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2021 年华数冬令营（广东营）
小高试题（二试）
解答题
1 1 1 1 1 1 1 1
1.计算 1− + - ++ −
÷
+ ++
2 3 4 99 100 51×100 52×99 75×76
1 1 1 1 1
【分析】 1− + + + −
2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + + + −2× + ++
2 3 4 99 100 2 4 100
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + + + − 1+ + ++
2 3 4 99 100 2 3 50
1 1 1
= + ++
51 52 100
1 1 1
− ++
51×100 52×99 75×76
1 51+100 52+99 75+76
= × + ++
151 51×100 52×99 75×76
1 1 1 1
= × + ++
151 51 52 100
1 1 1 1 1 1 1
所以原式= + ++ ÷ × + ++ =151
51 52 100 151 51 52 100
【答案】151
2.白云出租车3公里（包含3公里）内收取起步费用12元；3公里到7公里（包含7公
里），每公里收取2.6元；大于7公里，每公里收取3.5元；现在悦悦要去距离30公里的地
方，有3种方案：
方案一：用第1辆车乘15公里，再换另外1辆车乘15公里；
方案二：每10公里换乘1辆车；
方案三：不固定距离换乘，但是每次换乘的路程大于3公里.
请问哪种方案省钱？说明理由.
【分析】①当乘车路程不超过3公里时，收费12元，每公里均价最低4元（仅当走3公
里）.
②当乘车路程不超过3~10公里时因为2.6<4，每公里均价会下降，当且仅当走10公里
时，每公里均价最低，为：(12+2.6×7)÷10=3.02元
③当乘车路程不少于10公里时，因为3.5>3.02，每公里均价会上升，走10公里时，每公
里均价最低且为3.02元.
方案二可取没公里均价最低，所以方案二为最省钱方案.【答案】方案二
3.如图，同一条直线上有一个正方形和一个等腰直角三角形，正方形边长为12厘米，三角
形斜边为18厘米，它们相距13厘米，现在正方形以3厘米每秒的速度向右移动，三角形
以2厘米每秒的速度向左移动，问：多少秒后两者的重叠部分是63平方厘米？
【分析】两个图形有重叠面积开始考虑
①当DF重合到G点在CD上这个阶段（F点未到达B点），重叠面积最大为
9×9÷2=40.5cm2 <63cm2
②当G点进入正方形内部到F点与B重合这个过程，重叠面积是一直增加，且面积最大
（如图）是：18×9÷2−6×6÷2=63cm2.此时运动了(12+13)÷(3+2)=5秒.
③当F点与B重合到G点到达正方形如图对称轴的过程，重叠面积也一直增加，重叠面积
不等于63cm2.
根据对称性，之后的过程只有在E点也C点重合时，重叠面积为63cm2.此时运动了
(13+18)÷(3+2)=6.2秒.
综上所述，5秒或6.2秒后两者的重叠部分的面积是63平方厘米.
【答案】5或6.2
4.已知73abc6能被56整除（b<4），且a除40，61，810的余数相同，求所有满足要求的
六位数.
【分析】由40≡61≡810(moda),a|61−40⇒a|21,a|810−61⇒a|749.a是21与749的公因数，所以a=7或a=1.
①当a=7时，56|737bc6⇒8|737bc6,7|737bc6
先满足8，再验证7即可.当b=0，2时，c=1,5,9；当b=1,3时，c=3,7；
由7的整除特征验证枚举得737016；737296
②当a=1时，同理验证731136符合题意.
综上所述，所有满足要求的六位数有：731136，737016，737296.
【答案】731136，737016，737296
S AB
5.如图所示，四边形ABCD和四边形CEFG为两个正方形，已知 ABI =27，求 .
S EF
EFI
【分析】设AB=x,EF = y，
1
AI = S ABF = 2
×x×(x+ y)
=
x(x+ y)
IE S 1 y2
BEF ×y×y
2
1
IF = S AEF = 2
×y×(x+ y)
=
x(x+ y)
IB S 1 x2
ABE ×x×x
2
S 与S 共角（鸟头模型）
ABI EFI
S AI×BI x(x+ y) x2 x3
ABI = = × = =27
S IE×IF y2 y(x+ y) y3
EFI
AB x
所以 = =3.
EF y
【答案】3
6.小明和n−1个小朋友玩游戏，桌上放有n张卡片，每张卡片上写的数互不相同，每人每
次取一张卡片，记下上面的数后，将其放回桌上，进行下一轮，n轮游戏后，大家各自把
记下来的数相加，按照每人总和的大小来排名，小明每次取到的数互不相同，除小明外所
有小朋友的总和之和是2139，那么小明在排名中最高能排第几名？
【分析】设卡片上的数分别为a,a ,a ，每轮游戏所有同学的卡片之和一样，为
1 2 nS =a +a ++a .那么n次后所有同学的卡片数之和为nS，因为小明每取到的数各不相
1 2 n
同，所以小明的数取到的数之和为S.极端考虑，如果小明是第一名，因为每人总和都不相
同，所以所有人数总和小于小明的数S的n倍，矛盾.
构造第二名的一个例子：
除小明外所有小朋友的总和nS−S =2139，即(n−1)S =2139=3×23×31.
当n=4时，S =713，可令4张卡片分别为1，2，3，707.
拿法如下时，小明是第二名.
1轮 2轮 3轮 4轮 总和
小明 1 2 3 707 713
A 2 1 2 1 6
B 3 3 1 2 9
C 707 707 707 3 2124
所以，小明在排名中最高能排到第2名
【答案】2
