文档内容
2016 年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数 的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
2．（3分）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x=3
3．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．2a•a=2a2C．（2a2）2=2a4 D．6a8÷3a2=2a4
4．（3分）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、
2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
5．（3分）运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（ ）
A．x2+9B．x2﹣6x+9C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
6．（3分）已知点A（a，1）与点A（′ 5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（
）
A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1
7．（3分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件 4 5 6 7 8
数
人数 2 6 5 4 3
第1页（共22页）这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5、6、5B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2 ，点P在以斜边AB为直径的半圆
上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（
）
A． πB．πC．2 D．2
10．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算5+（﹣3）的结果为 ．
12．（3分）某市2016年初中毕业生人数约为63 000，数63 000用科学记数法表示
为 ．
13．（3分）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机
投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为 ．
14．（3分）如图，在 ▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．
15．（3分）将函数y=2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其
上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y=2下
方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则
第2页（共22页）BD的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程：5x+2=3（x+2）
18．（8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：
AB∥DE．
19．（8分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜
爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完
整统计图．
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最
喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 ．
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
20．（8分）已知反比例函数y= ．
第3页（共22页）（1）若该反比例函数的图象与直线y=kx+4（k≠0）只有一个公共点，求k的值；
（2）如图，反比例函数y= （1≤x≤4）的图象记为曲线C ，将C 向左平移2个单位
1 1
长度，得曲线C ，请在图中画出C ，并直接写出C 平移至C 处所扫过的面积．
2 2 1 2
21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为
点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD= ，求 的值．
22．（10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．
已知产销两种产品的有关信息如表：
产 每件售价（万 每件成本（万 每年其他费用（万 每年最大产销量
品 元） 元） 元） （件）
甲 6 a 20 200
乙 20 10 40+0.05x2 80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 万元、y 万元，直接写出y 、y 与x的
1 2 1 2
函数关系式；
第4页（共22页）（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
23．（10分）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB；
（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．
24．（12分）抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且
位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， 是
否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
第5页（共22页）2016 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2016•武汉）实数 的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【解答】解：∵1＜ ＜2，
∴实数 的值在：1和2之间．
故选：B．
2．（3分）（2016•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围
是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x=3
【解答】解：依题意得：x﹣3≠0，
解得x≠3，
故选：C．
3．（3分）（2016•武汉）下列计算中正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．2a•a=2a2C．（2a2）2=2a4 D．6a8÷3a2=2a4
【解答】解：A、原式=a3，错误；
B、原式=2a2，正确；
C、原式=4a4，错误；
D、原式=2a6，错误，
故选B
4．（3分）（2016•武汉）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，
其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是
（ ）
第6页（共22页）A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：A．
5．（3分）（2016•武汉）运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（ ）
A．x2+9B．x2﹣6x+9C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
【解答】解：（x+3）2=x2+6x+9，
故选：C．
6．（3分）（2016•武汉）已知点A（a，1）与点A（′ 5，b）关于坐标原点对称，则实数
a、b的值是（ ）
A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1
【解答】解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1．
故选D．
7．（3分）（2016•武汉）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视
图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形．
故选：A．
第7页（共22页）8．（3分）（2016•武汉）某车间20名工人日加工零件数如表所示：
日加工零件 4 5 6 7 8
数
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5、6、5B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
【解答】解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，
则中位数是 =6；
平均数是： =6；
故选D．
9．（3分）（2016•武汉）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2 ，点P在以斜边AB
为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动
的路径长是（ ）
A． πB．πC．2 D．2
【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、
EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2 ，
∴AB= BC=4，
∴OC= AB=2，OP= AB=2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
第8页（共22页）∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为
正方形，EF=OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长= •2π•1=π．
故选B．
10．（3分）（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴
上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2 ，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，
0）、（4，0）、（0，4），
∵点（0，4）与直线AB共线，
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满
足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角
形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
第9页（共22页）11．（3分）（2016•武汉）计算5+（﹣3）的结果为 2 ．
【解答】解：原式=+（5﹣3）=2，
故答案为：2．
12．（3分）（2016•武汉）某市2016年初中毕业生人数约为63 000，数63 000用科
学记数法表示为 6. 3 × 1 0 4 ．
【解答】解：将63 000用科学记数法表示为6.3×104．
故答案为：6.3×104．
13．（3分）（2016•武汉）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，
4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为 ．
【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体由6个面，其中标有数字5的有2个，
∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率= = ．
故答案为： ．
14．（3分）（2016•武汉）如图，在 ▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折
叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为
36° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，
∴∠FED′=108°﹣72°=36°；
故答案为：36°．
第10页（共22页）15．（3分）（2016•武汉）将函数y=2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿
x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象
在直线y=2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为 ﹣ 4 ≤ b ≤ ﹣ 2
．
【解答】解：∵y=2x+b，
∴当y＜2时，2x+b＜2，解得x＜ ；
∵函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为﹣y=2x+b，即y=﹣2x﹣b，
∴当y＜2时，﹣2x﹣b＜2，解得x＞﹣ ；
∴﹣ ＜x＜ ，
∵x满足0＜x＜3，
∴﹣ =0， =3，
∴b=﹣2，b=﹣4，
∴b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2．
故答案为﹣4≤b≤﹣2．
16．（3分）（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
CD=10，DA=5 ，则BD的长为 2 ．
【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
第11页（共22页）∴AC2=AB2+BC2=25，
∵CD=10，AD=5 ，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = ，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD= = =2 ，
故答案为：2 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）（2016•武汉）解方程：5x+2=3（x+2）
【解答】解：去括号得：5x+2=3x+6，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2．
18．（8分）（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，
BE=CF，求证：AB∥DE．
第12页（共22页）【解答】证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF，
∴AB∥DE．
19．（8分）（2016•武汉）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电
视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了
如下的不完整统计图．
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 5 0 名学生，其中最喜爱戏曲的有 3 人；在扇形统计图中，
最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 72 ° ．
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
【解答】解：（1）本次共调查学生：4÷8%=50（人），最喜爱戏曲的人数为：
50×6%=3（人）；
∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为： ×100%=36%，
第13页（共22页）∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1﹣8%﹣30%﹣36%﹣6%=20%，
∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是360°×20%=72°；
故答案为：50，3，72°．
（2）2000×8%=160（人），
答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．
20．（8分）（2016•武汉）已知反比例函数y= ．
（1）若该反比例函数的图象与直线y=kx+4（k≠0）只有一个公共点，求k的值；
（2）如图，反比例函数y= （1≤x≤4）的图象记为曲线C ，将C 向左平移2个单位
1 1
长度，得曲线C ，请在图中画出C ，并直接写出C 平移至C 处所扫过的面积．
2 2 1 2
【解答】解：（1）解 得kx2+4x﹣4=0，
∵反比例函数的图象与直线y=kx+4（k≠0）只有一个公共点，
∴△=16+16k=0，
∴k=﹣1；
（2）如图所示，C 平移至C 处所扫过的面积=2×3=6．
1 2
第14页（共22页）21．（8分）（2016•武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线
垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD= ，求 的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
第15页（共22页）∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵cos∠CAD= = ，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，
∵cos∠CAB= = ，
∴AB= a，BC= a，
在RT△CHB中，CH= = a，
∴DE=CH= a，AE= = a，
∵EF∥CD，
∴ = = ．
第16页（共22页）22．（10分）（2016•武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，
每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产 每件售价（万 每件成本（万 每年其他费用（万 每年最大产销量
品 元） 元） 元） （件）
甲 6 a 20 200
乙 20 10 40+0.05x2 80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 万元、y 万元，直接写出y 、y 与x的
1 2 1 2
函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【解答】解：（1）y =（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）
1
y =10x﹣40﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．
2
（2）对于y =（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，
1
∴x=200时，y 的值最大=（1180﹣200a）万元．
1
对于y =﹣0.05（x﹣100）2+460，
2
∵0＜x≤80，
∴x=80时，y 最大值=440万元．
2
（3）①（1180﹣200a）=440，解得a=3.7，
②（1180﹣200a）＞440，解得a＜3.7，
③（1180﹣200a）＜440，解得a＞3.7，
∵3≤a≤5，
∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．
当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
23．（10分）（2016•武汉）在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP•AB；
（2）若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．
第17页（共22页）【解答】解：（1）∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴ ，
∴AC2=AP•AB；
（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，
∵M是PC的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM=∠A，
∵∠ACP=∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴ ，
即 ，
∴x= ，
∵AB=3，
∴AP=3﹣ ，
∴PB= ；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，
设BP=x．
∵∠ABC=45°，∠A=60°，
∴CH= ，HE= +x，
第18页（共22页）∵CE2=（ +（ +x）2，
∵PB=BE，PM=CM，
∴BM∥CE，
∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴ ，
∴CE2=EP•EA，
∴3+3+x2+2 x=2x（x+ +1），
∴x= ﹣1，
∴PB= ﹣1．
24．（12分）（2016•武汉）抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为
抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求该抛物线的解析式；
②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；
第19页（共22页）（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， 是
否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得
，解得 ，
抛物线的解析式为y= x2﹣ ；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），
得D（﹣1，﹣3）；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G．
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
设OG=x，则PG=x，HG=x﹣1．
在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．
∴点G（5，0）．
∴直线PG的解析式为y= x﹣
第20页（共22页）解方程组 得 ， ．
∵P（1，﹣3），
∴D（ ，﹣ ）．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（ ，﹣ ）．
（2）点P运动时， 是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c=0，c=﹣at2．
∵PQ∥OF，
∴ ，
∴OF= =﹣ = =amt+at2．
同理OE=﹣amt+at2．
∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC．
∴ =2．
第21页（共22页）第22页（共22页）
