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武汉市 2011 年中考数学试题及答案
一、选择题（共12小题每小题3分，共36分）
I。下列各题中均有四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代
号涂黑。
1有理数-3的相反数是（ ）
1 1
3 3
A.3 B．-3． C. ．D.-
2．函数 y= √x−2 中自变量x的取值范围为（ ） -1 3
A．x≥ 0． B．x≥-2． C.x≥2． D．x≤-2
3 .如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
x+1>0 x+1>0 x+1<0 x+1<0
x−3>0 3−x>0 x−3>0 3−x>0
A.{ B。{ C.{ D.{
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A.购买一张彩票，中奖，
B．打开电视机．正在播放广告。
C.抛一牧捌币，正面向上．
D一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球．
2
5．若x1，x2是一元二次方程x +4x +3 =0的两个根，则x1·x2的值是（ ）
A.4 B．3 C．-4 D．-3
6．据报道，2011年全国普通高校招生计划约675万人，数6750000用科学计数法表示为（
）
4 6 7
A.675×l0 B.67.5×l05 C.6.75 ×l0 D. 0.675 ×l0
7．如图．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD=25°，则∠BAD的大小是（ ）
A．40°． B．45°。 C。50° D。60°
D C
A B
8．右图是某物体的直观图，它的俯视图是（ ）
A B C D9．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．且规定，芷方形的内部不
包含边界上的点．观察如图昕示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正
方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的 正方形内部
整点个数为（ ）
A．64 B．49． C．36． D．2S
y
N
1
P
x
-1 o 1 O
M A Q
-1
10．如图，铁路MN和公赂PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，
如果火行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72
千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ）
A．12秒． B.16秒． C．20秒． D．24秒．
11.为广泛开展阳光健身活动，2010年红星中学投入维修场地、安装设施、购置器材及其
它项目的资金共38万元，图1．图2分别反映的是2010年投入资金分配和2008年以来购
置器材投入资金的年增长率的具件数据．
2010年投入资金分配统计图 2008年以来购置器材投入资金年增长率统计图
y
购置器材投入
资金年增长率
安装设
施28％ 24％维 40％
修场地 32％
其它
10％ 20％
购置器材
o x年份
2008 2009 2010 2011
图2
图1
根据以上信息，下列判断：①在2010年总投人中购置器材的资金最多.② 2009年购
置
器材投入资金比2010年购置器材投入资金多8％；③若Z011年购置器材投入资金的
年增长率与2010年购置器材投入资金的年增长率相同，则2011年购置材的投入是
38×38％×（1+32%）万元．
其中正确判断的个数是（ ）
A．0． B．I． C．2． ． D．3．
12．如图，在菱形ABCD中，AB =BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF.连接BF与DE相
交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
√3
4 2
(1)△AED≌△DFB;（2）S = CG ．(3)若AF=2DF,则BG =
四边形BCDG
D C
6 GF.其中正确的结论： ( )
F
A.只有①② B.只有①③ C.只有②③。 D.①②③
H
G
A
E B第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二．填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13.sin30°的值为_____
14.某次数学测验中，五位同学的分数分别是：89,91,105,105,110.这组数据的中位数是
______ , 众数是________，平均数是_________. y
/升
15.一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过
30
一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管。在打开进水管到
20
关停进水管这段时间内，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分
钟） 10
之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过______分钟，容器中的水 o
x/分
4 8 12
恰好
放完。
16.如图，□ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(-1,0),B(0，-2),
k
x
顶点C、D在双曲线y= 上，边AD交y轴于点E,
y
且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=____ D
C
E
A
x
o
三．解答题。
2 B
17．（本题满分6分）解方程：x +3x+1 =0．
x2 −2x 4
x x
18. （本题分6分）先化简，再求值： ÷（x- ）,其中x=3
A
19. （本题满分6分）如图，D、E分别是AB、AC上的点，且AB=AC,AD=AE.
求证：∠B=∠C
D E
B C20. （本题满分7分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，
如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口。（1）试用树状图或列表法
中的一种列举出这两中的一种列举出这辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求至少有一辆汽车向左转的概率。
21. （ 本 题 满 分 7 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ ABC 的 顶 点 坐 标 是
A(-7,1),B(1,1),C(1,7).
线段DE的端点坐标是D(7，-1),E(-1，-7).(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重
合；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对
应点F的坐标；（3）画出（2）中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点 O逆时针旋转
90°，画出旋转后的图形。
y
C
A B
x
0
D
E
22. （本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点
C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切
1 B
2
线；（2）若tan∠ABE= ,求sin∠E.
O
P
C
A
E23. （本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠
墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂
直于墙的一边的长为x米。（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系
式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最
大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，
直接写出x的取值范围。
18米
苗圃园
24.（本题满分10分）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE//边
DP PE
A
BQ QC
长，AQ交DE于点P,求证： =
D P E
B Q C
图1
(2)如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分
2
别交DE于M,N两点。①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN
=DM·EN
A
A
E
D D N E
MN
M
G
G
B F C B F C
图2
图325. （本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点，
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直
线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含
端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平
移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴
的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存
在，说明理由。
y
y
C
F
Q
D E
A B x x
O O
M
图1答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B D B C C A B B C D
1
2
13． l4.105; 105; 100 15. 8. 16. 12.
−3±√5
2
17．懈，x=
x 3
18．（本题6分）解：原式=
x+2
，x=3时，原式=
5
19．（本题6分）证明。在△ABE和△ACD中，
¿ ¿
∴△ABE≌△ACD ∴∠B=∠C
20．（本题7分）解法l：(1)根据题意，可以画出出如下的“树形图”：
左 直
右
左 直 右 左 直 右
左 直 右
∴这两辆汽乖行驶方向共有9种可能的结槊．
(2)由(1)中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能
5
9
性相等∴P(至少有一辆汽车向左转)=
解法2：根据题意，可以列出如下的表格：
左 直 右
左 （左，右） （左，直） （左，右）
直 （直，左） （直，直） （直，右）
右 （右，左） （右，直） （右，右）
以下同解法1
2I．（本题7分）(1)将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位。（其它平移
方式也可以） (2)F（-l，-1） (3)画出如图所示的正确图形。y
C
A B
x
0
F D
E
22 ． ( 本 题 8 分）（1）证明：连接OA,∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°
∵OA=OB,OP⊥AB于C,∴BC=CA,PB=PA ∴△PAO≌△PBO∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线
(2)解法1：连接AD,∵BD为直径， ∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°∴AD//OP,
EA AD 1 OC 1
EP OP 2 BC 2
∴△ADE∽△POE ∴ = ,由AD//OC得AD=2OC ∵tan∠ABE= ,∴ =
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC得PC=2BC=4ｔ，ＯＰ=５ｔ，
EA AD 2
EP OP 5
∴ = = .可设ＥＡ=２ｍ，ＥＰ=５ｍ，则ＰＡ=３ｍ，∵ＰＡ=ＰＢ∴ＰＢ=３ｍ，
PB
EP
∴sin∠E＝
（2)解法2.
２３．解：（１）设ｙ＝３０－２ｘ（６≤ｘ＜１５）
2
（２）设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=ｘｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ ＋３０ｘ
2
∴Ｓ=-２(Ｘ-７．５) ＋１１２．５ 由（１）知，６≤ｘ＜１５
∴当ｘ＝７．５时，Ｓ最大值＝１１２．５
即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为７．５米时，这个苗圃园的面积最大，
这个最大值为１１２．５．
２４．（本题１０分）（１）证明：在△ＡＢＱ中，∵ＤＰ//ＢＱ∴△ＡＤＰ∽△ＡＢＱ
DP AP EP AP DP PE
BQ AQ CQ AQ BQ QC
∴ = 同理在△ＡＣＱ中， = ∴ =
√2
9
（２）
（３）证明：∵∠Ｂ+∠Ｃ=９０° ∠ＣＥＦ+∠Ｃ=９０° ∴∠Ｂ＝∠ＣＥＦ
又∵∠ＢＧＤ＝∠ＥＦＣ ∴△ＢＧＤ∽△ＥＦＣ ……３分DG BG
CF EF 2
∴ = , ∴ＤＧ·EF=CF·BG 又∵DG=GF=EF ∴GF = CF·BG
DM MN EN MN MN EN DM EN
BG BF CF GF 2 BF CF BG CF
由（1）得 = = ∴（ ） = · = ·
2
∵BG=GF=CF ∴MN =DM·EN
25.解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点
¿ ¿
∴ 解得a=1,b=4 ∴抛物线解析式为y=x2+4x+3
2
（2）由（1）配方得y=(x+2) -1 ∴抛物线的顶点M(-2，-1),
1 1
2 2
直线OD的解析式为y= x. 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h, h)
1
2 2
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h) + h
1
−1±√145
2 2 4
① 当抛物线经过点C时，∵C(0,9) ∴h + h=9， 解得h=
−1−√145 −1+√145
4 4
∴当 ≤x< 时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点
② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组
¿ ¿
1
2 2 2
得x +(-2h+2)x+ h + h-9=0
1
2 2 2
∴⊿=（-2h+2) -4（h + h-9）=0 解得h=4
2
此时抛物线y=(x-4) +2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3），符合题意
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值
−1−√145 −1+√145
4 4
范围为h=4或 ≤x<
2 2
(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为（m,m ）,(n,n )¿ ¿
2
由 得x -kx-3=0 ∴m+n=k m·n=-3
2
作点E关于y轴的对称点R(-m, m ）,作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EFP=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上 ∴点P即为所求的点。
由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3，
当x=0时，y=-3 ∴p(0,-3)
∴y轴的负半轴上存在点P(0，-3)使△PEF的内心在y轴上。
点评武汉市中考数学试题。
八成试题源自课本“改造题”
今年中考，数学卷重视从课本上采集素材，直接来源于课本和在课本基础上改造生
成的题目占80%以上。凡超越课本的题目都强调理据充分，以此引导老师要远离教辅资料
干扰，主抓课本和课标。
中考试题与考试说明样题、4月调考题的结构、考点布局基本一致。压轴题第25
题与考试说明样题、4月调考题在领域、方向和情景等方面有着相似和深刻的联系，但设
问和立意不同，侧重想象力的考查。
此外，试题重核心知识点、基础知识的考查。第24题从确认基本结论到利用基本
结论探究等，难度逐级递进。第25题作为压轴题，考查进一步学习的潜能，对想象力和严
谨推理具有较高的要求，但第（1）问，用待定系数法求解解析式，却极其基本。
