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2013年新疆生产建设兵团中考数学试卷
一、选择题(本大题共10题，每题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请将正确选项的字母填入答题卷相应的表格内.)
1．（5分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣5 C．5 D．
2．（5分）下列几何体中，主视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分①）②惠及南疆五地州的天①然③气利民工程总投资约①6④4.1亿元．将数6410②000④000用科学记
数法表示为（ ）
A．6.41×108 B．6.41×109 C．64.1×108 D．6.41×1010
4．（5分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．（﹣3）﹣2＝﹣ C．a0＝1 D．
5．（5分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，
99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60
C．99.60，98.80 D．99.70，99.60
第1页（共34页）7．（5分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
8．（5分）若a，b为实数，且|a+1|+ ＝0，则（ab）2013的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
9．（5分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x ＝0，x ＝﹣5 B．x＝5 C．x ＝0，x ＝5 D．x＝0
1 2 1 2
10．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点
E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t
＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5
C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
11．（5分）如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠D的度数是 ．
12．（5分）化简 ＝ ．
13．（5分）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到
3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
14．（5分）某校九年级420名学生参加植树活动，随机调查了50名学生植树的数量，并根据
数据绘制了如下条形统计图，请估计该校九年级学生此次植树活动约植树 棵．
第2页（共34页）15．（5分）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
16．（5分）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金
额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系 ．
三、解答题（一）（本大题共4题，共30分）
17．（6分）解不等式组 ．
18．（8分）如图，已知一次函数y ＝kx+b与反比例函数 的图象交于A（2，4）、B（﹣4，
1
n）两点．
（1）分别求出y 和y 的解析式；
1 2
（2）写出y ＝y 时，x的值；
1 2
（3）写出y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
19．（8分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，
乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率
是多少？
20．（8分）如图， ▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分
第3页（共34页）别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
四、解答题（二）（本大题共4题，共40分）
21．（8分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处
测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°
方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
22．（8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以
每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了
10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现
高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
23．（12分）如图，已知 O的半径为4，CD是 O的直径，AC为 O的弦，B为CD延长线上
的一点，∠ABC＝3⊙0°，且AB＝AC． ⊙ ⊙
（1）求证：AB为 O的切线；
（2）求弦AC的长⊙；
（3）求图中阴影部分的面积．
第4页（共34页）24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交
于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面
积及E点的坐标．
第5页（共34页）2013 年新疆生产建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10题，每题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请将正确选项的字母填入答题卷相应的表格内.)
1．（5分）﹣ 的绝对值是（ ）
A．﹣ B．﹣5 C．5 D．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是
0进行解答即可．
【解答】解：﹣ 的绝对值是 ．
故选：D．
【点评】此题考查了绝对值，用到的知识点是绝对值得定义，一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．（5分）下列几何体中，主视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
【考①点②】U1：简单几何体的①三③视图． ①④ ②④
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【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【解答】解：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，
球的主视图是圆，
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现
在三视图中．
3．（5分）惠及南疆五地州的天然气利民工程总投资约64.1亿元．将数6410000000用科学记
第6页（共34页）数法表示为（ ）
A．6.41×108 B．6.41×109 C．64.1×108 D．6.41×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将6410000000用科学记数法表示为6.41×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（5分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．（﹣3）﹣2＝﹣ C．a0＝1 D．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；73：二次根式的性质与化简；78：二次根式的加
减法．
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【分析】根据二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，分别进行各选
项的判断，即可得出答案．
【解答】解：A、 ﹣ ＝3 ﹣4 ＝﹣ ，运算正确，故本选项正确；
B、（﹣3）﹣2＝ ，原式运算错误，故本选项错误；
C、a0＝1，当a≠0时成立，没有限制a的取值范围，故本选项错误；
D、 ＝2，原式运算错误，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，解答本
题的关键是掌握各部分的运算法则．
5．（5分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是（ ）
第7页（共34页）A． B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
则 ＝ ，
∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，
∴AB＝AD+DB＝5，
∴BC＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证
明△ADE∽△ABC．
6．（5分）某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，
99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60
C．99.60，98.80 D．99.70，99.60
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；
数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数
个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不
止一个．
7．（5分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类
第8页（共34页）讨论．
【解答】解： 当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构①成三角形，
周长为15；
当3为腰时，
②其它两边为3和6，
∵3+3＝6＝6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题
目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
8．（5分）若a，b为实数，且|a+1|+ ＝0，则（ab）2013的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．
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【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+1＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
所以，（ab）2013＝（﹣1×1）2013＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9．（5分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x ＝0，x ＝﹣5 B．x＝5 C．x ＝0，x ＝5 D．x＝0
1 2 1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）＝0，
解得x ＝0，x ＝5．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况
下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二
第9页（共34页）次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
10．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点
E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t
＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5
C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
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【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的长，由D为BC
的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB＝90°与若∠EDB＝90°时，去分析求解即可
求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4（cm），
∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD＝ BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），
若∠BED＝90°，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝ BD＝ （cm），
∴t＝3.5，
当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．
若∠BDE＝90°时，
当A→B时，∵∠ABC＝60°，
∴∠BED＝30°，
∴BE＝2BD＝2（cm），
第10页（共34页）∴t＝4﹣2＝2，
当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选：D．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌
握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
11．（5分）如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝50°，则∠D的度数是 130 ° ．
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】首先根据平行线的性质可得∠B＝∠C＝50°，再根据BC∥DE可根据两直线平行，
同旁内角互补可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 两直线
平行，内错角相等．
12．（5分）化简 ＝ ．
【考点】6A：分式的乘除法．
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第11页（共34页）【分析】原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可
得到结果．
【解答】解：原式＝ • ＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法运算的关键是约分，约分的关键是找公
因式．
13．（5分）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到
3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 202 7 （ 1+ x ） 2 ＝ 398 5 ．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】2011年农村居民人均纯收入＝2009年农村居民人均纯收入×（1+人均纯收入的平
均增长率）2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵2009年农村居民人均纯收入为2027元，人均纯收入的平均增长率为x，
∴2010年农村居民人均纯收入为2027（1+x），
∴2011年农村居民人均纯收入为2027（1+x）（1+x），
∴可列方程为2027（1+x）2＝3985，
故答案为2027（1+x）2＝3985．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化
率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
14．（5分）某校九年级420名学生参加植树活动，随机调查了50名学生植树的数量，并根据
数据绘制了如下条形统计图，请估计该校九年级学生此次植树活动约植树 168 0 棵．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W2：加权平均数．
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【分析】首先计算50名学生的平均植树量，然后用样本的平均数估计总体的平均数即可；
【解答】解：九年级共植树420× ＝1680棵，
第12页（共34页）故答案为：1680．
【点评】本题考查了用样本估计总体、条形统计图及加权平均数的知识，解题的关键是能
从条形统计图中读懂有关信息并求得人均植树量．
15．（5分）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 k ≤ 4
．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出
不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根
的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
16．（5分）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金
额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系 y ＝
．
【考点】E9：分段函数．
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【分析】本题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分
打八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
y＝ ，
整理得： ；
则付款金额 y（单位：元）与购书数量 x（单位：本）之间的函数关系是 y＝
；
故答案为：y＝ ．
【点评】此题考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书
单价是解题的关键，要注意x的取值范围．
第13页（共34页）三、解答题（一）（本大题共4题，共30分）
17．（6分）解不等式组 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式 得，x≥1，
解不等式①得，x＜6.5，
所以，不②等式组的解集是1≤x＜6.5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（8分）如图，已知一次函数y ＝kx+b与反比例函数 的图象交于A（2，4）、B（﹣4，
1
n）两点．
（1）分别求出y 和y 的解析式；
1 2
（2）写出y ＝y 时，x的值；
1 2
（3）写出y ＞y 时，x的取值范围．
1 2
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标
代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k
与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可得到x的值；
第14页（共34页）（3）由两函数交点坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集．
【解答】解：（1）将A（2，4）代入反比例解析式得：m＝8，
∴反比例函数解析式为y ＝ ，
2
将B（﹣4，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（﹣4，﹣2），
将A与B坐标代入一次函数解析式得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y ＝x+2；
1
（2）联立两函数解析式得： ，
解得： 或 ，
则y ＝y 时，x的值为2或﹣4；
1 2
（3）利用图象得：y ＞y 时，x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
1 2
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的
数学思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．（8分）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，
乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率
是多少？
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2中，
第15页（共34页）概率是 ＝ ．
【点评】本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
20．（8分）如图， ▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分
别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．
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【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，首先证明四边形
AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠E＝∠F．
∵在△AOE与△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
第16页（共34页）由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF＝AC，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，
首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
四、解答题（二）（本大题共4题，共40分）
21．（8分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处
测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°
方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm．先解直角△ACD，得出AD＝ CD＝
xkm，再解直角△BCD，得出BD＝CD＝xkm，然后根据AD﹣BD＝AB，列出关于x的方程，
解方程即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝ CD＝ xkm．
在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝xkm．
第17页（共34页）∵AD﹣BD＝AB，
∴ x﹣x＝2，
∴x＝ +1≈2.7（km）．
故景点C到观光大道l的距离约为2.7km．
【点评】本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解
题的关键．
22．（8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以
每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了
10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现
高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了
1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果 千克，第二次购水果 千克，根
据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就
可以回答问题了．
【解答】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： ﹣ ＝20，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
（2）第一次购水果1200÷6＝200（千克）．
第二次购水果200+20＝220（千克）．
第18页（共34页）第一次赚钱为200×（8﹣6）＝400（元）．
第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）＝﹣12（元）．
所以两次共赚钱400﹣12＝388（元），
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
【点评】本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别
考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
23．（12分）如图，已知 O的半径为4，CD是 O的直径，AC为 O的弦，B为CD延长线上
的一点，∠ABC＝3⊙0°，且AB＝AC． ⊙ ⊙
（1）求证：AB为 O的切线；
（2）求弦AC的长⊙；
（3）求图中阴影部分的面积．
【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．
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【分析】（1）如图，连接OA，欲证明AAB为 O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“3⊙0度角所对的直角边是斜边的一半”求得
AD＝4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积＝扇形ADO的面积+△AOC的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OA．
∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°．
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴在△ABO中，∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝90°，即AB⊥OA，
又∵OA是 O的半径，
∴AB为 O⊙的切线；
⊙
（2）解：如图，连接AD．
第19页（共34页）∵CD是 O的直径，
∴∠DAC⊙＝90°．
∵由（1）知，∠ACB＝30°，
∴AD＝ CD＝4，
则根据勾股定理知AC＝ ＝4 ，即弦AC的长是4 ；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC＝90°，AD＝4，AC＝4 ，则S△ADC ＝ AD•AC＝
×4×4 ＝8 ．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC ＝ S△ADC ＝4 ．
根据图示知，S阴影 ＝S扇形ADO +S△AOC ＝ +4 ＝ +4 ，即图中阴影部分的
面积是 +4 ．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC
的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交
于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面
积及E点的坐标．
第20页（共34页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC
与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉
y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△＝0时，△ACE的面积最大，然后求出此
时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求
出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后
利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
所以，直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
第21页（共34页）∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立 ，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣ ，
即m＝﹣ 时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝ ，y＝ ﹣ ＝﹣ ，
∴点E的坐标为（ ，﹣ ），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（ ，0），
∴AF＝ ﹣1＝ ，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝ × ＝ ，
又∵AC＝ ＝3 ，
∴△ACE的最大面积＝ ×3 × ＝ ，此时E点坐标为（ ，﹣ ）．
第22页（共34页）【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定
系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，
利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
第23页（共34页）考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
互为相反数的两个数绝对值相等；
①绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
②有理数的绝对值都是非负数．
③（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
①当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
②当a是零时，a的绝对值是零．
③即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则
其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n
是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整
数．】
（2）规律方法总结：
科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位
①数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用
②此法表示，只是前面多一个负号．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是
非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问
题．
第24页（共34页）5．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘
除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因
①式分解，再约分．
整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
②做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺
③序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意： a≠0；
计算①负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×
②（﹣2）的错误．
当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
③在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
④8．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质： a≥0； a≥0（双重非负性）． （a）2＝a （a≥0）（任何一个非负
数都可以写成一个数的平方①的形式）． a2＝a（a≥0）②（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简： 利用二次根式的③基本性质进行化简； 利用积的算术平方根的性质
和商的算术平方根的性①质进行化简．ab＝a•b ab＝ab②
（3）化简二次根式的步骤： 把被开方数分解因式； 利用积的算术平方根的性质，把被开
方数中能开得尽方的因数（①或因式）都开出来； 化简②后的二次根式中的被开方数中每一个
因数（或因式）的指数都小于根指数2． ③
第25页（共34页）【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
9．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次
根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
①把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
②合并被开方数相同的二次根式．
③（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的
因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
10．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程
最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形
式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原
方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项，使方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式
①分别为零，得到两个一元一次方②程； 解这两个一元一次方程，它们的解就都是③原方程的解．
11．根的判别式 ④
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
② 第26页（共34页）当△＜0时，方程无实数根．
③上面的结论反过来也成立．
12．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出
并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，
即列出一元二次方程．
13．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，
要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工
作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能
力．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．
解集的规律：①同大取大；同小取小；大小小大中间找②；大大小小找不到．
15．分段函数
（1）一次函数与常函数组合的分段函数．
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数．（注意：在解决分段函数问题时，要特别注意
自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．）
（2）由文字图象信息确定分段函数．
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量．
①关于某个具体点，要求向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标．
②
第27页（共34页）在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
③【规律方法】用图象描述分段函数的实际问题需要注意的四点
1．自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示．
2．当两个阶段的图象都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越
大的图象与x轴的夹角就越大．
3．各个分段中，准确确定函数关系．
4．确定函数图象的最低点和最高点．
16．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组
有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
1
当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交
1 2 1
①
点；
当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交
1 2 1
②
点．
17．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系
式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即
为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键
是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，
并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直
角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取
值范围要使实际问题有意义．
第28页（共34页）18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只
要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的
定时炸弹，容易忽略．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角
形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助
线构造三角形．
21．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
等腰三角形的两腰相等
①等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（③3）在 等腰； 底边上的高； 底边上的中线； 顶角平分线．以上四个元素中，从中任意
取出两①个元素当②成条件，就可以③得到另外两个元素④为结论．
22．含30度角的直角三角形
第29页（共34页）（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相
关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意： 该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或
一般直角三①角形不能应用；
应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
②23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
边：平行四边形的对边相等．
①角：平行四边形的对角相等．
②对角线：平行四边形的对角线互相平分．
③（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
①同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
②24．矩形的判定
（1）矩形的判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（③2） 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形
的对①角线相等．
题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
②25．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
①切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论
②直接得出来的．
第30页（共34页）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过
③圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半
径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径
垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
26．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
直接用公式法；
①和差法；
②割补法．
③（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对
应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用
图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅
助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是
单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向
角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化
为所需要的角．
29．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
第31页（共34页）圆柱的三视图：
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含
的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布
情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差
）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精
确．
31．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然
后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
①在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
②
第32页（共34页）在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
③按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
④32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合
知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的
“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位
置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数
据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现
在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中
位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，
此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中
程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所
有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B
的结果数目m，求出概率．
第33页（共34页）（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个
事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，
最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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