文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（云南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.春节期间冰雪旅游大热，杭州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询气温，结果如图所
示，杭州的气温是19℃，哈尔滨的气温是-14℃，则此刻两地的温差是( )
A. 33℃ B. 19℃ C. 14℃ D. 5℃
【答案】A
【解析】解：19-(14)=33(℃)，
故选：A．
根据有理数减法运算法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数减法运算法则是关键．
2.中国向大海要水喝已成为现实.到目前为止我国已建成海水淡化工程123个，海水淡化能力每天超过
1600000吨.数据1600000用科学记数法表示为( )
A. 16×105 B. 160×105 C. 1.6×105 D. 1.6×106
【答案】D
【解析】解：1600000=1.6×106，
故选：D．
根据科学记数法表示较大数的方法求解即可．
本题考查的是科学记数法，熟知科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表
示时关键要正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
3.如图，把一块含有45°的直角三角尺的两个锐角顶点放在直尺的对边上，若
∠1=20°，则∠2的大小为( )A. 20° B. 25° C. 15° D. 30°
【答案】B
【解析】解：∵直尺的两边互相平行，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．
故选B．
先根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
F
4.八年级物理教科书对压强做了如下定义，下面有关压强计算公式P= 的结论：
S
①压力F不变时，压强P与受力面积S是反比例函数关系；
②受力面积S不变时，压强P与压力F是反比例函数关系；
③压强P不变时，压力F与受力面积S是反比例函数关系；
④受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系，且图象经过第一、三象限．
其中正确的个数有( )
在物理学中，把物体所受的压力与
受力面积的比叫做压强(pressure)
．
F
压强的计算公式为P=
S
P：压强
F：压力
S：受力面积
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
F
【解析】解：压强P与受力面积S的关系P= 中，
S
①压力F不变时，压强P与受力面积S是反比例函数关系，故①正确；
②受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系；故②错误；
③压强P不变时，压力F与受力面积S是正比例函数关系；故③错误；
④受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系，且图象经过第一象限；故④错误；
∴正确的有①，共1个；
故选：A．F
根据控制变量法分析P= 即可得出P、F、S之间的关系，据此进行解答．
S
本题考查了学生对压强公式的理解与掌握，解题的关键是掌握正比例函数，反比例函数的定义．
5.下列运算正确的是( )
1 1 1
A. + = B. (-p2q) 3=-p5q3
x y x+ y
C. D.
√a⋅√b=√ab (a+b) 2=a2+b2
【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了积的乘方运算以及二次根式的乘法运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关
键．
直接利用分式的加减法则，积的乘方运算法则以及二次根式的乘法运算法则、完全平方公式分别计算得出
答案．
【解答】
1 1 y+x
解：A、 + = ，故此选项错误；
x y xy
B、 ，故此选项错误；
(-p2q) 3=-p6q3
C、√a⋅√b=√ab，正确；
D、 ，故此选项错误；
(a+b) 2=a2+2ab+b2
故选C．
AD 2
6.如图，在△ABC中，DE//BC， = ，DE=4cm，则BC的长为( )
AB 3
A. 6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，DE AD
∴ = ，
BC AB
AD 2
∵ = ，DE=4cm，
AB 3
4 2
∴ = ，
BC 3
∴BC=6cm，
故选：A．
根据平行线，得到△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
{x≥a
7.不等式组 有解，则( )
x≤b
A. a>b B. a≥b C. a3 C. x≥3 D. x>-3
【答案】C
【解析】解：由题意可知：2x-6≥0，
∴x≥3，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
15.如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，EF
与GH交于点P，连接GF.若正方形ABCD的边长与Rt△GBF的周长均为a，则矩
形EPHD的面积是( )2 1 √2
A. a2 B. a2 C. a2 D. 不能确定
3 2 2
【答案】B
【解析】解：设BG=x，BF= y，
∵四边形AGPE、四边形FCHP均为矩形，
∴EP=AG=a-x，PH=FC=a- y，
再由勾股定理可得： ，
GF=√x2+ y2
∵正方形ABCD的边长与Rt△GBF的周长均为a，
，
∴√x2+ y2=a-(x+ y)
，
∴x2+ y2=a2-2a(x+ y)+(x+ y) 2
-a2
整理可得xy-a(x+ y)= ，
2
-a2 1
∴矩形EPHD的面积为：EP⋅PH=(a-x)(a- y)=a2+xy-a(x+ y)=a2+ = a2，
2 2
故选：B．
设 BG=x， BF= y， 根 据 矩 形 的 性 质 可 得 EP、 PH的 长 ， 再 根 据 勾 股 定 理 可 得 GF， 则
-a2
√x2+ y2=a-(x+ y)，再化简整理可得xy-a(x+ y)= ，最后代入矩形EPHD的面积公式可解答．
2
此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，掌握整体代入的方法是解决此题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16.一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利______元(用含a的式子表示)．
【答案】60a
【解析】解：根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利60a元．
故答案为：60a．
每件盈利为a元，售出60件，共盈利相乘即可．
本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数．
17.分解因式：2a2-2= ______．
【答案】2(a+1)(a-1)【解析】解：2a2-2
=2(a2-1)
=2(a+1)(a-1)，
故答案为：2(a+1)(a-1)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.学校为了解本校初一年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初
一学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制
的扇形图.如果该校初一年级有640名学生，那么骑自行车上学的学生大约有
______．
【答案】96
【 解 析 】 解 ： 骑 自 行 车 上 学 的 学 生 大 约 有 ：
2
640×(1-50%-25%- )=96(人)，
20
故答案为：96．
用640乘样本中骑自行车上学的学生所占比例即可．
本题考查的是扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分
占总体的百分比大小．
19.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点M，N分别是AF，CD的中点，连
BP
接BN，CM，BN与CM相交于点P，则 的值为______．
PN
3
【答案】
2
【解析】解：如图，连接MN，取MN的中点O，连接OB，
由正六边形的对称性可知，OB⊥MN，CD⊥MN，
∴OQ//CN，OM=ON，
1 1
∴OQ= CN= ，
2 2
由正六边形的性质可知，OB=BC=2，
1 3
∴BQ=2- = ，
2 2∵BQ//CN，
∴△PBQ∽△PNC，
3
PB BQ 2 3，
∴ = = =
PN CN 1 2
3
故答案为： ．
2
根据正六边形的性质可得OB=BC=2，OB⊥MN，CD⊥MN，由三角形中位数定理可求出OQ，进而
求出BQ，再根据相似三角形的判定和性质即可得出答案．
本题考查正多边形和圆，相似三角形，掌握正六边形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前
提．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.(本小题7分)
2
计算： 1 - 4 ．
( ) 3-(2024-π) 0+√20+
8 √5-3
2
【答案】解： 1 - 4
( ) 3-(2024-π) 0+√20+
8 √5-3
2 4(√5-3)
=83-1+2√5+
5-9
=√3 82-1+2√5-(√5-3)
=4-1+2√5-√5+3
=6+√5．
【解析】先算二次根式的运算，零指数幂的运算，分母有理化，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.(本小题6分)
已知：如图，AD//CB，AD=CB.求证：∠ABC=∠CDA．【答案】证明：∵AD//CB，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ADC和△CBA中，
{
AD=CB
∠DAC=∠BCA，
AC=CA
∴△ADC≌△CBA(SAS)，
∴∠ABC=∠CDA．
【解析】由“SAS”可证△ADC≌△CBA，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.(本小题7分)
4月23日是“世界读书日”，某学校为开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，去
年购进一批图书.经了解，科普书的单价比文学书的单价贵12元，用12000元购进的科普书本数是用9000
4
元购进的文学书本数的 .那么文学书和科普书的单价各是多少元？
5
【答案】解：设文学书的单价是x元，则科普书的单价是(x+12)元，
12000 9000 4
根据题意得： = ⋅ ，
x+12 x 5
解得：x=18，
经检验，x=18是方程的解，并且符合题意，
∴x+12=30，
答：文学书的单价是18元，科普书的单价是30元．
【解析】设文学书的单价是x元，则科普书的单价是(x+12)元，根据数量=总价÷单价，结合用12000元购
4
进的科普书本数是用9000元购进的文学书本数的 ，列出分式方程，解方程即可．
5
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．
23.(本小题6分)
为了解全校1500名学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围
内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两
幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．(1)乒乓球所对扇形的圆周角度数______.这次共抽取了______名学生进行调查，并补全条形图．
(2)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人(三男一女)中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的
方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】72° 50
【解析】解：(1)乒乓球所对扇形的圆周角度数为360°×(1-24%-34%-14%-8%)=72°．
这次共抽取的学生人数为12÷24%=50(名)．
故答案为：72°；50．
喜欢乒乓球的学生人数为50-12-17-7-4=10(人)．
补全条形统计图如图所示．
(2)将三名男生分别记为A，B，C，将一名女生记为D，
画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
6 1
∴抽到一男一女学生的概率为 = ．
12 2
(1)求出扇形统计图中乒乓球的百分比，再乘以360°即可得乒乓球所对扇形的圆周角度数；用条形统计图
中篮球的人数除以扇形统计图中篮球的百分比可得这次共抽取的学生人数；求出喜欢乒乓球的学生人数，
补全条形统计图即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到一男一女学生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答
本题的关键．
24.(本小题8分)
某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千
克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x(元/千克
50 40
)
日销售量y(千克) 100200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日
销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】(1)解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将x=50,y=100和x=40,y=200分别代入，得：
{50k+b=100
,
40k+b=200
{k=-10
解得： ,
b=600
∴y关于x的函数表达式是：y=-10x+600；
(2)解：W =(x-30)(-10x+600)=-10x2+900x-18000，
∵-10<0，
900
∴当x=- =45时，在30≤x<60的范围内，
-20
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【解析】【分析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由表中数据即可得出结论；(2)根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
25.(本小题8分)
如图，AD//BE，AC平分∠BAD，且交BE于点C．
(1)作∠ABE的角平分线交AD于点F(要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹)；
(2)根据(1)中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．
【答案】解：(1)如图，射线BF即为所求作的角平分线；
(2)证明：如图所示，
∵AC平分∠BAD，BF平分∠ABE，
∴∠BAC=∠FAC，∠ABF=∠CBF，
∵AD // BE，
∴∠ACB=∠FAC，∠AFB=∠CBF，
∴∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠ABF，
∴AB=BC，AB=AF，
∴BC=AF，又AF // BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCF是菱形．【解析】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、菱形的判定，熟练掌握相关
知识的联系与运用是解答的关键．
(1)根据角平分线的作法即可作∠ABE的平分线BF；
(2)根据角的平分线和平行线的性质可得BC=AF，再利用已知条件可证明四边形ABCF是平行四边形，
再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断．
26.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点.交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)抛物线上是否存在一点P，使得S = S ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明
△PBC 2 △ABC
理由．
【答案】解：(1)由抛物线与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，代入抛物线y=ax2+bx+3得：
{(-3) 2a-3b+3=0
，
a+b+3=0
{a=-1
解得： ；
b=-2
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
(2)存在，理由如下：
∵A(-3,0)，B(1,0)，
∴AB=4，
抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x=0，则y=3，
∴C点坐标为(0,3)，OC=3，1 1
∴S△ABC= AB⋅OC= ×4×3=6，
2 2
1
∴S = S =3；
△PBC 2 △ABC
作PE//x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y=kx+b，将B、C代入得：
{k+b=0
，
3=b
{k=-3
解得： ，
b=3
∴BC的解析式为：y=-3x+3；
设点P的横坐标为t，则P(t,-t2-2t+3)，
t2+2t
则E的横坐标为：-3x+3=-t2-2t+3，解得：x= ，
3
t2+2t
∴E( ,-t2-2t+3)；
3
t2+2t t2-t
∴PE= -t= ，
3 3
1 t2-t
∴S = × ×3=3，
△PBC 2 3
解得：t=-2或3；
∴P点纵坐标为：-(-2) 2-2×(-2)+3=3；或-(3) 2-2×(3)+3=-12，
∴点P的坐标为(-2,3)或(3,-12)．
【解析】(1)把A(-3,0)，B(1,0)两点，代入抛物线y=ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；
(2)分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y=-3x+3；作PE//x轴交BC于E，设点P的横坐标为t，t2+2t 1
分别求得P点坐标为(t,-t2-2t+3)与E点坐标为( ,-t2-2t+3)；然后利用S = S 列方程
3 △PBC 2 △ABC
解答即可．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．
27.(本小题12分)
如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，
AC//BF．
(1)若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若tan∠F= ，CD=24，求⊙O的半径；
4
GF2-GB2
(3)请问 的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
√2DF⋅GF
【答案】(1)证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
(2)解：∵AC//BF，
∴∠ACF=∠F∵CD=24，OA⊥CD，
1
∴CE= CD=12，
2
3
∵tan∠F= ，
4
AE 3
∴tan∠ACF= = ，
CE 4
AE 3
即 = ，
12 4
解得AE=9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE=r-9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，
即122+(r-9) 2=r2，
解得：r=12.5；
√2
(3)解：是定值 ；理由如下：
2
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F，
∴∠DBG=∠F，
∵∠DGB=∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
DG GB
∴ = ，
GB GF
即GB2=DG⋅GF，
GF2-GB2 GF2-DG⋅GF GF(GF-DG) GF⋅DF 1 √2
∴ = = = = = ．
√2DF⋅GF √2DF⋅GF √2DF⋅GF √2DF⋅GF √2 2
【解析】(1)由OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，由OA⊥CD，得出∠OAB+∠AGC=90°，推出
∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°，即可得出结论；
1 AE 3
(2)由平行线得出∠ACF=∠F，求出CE= CD=12，得出tan∠ACF= = ，求出AE=9，连接
2 CE 4
OC，设圆的半径为r，则OE=r-9，由勾股定理得出方程，解方程即可；DG GB
(3)连接BD，证明△BDG∽△FBG，得出对应边成比例 = ，得出GB2=DG⋅GF，即可得出结
GB GF
果．
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、
三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题
(3)的关键．
