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方法精讲-数量 3
（笔记）
主讲教师：贾慕白
授课时间：2024.04.13
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 3（笔记）
第四节 工程问题
三量关系：总量=效率*时间
考查题型
1.给完工时间型（重点）
2.给效率比例型（重点）
3.给具体单位型（送分）
【注意】工程问题：例如搬砖、做零件、修路。
1.三量关系：总量=效率*时间。
2.考查题型：
（1）给完工时间型（赋值）。
（2）给效率比例型（赋值）。
（3）给具体单位型（设未知数）。
一、给完工时间型
1.给完工时间型
注：完工时间指的是完成同一项工程的多个时间
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列式
例：注意看：这个男人叫小帅，他单独搬要10分钟搬完，小美单独搬要15
分钟搬完。若两人一起搬，需要多少分钟搬完？
【注意】给完工时间型：
1.完工时间指的是完成同一项工程的多个（≥2个）时间。
2.解题步骤：三步走。
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式。
13.例（注意看）：这个男人叫小帅，他单独搬要10分钟搬完，小美单独搬要
15分钟搬完。若两人一起搬，需要多少分钟搬完？
答：给了两个完工时间，工作总量和效率都未知，考虑赋值，（1）赋总量：
赋值总量为完工时间10、15的公倍数30；（2）算效率：效率=总量/时间，小帅
的效率=30/10=3，小美的效率=30/15=2；（3）根据工作过程列式：“两人一起搬”
说明效率要加和，所求=30/（3+2）=6分钟。
找公倍数训练：
一.8、20
二.6、12、15
三.8、12、15
四.12、15、20
【注意】找公倍数训练：
1.8、20：两个数字找公倍数，可以用短除法，8、20除以公约数2，剩余4、
10，4 和10还能除以 2，剩余 2、5，一直除到互质，2 和5互质，则 8和20的
最小公倍数=2*2*2*5=40。公务员出的都是比较常规的数，最小公倍数不难找，
可以把最大的数乘以2、3、4……，比如20乘以2为40，40刚好是8的倍数，
找不到的话可以乘以3、4……。
2.6、12、15：三个数字求最小公倍数，能看出来最好，看不出来用短除法，
12本身就是6的倍数，不用看6（只要是12的倍数则必然是6的倍数），只要找
12和15的公倍数。12、15除以3，剩余4、5，两者互质，最小公倍数=3*4*5=60。
3.8、12、15：存在互质的两个数，8 和 15 互质，先求 8 和 15 的最小公倍
数，直接相乘即可，8*15=120，再用 120 去找最小公倍数，120 刚好是 12 的倍
数，则这三个数的最小公倍数就是120。如果互质的两个数乘完之后的120不是
第三个数的倍数，就再用120和第三个数求最小公倍数。
4.12、15、20：不存在倍数关系，也不互质，三个数用短除法要除到两两互
质为止（每两个数都要互质），12、20有公约数 4，除以4，15 无法除以 4就保
留下来，剩余3、15、5，此时15、5可以除以5，3保留下来，剩余3、3、1；3、
3可以除以3，1保留下来，剩余 1、1、1，最小公倍数=4*5*3*1*1*1=60。
2【例1】（2021广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】1.给了多个完工时间（200天、300天），属于给完工时间型工程问
题。（1）赋总量：赋总量为200、300的公倍数600；（2）算效率：甲的效率=600/200=3，
乙的效率=600/300=2；（3）根据工作过程列式：假设乙队单独完成剩余的工作量
需要 t 天，则（3+2）*60+2t=600→300+2t=600→2t=300，解得 t=150，此时不
要错选B项；最后问的是一共需要多少天，所求=60+150=210天，对应D项。【选
D】
【例2】（2023北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.“用了15天完成了一半”，说明甲完成整个工程需要30天；“剩
下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9天”，前面做了一半，剩余也是一半，
后一半用了15-9=6天，则甲、乙合作完成整个工程需要12天，给了两个完工时
3间（30天、12天）。（1）赋总量：赋值总量为完工时间30、12的公倍数60；（2）
算效率：甲的效率=60/30=2，甲的效率+乙的效率=60/12=5，则乙的效率=5-2=3；
（3）列式：问乙工程队独立完成整个工程需要多少天，所求=60/3=20天，对应
D项。【选D】
【例3】（2023联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工
程队合作进行需 4小时完成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15小时，则甲队
单独完成需要的时间是：
A.5小时 B.6小时
C.7小时 D.8小时
【解析】3.方法一：已知“甲、乙两个工程队合作进行需 4 小时完成”，只
有一个完工时间，不能直接赋值总量。把总量当作单位1，已知“甲队单独完成
比乙队单独完成快15小时”，设甲时间为 t小时、乙时间为（t+15）小时，合作
效率=甲效率+乙效率→1/4=1/t+1/（t+15），直接计算比较麻烦，可以代入选项
验证，代入A项：1/4=1/5+1/20，验证成立，对应A项。
方法二：已知“甲队单独完成比乙队单独完成快15小时”，给了甲、乙两人
的完工时间差，直接代入选项计算。四个选项乙用时分别是20小时、21小时、
22小时、23 小时，优先代入A项（比较好算）：甲用时5小时，乙用时20小时，
赋值总量为 20，P =20/5=4，P =20/20=1，“甲、乙合作需4小时完成”，（4+1）
甲 乙
*4=20，满足题意，对应A项。【选A】
二、给效率比例型
2.给效率比例型
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：总量=效率*时间
③根据工作过程列式
【示例】小美、大山搬砖的效率之比为3：5，两人合作搬完一车砖需要10
分钟。如果大山单独搬需要多少分钟搬完？
【注意】给效率比例型：
41.解题步骤：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式。
2.例：小美、大山搬砖的效率之比为3：5，两人合作搬完一车砖需要10分
钟。如果大山单独搬需要多少分钟搬完？
答：给出效率比例，直接根据比例赋值，只要满足比例即可。（1）赋效率：
赋值小美的效率为3、大山的效率为5；（2）算总量：两人合作搬完一车砖需要
10分钟，总量=（3+5）*10=80；（3）根据工作过程列式：所求=80/5=16。
效率比例的多种形式
➢直接给：甲、乙效率之比为3：5；甲的效率是乙的3/5（或60%、0.6倍）
➢间接给：
甲5天的工作量等于乙3天的工作量（工作量相同，效率与时间成反比）
相同时间内甲的工作量是乙的60%（时间相同，效率与工作量成正比）
甲2天工作量=乙、丙各1天工作量之和，乙4天工作量=甲2天工作量与丙
4天工作量之和
➢给具体人数或机器数：
50个工人修路，36台收割机割麦子：赋值每个工人/每台收割机效率为1
【注意】效率比例的多种形式：
1.直接给（比较简单）：比例有 4种形式→比例、分数、百分数、倍数，比
如甲、乙效率之比为3：5，或者甲的效率是乙的3/5、60%、0.6倍，本质都是3：
5，直接给出效率比，根据比例赋值。
2.间接给：
（1）工作量相同，效率与时间成反比。比如甲 5天的工作量等于乙 3天的
工作量，量相同，时间越长、效率越低，甲、乙时间之比为 5：3，则效率之比
为3：5。或者列式子：5甲=3乙→甲/乙=3/5。
（2）时间相同，效率与工作量成正比。比如相同时间内甲的工作量是乙的
60%，时间相同，做得越快（效率越高）的人工作量越大，甲、乙工作量之比=60%=3：
55，则效率之比=3：5。
3.给具体人数或机器数：给若干人或机器，赋值每个工人/每台机器效率为
1。比如 50个工人修路，赋值每个工人的效率为1；36台收割机割麦子，赋值每
台收割机的效率为1。
【例4】（2022联考）甲、乙二人合作，计划30天完成一项工程，甲的工作
效率是乙的2倍。两人合作10天后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又
合作10 天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时
间：
A.早2天 B.晚2天
C.早4天 D.晚4天
【解析】4.“甲的工作效率是乙的 2 倍”，给出效率比例，根据比例赋值。
（1）赋效率：赋值甲效率=2、乙效率=1，但是后面涉及效率提升，25%=1/4、50%=1/2，
则甲的效率是4的倍数、乙的效率是2的倍数，考虑赋甲效率=4、乙效率=2，都
是整数更好算；效率提升后，甲’=4*（1+1/4）=5，乙’=2*（1+1/2）=3。（2）
算总量：“甲、乙二人合作，计划 30天完成一项工程”，总量=（4+2）*30=180。
（3）列式：前10天两人以原效率合作，工作量=（4+2）*10；又10天两人以提
升后的效率合作，工作量=（5+3）*10；设甲以提升后的效率工作 t天，工作量
=5t，三个时间段工作量相加=工作总量，则（4+2）*10+（5+3）*10+5t=180→
60+80+5t=180→5t=40，解得 t=8 天，最终工作时间=10+10+8=28 天，预计时间
为30天，即最终工作比预计时间早2天，对应A项。【选A】
【例5】（2023成都事业单位）某市需要修一座桥梁，现有甲、乙两个施工
单位，已知甲、乙合作 12 天可完成桥梁的 7/8；如果甲、乙单独做，那么甲完
成 1/2 与乙完成 2/3 所需要的时间相等。则甲单独做比乙单独做需要多用多少
天？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】5.只给了一个时间（12天），不是给完工时间型工程问题。已知“如
6果甲、乙单独做，那么甲完成1/2 与乙完成2/3所需要的时间相等”，时间相同，
P ：P =1/2：2/3=3：4。（1）赋效率：赋值P =3、P =4；（2）算总量：W*（7/8）
甲 乙 甲 乙
=（3+4）*12→W=12*7*（8/7）=96；（3）根据工作过程列式求解：所求=甲的时
间-乙的时间=96/3-96/4=32-24=8天，对应C项。【选C】
【例6】（2021广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前4天安排了20
名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10天完成全部采摘，至少还需
要增加（ ）名采茶工。
A.12 B.11
C.10 D.9
【解析】6.给具体人数，默认每个人效率相同。（1）赋效率：赋值每个人的
效率是 1；（2）算总量：已知“前 4天安排了 20 名采茶工，完成了五分之一的
工作量”，前4天工作量是4*20=80，W=80÷（1/5）=400；（3）根据工作过程列
式求解：400*（1-1/5）=320，设至少还需增加 x名采茶工，10*（x+20）=320，
解得x=12，对应A项。【选A】
【拓展】（2022深圳）一批传统手工匠人需在预定时间内完成一笔糖人订单，
他们捏糖人的速度都相同，有两种工期安排方案供其选择。方案一：若干名匠人
先开工，经过三分之一的预定时间，将人数加倍，在预定时间刚好完成；方案二：
10名匠人同时开工，在预定时间也刚好完成，则方案一前期应安排多少名匠人？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】拓展.给出具体人数，赋值每人的效率为1，假定预定时间为3天，
设方案一前期应安排 x人，根据题意列方程：x*1+2x*2=10*3→5x=30→x=6，对
应A项。【选A】
三、给具体单位型（给效率单位或总量单位）
①设未知数
②找等量关系列方程
7【注意】给具体单位型（给效率单位或总量单位）：
1.设未知数。
2.找等量关系列方程。
【例7】（2023浙江）收割一片稻田，可选择甲、乙、丙 3台农机。用丙收
割的用时比用甲短 4 小时，比用乙长 2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为 5
亩/小时和9亩/小时，那么丙的收割速度在以下哪个范围内？
A.小于6亩/小时 B.6～7亩/小时
C.7～8亩/小时 D.大于8亩/小时
【解析】7.方法一：工程问题，给出效率单位（亩/小时），属于给具体单位
型工程问题，考虑方程法。W=P*t，求P，题目给出的是收割时间，则设丙用时t
小时，甲用时（t+4）小时、乙用时（t-2）小时。同一片稻田，总量相同，W=5*
（t+4）=9*（t-2）→4t=38，解得 t=19/2。W=5*（19/2+4）=5*（19+8）
/2=5*27/2=135/2，P =135/2÷（19/2）=135/19=7+，选项是范围，对应C项。
丙
方法二：丙所用的时间处于甲、乙之间，说明速度也是处于甲、乙之间，5
和9的最中间是 7，丙的时间靠近乙，速度也更靠近乙，则丙的速度偏向于 9，
介于7～9之间，排除A、B之间，8.几也不可能（速度要接近乙了），排除D项，
对应C项。【选C】
【注意】工程问题：
1.给完工时间型：
（1）先赋总量（公倍数）。
8（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式子。
2.给效率比例型：
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列式子。
3.给具体单位型：设未知数、找等量关系列方程。
第五节 经济利润问题
常用公式
①利润=售价-进价（如无特别说明，进价=成本）
②利润率=利润/进价
③售价=进价*（1+利润率）
④折扣=折后价/折前价
⑤总价=单价*数量
总利润=单个利润*数量=总售价-总进价
【注意】经济利润问题：
1.利润=售价-进价。在数学运算中，如果没有特殊说明，默认进价和成本是
一致的。如果题目特别强调有运输成本等，就需要计算在内。
2.数学运算中，利润率=利润/进价（成本），资料分析中，利润率=利润/收
入。
3.售价=进价*（1+利润率）。推导：售价=进价+利润，利润=进价*利润率，
售价=进价+进价*利润率=进价*（1+利润率）。
4.折扣=折后价/折前价。七五折=原价*0.75。
5.总价=单价*数量。
6.总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。
常考类型
一、基础经济（重要）
9二、分段计费（简单）
三、函数最值（套路题）
【注意】常考类型：
1.基础经济（重要）。
2.分段计费（简单）。
3.函数最值（套路题）。
一、基础经济——解题方法选择
（1）方程法：有具体钱数（带“元”等单位）
（2）赋值法：给比例，求比例（利润率、折扣等，优先根据比例赋值）
【注意】基础经济：
1.方程法：有具体钱数（带“元”等单位）。
2.赋值法：给比例，求比例（利润率、折扣等，优先根据比例赋值）。
【例1】（2023吉林）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售
可获得利润 70元，如果按定价打九五折出售可获得利润 100元。这款小家电进
货价格所在区间是：
A.400～450元 B.450～500元
C.500～550元 D.550～600元
【解析】1.方法一：问“进货价格”，设进货价格为x元，“按定价打九折出
售”，定价未知，设定价为 y 元，“按定价打九折出售可获得利润 70 元”，
0.9y-x=70①；“按定价打九五折出售可获得利润100元”，0.95y-x=100②。要
求x，考虑消 y，但本题不好消 y，消x 比较方便，先消 x，②-①得：0.05y=30
→5y=3000，解得y=600，代入①式，x=0.9y-70=0.9*600-70=470，对应B项。
方法二：设定价为x，依题意，0.95x-0.9x=100-70=30，解得x=600，进价=
售价-利润=600*0.9-70=470，对应 B项。【选B】
【注意】思维拓展：同一件物品（进价不变时），售价的变化量=利润的变化
量。例如原来的进价为 100、售价为 130，利润=130-100=30，现在售价调整为
10150，利润=150-100=50，售价涨了20，利润也增加了20。
【例2】（2024浙江网友回忆版）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件
商品的标价超过 50 元可以立减 20 元后再打 9 折，乙店单件商品的标价超过 50
元可以打 8折后再立减 10元。现两家店都在销售的 3种商品，相同商品在两店
价格相同，分别为 45 元、75 元和 85 元，某人准备购买其中两种商品各一件，
最少的花费在以下哪个范围之内？
A.90元以下 B.90～93元
C.93～96元 D.96元以上
【解析】2.题干条件长，列表分析。甲店商品超过50元可以立减20元后再
打 9 折，乙店商品超过 50 元可以打 8 折后再立减 10 元。45 元的商品单件不超
过 50 元，在甲乙两店都不打折，则在甲乙两店的价格都是 45 元；85 元的商品
打折后一定比 75元商品打折后贵，因此不需要看 85 元的商品；75 元商品：甲
店=（75-20）*0.9=55-5.5＜50，乙店=75*0.8-10=50，甲店花费最少，
45+55-5.5=94.5，对应C项。【选C】
【拓展】（2020 联考）某种蔬菜进价 5 元/斤，售价 10 元/斤，当天卖不完
的蔬菜不再出售。过去7天里，菜商每天购进该种蔬菜100斤，其中有4天卖完，
有2天各剩余20斤，有1天剩余 10斤，这7天菜商共赚了多少元钱？
A.2950 B.3000
C.3250 D.3500
【解析】拓展.“有2天各剩余 20斤”，说明每天卖出80斤；“有1天剩余
1110斤”，这一天卖出90斤。问“7天菜商共赚了多少元钱”，要求总利润。
方法一：总利润=总售价-总进价，总售价=10*（400+2*80+1*90），总进价
=5*100*7；所求=10*（400+2*80+1*90）-5*100*7=6500-3500=3000 元，对应 B
项。
方法二：总利润=单利*销量，“进价5元/斤，售价10元/斤”，单利为10-5；
有同学错误列式为“总利润=（10-5）*（400+2*80+90）=5*650=3250”，从而错
选C项；但有2*20+1*10=50斤没有卖出，售价为0，产生亏损，利润为0-5；列
式：所求=（10-5）*（400+2*80+90）+（0-5）*（2*20+10）=5*650-250=3000
元，对应B项。【选B】
（2）赋值法：给比例，求比例（利润率、折扣等，根据比例赋值）
或不带“元”
【注意】赋值法：给比例，求比例（利润率、折扣等，根据比例赋值），或
不带“元”。
【例3】（2023河北）某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保
持不变，此时利润率是多少？
A.40% B.30%
C.60% D.50%
【解析】3.给比例、求比例，使用赋值法，已知利润率为 20%，利润率=利
润/进价=20%=20/100，赋值进价为 100，利润为 20，“售价保持不变”，售价
=100+20=120；“如果进货价降低 20%”，进货价变为 100*（1-20%）=80，售价
不变为120，所求=（120-80）/80=40/80=50%，对应D项。【选D】
【例4】（2023浙江）某商品上月售价为进价的 1.4倍，销售 m件。本月该
商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月的1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
12【解析】4.经济利润问题，有进价、销售多少件、售价、销售利润，材料给
出的是比例，所求为销量是多少件，选项中存在m，材料中m是未知数，故本题
属于给比例求比例（上个月销售 m 件，本月销售量与上个月之间有关系），考虑
赋值法。涉及上月与本月，建议用列表法分析。涉及到进价、售价、单利、销量、
销售利润=单利*销量。出现下降20%，存在%，赋值上月进价为100，已知“上月
售价为进价的1.4倍”，售价为14，单利为4，销量为m，销售利润为4m；本月：
进价为8，售价不变，单利为14-8=60，销售利润=4m*1.8=7.2m，销量=7.2m/6=1.2m，
对应C项。【选C】
二、分段计费问题
题型判定：
在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不同。
问：在不同标准下，一共需要的费用？
计算方法：分段计算，汇总求和
例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元，超出3公里部分，每公
里2元。小李打车坐了12公里，共花费多少钱？
【注意】分段计费问题：
1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不同。
2.计算方法：分段计算，汇总求和。
3.例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元，超出3公里部分，每
公里2元。小李打车坐了12公里，共花费多少钱？
答：不同段收费标准不同，画线段分析，3公里以内8元，超出3公里的花
费（12-3）*2，所求=8+（12-3）*2=26。
13【例1】（2020广西事业单位）某商店实行打折销售，顾客消费在 100元以
内的部分，按8折收费，超过100 元的部分按6折收费。某顾客在商场实际消费
155元，如果没有实行打折销售，这位顾客需要支付多少元？
A.225 B.255
C.275 D.295
【解析】1.“顾客消费在100元以内的部分，按8折收费，超过100元的部
分按6折收费”，顾客实际消费了 155元，原价一定超过100元，设原价超过100
元的部分为x，列方程：100*0.8+0.6x=155元→0.6x=155-80=75→x=75/0.6=125，
所求=125+100=225，对应A项。【选A】
【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15
分钟，不收费；超过15分钟但不超过60分钟，按1小时计，收费5元；超过1
小时后，超过的部分按每30分钟4元收费（不足30分钟，按30分钟计）。若李
先生支付停车费17元，则他停车的时长可能为：
A.2小时 B.2小时15分钟
C.2小时45分钟 D.3小时
【解析】2.按照不同时间收费，分段计费问题，画线段进行分析。15 分钟
内不收费，15～60 分钟（1h）收费 5 元，超过 1h 的部分每 30 分钟（0.5h）收
费4元（不足 30分钟，按30 分钟计）。结合选项，最短的为 2 小时，先计算达
到2小时的费用，已知李先生支付停车费17元，第1个小时收5元，1小时→2
小时之间存在 1 小时=0.5 小时+0.5 小时，此时共收费 5+2*4=13 元＜17 元，2
小时外还需要再缴纳4元，已知按每30分钟4元收费，最长再停30分钟，停车
的时间在2h～2.5h之间，对应B项。【选B】
14三、函数最值
特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
【引例】单价为 100 元，可卖出 60 件，单价每提升 10 元，则销量降低 3
件，问单价为多少元时，总售价最高？
方法（两点式）
①设提价/降价次数为x，列总价/总利润式子：
两括号相乘
②令两括号分别为0，解得x、x；
1 2
③当x=（x+x）/2时，y取得最值。
1 2
【注意】函数最值：
1.特征：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高？
2.引例：单价为 100 元，可卖出 60 件，单价每提升 10 元，则销量降低 3
件，问单价为多少元时，总售价最高？
答：“单价每提升10元，则销量降低3件”，单价和销量此消彼长，要求“总
售价最高”，函数最值问题。设提价次数为x，总售价=单价*销量，令总售价为y，
y=（100+10x）*（60-3x），式子展开为二次函数，x²的系数为负，是开口向下的
15抛物线，在对称轴处取到最值，使用两点式。令y=0，函数图形与x轴交点的中
点就是对称轴的位置，令两个括号分别为0，100+10x=0，解得x=-10，60-3x=0，
1
解得x=20，当x=[（-10）+20]/2=5时，取得最值，问单价，单价=100+10*5=150
2
元。
3.方法（两点式）：
（1）设提价/降价次数为x，列总价/总利润式子：两括号相乘。
（2）令y为0（两括号分别为0），解得x、x。
1 2
（3）当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
【例1】（2022联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十
分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”，当售价定为 44
元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1元，每天销量减少 10 个。现商家决定
提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A.51元 B.52元
C.54元 D.57元
【解析】1.“售价每上涨1元，每天销量减少 10个”，单价和销量此消彼长，
要求“最大利润”，函数最值问题。设提价次数为x，总利润（y）=单利润*销量，
列式：y=（44+x-40）*（300-10x）；令y=0，即两个括号分别为0，解得x=-4，
1
x=30；当 x=（-4+30）/2=13 时，取得最值，提价 13 次，每次提价 1 元，即提
2
价13元，在原价44的基础上提价13元，售价=44+13=57元，对应D项。【选D】
【例2】（2024山东网友回忆版）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每
件10元出售，每天可销售 100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售
16价提高 1元，每天销售量就要减少 10件，为保证每天至少获利 350元，问该商
品售价应为多少？
A.不到13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17元以上
【解析】2.方法一：求出最大利润，看售价在哪个范围即可。利润=单利*
销量，设提价x次，利润=（10+x-8）*（100-10x），令两个括号分别为0，解得
x=-2、x=10，当x=（-2+10）/2=4 时，有最大值，此时售价=10元售价+4次*1
1 2
元=14元，对应B项。
方法二：设提价 x 次，根据题意列方程，总利润=（10+x-8）*（100-10x）
≥350→（2+x）*（10-x）≥35，不等式取等号，（2+x）*（10-x）=35，想到5*7=35，
解得x=3或5，10+3=13，10+5=15，介于13～15元之间，对应B项。【选B】
【注意】经济利润问题：
1.基础经济：
（1）常见公式（常考）：利润=售价-进价，利润率=利润/进价，折扣=折后
价/折前价，总价=单价*数量。
（2）解题方法：方程法（给出具体的单位“元”）、赋值法（没有给出具体
值）。
2.分段计费：
（1）常见题型：水电费、出租车费、税费等。
（2）解题方法：分段计算，汇总求和。
173.函数最值：
（1）特征：单价和数量此消彼长，求最大利润或售价。
（2）方法：两点式。
【练习1】（2024联考网友回忆版）有一批零件，如果甲车间单独完成需要
50小时，乙车间单独完成需要30小时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要
承担其他紧急任务，剩余的任务由乙车间继续完成，这样一共用了 42 小时。问
乙车间完成的零件量占这批零件总量的：
A.3/4 B.3/5
C.2/5 D.1/3
【解析】拓展1.方法一：工程问题，给了两个完工时间，为给完工时间型。
赋总量为 50、30 的公倍数 150，甲的效率=150/50=3，乙的效率=150/30=5，设
乙的时间为 t，则甲的时间=42-t，根据题意列式求解：3*（42-t）+5t=150→
126-2t=150，解得t=12，所求=5*12/150=2/5，对应C项。
方法二：猜题，以坑之坑，求乙所占总量的比重，选项中也会放甲的比重，
发现 B、C 项相加结果为 1，在 B、C项中猜，甲的完工时间需要 50 小时，乙只
需要30小时，实际上做了42小时，离甲较近，说明甲做的工作量比较多，猜C
项。【选C】
【练习2】（2023北京）某种农作物原来亩产为600千克，改进种植技术后，
亩产增加100千克，且由于品质改善，每千克的售价提高1元，每亩产值比之前
增加1100元。则原来每亩产值是多少元?
A.1800 B.2100
C.2400 D.2700
【解析】拓展2.原来每亩产值=单售价*亩产量，亩产量=600，则结果是600
的倍数，排除B、D项，考场上时间不够可以在A、C项中猜一个。设原来单售价
为x，则原来产值=600x，现在售价提高 1元，产值比之前增加1100元，（x+1）
*700=700*（x+1），依题意：700*（x+1）-600x=1100→7x+7-6x=11，解得x=4，
所求=4*600=2400，对应C项。【选 C】
18【答案汇总】
工程问题1-5：DDAAC；6-7：AC
基础经济1-4：BCDC
分段计费1-2：AB
函数最值1-2：DB
19遇见不一样的自己
Be your better self
20
