增加排队的人）有消耗（牛—购票窗口）→牛吃草问题。
2.套公式：Y=（N-X）*T解方程求解。
15.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3小时后不再有人排队。
16如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
A.14 个 B.15个
C.16 个 D.17个
【解析】15.“若开 8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，
3 小时后不再有人排队”，出现排比句，考查牛吃草问题。排队接种问题，接种
台相当于干活的牛（会让人减少），新增加前来排队的人相当于草。代公式：Y=
（8-X）*6=（12-X）*3。假设每小时增加 X，实际增加（1+25%）*X=1.25X，问
需开接种台的数量，求牛数 N，即Y=（8-X）*6=（12-X）*3=（N-1.25X）*2。利
用前面两个等式求得 X=4，代回后面两个等式，（12-4）*3=（N-5）*2，解得 N=17，
对应D项。【选 D】
【注意】
1.识别：
（1）出现排比句。
（2）有增长（草—前来排队的人）有消耗（牛—接种台）→牛吃草问题。
2.套公式：Y=（N-X）*T解方程求解。
【注意】经济利润问题：必考题，每年 1～2题。
1.基础经济：最爱靠。
（1）常见公式：
17①利润=售价-进价。
②利润率=利润/进价。
③折扣=折后价/折前价。
④总价=单价*数量。
（2）解题方法：方程法（出现具体钱数，不论进价、售价、利润）、赋值法
（全是比例，一个钱数都没有，或者三量只知一量，比如前面的工程问题，只知
道时间，赋总量可以求效率，赋效率可以求总量）。
2.分段计费：结合生活场景，送分题。
（1）常见题型：水电费、出租车费、税费等。
（2）解题方法：分段计算、汇总求和。
3.函数最值：套路题。
（1）特征：单价和数量此消彼长（卖得越贵数量越少，卖得越便宜数量越
多），求最大利润或总价。
（2）方法：两点式（一般设变化次数为 x）。
16.（2024 联考）某商家购进一批商品，每件成本为 27 元，最初将商品定
价为每件 40 元，该商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率
不超过20%。则每次降价的百分率至少是：
A.20% B.15%
C.10% D.5%
【解析】16.出现具体钱数，套公式列方程求解。已知定价为 40元，降价两
次，而且降价百分率相等，要符合利润率不超过 20%，问降价的百分率是多少。
选项给出的就是降价的百分率，列式不好算，考虑代入选项。问百分率至少是多
少，优先代入D项。
D项：降价5%相当于打九五折，40-40*5%=38，38-38*5%=36.1，验证“每件
商品的利润率不超过 20%”，数量关系中，利润率=利润/成本=（36.1-27）
/27=9.1/27＞20%，排除。
C项：问至少，最严谨方法是先代入 D项，但 5%没有10%好算，考试中也可
以先代入 10%。如果刚好符合，10%就是答案；如果 10%降得太多，答案就是 D
18项；如果 10%不够，答案就在 A、B 项。40-40*10%=36，36-36*10%=32.4，利润
率=（32.4-27）/27=5.4/27=20%，刚好达标，当选。【选 C】
【注意】
1.识别：有具体钱数的经济利润问题，套公式列方程求解。
2.公式：利润率=利润/成本。
3.可以利用利润率=20%列等式求解。
17.（2020浙江选调）某书店从图书批发商那里以图书定价的四折购进一批
图书，又以定价的八折售出这批图书的 60%，剩下40%的图书以六折的价格售完。
那么这批图书的利润率是多少？
A.68% B.70%
C.72% D.80%
【解析】17.所有数据都是比例，没有具体钱数，优先用赋值法求解。购进
价格与定价有关，是四折关系，后面钱数都与定价有关，可以对定价赋值。题干
中出现的都是百分数，为好算，赋值定价为 100，则进价=100*40%=40，八折售
价=100*80%=80。以 80 卖出数量的 60%，设数量为 x，则卖出 60%x，剩余 40%x。
“剩下 40%的图书以六折的价格售完”，默认同意省略，与前面表述一致，也是
以定价六折售完，六折售价=100*60%=60。问这批图书的利润率，利润率=利润/
成本=（40*60%x+20*40%x）/40x=（24+8）/40=80%，对应D项。【选 D】
19【注意】
1.识别：没有具体钱数，全是比例的经济利润问题，赋值法求解。
2.公式：利润率=利润/成本。
3.不是所有题都可以赋两个值，建议赋一个设一个，已经赋一个值，还有未
知量，建议设x，将数量设为 x。
18.（2022 湖北选调）某城市燃气收费标准如下，一档：每户年度用气 0～
360 立方米（含 360 立方米），收费 2.5 元/立方米；二档：每户年度用气 360～
600立方米（含600 立方米），收费 3元/立方米；三档：每户年度用气 600立方
米以上，收费 3.5 元/立方米。已知某用户今年燃气费平均每立方米 3 元，那么
今年该用户二、三档燃气费平均每立方米多少元？
A.3.1 B.3.2
C.3.3 D.3.4
【解析】18.分段计费问题。一档最大用气量 360，二档最大用气量
600-360=240，三档 600 以上。已知某用户今年燃气费平均每立方米 3 元，如果
用气量没有超过 600，2.5 元/立方米和 3 元/立方米平均价格一定低于 3 元，所
以用气量一定超过 600。一档：单价 2.5 元，用完 360；二档：单价 3 元，用完
240；三档：单价 3.5元，设用了x立方米。
20方法一：解方程。2.5*360+3*240+3.5x=3*（600+x）。
方法二：整体平均为 3 元/立方米，对应二挡价格，说明一档和三档的平均
就是 3 元/立方米。2.5 和 3、3.5 和 3 的差值相同，说明一档和三挡的量相同，
x=360。
二、三档平均费用=（3*240+3.5*360）/（240+360）=（3*2+3.5*3）/5=（6+10.5）
/5=16.5/5=3.3，对应 C项。【选C】
19.（2020 江苏）某商品的进货单价为 80 元，销售单价为 100 元，每天可
售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该商品
的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5 元 B.6元
C.7 元 D.8元
【解析】19.“销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件”，价格与销量此
消彼长，求利润最大，考查函数最值问题。希望利润最大，列式：设降价 x 次，
下降越多利润越少，总利润=每件利润*销量=（100-80-x）*（120+20x）=（20-x）
*（120+20x）。令 y=0，要么 20-x=0，要么 120+20x=0，解得 x =20、x=-6。当
1 2
x=（x+x ）/2=（20-6）/2=7 次时取最值，每次降低 1 元，共降低 7 元，对应 C
1 2
项。【选C】
【注意】函数最值：
1.识别：
（1）价格与销量此消彼长。
（2）求最大→函数最值问题。
2.设升降 x次，令 y=0，两点式求解。
【拓展】（2019 重庆法检）某网站销售 10 个不同档次的衬衣，其中最高档
的每年销售 500 件，每件利润为 300 元。往下每降低 1 个档次，每年销量增加
1000件，每件利润降低 30元。问年总利润最高的 3个档次的衬衣，全年销量之
和为多少万件？
21A.1.05 B.1.50
C.1.65 D.1.80
【解析】拓展.“每年销量增加 1000 件，每件利润降低 30 元”，利润降低，
销量增加，出现价格和销量此消彼长，问利润最高，考查函数最值问题。问年总
利润最高的3个档次，前面只求最高的1 个档次，本题求最高的 3个，对应前 3
名。设降低 x 个档次，总利润=单价利润*销量=（300-30x）*（500+1000x），令
y=0，解得 x=10，x=-0.5。则 x=（x+x ）/2=（10-0.5）/2=9.5/2=4.75。下降
1 2 1 2
档次一定是整数，找与 4.75最近的整数，最接近的是 5，x=5时为第 1名，求销
量，第 1 名销量=500+1000*5=5500。与 4.75 第 2 接近的是 4，第 2 名销量
=500+1000*4=4500。与 4.75 第 3 接近的是 6，第 3 名销量=500+1000*6=6500。
所求=5500+4500+6500=16500，对应C项。【选 C】
【注意】两点式求最值适用于所有一元二次函数，只要满足 y=（ +x）*
（ -x），开口向下求最值。
20.（2021联考）甲、乙协商，在属于乙的一片荒地上由甲负责开发一块长
30 米、宽若干米的长方形地块，开发出来后，分一块以长方形地块的宽为边长
的正方形地块归乙使用，剩下部分归甲使用，若使甲可使用的地块面积最大，长
方形地块的宽应为多少米？
A.25 B.20
C.15 D.10
【解析】20.已知长方形长为30米，设宽为 x米。分一块以长方形地块的宽
22为边长的正方形地块归乙使用，剩下部分归甲使用。甲的部分是矩形，矩形的宽
依然为 x，长为 30-x，面积 S =y=x*（30-x），求最大。令 y=0，要么 x=0，要
甲 1
么30-x=0，即x=30。当x=（0+30）/2=15 时取最值，即长方形的宽为 15，对应
2
C项。【选C】
塑造自己的过程很疼，但最终你能收获一个更好的自己。
学习知识的过程很烧脑，但最终你能遇见一个不一样的自己。
下节课 18：50开始答疑
【答案汇总】
1-5：BBADB；6-10：ACBBA；11-15：BDBAD；16-20：CDCCC
23遇见不一样的自己
Be your better self
24
