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2013 年无锡中考数学试题
一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分）
1、 的值等于 （ ）
A、2 B、-2 C、2 D、
2、函数 中，自变量 的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、方程 的解为 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ）
A、4,15 B、3,15 C、4,16 D、3,16
5、下列说法中正确的是 （ ）
A、两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B、两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
20. 已知圆柱的底面半径为 3 ，母线长为 5 ，则圆柱的侧面积是 （ ）
2 2 2 2
A、30cm B、30πcm C、15cm D、15πcm
7、如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ）
A、35° B、140° C、70° D、70°或 140°
8、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于 O，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等
于 （ ）
A、 B、 C、 D、
第7题图 第8题图 第9题图
1、如图，平行四边形 ABCD 中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 AB 上，且 AE：EB=1：2，F 是BC的
中点，过 D 分别作 DP⊥AF 于 P，DQ⊥CE 于 Q，则 DP∶DQ 等于 （ ）
A、3:4 B、 ： C、 ： D、 ：
10、已知点 A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）. 记 N（t）为□ABCD 内部（不含边界）
整 点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则 N（t）所有可能的值为 （ ）
A、6，7 B、7，8 C、6，7，8 D、6，8，9
二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分）
11、分解因式：2x2－4x= 。
12、去年，中央财政安排资金 8 200 000 000 元，免除城市义务教育学生学杂费，支持进城务工人员随迁
子 女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为 元。
13、已知双曲线 经过点（－1，2）那么 的值等于 。
14、六边形的外角和等于 °。
15、如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 交 BD 于 O，AB=8， E 是 CD 的中点，则 OE 的长等于 。第15题图 第16题图 第17题图
16、如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °。
17、如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是 36，则它的表面积是 。
18、已知点 D 与点 A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长的最小
值 为 。
三、解答题
19、（本题满分 8 分）计算：
（1） （2）
20、（本题满分 8 分）
(1)解方程： ；(2)解不等式组：
2
（2）（本题满分 6 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin∠A= ，求 BC 的长和 tan∠B
的值。
B
C
A
22、（本题满分 8 分）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人
出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回
合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分 析过
程）23、 (本题满分 6 分)某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，
“数学思维”， “阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收
集的数据绘制的不完整的统计图
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 度。
（2）请把这个条形统计图补充完整。
（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”
项目。
24、本题满分 10 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，在①AB//CD；
②AO=CO；③AD=BC 中任意选取两个作为条件，“四边形 ABCD 是平行四边形”为结论构造命题。
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明.（命题请写成“如果„，那么
„.”的形式）。
A
D
O
B C
25、（本题满分 8 分）已知甲、乙两种原料中均含有 A 元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表
所示：
A 元素含量 单价（万元/吨）
甲原料 5% 2.5
乙原料 8% 6已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若 某
厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万
元？
26、（本题满分 10 分）如图，直线 与 轴交于点 E，一开口向上的抛物线过原点交线段 OE
于点 A，交直线 于点 B，过 B 且平行于 轴的直线与抛物线交于点 C，直线 OC 交直线 AB 于
D，且 AD : BD=1:3。
（1）求点 A 的坐标；
（2）若△OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式。
x 4
27、（本题满分10分）如图1，菱形 ABCD 中，∠A=600。点P从A出发，以 2cm/s 的速度沿边AB、
BC、CD匀速运动到D终止；点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t
(s)。△APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图像由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出。
（1）求点Q运动的速度；
S(cm2)
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使 PQ 将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分？F若存在，求出这样的t
的值；若不存在，请说明理由。
D
C
9 3
E
2
Q
A B
P O
3 G t(s)
图
图
（1）
（2）28．（12分）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你
的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面
积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面
积相等．2013 无锡市中考数学试卷参考答案
一、选择题
1～10 ABCAD BBDDC
二、填空题
11、2x（x－2）
12．8.2×109
13．－3
14．360
15．4
16．45
17．72
18．7 2
三、解答题
19． 解：（1）原式=3﹣4+1=0；
（2）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．
20． 解：（1）x2+3x﹣2=0，
∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，
∴x= ，
x = ，x =﹣ ；
1 2
（2）
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞5，
∴不等式组的解集为：x＞5．
21．
解：在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= = = ，
∴BC=4，
△
根据勾股定理得：AC= =2 ，
则tanB= = = ．
22．：解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，
∴他获胜的概率是： ．
23． 解：根据题意得：
调查的总学生数是：50÷25%=200（名），
“艺术鉴赏”部分的圆心角是 ×360°=144°；
故答案为：200，144；
（2）数学思维的人数是：200﹣80﹣30﹣50=40（名），
补图如下：（3）根据题意得：800× =120（名），
答：其中有120名学生选修“科技制作”项目．
24． （1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ = ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边
形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，
AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
25． 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由题意，得
由①，得
y= ．
把①代入②，得x≤ ．
设这两种原料的费用为W万元，由题意，得
W=2.5x+6y=﹣1.25x+1.5．
∵k=﹣1.25＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x= 时，W最小=1.2．
答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元．
26．：解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴ = = ，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x= =﹣1，
∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y ），
1
则16+ =36，解得y =±2 （负值舍去）．
1
将A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x；
②当OC=BC时，设C（2，y ），
2
则4+ =36，解得y =±4 （负值舍去）．
2
将A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y= x2+ x或y= x2+ x．
27． 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边
长AB=2×3=6cm．此时如答图1所示：
AQ边上的高h=AB•sin60°=6× = cm，
S=S = AQ•h= AQ× = ，解得AQ=3cm，
APQ
∴点△Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：
点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间
为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围
为：6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）× = t+ ．
S=S = AD•PE= ×6×（ t+ ）= t+ ，
APQ
∴FG△ 段的函数表达式为：S= t+ （6≤t≤9）．
（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°= ．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．
此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°= t•2t× = t2，
根据题意，得 t2= × ，
解得t= s；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．
此时，有S梯形ABPQ = S菱形ABCD ，即 （2t﹣6+6）×6× = × ，
解得t= s．∴存在t= 和t= ，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
28．
解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；
（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2013•无锡）|﹣2|的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
考 绝对值．
3718684
点：
分 根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
析：
解 解：|﹣2|=2．
答： 故选A．
点 本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数．
评：
2．（3分）（2013•无锡）函数y= +3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1
考 函数自变量的取值范围．
点：
分 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
析：
解 解：根据题意得，x﹣1≥0，
答： 解得x≥1．
故选B．
点 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
评： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）（2013•无锡）方程 的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=3 D．x=﹣3
:
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考 解分式方程
点：
专 计算题．
题：
分 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
析： 分式方程的解．
解 解：去分母得：x﹣3（x﹣2）=0，
答： 去括号得：x﹣3x+6=0，解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选C
点 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
评： 整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．（3分）（2013•无锡）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的极差与众数分别
是（ ）
A．4，15 B．3，15 C．4，16 D．3，16
考 极差；众数
点：
分 极差是一组数中最大值与最小值的差；众数是这组数据中出现次数最多的数．
析：
解 解：极差为：17﹣13=4，
答： 数据15出现了3次，最多，故众数为15，
故选A．
点 考查了众数和极差的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数
评： 中最大值与最小值的差．
5．（3分）（2013•无锡）下列说法中正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
考 平行线的性质；同位角、内错角、同旁内角
点：
分 根据平行线的性质，结合各选项进行判断即可．
析：
解 解：A、两平行线被第三条直线所截得的同位角相等，原说法错误，故本选项错误；
答： B、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补，原说法错误，故本选项错误；
C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，原说法错误，故本
选项错误；
D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，故本选
项正确；
故选D．
点 本题考查了平行线的性质，在判断正误时，一定要考虑条件，否则很容易出错．
评：
6．（3分）（2013•无锡）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．15cm2 D．15πcm2
考 几何体的表面积；圆柱的计算
点：
分 圆柱侧面积=底面周长×高．
析：
解 解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．
答： 故选B．
点 本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．
评：
7．（3分）（2013•无锡）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（ ）A．35° B．140° C．70° D．70°或 140°
考 圆周角定理
点：
分 由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．
析：
解 解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
答： ∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
点 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所
评： 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2013•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则
△AOD与△BOC的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
考 相似三角形的判定与性质；梯形．
点：
分 由梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=1，BC=4，根据相似
析： 三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．
解 解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
答： ∴△AOD∽△COB，
∵AD=1，BC=4，
即AD：BC=1：4，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：16．
故选D．
点 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应
评： 用．
9．（3分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：
EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：
考 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理
点：
分 连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和析：
平行四边形的面积得出S
DEC
=S
DFA
= S平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ，设
△ △
AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，求出
AF= a，CE=2 a，代入求出即可．
解 解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
答：
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S
DEC
=S
DFA
= S平行四边形ABCD ，
△ △
即 AF×DP= CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN= a，BM=a，
由勾股定理得：FN= a，CM= a，
AF= = a，
CE= =2 a，
∴ a•DP=2 a•DQ
∴DP：DQ= ：2 ，
故选D．
点 本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等
评： 知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．
10．（3分）（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ▱ABCD
内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（
）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
考 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
点：
分 分别求出t=1，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
析：
解 解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有
答： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，
1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，
4），共8个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，
1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个
点；故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选C．
点 本题考查了平行四边形的性质，函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和归
评： 纳能力．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分）
11．（3分）（2013•无锡）分解因式：2x2﹣4x= 2 x （ x ﹣ 2 ） ．
考 因式分解-提公因式法
点：
分 首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
析：
解 解：2x2﹣4x=2x（x﹣2）．
答： 故答案为：2x（x﹣2）．
点 此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．
评：
12．（3分）（2013•无锡）去年，中央财政安排资金 8 200 000 000 元，免除城市义务教育学生学杂费，支持
进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为 8.2×1 0 9 元．
考 科学记数法—表示较大的数
点：
分 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
析： 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解 解：将8 200 000 000 用科学记数法表示为8.2×109．
答： 故答案为：8.2×109．
点 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
评： ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2013•无锡）已知双曲线y= 经过点（﹣1，2），那么k的值等于 ﹣ 3 ．
考 反比例函数图象上点的坐标特征
点：
分
直接把点（﹣1，2）代入双曲线y= ，求出k的值即可．
析：
解
解：∵双曲线y= 经过点（﹣1，2），
答：
∴2= ，解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一
评： 定适合此函数的解析式．
14．（3分）（2013•无锡）六边形的外角和等于 36 0 度．
考 多边形内角与外角
点：
分 根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
析：
解 解：六边形的外角和等于360度．
答：
点 任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
评：
15．（3分）（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的
长等于 4 ．考 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．
点：
分
根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即
析：
可．
解 解：∵四边形ABCD是菱形，
答： ∴DO=OB，
∵E是AD的中点，
∴OE= AB，
∵AB=8，
∴OE=4．
故答案为4．
点
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE= AB，此题
评：
比较简单．
16．（3分）（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=
45 °．
考 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
点：
分 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE
析： 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等
腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性
质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等
边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和列式计算即可得解．
解 解：∵DE垂直平分AB，
答： ∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴BF=EF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．
故答案为：45．点 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直
评： 平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
17．（3分）（2013•无锡）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是 7 2
．
考 由三视图判断几何体
点：
分 根据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出
析： 表面积．
解 解：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36，
答： ∴设高为h，则6×2×h=36，
解得：h=3，
∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72．
故答案为：72．
点 此题主要考查了利用三视图判断几何体的边长，得出图形的高是解题关键．
评：
18．（3分）（2013•无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，
则CD长的最小值为 7 ．
考 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
点：
分 ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角
析： 线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于
N，证△DBN≌△ACAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，得出D（（8﹣a，
6+a），由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣ ）
2+98，求出即可．
解 解：有两种情况：
答： ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD= =10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
∴△DBN≌△ACAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，
D（（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣ ）2+98，
当a= 时，CD有最小值，是∵ ＜10，
∴CD的最小值是 =7 ，
故答案为：7 ．
点 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，
评： 关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．
三、计算题
19．（8分）（2013•无锡）计算：
（1） ﹣（﹣2）2+（﹣0.1）0；
（2）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．
考 完全平方公式；实数的运算；平方差公式；零指数幂．
点：
分 （1）原式第一项利用平方根的定义化简，第二项表示两个﹣2的乘积，最后一项利
析： 用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并
即可得到结果．
解 解：（1）原式=3﹣4+1=0；
答： （2）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．
点 此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式
评： 及法则是解本题的关键．
20．（8分）（2013•无锡）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；
（2）解不等式组： ．
考 解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组
点：
分 （1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；
析： （2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．
解 解：（1）x2+3x﹣2=0，
答： ∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，
∴x= ，
x = ，x =﹣ ；
1 2
（2）
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．
点 本题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．
评：
21．（6分）（2013•无锡）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A= ，求BC的长和tan∠B的值．
△
考 解直角三角形．
点：
专 计算题．
题：
分 在直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC
析： 的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值．
解
解：在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= = = ，
答：
∴BC=4，
△
根据勾股定理得：AC= =2 ，
则tanB= = = ．
点 此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握
评： 勾股定理是解本题的关键．
22．（12分）（2013•无锡）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人
出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，
如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
考 列表法与树状图法
点：
分 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，
析： 再利用概率公式求解即可求得答案．
解 解：画树状图得：
答：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种
情况，
∴他获胜的概率是： ．
点 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
评： 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两
步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）（2013•无锡）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学
思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的
不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 20 0 名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 14 4 度；
（2）请把这个条形统计图补充完整；
（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”项目．
考 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
点：
分 （1）根据阅读写作的人数和所占的百分比，即可求出总学生数，再用艺术鉴赏的人
析： 数除以总人数乘以360°，即可得出答案；
（2）用总学生数减去“艺术鉴赏”，“科技制作”，“阅读写作”，得出“数学思维”
的人数，从而补全统计图；
（3）用“科技制作”所占的百分比乘以总人数8000，即可得出答案．
解 解：根据题意得：
答： 调查的总学生数是：50÷25%=200（名），
“艺术鉴赏”部分的圆心角是 ×360°=144°；
故答案为：200，144；
（2）数学思维的人数是：200﹣80﹣30﹣50=40（名），
补图如下：
（3）根据题意得：800× =120（名），
答：其中有120名学生选修“科技制作”项目．
点 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
评： 的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（12分）（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；
②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的
形式）考 平行四边形的判定；命题与定理
点：
分 （1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根据平行四边形
析： 的判定推出即可；
（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．
解 （1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
答： 证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ = ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对
边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于
O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
点 本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识
评： 点的应用，主要考查学生的推理能力哈辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易
出错的题目．
25．（8分）（2013•无锡）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
A元素含量 单价（万
元/吨）
甲原料 5% 2.5
乙原料 8% 6
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要
提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？
考 一次函数的应用
点：
分 设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由20千克=0.02吨就可以列出方程5%x+8%y=0.02
析： 和不等式5%x×1000x1+8%y×1000x0.5≤16，设购买这两种原料的费用为W万元，根
据条件可以列出表达式，由函数的性质就可以得出结论．
解 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由题意，得
答：
由①，得
y= ．
把①代入②，得x≤ ．设这两种原料的费用为W万元，由题意，得
W=2.5x+6y=﹣1.25x+1.5．
∵k=﹣1.25＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x= 时，W最小=1.2．
答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元．
点 本题考查了利用一元一次不等式组和一次函数解决实际问题．解答时列出不等式
评： 组，建立一次函数模型并运用一次函数的性质求最值是难点．
26．（12分）（2013•无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点
A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：
BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
考 二次函数综合题．
点：
分 （1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，
析：
由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，
即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A
的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线
过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为
﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，
可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y ），列出方程，解方程求出y
1 1
的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；
②当OC=BC时，设C（2，y ），列出方程，解方程求出y 的值，将A，C两点坐
2 2
标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
解 解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
答： 由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴ = = ，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x= =﹣1，∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y ），
1
则16+ =36，解得y =±2 （负值舍去）．
1
将A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x；
②当OC=BC时，设C（2，y ），
2
则4+ =36，解得y =±4 （负值舍去）．
2
将A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y= x2+ x或y=
x2+ x．
点 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判
评： 定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离
公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题
的关键．
27．（12分）（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、
BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t
（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的
值；若不存在，请说明理由．考 相似形综合题；动点问题的函数图象．
点：
分 （1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合
析：
时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S = ，可求得AQ的长度，
APQ
进而得到点Q的运动速度； △
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD
上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部
分，如答图3所示，求出t的值；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示，求出t的值．
解 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为
答： 3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．
此时如答图1所示：
AQ边上的高h=AB•sin60°=6× = cm，
S=S = AQ•h= AQ× = ，解得AQ=3cm，
APQ
∴点△Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所
示：
点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终
点D所需时间为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t
的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）× =
t+ ．
S=S = AD•PE= ×6×（ t+ ）= t+ ，
APQ
∴FG△ 段的函数表达式为：S= t+ （6≤t≤9）．
（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°= ．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如
答图3所示．
此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°= t•2t× = t2，
根据题意，得 t2= × ，
解得t= s；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示．
此时，有S梯形ABPQ = S菱形ABCD ，即 （2t﹣6+6）×6× = × ，
解得t= s．
∴存在t= 和t= ，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
点 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、
评： 图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代
表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
28．（12分）（2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法
（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面
积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面
积相等．
考 图形的剪拼
点：
专 操作型．
题：
分 （1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直
析： 四棱柱的底面即可；
（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．
解 解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线
答： 折叠即可；
（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即
可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即
可．
点 本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相
评： 等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2013•无锡）|﹣2|的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
考 绝对值．
3718684
点：
分 根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
析：
解 解：|﹣2|=2．
答： 故选A．
点 本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数．
评：
2．（3分）（2013•无锡）函数y= +3中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1
考 函数自变量的取值范围．
点：
分 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
析：
解 解：根据题意得，x﹣1≥0，
答： 解得x≥1．
故选B．
点 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
评： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3分）（2013•无锡）方程 的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=3 D．x=﹣3
:
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考 解分式方程
点：
专 计算题．
题：
分 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到析： 分式方程的解．
解 解：去分母得：x﹣3（x﹣2）=0，
答： 去括号得：x﹣3x+6=0，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故选C
点 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
评： 整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．（3分）（2013•无锡）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的极差与众数分别
是（ ）
A．4，15 B．3，15 C．4，16 D．3，16
考 极差；众数
点：
分 极差是一组数中最大值与最小值的差；众数是这组数据中出现次数最多的数．
析：
解 解：极差为：17﹣13=4，
答： 数据15出现了3次，最多，故众数为15，
故选A．
点 考查了众数和极差的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数
评： 中最大值与最小值的差．
5．（3分）（2013•无锡）下列说法中正确的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B．两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C．两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D．两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
考 平行线的性质；同位角、内错角、同旁内角
点：
分 根据平行线的性质，结合各选项进行判断即可．
析：
解 解：A、两平行线被第三条直线所截得的同位角相等，原说法错误，故本选项错误；
答： B、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补，原说法错误，故本选项错误；
C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，原说法错误，故本
选项错误；
D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，故本选
项正确；
故选D．
点 本题考查了平行线的性质，在判断正误时，一定要考虑条件，否则很容易出错．
评：
6．（3分）（2013•无锡）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．15cm2 D．15πcm2
考 几何体的表面积；圆柱的计算
点：
分 圆柱侧面积=底面周长×高．
析：
解 解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．
答： 故选B．
点 本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．
评：
7．（3分）（2013•无锡）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（ ）A．35° B．140° C．70° D．70°或 140°
考 圆周角定理
点：
分 由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．
析：
解 解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
答： ∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
点 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所
评： 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2013•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则
△AOD与△BOC的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
考 相似三角形的判定与性质；梯形．
点：
分 由梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=1，BC=4，根据相似
析： 三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．
解 解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
答： ∴△AOD∽△COB，
∵AD=1，BC=4，
即AD：BC=1：4，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：16．
故选D．
点 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应
评： 用．
9．（3分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：
EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B． ：2 C． ：2 D．2 ：
考 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理
点：
分 连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和析：
平行四边形的面积得出S
DEC
=S
DFA
= S平行四边形ABCD ，求出AF×DP=CE×DQ，设
△ △
AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，求出
AF= a，CE=2 a，代入求出即可．
解 解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
答：
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S
DEC
=S
DFA
= S平行四边形ABCD ，
△ △
即 AF×DP= CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN= a，BM=a，
由勾股定理得：FN= a，CM= a，
AF= = a，
CE= =2 a，
∴ a•DP=2 a•DQ
∴DP：DQ= ：2 ，
故选D．
点 本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等
评： 知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．
10．（3分）（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为 ▱ABCD
内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（
）
A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9
考 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
点：
分 分别求出t=1，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
析：
解 解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有
答： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，
1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，
4），共8个点；
当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，
1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个
点；故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选C．
点 本题考查了平行四边形的性质，函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和归
评： 纳能力．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分）
11．（3分）（2013•无锡）分解因式：2x2﹣4x= 2 x （ x ﹣ 2 ） ．
考 因式分解-提公因式法
点：
分 首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
析：
解 解：2x2﹣4x=2x（x﹣2）．
答： 故答案为：2x（x﹣2）．
点 此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．
评：
12．（3分）（2013•无锡）去年，中央财政安排资金 8 200 000 000 元，免除城市义务教育学生学杂费，支持
进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为 8.2×1 0 9 元．
考 科学记数法—表示较大的数
点：
分 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
析： 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解 解：将8 200 000 000 用科学记数法表示为8.2×109．
答： 故答案为：8.2×109．
点 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
评： ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）（2013•无锡）已知双曲线y= 经过点（﹣1，2），那么k的值等于 ﹣ 3 ．
考 反比例函数图象上点的坐标特征
点：
分
直接把点（﹣1，2）代入双曲线y= ，求出k的值即可．
析：
解
解：∵双曲线y= 经过点（﹣1，2），
答：
∴2= ，解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一
评： 定适合此函数的解析式．
14．（3分）（2013•无锡）六边形的外角和等于 36 0 度．
考 多边形内角与外角
点：
分 根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
析：
解 解：六边形的外角和等于360度．
答：
点 任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
评：
15．（3分）（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的
长等于 4 ．考 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．
点：
分
根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE= AB，代入求出即
析：
可．
解 解：∵四边形ABCD是菱形，
答： ∴DO=OB，
∵E是AD的中点，
∴OE= AB，
∵AB=8，
∴OE=4．
故答案为4．
点
本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE= AB，此题
评：
比较简单．
16．（3分）（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=
45 °．
考 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
点：
分 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE
析： 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等
腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性
质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等
边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和列式计算即可得解．
解 解：∵DE垂直平分AB，
答： ∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°﹣∠BAC）= （180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴BF=EF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．
故答案为：45．点 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直
评： 平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
17．（3分）（2013•无锡）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是 7 2
．
考 由三视图判断几何体
点：
分 根据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出
析： 表面积．
解 解：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36，
答： ∴设高为h，则6×2×h=36，
解得：h=3，
∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72．
故答案为：72．
点 此题主要考查了利用三视图判断几何体的边长，得出图形的高是解题关键．
评：
18．（3分）（2013•无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，
则CD长的最小值为 7 ．
考 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
点：
分 ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角
析： 线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于
N，证△DBN≌△ACAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，得出D（（8﹣a，
6+a），由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣ ）
2+98，求出即可．
解 解：有两种情况：
答： ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD= =10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
∴△DBN≌△ACAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，
D（（8﹣a，6+a），
由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣ ）2+98，
当a= 时，CD有最小值，是∵ ＜10，
∴CD的最小值是 =7 ，
故答案为：7 ．
点 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，
评： 关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．
三、计算题
19．（8分）（2013•无锡）计算：
（1） ﹣（﹣2）2+（﹣0.1）0；
（2）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．
考 完全平方公式；实数的运算；平方差公式；零指数幂．
点：
分 （1）原式第一项利用平方根的定义化简，第二项表示两个﹣2的乘积，最后一项利
析： 用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并
即可得到结果．
解 解：（1）原式=3﹣4+1=0；
答： （2）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．
点 此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式
评： 及法则是解本题的关键．
20．（8分）（2013•无锡）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；
（2）解不等式组： ．
考 解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组
点：
分 （1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；
析： （2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．
解 解：（1）x2+3x﹣2=0，
答： ∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，
∴x= ，
x = ，x =﹣ ；
1 2
（2）
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．
点 本题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．
评：
21．（6分）（2013•无锡）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A= ，求BC的长和tan∠B的值．
△
考 解直角三角形．
点：
专 计算题．
题：
分 在直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC
析： 的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值．
解
解：在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= = = ，
答：
∴BC=4，
△
根据勾股定理得：AC= =2 ，
则tanB= = = ．
点 此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握
评： 勾股定理是解本题的关键．
22．（12分）（2013•无锡）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人
出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，
如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
考 列表法与树状图法
点：
分 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，
析： 再利用概率公式求解即可求得答案．
解 解：画树状图得：
答：
∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种
情况，
∴他获胜的概率是： ．
点 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗
评： 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两
步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）（2013•无锡）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学
思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的
不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次共调查了 20 0 名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是 14 4 度；
（2）请把这个条形统计图补充完整；
（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”项目．
考 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
点：
分 （1）根据阅读写作的人数和所占的百分比，即可求出总学生数，再用艺术鉴赏的人
析： 数除以总人数乘以360°，即可得出答案；
（2）用总学生数减去“艺术鉴赏”，“科技制作”，“阅读写作”，得出“数学思维”
的人数，从而补全统计图；
（3）用“科技制作”所占的百分比乘以总人数8000，即可得出答案．
解 解：根据题意得：
答： 调查的总学生数是：50÷25%=200（名），
“艺术鉴赏”部分的圆心角是 ×360°=144°；
故答案为：200，144；
（2）数学思维的人数是：200﹣80﹣30﹣50=40（名），
补图如下：
（3）根据题意得：800× =120（名），
答：其中有120名学生选修“科技制作”项目．
点 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
评： 的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（12分）（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；
②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．
（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的
形式）考 平行四边形的判定；命题与定理
点：
分 （1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根据平行四边形
析： 的判定推出即可；
（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．
解 （1）以①②作为条件构成的命题是真命题，
答： 证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ = ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对
边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于
O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．
点 本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识
评： 点的应用，主要考查学生的推理能力哈辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易
出错的题目．
25．（8分）（2013•无锡）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：
A元素含量 单价（万
元/吨）
甲原料 5% 2.5
乙原料 8% 6
已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要
提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？
考 一次函数的应用
点：
分 设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由20千克=0.02吨就可以列出方程5%x+8%y=0.02
析： 和不等式5%x×1000x1+8%y×1000x0.5≤16，设购买这两种原料的费用为W万元，根
据条件可以列出表达式，由函数的性质就可以得出结论．
解 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由题意，得
答：
由①，得
y= ．
把①代入②，得x≤ ．设这两种原料的费用为W万元，由题意，得
W=2.5x+6y=﹣1.25x+1.5．
∵k=﹣1.25＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x= 时，W最小=1.2．
答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元．
点 本题考查了利用一元一次不等式组和一次函数解决实际问题．解答时列出不等式
评： 组，建立一次函数模型并运用一次函数的性质求最值是难点．
26．（12分）（2013•无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点
A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：
BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
考 二次函数综合题．
点：
分 （1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，
析：
由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，
即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A
的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线
过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为
﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，
可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y ），列出方程，解方程求出y
1 1
的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；
②当OC=BC时，设C（2，y ），列出方程，解方程求出y 的值，将A，C两点坐
2 2
标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
解 解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
答： 由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴ = = ，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x= =﹣1，∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y ），
1
则16+ =36，解得y =±2 （负值舍去）．
1
将A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x；
②当OC=BC时，设C（2，y ），
2
则4+ =36，解得y =±4 （负值舍去）．
2
将A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，
得 ，解得 ．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y= x2+ x或y=
x2+ x．
点 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判
评： 定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离
公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题
的关键．
27．（12分）（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、
BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t
（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的
值；若不存在，请说明理由．考 相似形综合题；动点问题的函数图象．
点：
分 （1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合
析：
时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S = ，可求得AQ的长度，
APQ
进而得到点Q的运动速度； △
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD
上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部
分，如答图3所示，求出t的值；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示，求出t的值．
解 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为
答： 3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．
此时如答图1所示：
AQ边上的高h=AB•sin60°=6× = cm，
S=S = AQ•h= AQ× = ，解得AQ=3cm，
APQ
∴点△Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所
示：
点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终
点D所需时间为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t
的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）× =
t+ ．
S=S = AD•PE= ×6×（ t+ ）= t+ ，
APQ
∴FG△ 段的函数表达式为：S= t+ （6≤t≤9）．
（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°= ．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如
答图3所示．
此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°= t•2t× = t2，
根据题意，得 t2= × ，
解得t= s；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4
所示．
此时，有S梯形ABPQ = S菱形ABCD ，即 （2t﹣6+6）×6× = × ，
解得t= s．
∴存在t= 和t= ，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
点 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、
评： 图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代
表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
28．（12分）（2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法
（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．
（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面
积相等；
（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面
积相等．
考 图形的剪拼
点：
专 操作型．
题：
分 （1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直
析： 四棱柱的底面即可；
（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼
成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．
解 解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线
答： 折叠即可；
（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即
可；
（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即
可．
点 本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相
评： 等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．
