1990年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2 【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子 n3 n  n n . n3 n  n n ( n3 n  n n)( n3 n  n n) lim( ) lim n 1 n n3 n  n n n3 n n n lim , n n3 n  n n 再分子分母同时除以 n ,有 4 原式lim . n 3 1 1  1 n n a 4 因为lim 0,其中a为常数,所以原式  2. n n 11 (2)【答案】ba 【解析】由于F(x)在x0处连续,故A F(0)limF(x). x0 0 limF(x)为“ ”型的极限未定式,又 f(x)在点0处导数存在,所以 x0 0 f(x)asinx f (x)acosx Alim lim ba . x0 x x0 1 【相关知识点】函数y  f (x)在点x 连续：设函数y  f (x)在点x 的某一邻域内有定义, 0 0 如果lim f(x)  f(x ),则称函数 f(x)在点x 连续. 0 0 xx 0 1 (3)【答案】4 2 y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x2  x2, 解得x1和x2,故所围成的平面图形如右图所示: 2  所求面积为 S   x2x2 dx 1 2    1 x22x 1 x3    4 1 . 1 O 2 x 2 3  2 1 (4)【答案】a a a a  0 1 2 3 4 1【解析】由于方程组有解 r(A)r(A),对A作初等行变换, 第一行乘以1 加到第四行上,有 1 1 0 0 a  1 1 0 0 a  1 1     0 1 1 0 a 0 1 1 0 a  2   2  , 0 0 1 1 a  0 0 1 1 a  3 3     1 0 0 1 a  0 1 0 1 a a  4 1 4 第二行加到第四行上,再第三行乘以1 加到第四行上,有 1 1 0 0 a  1 1 0 0 a  1 1     0 1 1 0 a 1 1 0 a   2    2  . 0 0 1 1 a   1 1 a  3 3     0 0 1 1 a a a   0 a a a a  1 2 4 1 2 3 4 为使r(A)r(A),常数a ,a ,a ,a 应满足条件:a a a a  0. 1 2 3 4 1 2 3 4 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设 A是mn矩阵,线性方程组 Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵 A Ab 的秩,即是r(A)r(A) (或者说,b可由 A的列向量,,, 线表出, 1 2 n 亦等同于,,, 与,,,,b是等价向量组). 1 2 n 1 2 n 设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （1）有唯一解  r(A)r(A)n. （2）有无穷多解  r(A)r(A)n. （3）无解  r(A)1r(A).  b不能由A的列向量,,, 线表出. 1 2 n 2 (5)【答案】 3 【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为 p,则进行 80 四次独立的射击, 设事件Y 为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数n4,p  的二项分 81 布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为(1 p)4,它是至少命中一次的对 立事件.依题意 80 1 2 (1 p)4 1 1 p  p . 81 3 3 本题的另一种分析方法是用随机变量X 表示独立地进行射击中命中目标的次数, p表 示一次射击的命中率,则X B(4,p),依题意 24 1 P  X 0 1P  X k  , 81 k1 1 2 即(1 p)4   p . 81 3 【相关知识点】二项分布的概率公式： 若Y B(n,p),则P  Y k Ckpk(1 p)nk ,k 0,1,,n. n 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)  【解析】由于limxesinx  e,而limtanx,所以,  2  x x 2 2 limxtanxesinx  ,故 f(x)无界.  x 2  2 或考察 f(x)在x 2n (n1,2,)的函数值,有lim f(x ) limx e 2 ,可见 n 4 n n n n f(x)是无界函数.应选(B). 以下证明其他结论均不正确.   sin     sin     由 f    e 4  f     e  4,知(A)不正确；  4 4  4 4    由 f   0,f    0,而 f  0 0,知(D)不正确.  4  4 证明(C)不正确可用反证法.    设 g  x tanxesinx ,于是 g  x 的定义域为 D x|x k ,k  0,1,2,,  2  且g  x 的全部零点为x n,n0,1,2,.若 f  x  xg  x 以T  T 0 为周期,则 n 有  xT  g  xT  xg  x  ,xD. 令x0,有Tg  T 0,即g  T 0.从而T k,其中k为某一正数.于是2k也是 xg  x 的周期.代入即得,对xD有  x2k g  x2k  x2k g  x  xg  x  . 这表明2kg  x 0在xD上成立,于是g  x 0在xD上成立,导致了矛盾. 故 3f  x  xg  x 不可能是周期函数. 【相关知识点】极限的四则运算法则: 若lim f(x)  A,lim g(x) B,则有 lim f(x)g(x)  AB. xx xx xx 0 0 0 (2)【答案】(D) 【解析】通过变量代换t  x1或按定义由关系式 f(1x)af(x)将 f(x)在x1的可 导性与 f(x)在x0的可导性联系起来. 令t  x1,则 f(t)af(t1).由复合函数可导性及求导法则,知 f(t)在t 1可导,且 f(t) af(t1)(t1) af(0)ab , t1 t1 因此,应选(D). 【相关知识点】复合函数求导法则:如果u  g(x)在点x可导,而 y  f (x)在点u  g(x)可 导,则复合函数 y  f  g(x) 在点x可导,且其导数为 dy dy dy du  f(u)g(x) 或   . dx dx du dx (3)【答案】(C) 【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念. (A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组,,, 线性无关,可以 1 2 s 推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组,,, 1 2 s 线性无关. 例如: (1,0),(0,1),(1,1) 显然有 (1,0)(0,1)(1,1)(0,0) ,该向量组线性相关.但 (A)(B)(D)均成立. 根据“,,, 线性相关的充分必要条件是存在某(i 1,2,,s)可以由 1 2 s i , , ,, 线性表出.”或由“,,, 线性无关的充分必要条件是任意一个 1 i1 i1 s 1 2 s (i 1,2,,s)均不能由, , ,, 线性表出.”故选(C). i 1 i1 i1 s (4)【答案】A 【解析】由于B A,所以AB  A,于是有P  AB P  A .故本题选A. 对于B选项,因为B A,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以P  AB P  B , 而不是P  AB P  A ,故B错. 4P(AB)   对于C选项,因为B A,由条件概率公式P B A  ,当B,A是相互独立的事 P(A) 件时,才会有P  B A  P  B ；所以C错. 对于 D 选项,因为 B A ,所以事件 B 发生事件 A 不发生是个不可能事件,故 P  BA 0,所以(D)错. (5)【答案】(C) 【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 P  X Y P  X 1,Y 1 P  X 1,Y 1   P  X 1}P{Y 1 P  X 1}P{Y 1  1 1 1 1 1      . 2 2 2 2 2 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的. 对于(A)选项,题目中只说了随机变量X 和Y 相互独立,且他们的概率分布相同,但是二 者是不同的事件,并不能说事件X 与事件Y 是同一事件.故(A)错. 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) lnx lnx (1)【解析】在x[e,e2]上,I(x)  0 ,故函数I(x)在[e,e2]上单 x2 2x1  x1 2 调增加,最大值为I(e2). dx d(1x) 1 由   d ,有 (1x)2 (1x)2 (1x) e2 lnt e2  1  I(e2)  dt  lntd   e  t1 2 e t1 e2 e2 lnt e2 dt lnt e2 1 1     (  )dt t1 e t  t1  t1 e t1 t e e 2 1   ln(e21)2 ln(e1)1  e2 1 e1 1 e1  ln . e1 e 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： (t) 若F(t)  f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,则 (t) F(t)(t) f (t) (t) f (t) . 52.假定u u(x)与vv(x)均具有连续的导函数,则 uvdx uvuvdx, 或者 udv uvvdu. (2)【解析】区域D是无界函数,设 y y y y9x2 D  D 0 y b {  x,y  0 y b,  x } , y4x2 b 3 2 不难发现,当b时有D D,从而 b y x xey2 dxdy  lim xey2 dxdy  lim  b ey2 dy 2 xdx O b b 0 y D D b 3  1 lim  b ( 1 y 1 y)ey2 dy 2b 0 4 9  5 lim  b yey2 dy t y2 5 lim  b2 etdt 72b 0 144b 0 5 5  lim(1eb2 ) . 144b 144 1 (3)【解析】因系数a  (n1,2,),故 n n2 1 a  n1 2 n2 lim n1 lim lim 1, n a n 1 n  n1 2 n n2 1 这样,幂级数的收敛半径R  1.因此当1 x31,,即2 x4时级数绝对收敛.   1  1 当x2时,得交错级数(1)n ；当x4时,得正项级数 ,二者都收敛,于是原级 n2 n2 n1 n1 数的收敛域为[2,4]. a  【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果lim n1 ,其中a ,a 是幂级数a xn 的 n a n n1 n n n0 相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 1 , 0,     R , 0,  0, .   6 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数(1)n1u 满足： n n1 (1)u u ,n1,2,; (2)limu 0. n n1 n n   则(1)n1u 收敛,且其和满足0(1)n1u u,余项 r u . n n 1 n n1 n1 n1  1 3． p级数： 当 p 1时收敛；当 p1时发散. np n1 (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解. y e cosxdx  esinxlnxe cosxdx dxC      esinx lnxdxCesinx[xlnxxC].   方法2: 用函数e P(x)dx e cosxdx esinx同乘方程两端,构造成全微分方程. 方程两端同乘esinx,得esinxy yesinx cosx (yesinx)(yesinx)lnx ,再积分一次得 yesinx Clnxdx Cxlnxx . 最后,再用esinx同乘上式两端即得通解 y esinx[xlnxxC]. 【相关知识点】一阶线性非齐次方程 yP(x)y Q(x)的通解为 P(x)dx P(x)dx  y e Q(x)e dxC, 其中C为任意常数.   四、(本题满分9分) 【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 1514x 32x 8x x 2x210x2(x  x ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1513x 31x 8x x 2x210x2. 1 2 1 2 1 2 由多元函数极值点的必要条件,有  4x 8x 130,  x 1 2  1  x 0.75,x 1.25.  1 2  8x 20x 310,   x 1 2 2 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万 7元可获最大利润. (2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同) 1513x 31x 8x x 2x210x2, 1 2 1 2 1 2 在x x 1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为 1 2 L(x ,x ,) 1513x 31x 8x x 2x210x2(x x 1.5), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 L 4x 8x 130,  x 1 2  1 L 由  8x 20x 310, x 1 2  2 L   x x 1.50  1 2  x 0,x 1.5. 1 2 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最 大. 【相关知识点】拉格朗日乘数法: 要找函数z  f (x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 L(x,y) f(x,y)(x,y), 其中为参数.求其对x与 y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来： f (x,y)(x,y)0, x x  f (x,y)(x,y)0, y y  (x,y)0. 由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y)就是函数 f(x,y)在附加条件(x,y)0下的 可能极值点. 五、(本题满分6分) 【解析】方法1:当a 0时, f(ab) f(b) f(a) f(b) ,即不等式成立； 若a 0,因为 f(ab) f(a) f(b) f(0) [f(ab) f(b)][f(a) f(0)]  f()a f()aa[f() f()], 2 1 2 1 其中0  ab  ab.又 f(x)单调减少,故 f() f().从而有 1 2 2 1 8f(ab) f(a) f(b) f(0)0,即 f(ab) f(a) f(b) . 方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令F(x) f(x) f(a) f(ax),x[0,b] ,由于 f(0)0,所以F(0)0,又因为 F(x) f(x) f(ax), 且a0, f(x)在(0,b)单调减少,所以F(x)0,于是F(x)在 [0,b]上单调递增,故F(b)F(0)0,即 f(ab) f(a) f(b) ,其中0ababc. 【相关知识点】拉格朗日中值定理： 如果函数 f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间 a,b 内可导,那么在 a,b 内至 少有一点(ab),使等式 f(b) f(a) f ()(ba)成立. 六、(本题满分8分) 【解析】本题中,方程组有解 r(A)r(A).(相关定理见第一题(4)) 对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以3 、5 分别加到第二、四行上,有 1 1 1 1 1  a 1 1 1 1 1  a      3 2 1 1 3  0 0 1 2 2 6  3a     , 0 1 2 2 6  b 0 1 2 2 6  b      5 4 3 3 1  2 0 1 2 2 6  25a 第二行乘以1、1 分别加到第三、四行上,第二行再自乘1 ,有 1 1 1 1 1  a    1 2 2 6  3a   .   b3a     22a (1) 当b3a 0且22a 0,即a 1,b3时方程组有解. (2) 当a 1,b3时,方程组的同解方程组是 x x x x x 1, 1 2 3 4 5  x 2x 2x 6x 3, 2 3 4 5 由nr(A)523,即解空间的维数为3.取自变量为x ,x ,x ,则导出组的基础解系为 3 4 5  (1,2,1,0,0)T, (1,2,0,1,0)T, (5,6,0,0,1)T . 1 2 3 9(3) 令x  x  x  0,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T .因此,方程组的所有解是 3 4 5 kk k ,其中k ,k ,k 为任意常数. 1 1 2 2 3 3 1 2 3 【相关知识点】若、 是对应齐次线性方程组Ax0的基础解系,则Axb的通解形式 1 2 为kk ,其中,是Ax0的基础解系,是Axb的一个特解. 1 1 2 2 1 2 七、(本题满分5分) 【解析】若A、B是n阶矩阵,且AB  E,则必有BA E.于是按可逆的定义知A1  B. 如果对特征值熟悉,由Ak 0可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1, 也就能证明EA可逆. 由于Ak 0,故  EA  (E A A2 Ak1) EkAk  E . 所以EA可逆,且 EA 1  E A A2 Ak1. 八、(本题满分6分) 【解析】(反证法)若X  X 是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有： 1 2 A(X X )(X X ). 1 2 1 2 由已知又有 A(X X ) AX AX X X . 1 2 1 2 1 1 2 2 两式相减得 ()X ()X 0. 1 1 2 2 由  ,知,不全为0,于是X ,X 线性相关,这与不同特征值的特征向量线 1 2 1 2 1 2 性无关相矛盾.所以,X  X 不是A的特征向量. 1 2 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维 列向量X 使得 AX X 成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量 X 是矩阵 A的特征 向量. 九、(本题满分4分) 【解析】样本空间含样本点总数为C3 ；即十个数字任意选三个有多少种选择方案. 10 有利于事件A 的样本点数为C3；十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案. 1 8 10有利于事件A 的样本点数为2C3 C3；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字 2 9 8 除去5任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件A 被加了两次,所 1 以应该减去C3. 8 由古典型概率公式, C3 7 2C3 C3 14 P(A) 8  ; P(A ) 9 8  . 1 C3 15 2 C3 15 10 10 有利于事件A的样本点数 【相关知识点】古典型概率公式：P(A) i . i 样本空间的总数 十、(本题满分5分) 【解析】(1) 由连续型随机变量边缘分布的定义,且 lim eax 0,(a为常数)有 x X 和Y 的边缘分布函数分别为 1e0.5x, 若x0, F (x)F(x,) lim F(x,y)  X y  0, 若x0; 1e0.5y, 若y0, F (y)F(,y) lim F(x,y)  Y x  0, 若y0. 由于对任意实数x,y都满足F(x,y)F (x)F (x) .因此X 和Y 相互独立. X Y (2) 因为X 和Y 相互独立,所以有  P  X 0.1,Y 0.1  P  X 0.1 P  Y 0.1  [1F (0.1)][1F (0.1)]e0.05e0.05e0.1. X Y 十一、(本题满分7分) 【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有 关概率,通过(x)表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出 与2的值,再去计算有关事件的概率. 设X 为考生的外语成绩,依题意有 X ~ N(,2),且72,但2未知.所以可标准 X 72 化得 ~ N(0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有  9672 24 P  X 96 1P  X 96 1   1   0.023,     1124    10.0230.977.  24 查表可得 2,12,即X ~ N(72,122) ,   X 72  P  60 X 84 P 12(1)10.682 .  12  12