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2014 年武汉市初中毕业生学业考试
数学试卷
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
下列各题中均有四个备选答案中，其中有且只有一个是正确的
1．在实数－2、0、2、3中，最小的实数是（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．3
2．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
3．光速约为300 000千米/秒，将数字300 000用科学记数法表示为（ ）
A．3×104 B．3×105 C．3×106 D．30×104
4．在一次中学生田径运动会上，参加调高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
（m）
人数 1 2 4 3 3 2
那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ）
A．4 B．1.75 C．1.70 D．1.65
5．下列代数运算正确的是（ ）
A．(x3)2＝x5 B．(2x)2＝2x2 C．x3·x2＝x5
D．(x＋1)2＝x2＋1
6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为
位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则
端点C的坐标为（ ）
A．(3，3) B．(4，3)
C．(3，1) D．(4，1)
7．如图，由4个大小相同的正方体组合而成的几何体：
其俯视图是（ ）
A B C D
8．为了解某一路口某一时刻的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计该路口的汽车数量
（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
9．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图
中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A．31 B．46 C．51 D．66
10．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，
PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B．
C． D．
第II 卷（非选择题， 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：－2＋(－3)＝_______
12．分解因式：a3－a＝_______________
13．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分别为红黄绿三种，指针的位置固定，转动转盘
后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当
作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为_______
第13题图 第14题图14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）
与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米
15．如图，若双曲线 与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝
3BD，则实数k的值为______
[来
第15题图 第16题图
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为
______
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本小题满分6分）
解方程：
18．（本小题满分6分）
已知直线y＝2x－b经过点(1，－1)，求关于x的不等式2x－b≥0的解集
19．（本小题满分6分）
如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD
20．（本小题满分7分）
如图，在直角坐标系中，A(0，4)、C(3，0)
(1) ① 画出线段AC关于y轴对称线段AB
② 将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，
请画出线段CD
(2) 若直线y＝kx平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值21．（本小题满分7分）
袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球
（1）先从袋中摸出1个绿球后放回，混合均匀后再摸出1个球
① 求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率
② 求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率
(2) 先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概
率是多少？请直接写出结果
22．（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5
(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长
(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA的长
[
第22题图（1） 第22题图（2）
23．（本小题满分10分）
九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关
信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x＋40 90
每天销量（件） 200－2x
[来
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
[来源:学科网]
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果
24．（本小题满分10分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5
cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速
运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ
(1) 若△BPQ与△ABC相似，求t的值
(2) 连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值
(3) 试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上第24题图
25．（本小题满分12分）
如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝ x2交于A、B两点
(1) 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标
(2) 当k＝－ 时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5
(3) 若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离2014 年武汉中考数学试题参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D C A C C B B
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. -5； 12.a(a+1)(a-1)； 13. ； 14. 2200； 15. ； 16. .
三．解答题（共9小题，共72分）
17. （本小题满分6分）解：方程两边同乘以x(x-2)，得， 2x=3(x-2)，………………3分
解得x=6， …………………………………5分
检验：x=6时，x(x-2) 0，
x=6是原分式方程的解. …………………………………6分
18. （本小题满分6分）解： 直线y=2x-b经过点（1，-1），
-1=2 1-b， …………………………………2分
b=3， …………………………………4分
不等式2x-b 0为2x-3 0， ……………………5分
解得x . …………………………………………………6分
19. （本小题满分6分）证明：在△AOB和△COD中， ，
∴△AOB≌△COD. …………………………………4分
∴∠A=∠C，……5分 ∴AB∥CD. ……
y
……………6分
20. （本小题满分7分）（1）解：如图所示； …4分
A D
（2） . ……………………………7分
B O C x
21. （本小题满分7分）
解：(1）分别用R ，R 表示2个红球，G，G 表示2个绿球，列表如下：
1 2 1 2
一 二 R R G G
1 2 1 2
R R R R R R G R G
1 1 1 1 2 1 1 1 2
R R R R R R G R G
2 2 1 2 2 2 1 2 2
G G R G R G G G G
1 1 1 1 2 1 1 1 2
G G R G R G G G G
2 2 1 2 2 2 1 2 2
……………3
分
由上表可知，有放回地摸2个球共有16个等可能结果.
① 其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果有4个，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率 P= = ； …………………………4
分
②其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果有8个，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率 P= = . ………………………5
分
画树形图法按步骤给分（略）.
(2) …………………………………………………7分
22．（本小题满分8分）解：（1）如图（1），连接PB，
P
∵AB是⊙O的直径，P是 的中点， C
∴PA=PB，∠APB=90°. ………… 1分 A B
O
∵AB=13，∴PA= AB= ； ……………………3分
第22题图（1）
（2）方法1: 如图（2），连接OP交BC于D点，连接PB，
∵P是 的中点，∴OP⊥BC于D，BD=CD，………4分
∵OA=OB，∴OD= AC= ， C P
D
∵OP= AB= ，∴PD=OP-OD= - =4， ………5分 A B
O
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
第22题图（2）
∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴BD= BC=6， ………6分
∴PB= = ，
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，∴PA= = . ………………8分
方法2：如图（3），作PH⊥AB于H，交⊙O于Q，
则PH=QH，OB⊥PQ，∴ ，∴ ，∴PQ=BC，………4分
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴PH = PQ= BC=6， ………5分 C P
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，
A B
O H
∵AB⊥PH，∴∠PAH=∠BPH，∴△PAH∽△BPH，∴ ，
Q
设AH=x，则BH=13-x，∴ ，∵AH>BH，∴x=9，………7分
第22题图（3）
∴PA= = . …………………………………8分 C P
方法3：如图（4），同方法2，PH =6，………5分
∵AB=13，∴OP= ，∴OH= = ， A O H B
∴AH=AO+OH= + =9， ………7分 Q
第22题图（4）
∴PA= = . …………………8分
23. （本小题满分10分）解：(1) y= ………3分
(2)当1≤x＜50时，y= =-2 +6050，………………………4分
∵a=-2＜0，∴当x=45时，y有最大值，最大值为6050元. ………………………5分
当50≤x≤90，y=-120x+12000， ∵k=-120＜0，∴y随x的增大而减小，
当x=50时，y有最大值，最大值为6000元. ………………………6分
∴当x=45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元. ………………………7分
(3)41. ……………………………………………………… 10分
24．（本小题满分10分）（1）解：由题知，BP=5t,CQ=4t,∴BQ=8-4t
当△ABC～△PBQ时，有 ，∴ ，解得 t=1. ……2分
当△ABC～△QBP时，有 , ,解得 t= .
B
P D
∴△ABC与△PBQ相似时，t=1秒或 秒. ………………3分
（2）解：如图（1），过点P作PD⊥BC于D.
依题意，得BP=5t，CQ=4t，则PD=PBsinB=3t. Q
∴BD=4t，CD=8-4t， ……………………4分. A C
第24题图（1）
∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，∴tan∠CAQ=tan∠DCP，
∴ ，……5分∴ ，∴ . ………7分
（3）证明:方法1：如图（2），过点P作PD⊥AC于D,连接DQ，BD，BD交PQ于M.
则PD=APcos∠APD=APcos∠ABC=(10-5t) =8-4t，………………8分 B
而BQ=8-4t. ∴PD=BQ且PD∥BQ,∴四边形PDQB是平行四边形， P
∴点M是PQ和BD的中点. ………………………………………9分 F E
M
过点M作EF∥AC交BC，BA于E，F两点.,
Q
则 ，即E为BC的中点. 同理F为BA中点. A C
D
第24题图（2）
∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上. ………………………10分
方法2：如图（3），作△ABC的中位线EF，交PQ于点M.过点P作
B
PD⊥BC于D. 由（2）得BD=CQ=4t， ……………………
8分 P D
F E
M
Q
A C
第24题图（3）∴点E为DQ中点. ……………………9分
∵EM∥DP，∴ .∴ .
∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上. …………………10分
25. （本小题满分12分）
(1). 解：C(-2，4)； …………………………………2分
(2). 解：方法1：如图（1），联立 ，解得A(-3， )，B(2，2). ……3分
设P(t， )，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q,则Q(t，- t+3)，∴PQ=- - t+3， …4分
y
∴S =S +S = PQ（x -x ）= ·(- - t+3)·5，
△ABP △PQA △PQB B A
A Q
B
∴ ·(- - t+3)·5=5， ………………5分 P
O x
第25题图(（1）
解得t=-2，t=1.∴点P的坐标为P(-2，2)，P(1， ). ……7分
1 1 1 2
方法2：解：如图（2），直线 与y轴交于点N（0，3），
y
在y轴上取点Q（0,1）则S =5. ……………………4分.
△ABQ A
过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P， N
P B
则PQ的解析式为 ， …………………5分 1
Q P2
O x
第25题图（2）
由 解得 ，
y
.∴P点坐标为 …………………7分
A C
M
（3）解：如图（3），设A(x， )，B(x， x2)，D(m， m2)， B
1 2 2
E D F
联立 ，消去y得：x2-2kx-4k-8=0，
O x
第25题图（3）
∴x+x=2k， x·x=-4k-8； …………………8分
1 2 1 2
过点D作EF∥x轴，过点A作y轴的平行线交EF于点E, 过点B作y轴的平行线交EF于点F,
由△ADE∽△DBF得： , ……………………9分∴ ，化简，得x·x+m（x+x）+m2=-4.
1 2 1 2
∴2k（m-2）+m2-4=0. ………………………10分
当m-2=0，即m=2时，点D的坐标与k无关.∴点D的坐标为（2，2）. …………11分
又∵C(-2，4)，所以CD= .过点D作DM⊥AB，垂足为M, 则DM≤CD,
当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为 . ……12分
