文档内容
2024 年中考第二次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，数轴上点 表示的数绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．
先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点A、B、C、D的绝对值的范围，然后比较范围即可解答．
【详解】解：先根据数轴的定义以及绝对值的意义： ， ， ， ，点B
的数绝对值最小．
故选：B．
2．据市统计局年报，去年我市人均生产总值为 元， 用科学记数法表示为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 与 值是关键．
【详解】解： 元．
故选C．
【点睛】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值是易错点，由
于 有 位，所以可以确定 ．
3．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．
【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运
算的运算法则逐一判断即可．
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
5．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得．
【详解】解： ，，
， ， ，
，
，
，
故选：B．
6．如图， 是 的弦，把 的劣弧沿着 对折，A是对折后劣弧上的一点，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将 沿 翻折，点A落在 处，得到 ，点 在 上，根据 ，得到 ，
根据 ，得到 ．
【详解】
如图，沿 翻折 ，点A落在 处，
则 ，
由对折知， ，
∴点 在 上，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，
∴ ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7． ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的运算，掌握零指数幂、负指数幂及算术平方根是解题的关键．根据零指数幂、
负指数幂及算术平方根计算即可．
【详解】解：
故答案为：
8．因式分解 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
9．当 时，代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加减运算，再代入计算即可．
【详解】解：当 时，；
故答案为： ．
10．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据
方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
11．2024年4月23日是第29个世界读书日，鼓励人们尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动
人类社会和文化提高的人们所做出的伟大贡献表示感激和尊重．小明读一本390页的书，计划15天内读完，
但前6天由于身体原因只读了120页，如果他想按原计划读完，则从第7天起平均每天至少要读 页．
【答案】30
【分析】设从第7天起平均每天要读x页，根据题意得出不等关系：120页+后9天读的页数 ，根据
不等关系列出不等式，进而可得答案．
【详解】解：设从第7天起平均每天要读x页，才能按计划读完，
则根据题意得： ，
解得： ；
∴从第7天起，平均每天至少要读30页才能按计划读完．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目中
的不等关系，列出不等式．
12．如图， 是菱形 的一条对角线，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点
，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ；分别以点 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于 两点，直线 与射线 交于点 ．若 ，则
．【答案】
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法，菱形的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角
互余，设 与 的交点为 ，由题意可得， 为 的角平分线， 为线段 的垂直平分线，
即得到 ， ，又由四边形 是菱形，可得 ， ，
进而可得 ，即可求解，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：设 与 的交点为 ，
由题意可得， 为 的角平分线， 为线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角板的 角的顶点与坐标原点O重合，直角顶点B在x轴的
负半轴上，顶点A在第三象限．将 绕点O逆时针旋转一定角度得到 使点B的对应点 落在
边 上．若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，过点 作 轴
于点C，根据 角的直角三角形的性质求出 ，求出 ，根据旋转 求 出 ， 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出
，即可求出结果．
【详解】解：过点 作 轴于点C，如图所示：
根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
根据旋转可知， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： ．
14．如图，折叠矩形纸片 时，发现可以进行如下操作：①把 翻折，使点 落在 边上的点
处，折痕为 ；②把纸片展开并铺平；③点 在 边上，把 翻折，使点 落在线段 上的点
处，折痕为 ， 与 交于点 ．若 是等腰三角形， ，则 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和折叠的性质，分三种情况讨论：①当 时，连结 ，由题意可得 ，可得 ，证得 ，即 ， ，即可求得
，②当 时， ，可得点 与点 重合，则有 ；③当 时，
，不合题意．
【详解】①当 时，连结 ，
由题意可得 ．
，
，
， ，
．
，
，
， ．
②当 时， ，则 ，
∵
∴点 与点 重合，如图，
则 ．
③当 时， ，不合题意，舍去．
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x= .
【答案】-8x-8，-12
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2=x2-9-2x2-6x+x2-2x+1
=-8x-8，
当x= 时，原式=-4-8=-12.
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．春节是流行疾病的高发季节，为此初三1班展开以“养成良好卫生习惯，做好手部消毒”的主题班会，
并在市场购买乙醇类喷雾消毒剂，其中包含100ml、200ml、300ml、500ml共四种容量不同的消毒剂．现
将这四种消毒剂各取一瓶分别装到4个封装后完全相同的纸箱，并将这4个纸箱随机摆放．
(1)若小明从这4个纸箱中随机选取一个，则所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是______．
(2)若小明从这4个纸箱中随机选取2个，请利用列表或树状图的方法，求所选两个纸箱里消毒剂的容量之
和大于400ml的概率．
【答案】(1)
(2)所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为 ．
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本
题的关键．
（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于400ml所占的结果数，
再根据概率公式计算．
【详解】（1）解：∵一共有4个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的
有1个，
∴这4个纸箱中随机选1个，所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的结果有8种，
∴所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为 ．
17．如图，在 中， ， 是 上的一点，且 ， 于 ， ；
求证： ≌ ．【详解】解： 90°，
90°，
，
90°，
，
在 和 中，
，
≌ （AAS）.
18．为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完
成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求
甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？
【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
【分析】根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，
列方程得： ，
解得：x=80．
经检验，x=80是原分式方程的解
80-20=60．
答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．
19．如图1，图2，图3，图4均为8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边
长均为1，图中均有线段AB．按要求画图．（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形．
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）在图1中，以格点为顶点，AB为腰画一个锐角等腰三角形即可；
（2）在图2中，以格点为顶点，AB为底边画一个锐角等腰三角形即可；
（3）在图3中，以格点为顶点，AB为腰画一个等腰直角三角形即可；
（4）在图4中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形即可．
【详解】解：如图，
（1）如图1即为所画图形；
（2）如图2即为所画图形；
（3）如图3即为所画图形；（4）如图4即为所画图形.
【点睛】本题考查了作图 应用与设计作图，解决本题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质、勾股
定理及其逆定理、等腰直角三角形等知识．
20．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中 段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其
中，矩形 为向上攀爬的梯子， 米，进口 ，且 米，出口C点距水面的距离为
．
(1)求 段滑梯所在双曲线的解析式．
(2)若 为1.5米，求B，C之间的水平距离 的长度
(3)若 高度不超过1米，则B，C之间的水平距离 的长度至少为多少米？
【答案】(1)
(2)B，C之间的水平距离 的长度为6米
(3)B，C之间的水平距离 的长度至少为10米
【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得到点 ，设 段滑梯所在双曲线的解析式为： ，利用待定系
数法求解即可；
（2）根据题意得到点C的纵坐标为1.5，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到 的
长，利用 即可求解；
（3）另点C的纵坐标为1，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到 的长，利用
即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
段滑梯所在双曲线的解析式为： ，
∴ ，∴ ，
（2）解：∵ ，
∴当 时， ，
，
∴ = ，
答：B，C之间的水平距离 的长度为6米；
（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
，
∴ 的长度至少为： ，
答：B，C之间的水平距离 的长度至少为10米．
21．吉林省2022年国民经济和社会发展统计公报，初步核算，至年末全省机动车保有量达到 万辆，
比上年末增长 ．根据公报出示的数据绘制了 年 年全省机动车保有量及其增长速度的统计
图表．根据该统计图表解答下列问题：
年 年吉林省机动车保有量及其增长速度
(1)吉林省从 年到 年，全省机动车保有量最多年份比最少的年份多______万辆．
(2)吉林省从 年到 年，全省机动车保有量增长速度的中位数是______ ．
(3)与 年相比， 年吉林省机动车保有量增加了______万辆，机动车保有量增长速度提高了______
个百分点；(注： 为1个百分点)
(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，其中正确的是______．(填写字母)
A．吉林省从 年到 年，全省机动车保有量持续增长．
B．全省机动车保有量年增长率 ，设 年吉林省机动车保有量为 ，则通过列方程 来求得 年吉林省机动车保有量．
C．通过统计数据，从 年到 年，吉林省机动车保有量增长率持续下降，因此这三年的机动车保有
量增长率是负增长．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
(4)A，B
【分析】（1）用最多年份的数据减去最少年份的数据即可；
（2）先排序，再按中位数的定义求取即可；
（3）第一空：用 年吉林省机动车保有量减去2 年的即可；第二空：用 年的增长率减去
年的增长率即可；
（4）根据数据上升可知A正确，根据增长率的计算方法可知B正确，虽然增长率在下降，但一直是正数，
不是负增长可知C错误．
【详解】（1）解：由统计图可知：全省机动车保有量最多年份是 年，保有量为 万辆，全省机动
车保有量最少年份是 年，保有量为 万辆，
∴全省机动车保有量最多年份比最少的年份多的数量为： (万辆)
故答案为： ；
（2）解：吉林省从 年到 年，全省机动车保有量增长速度从小到大排序得： ， ， ，
， ，
∴全省机动车保有量增长速度的中位数是3.5%，
故答案是： ；
（3）解：∵ (万辆)
∴与 年相比， 年吉林省机动车保有量增加了 万辆，
∵ ，
∴机动车保有量增长速度提高了 个百分点，
故答案为： ； ；
（4）解：A、吉林省从2018年到2022年，汽车保有量一致在增加，即全省机动车保有量持续增长，因此
A正确；
B、增长率的计算公式正确，因此根据这个等量关系所列方程也正确，即B正确；
C、虽然增长率在下降，但一直是正数，不是负增长，因此C错误．
所以正确的有：A，B，
故答案为：A，B．
【点睛】本题考查条形统计图与折线统计图，中位数，增长率计算公式，根据题意读懂统计图的数据关系是解题的关键．
22．在风景迷人的旅游度假区，有一个深受游客喜爱的“高空滑梯”娱乐项目．如图，在滑梯顶部A处观
测B处的俯角为30°．滑车从A处出发，沿直线加速滑行18m到B处，再水平滑行10m到C处，最后沿坡
角 的斜坡CD缓慢滑行6m到达地面D处．求滑梯的高度AE．（精确到1m， ，
， ）
【答案】滑梯的高度AE约为11m．
【分析】延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，根据锐角三角函数值的求法得到AF和CG的长度，
再利用 来求解．
【详解】解：延长CB交AE于F，作CG⊥DE，垂足为G，
在 中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，
∴ ．
在 中，∠CGD＝90°，
∴ ，
∴ （m）．
答：滑梯的高度AE约为11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，作出辅助线，构建直角三角形是解答关键．
23．甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设备后，甲组的工
作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的
数量y（件）与时间x（小时）之间的函数图象如图所示．（1）直接写出线段DE的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；
（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经
过多长时间恰好装满2箱．
【答案】（1）y＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求线段BC的函数关系式，根据线段DE，BC的函数解析式即可求解；
（3）假设经过x小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20
＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进
而列方程40x+20＝340求解即可．
【详解】解：（1）由图象得：D（2，100），E（9，380），
设线段DE的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴y＝40x+20（2≤x≤9）；
（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，
∴C点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，
∴C（6.5，300），
设线段BC的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴y＝60x﹣90（2.5≤x≤6.5），由题意得：40x+20＝60x﹣90，
解得：x＝5.5，
答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；
（3）设经过x小时恰好装满二箱，
由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，
乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），
∴此时不够装满2箱．
恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），
40x+20＝340，
解得：x＝8，
答：经过8小时恰好装满2箱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的
关键．
24．（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F在 上．求证：
；
小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点H在 上，
．求证： ．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形 中， ，连接 ， 交于点M，过点M作 ，
交 于点E，交 于点F，连接 交于点N，过点N作 ，交 于点G，交 于点
H，若 ， ，直接写出 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由 ，可证 ，则 ，同理可得： ，则
，两边同时除以 ，可得 ．（2）由 ， ， ， ，可得 ， ，证明
，则 ，同理， ，则 ，两
边同时除以 得， ，进而可得 ；
（3）由（1）可知， ， ，则 ，解得， ，
则 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
同理可得： ，
∴ ，
两边同时除以 ，得 ．
（2）证明：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
两边同时除以 得， ，
∴ ；
（3）解：由（1）可知， ， ，
∴ ，解得， ，∴ ，解得， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三
角形的判定条件．
25．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D
旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小
值．
【答案】（1）见解析；（2）BE+CF＝2，是为定值；（3）S＝ （x﹣1）2 ，当x＝1时，S最小值
为 .
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证
BE＝CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝
DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝ BC＝2；
（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ，则可求S与x之间的函数解析式，
DEF ABC AEF BDE BCF
根据二次函数最值的求法，可求S的最△小值．△ △ △ △
【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∴△MBD≌△NCD（AAS）
BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中， ，
∴△EMD≌△FND（ASA）
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝ BC＝2
（3）过点F作FG⊥AB，垂足为G，
∵BE＝x
∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，
∴AF＝2+x，
∵S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ，
DEF ABC AEF BDE BCF
△ △ △ △ △∴S＝ BC×AB×sin60°﹣ AE×AF×sin60°﹣ BE×BD×sin60°﹣ CF×CD×sin60°
＝4 ﹣ ×（4﹣x）×（2+x）× ﹣ ×x×2× ﹣ ×（2﹣x）×2×
∴S＝ （x﹣1）2+ （
∴当x＝1时，S最小值为
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三
角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN是
解决本题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线 （m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当 ，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点 、 ，当 时，设 的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并
求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为 、 、 、
，当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到
x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】（1）抛物线L的对称轴为直线 ；（2） ；（3） ，S的最
小值为 ；（4）m的值为 ， ．
【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得当 时， ，且 ，从而得到 ，从而得到当 时， ，即可求解；
（3）过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．可得 ．从而得到 ，再设
直线BC的解析式为 ，求出直线BC的解析式为 ，从而得到 ，
再由 ，得到S与m之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求解；
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为 ，从而得到D到y轴的距离是3，E到x轴的
距离为 ，再由点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，即可求解．【详解】解：（1）∵ ，
∴抛物线L的对称轴为直线 ．
（2）∵当 时， ，且 ，
又∵当 时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，
∴ ．
∴当 时， ．
解得： ．
∴抛物线L对应的函数表达式为 ；
（3）如图，过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．
∵ ，
∴ ．
∵点A为抛物线L的顶点，
∴ ．
设直线BC的解析式为 ，
∵点 、 ，
∴ ，解得： ，
∴直线BC所对应的函数表达式为 ．
∴ ．
∴ ，∴
∵ ，
∴当 时，有最小值．
∴S的最小值为 ，
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为 ，
∴D到y轴的距离是3，
∵当 时， ，
∴E到x轴的距离为 ，
∵点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，
∴ ，
即 或 ，
解得： 或 ．
