文档内容
绝密★启用前
2024 年中考押题预测卷 01【南京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请
将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2024•建邺区校级模拟）|﹣2|的值等于（ ）
1 1
A．2 B．− C． D．﹣2
2 2
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
2．（2024•秦淮区校级模拟）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB
以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可．
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣2，b＝2，
所以（a+b）2024＝02024＝0．
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错
误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根
据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不
能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
{AD=AD
，
DE=DC
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，
解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
5．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴
正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题．
【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
则∠CMA＝∠CNB＝90°，
∵C（5，5），
∴CN＝CM＝5，
∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠MCN，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
{∠CMA=∠CNB
CM=CN ，
∠ACM=∠BCN
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，
证明三角形全等是解题的关键．
6．（2024•建邺区校级模拟）如图，一次函数 y＝x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB
绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C
作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方
法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=√2，令y＝0，则x=−√2，
则A（−√2，0），B（0，√2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=√(√2) 2+(√2) 2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=√AD2+CD2=√2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=√BC2−CD2=√3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=√3x，
解得：x=√3+1，
∴AC=√2x=√2（√3+1）=√6+√2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
2 1
7．（2024•秦淮区校级模拟） 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠ ．
2x−1 2
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≠0，
1
解得，x≠ ，
2
1
故答案为：x≠ ．
2
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
8．（2024•鼓楼区模拟）分解因式：2x2﹣8＝ 2 （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
√b √a 21
9．（2024•雨花台区模拟）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b +a = − √2 ．
a b 2
【分析】由a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b可知a、b可看作方程
x2+5x+2＝0 的两不相等的实数根，继而知 a+b＝﹣5，ab＝2，且 a＜0，b＜0，将其代入到原式
b√ab a√ab b2√ab+a2√ab √ab[(a+b) 2−2ab]
=− − =− =− 可得答案．
a b ab ab
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
b√ab a√ab
则原式=− −
a b
b2√ab+a2√ab
=−
ab
√ab[(a+b) 2−2ab]
=−
ab
√2×(25−4)
=−
221
=− √2，
2
21
故答案为：− √2．
2
【点睛】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据a、b满足的等式判
断出a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根且a+b＝﹣5，ab＝2，a＜0，b＜0是解题的关键．
10．（2024•建邺区校级模拟）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ﹣ 2 ．
【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与
xy的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根，
∴x+y＝4，xy＝3，
则原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．（2024•玄武区校级模拟）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十
2
个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ．
5
【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解
即可．
【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，
4 2
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为 = ，
10 5
2
故答案为： ．
5
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
12．（2024•玄武区校级模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一
个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表
示，则图②中两块阴影部分的周长和是 2 4 cm．【分析】根据题意，可以先设小长方形卡片的长为 a cm，宽为b cm，然后即可表示出两个阴影部分的
周长，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，
图②中两块阴影部分的周长和是：2a+（6﹣3b）×2+3b×2+（6﹣a）×2
＝2a+12﹣6b+6b+12﹣2a
＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽．
1
13．（2024•建邺区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y =
1 x
k
（x＞0），y = （x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为 ﹣ 4 ．
2 x
【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性
1
×1
S OA 1 2 1
质得出∴ △AOE=（ ）2= ，根据反比例函数系数k的几何意义得出 = ，解得方程即可求得
S OB 4 1 4
△BOF |k|
2
k＝﹣4．
【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝∠BOF，
∵∠AEO＝∠OFB＝90°，∴△AEO∽△OFB，
S OA 1
∴ △AOE=（ ）2= ，
S OB 4
△BOF
1
×1
2 1
∴ =
1 4
|k|
2
∴|k|＝4，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y= （k≠0）中比例系数k的几何意
x
义：过反比例函数图象上任意一点分别作 x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|
k|．
14．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中， O经过点E，且与AB，BC相切．若 O的半径
为4√3，则正六边形的边长为 4+ 2√3 ．
⊙ ⊙
【分析】先连接OB、OM、ON，根据题意可得△OBM≌△OBN，从而得出OB所在直线是正六边形的
一条对称轴，再根据正六边形的性质和勾股定理可得 MB＝4，OB＝8，再根据轴对称的性质得出B、
O、E在一条直线上，即可得到BE的长，进而求出正六边形的边长．
【解答】解：连接OB、OM、ON，如图：∵ O与AB，BC相切．
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
⊙
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，
又∵OB＝OB，
∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），
∴OB所在直线是正六边形的一条对称轴，
在正六边形ABCDEF中，∠ABC＝120°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB＝30°，
∵OM＝4√3，
∴MB＝4，OB＝8，
∵圆的对称轴是直径所在的直线，且经过点E，
∴O、B、E三点共线，
∴BE＝8+4√3，
1
根据正六边形的性质可得BC= BE＝4+2√3，
2
故答案为：4+2√3，
【点睛】本题考查正六边形的性质和与圆有关的位置关系，轴对称等知识，关键是判定出 O、B、E三
点共线，
15．（2023春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在
9
边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 ．
14
【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH∥EG，由四边形ABCD是菱形，
得AB＝BC＝CD，BE∥GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH＝BE＝4，由折叠得GE＝BE＝
65
4，则BH＝GE＝4，所以DH＝DG+GH＝7，由勾股定理得42+（7﹣AB）2＝AB2，求得AB= ，所以
149
AE＝AB﹣BE= ，于是得到问题的答案．
14
【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH是平行四边形，
∴GH＝BE＝4，
由折叠得GE＝BE＝4，
∴BH＝GE＝4，
∵DG＝3，
∴DH＝DG+GH＝3+4＝7，
∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB，
∴42+（7﹣AB）2＝AB2，
65
解得AB= ，
14
65 9
∴AE＝AB﹣BE= −4= ，
14 14
9
故答案为： ．
14
【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确
地作出所需要的辅助线是解题的关键．
1
16．（2024•建邺区校级模拟）已知点D（2，a）为直线y=− x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放
2
在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四
边形ACBD面积的最小值为 6 ．1 3
【分析】先求出点D的坐标（2，2），进而得出S四边形ACBD =
2
AB（2+1）=
2
AB，只要AB最小时，四
边形ACBD的面积最小，而DA＝DB时，AB最小，即可得出结论．
【解答】解：如图，
取AB的中点F，连接DF，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝2DF
1
∵点D（2，a）为直线y=− x+3上一点，
2
1
∴a=− ×2+3＝2，
2
∴D（2，2），
过点D作DE⊥AB于E，
∴DE＝2，E（2，0），
1 1 1 3
∴S四边形ACBD ＝S△ABC +S△ABD =
2
AB•OC +
2
AB•DE =
2
AB（OC+DE）=
2
AB＝3DF，
要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，
∵点D（2，2），点F在x轴上，
∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，
∴S四边形ACBD最小 ＝3×2＝6，
故答案为6．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出DF最小时，四边形ACBD的面积最小．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
x−1 x2+6x+9
17．（6分）（2024•鼓楼区模拟）计算：（2− ）÷ ．
x+1 x2−1
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
2(x+1)−(x−1) (x+1)(x−1)
【解答】解：原式= •
x+1 (x+3) 2
x+3 (x+1)(x−1)
= •
x+1 (x+3) 2
x−1
= ．
x+3
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
{
x+3
≥x+1
18．（6分）（2024•鼓楼区模拟）解不等式组 2 ，并把解集在数轴上表示出来．
3+4(x−1)＞−9
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
{
x+3
≥x+1①
【解答】解： 2 ，
3+4(x−1)＞−9②
由①得x≤1，
由②得x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
把解集在数轴上表示出来为：
【点睛】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同
小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．
19．（8分）（2024•秦淮区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝
∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论；
（2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD＝6，则BD＝
2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6√3，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OC= AC，OD= BD，AC＝BD，
2 2
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC=√BD2−CD2=√122−62=6√3，
∴S矩形ABCD ＝BC•CD＝6√3×6＝36√3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知
识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）（2024•鼓楼区模拟）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 8 0.4
乙 8 9 9 3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或
“不变”）．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
1
【解答】解：（1）甲的众数为8，乙的平均数= ×（5+9+7+10+9）＝8，乙的中位数为9；
5
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为：8，8，9；变小．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方
1
差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x ﹣x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]；方差是反映
n 1 2 n
一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其
平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
21．（8分）（2024•秦淮区校级模拟）在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项
目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，
规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重
新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题：
1
（1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是 ；
3
（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表
法求解）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”
实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
1
【解答】解：（1）小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4
种，
4
∴小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率为 ．
9
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2024•建邺区校级模拟）如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），请用无刻度直尺和圆规，完
成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（1）在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合，请在
图①中作出点M；
（2）在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D
处，且ND⊥AC，请在图②中作出点N．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在边 BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某
一条直线折叠，点B与点C能重合；
（2）延长CB至G，作∠CBG的平分线，得过点B的垂线n，延长CA交n于点E，
作∠BEC的角平分线交BC于点N，过点N作AC的垂线m交AC于点D即可．
【解答】解：（1）如图1所示：点M即为所求作的点；（2）如图2所示：点N即为所求作的点．
作图如下：
延长CB至G，
作∠CBG的平分线，
得过点B的垂线n，
延长CA交n于点E，
作∠BEC的角平分线交BC于点N，
过点N作AC的垂线m交AC于点D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质．
23．（8分）（2024•鼓楼区模拟）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图
①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等
的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的
夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图
中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解
Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
AE 576
∴AB= = ≈600（m），
cosA cos15°
即AB的长约为600m；（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
√2
∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600× =300√2（m），
2
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+300√2≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
24．（8分）（2024•雨花台区模拟）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产
品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16元/件，
市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元
时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质
进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
{10k+b=30
将（10，30）、（16，24）代入，得： ，
16k+b=24{k=−1
解得： ，
b=40
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关
系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
25．（8分）（2024•建邺区校级模拟）如图，△ABC内接于 O，∠BAC的平分线AF交 O于点G，过
G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
⊙ ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
BF 3
（2）已知AG＝8，⊙ = ，点I为△ABC的内心，求GI的长．
DG 4
【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据
平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到
BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交 O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
⊙
∴^BG=C^G，
∴OG⊥BC，∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是 O的半径，
∴DE为 O的切线；
⊙
（2）解：连接BI，BG，
⊙
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
AF BF 3
∴ = = ，
AG DG 4
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
BG AG
∴ = ，
FG BG
BG 8
∴ = ，
2 BG
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
26．（10分）（2024•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，其中m，n为实数．
（1）若该函数的对称轴是直线x＝2，则m＝ ﹣ 4 ；（2）若该函数的图象经过点（m，9n），请判断该函数的图象与x轴的交点个数；
（3）该函数的图象经过点（x ，0），（x ，0），（1，a），（5，b）．若x ﹣x ＝1时，求a+b的取
1 2 2 1
值范围．
m
【分析】（1）依据题意，由对称轴是直线x＝2，从而− =2，计算可以得解；
2
（2）依据题意，令 y＝0，故 x2+mx+n＝0，从而Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n，又函数的图象经过点（m，
9n），可得m2＝4n，最后可以判断Δ＝0，进而可以得解；
（3）依据题意，函数的图象经过点（x ，0），（x ，0），从而 x +x ＝﹣m，x x ＝n，由
1 2 1 2 1 2
(x +x ) 2−(x −x ) 2=4x x ，可得m2﹣1＝4n，再将（1，a），（5，b）代入 y＝x2+mx+n 得，a＝
1 2 2 1 1 2
m2−1 1 15
1+m+n，b＝25+5m+n，故 a+b=6m+2n+26=6m+ +26= (m+6) 2+ ，
2 2 2
再结合二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵对称轴是直线x＝2，
m
∴− = 2．
2
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
（2）由题意，当y＝0时，
∴x2+mx+n＝0．
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n．
又∵函数的图象经过点（m，9n），
∴m2+m2+n＝9n．
∴m2＝4n．
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n＝0．
∴方程x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根．
∴函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有一个交点．
（3）函数的图象经过点（x ，0），（x ，0），
1 2
∴x ，x 是x2+mx+n＝0 的根．
1 2
∴x +x ＝﹣m，x x ＝n．
1 2 1 2
∵x ﹣x ＝1，
2 1
∴(x +x ) 2−(x −x ) 2=4x x ．
1 2 2 1 1 2
∴m2﹣1＝4n．
将（1，a），（5，b）代入y＝x2+mx+n得，
a＝1+m+n，b＝25+5m+n，m2−1
∴a+b=6m+2n+26=6m+ +26
2
1 15
= (m+6) 2+ ，
2 2
15
∴a+b≥ ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27．（10分）（2024•雨花台区模拟）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸
片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题 1：在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点 D 是边 AC 上一点，将△ABD 沿 BD 翻折得到
△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【分析】问题1，
（1）由∠A+∠DEC＝180°，∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°得出结论；3
（2）作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的性质得出CF＝EF= ，进而得出DF的值，
2
3
可证得△ADG≌△DFC，从而AG＝DF，DG＝CF= ，进而在Rt△ABG中求得BG，进一步得出结果；
2
问题2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，可证得四边形DEBF是矩形，从而BF＝
√15 7
DE，DF＝BE，在Rt△ACD中求得AD，进而求得BF＝DE= ，进而在Rt△BDE中求得DF＝BE=
2 2
7 5
，从而得出CF＝DF﹣CD= −1= ，进而在Rt△BCF中求得BG的值，进一步得出结果．
2 2
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，
作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
1 3
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF= CE=
2 2
3 7
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（ ）2= ，
2 4
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
3
∴AG＝DF，DG＝CF= ，
2
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
√ 7 √57
BG=√AB2−AG2= 42− = ，
4 2
√57+3
∴BD＝BG+DG= ；
2
问题2，
解：如图2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
1
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE= AD，
2
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD=√42−12=√15，
√15
∴BF＝DE= ，
2√15
在Rt△BDE中，BD＝4，DE= ，
2
√ √15 7
∴DF＝BE= 42−( ) 2= ，
2 2
7 5
∴CF＝DF﹣CD= −1= ，
2 2
5 √15
在Rt△BCF中，CF= ，BF= ，
2 2
√ 5 √15
∴BC= ( ) 2+( ) 2=√10．
2 2
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的
判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
