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中学力学四
讲师：丁奉
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三.中心天体属性参数求解（𝐠、𝝆、M）
一：万有引力不等于重力
𝑀𝑚
2
1.在赤道上，𝐺 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝜔 𝑅。
1
𝑅2
𝑀𝑚
2.在两极上，向心力的大小为零，地球对物体的万有引力仅表现为重力，𝐺 = 𝑚𝑔 。
0
𝑅2
𝑀𝑚
3.在一般位置上，万有引力𝐺 等于重力mg与向心力𝐹 的矢量和。（了解即可）
𝑅2 向
二：万有引力等于重力
𝑀𝑚 𝑀
′ ′ ′
1.地球上空距离地球中心𝑟 = 𝑅 + ℎ处的重力加速度为𝑔 ，𝑚𝑔 = 𝐺 ，得𝑔 = 𝐺
𝑅+ℎ 2 𝑅+ℎ 2
2
2.黄金代换:𝐺𝑀 = 𝑔𝑅 。
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三：天体质量和密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度𝑔和天体半径𝑅；
2
𝑀𝑚 𝑔𝑅 𝑀 𝑀 3𝑔
由于𝐺 = 𝑚𝑔，故天体质量𝑀 = ，天体密度𝜌 = = = 。
𝑅2 𝐺 𝑉 4 𝜋𝑅3 4𝜋𝐺𝑅
3
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期𝑇和轨道半径𝑟；
2 2 3
𝑀𝑚 4𝜋 4𝜋 𝑟
由万有引力提供向心力，即𝐺 = 𝑚 𝑟，得出中心天体质量𝑀 = ；
𝑟2 𝑇2 𝐺𝑇2
3
𝑀 𝑀 3𝜋𝑟
若已知天体半径为𝑅，则天体的平均密度𝜌 = = = ；
𝑉 4 𝜋𝑅3 𝐺𝑇2𝑅3
3
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【例5】2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，
−11
其自转周期𝑇 = 5.19ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67 × 10 N ∙
2 2
m /kg 。以周期𝑇稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）。
9 3 12 3
A.5 × 10 kg/m B.5 × 10 kg/m
15 3 18 3
C.5 × 10 kg/m D.5 × 10 kg/m（讲义页码 P ）
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【例6】（真题2018年上高中）登上火星是人类的梦想。若将地球和火星公转视为匀速圆
周运动，忽略行星自转影响。根据表，火星和地球相比，下列叙述正确的是（ ）。
A.火星的公转周期较小
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
B.火星做圆周运动的加速度较小
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
C.火星表面的重力加速度较大
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
D.火星的第一宇宙速度较大（讲义页码 P ）
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【例7】（2017上高中）质量为𝑚的人造地球卫星在地面上受到的重力为𝑃，它在到地面的
距离等于地球半径𝑅的圆形轨道上运动时，下列叙述正确的是（ ）。
2𝑃𝑅 𝑚𝑅
A.速度大小为 B.周期为4𝜋
𝑚 𝑃
1
C.动能为 𝑅𝑃 D.重力为0
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四、“双星”问题
1.向心力大小的关系
𝐺𝑚 𝑚
（1） 1 2 = 𝑚 𝜔 2 𝑟 = 𝑚 𝜔 2 𝑟
1 1 1 2 2 2
𝐿2
2 2
𝐺𝑚 𝑚 2𝜋 2𝜋
（2） 1 2 = 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑟
1 1 2 2
𝐿2 𝑇 𝑇
1 2
2.角速度和周期的关系
（1）𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ；(2)𝑇 = 𝑇 = 𝑇 。
1 2 1 2
3.运动半径与两星间距的关系：𝑟 + 𝑟 = 𝐿
1 2
𝑚 𝑟
4.质量关系： 1 = 2
𝑚 𝑟
2 1
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𝐿3
5.周期大小：𝑇 = 2𝜋
𝐺 𝑚 +𝑚
1 2（讲义页码 P ）
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【例8】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过
程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，
可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之积 D.各自的自转角速度第四节
机械能
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一、功和功率
（一）功
1.功的公式：𝑊 = 𝐹𝑙𝑐𝑜𝑠𝑎。（式中的𝑙为对地位移）
2.功的正负的判断方法
（1）依据𝐹与𝑣的方向夹角𝛼来判断，当0° ≤ 𝛼 < 90°，力对物体做正功；
（2）90° < 𝛼 ≤ 180°，力对物体做负功；
（3）𝛼＝90°，力对物体不做功。
3.补充：板块问题
𝑣
0
𝑣
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【例1】如图，木块𝐴放在木板𝐵的左端，𝐴、𝐵接触面粗糙，用恒力𝐹将𝐴拉至𝐵的右端，
第一次将𝐵固定在地面，𝐹做功为𝑊 ，第二次将𝐵放在光滑地面上，𝐹做功为𝑊 ，比较二次
1 2
做功应有（ ）。
A.𝑊 < 𝑊 B.𝑊 = 𝑊
1 2 1 2 𝐴 𝐹
C.𝑊 > 𝑊 D.不能确定 𝐵
1 2（讲义页码 P ）
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【例2】如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某
一速度，木箱获得的动能一定（ ）。
A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功（讲义页码 P ）
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【例6】如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着
一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它
的作用力（ ）。
A.一直不做功 B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心 D.始终背离大圆环圆心（讲义页码 P ）
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（二）功率
1.平均功率的计算方法
𝑊
（1）利用𝑃 = 。
𝑡
（2）利用𝑃 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝑎，其中𝑣为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算方法
°
利用公式𝑃 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝑎，其中𝑣为瞬时速度；当𝑎 = 0 时，有𝑃 = 𝐹𝑣。
2024FENBI拓展
【拓展一】如图所示，质量为𝑚＝2𝑘𝑔的木块在倾角𝜃＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面
2
足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为𝜇＝0.5，已知s𝑖𝑛37°＝0.6，𝑐𝑜𝑠 37°＝0.8，𝑔取10 𝑚/𝑠 ，
则前2 𝑠内重力的平均功率和2 𝑠末的瞬时功率分别为( )
A.48 𝑊 24 𝑊 B.24 𝑊 48 𝑊
C.24 𝑊 12 𝑊 D.12 𝑊 24 𝑊（讲义页码 P ）
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（三）机车启动问题
1.以恒定功率启动
（1）运动过程分析
𝑃
第一过程：刚启动时，速度𝑣增加，牵引力𝐹 = 减小，机车所受到的摩擦力不变，所
𝑣
𝐹−𝑓
以𝑎 = 减小，此过程做加速度逐渐减小的变加速运动。
𝑚
𝑃
第二过程：当牵引力等于摩擦力时，即𝐹 = 𝑓，𝑎 = 0，速度达到最大𝑣 ，且𝑣 = ，
𝑚 𝑚
𝑓
此过程做匀速直线运动。
（2）运动过程的速度——时间图像
2024FENBI（讲义页码 P ）
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2.以恒定加速度启动
（1）运动过程分析
𝐹−𝑓
第一过程：刚启动时，𝑎不变，𝑎 = ，𝐹不变，𝑣逐渐增加，𝑃 = 𝐹𝑣逐渐增加，此过程做
𝑚
匀加速直线运动。
𝑃 𝐹−𝑓
第二过程：当𝑃 = 𝑃 ，此时的𝑎并不为零，所以𝑣仍增大；𝑣增加，𝐹 = 减小，𝑎 = 减
额
𝑣 𝑚
小，此过程做加速度逐渐减小的加速运动。
𝑃
第三过程：当𝐹 = 𝑓时，𝑎 = 0，速度达到最大𝑣 ，𝑣 = ，此过程做匀速直线运动。
𝑚 𝑚
𝑓
（2）运动过程的速度—时间图像
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【例3】（真题2017 年上· 初中）如图5所示，用跨过光滑定滑轮将水平面上没有动力
的小船沿直线拖向岸边。若拖动的电机功率恒为P，小船质量为m，小船受到阻力大小恒为f，
经过A点时绳与水平方向夹角为θ，小船速度大小为v ，绳的质量忽略不计，则小船加速度a
0
和绳对船的拉力F的大小为（ ）。
1 𝑃 𝑃
A.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 cos𝜃 𝑣 cos𝜃
0 0
1 𝑃 𝑃
B.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 𝑣 cos𝜃
0 0
1 𝑃 𝑃
C.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 cos𝜃 𝑣
0 0
1 𝑃 𝑃
D.𝑎 = − 𝑓 ，𝐹 =
𝑚 𝑣 𝑣
0 0拓展
【拓展二】质量为 400 𝑘𝑔 的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，
1
其加速度𝑎和速度的倒数 的关系如图所示，则赛车在加速的过程中（ ）。
𝑣
A．速度随时间均匀增大
B．加速度随时间均匀增大
C．输出功率为160 𝑘𝑊
D．所受阻力大小为160 𝑁（讲义页码 P ）
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二、动能和动能定理
1
2
（一）动能公式：𝐸 = 𝑚𝑣
𝑘
2
（二）动能定理
1.动能定理公式：𝑊 = 𝐸 − 𝐸 。
𝑘2 𝑘1
2.对动能定理的理解
（1）对“外力”的理解
“外力”指的是合力；各个力可以同时作用，也可以不同时作用。既可以是恒力，也可以是
变力。
（2）对公式𝑊 = 𝐸 − 𝐸 中“＝”的体现
𝑘2 𝑘1
2024FENBI
因果关系：合力的功是物体动能变化的原因。（讲义页码 P ）
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利用动能定理可以求变力做功，动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用
于求恒力做功，也适用于求变力做功。
【例4】（真题2017年上初、高中）如图所示，长为𝐿的轻绳一端固定于𝑂点，另一端系一
质量为𝑚的小球，将绳水平拉直后释放，让小球从静止开始运动，当运动至绳与竖直方向的夹
°
角𝛼 = 30 时，小球受合力为（ ）。
2 13
A. 1 + 3 𝑚𝑔 B. 𝑚𝑔 C. 𝑚𝑔 D. 3𝑚𝑔
3 2（讲义页码 P ）
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【例8】如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块
以速度𝑣从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离
与轨道半径有关，此距离最大时。对应的轨道半径为（重力加速度大小为𝑔）（ ）。
2 2 2 2
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣
A. B. C. D.
16𝑔 8𝑔 4𝑔 2𝑔
𝑣答 疑 时 间~
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