文档内容
2013年苏州市初中毕业暨升学考试试卷
数 学
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．
1． 等于
1
A．2 B．－2 C．±2 D．±2
2．计算－2x2＋3x2的结果为
A．－5x2 B．5x2 C．－x2 D．x2
3．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x>1 B．x<1 C．x≥1 D．x≤1
4．一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是
A．2.5 B．3 C．3.5 D．5
5．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n
是正整数），则n的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x
的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是
A．x＝1，x＝－1 B．x＝1，x＝2
1 2 1 2
C．x＝1，x＝0 D．x＝1，x＝3
1 2 1 2
7．如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于
A．55° B．60° C．65° D．70°
[来源:学科网]
8．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝ (x>0)的图象经过顶点B，则k的值为
A．12 B．20 C．24 D．32
1
9．已知x－ ＝3，则4－2x2＋ x的值为
A．1 B． C．
D．
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为
1
（3， ），点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值
为
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位
置上．
11．计算：a4÷a2＝ ．
12．因式分解：a2＋2a＋1＝ ．
13．方程 的解为 ．
14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
掷得面朝上的点数大于4的概率为 ．15．按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为 ．
16．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧 的弧长为 ．
（结果保留π）
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在
x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点
P，则点P的坐标为（ ， )．
18．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且
点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若 ，则 （用含k
的代数式表示）．
三、解答题：本大题共11小题，共76分．
19．（本题满分5分）
计算： ．
20．（本题满分5分）
解不等式组：
21．（本题满分5分）
先化简，再求值： ，其中x＝ －2．
22．（本题满分6分）苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游．已知
这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的 2倍少5人．问甲、乙两个
旅游团各有多少人？
23．（本题满分6分）某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为 A，B，C，
D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩
（等级），统计整理并制作了如下的统计图：
(1)求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；(2)如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定为优秀，请估计该企业参加本次安全生产
知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．
（图②）
[来源:学,科,网]
24．（本题满分7分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点
分别位于小正方形的顶点上．
(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不
全等但面积相等的三角形是 （只需要填一个三角形）；
(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，
以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画
树状图或列表格求解）．
[来源:Z,xx,k.Com]
25．（本题满分7分）如图，在一笔直的海岸线l上有
A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：
km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°
的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，
到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的
方向．求点C与点B之间的距离．
（上述2小题的结果都保留根号）
26．（本题满分 8 分）如图，点 P 是菱形
ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长
DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边
AD于点F，交CD的延长线于点G．
(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
27．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是
边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并
延长DE交BC的延长线于点F．
(1)求证：BD＝BF；
(2)若CF＝1，cosB＝ ，求⊙O的半径．
28．（本题满分9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点
E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动
速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C
（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的
对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由．1
29．（本题满分10分）如图，已知抛物线y＝2x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴
分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－
1，0)．
(1)b＝ ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；
1
(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝2x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴
上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB，PC，设所得
△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 个．江苏省苏州市 2013 年中考数学试卷
一、选择题（本大共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答案卡相应的位置上）
1．（3分）（2013•苏州）|﹣2|等于（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
考 绝对值．
点：
分 根据绝对值的性质可直接求出答案．
析：
解 解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．
答： 故选A．
点 此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算
评： 当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的
绝对值是0．
2．（3分）（2013•苏州）计算﹣2x2+3x2的结果为（ ）
A．﹣5x2 B．5x2 C．﹣x2 D．x2
考 合并同类项．
点：
分 根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变即可求解．
析：
解 解：原式=（﹣2+3）x2=x2，
答： 故选D．
点 本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
评：
3．（3分）（2013•苏州）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
考 二次根式有意义的条件．
点：
分 根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．
析：
解 解：由题意得：x﹣1≥0，
答： 解得：x≥1，故选：C．
点 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
评：
4．（3分）（2013•苏州）一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．5
考 中位数．
点：
分 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
析：
解 解：将这组数据从小到大排列为：0，1，2，3，3，5，5，10，
答： 最中间两个数的平均数是：（3+3）÷2=3，
则中位数是3；
故选B．
点 此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大
评： （或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
5．（3分）（2013•苏州）世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记
数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考 科学记数法—表示较大的数．
点：
分 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
析： 把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解 解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106，
答： 故n=6．
故选B．
点 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
评： 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）（2013•苏州）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交
点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ）
A．x =1，x =﹣1 B．x =1，x =2 C．x =1，x =0 D．x =1，x =3
1 2 1 2 1 2 1 2
考 抛物线与x轴的交点．
点：
分 关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）
析： 的图象与x轴的两个交点的横坐标．
解 解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），
答：
∴该抛物线的对称轴是：x= ．
又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x =1，x =2．
1 2
故选B．
点 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来
评： 求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．7．（3分）（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则
∠DAB等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
考 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
点：
专 计算题．
题：
分 连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得
析： ∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然
后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
解 解：连结BD，如图，
答： ∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD= ×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．
点 本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直
评： 径所对的圆周角为直角．
8．（3分）（2013•苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴
的正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．32考 反比例函数综合题．
点：
分 过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的
析： 坐标，即可求出k的值．
解 解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
答： ∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴OC= = =5，
∴OC=BC=5，
∴点B坐标为（8，4），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，
∴k=32，
故选D．
点 本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题
评： 难度不大，是一道不错的习题．
9．（3分）（2013•苏州）已知x﹣ =3，则4﹣ x2+ x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
考 代数式求值；分式的混合运算．
3718684
点：
专 计算题．
题：
分 所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．
析：
解
答： 解：∵x﹣ =3，即x2﹣3x=1，
∴原式=4﹣ （x2﹣3x）=4﹣ = ．
故选D．
点 此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
评：
10．（3分）（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半
轴上．顶点B的坐标为（3， ），点C的坐标为（ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2
考 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
3718684
点：
分 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时
析： PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得
出答案．
解 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
答： 则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3， ），
∴AB= ，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 ，
由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，
∴AM= ，
∴AD=2× =3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，
∵C（ ，0），
∴CN=3﹣ ﹣ =1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= = ，
即PA+PC的最小值是 ，
故选B．点 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角
评： 三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答案卡相对应位
置上。
11．（3分）（2013•苏州）计算：a4÷a2= a 2 ．
考 同底数幂的除法．
3718684
点：
专 计算题．
题：
分 根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
析：
解 解：原式=a4﹣2=a2．
答： 故答案为：a2．
点 此题考查了同底数幂的除法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法
评： 法则．
12．（3分）（2013•苏州）分解因式：a2+2a+1= （ a+ 1 ） 2 ．
考 因式分解-运用公式法．
3718684
点：
分 符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．
析：
解 解：a2+2a+1=（a+1）2．
答：
点 本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
评：
13．（3分）（2013•苏州）方程 = 的解为 x= 2 ．
考 解分式方程．
点：
专 计算题．
题：
分 方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（2x+1）把分式方程化为整式方程，求解后进行检
析： 验．
解 解：方程两边都乘以（x﹣1）（2x+1）得，
答： 2x+1=5（x﹣1），
解得x=2，
检验：当x=2时，（x﹣1）（2x+1）=（2﹣1）×（2×2+1）=5≠0，所以，原方程的解是x=2．
故答案为：x=2．
点 本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化
评： 为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
14．（3分）（2013•苏州）任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分
别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为 ．
考 概率公式．
3718684
点：
分 根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．
析：
解 解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，
答：
掷得面朝上的点数大于4的概率是： = ．
故答案为： ．
点 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
评：
事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
15．（3分）（2013•苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为
20 ．
考 代数式求值．
3718684
点：
专 图表型．
题：
分 根据运算程序写出算式，然后代入数据进行计算即可得解．
析：
解 解：由图可知，运算程序为（x+3）2﹣5，
答： 当x=2时，（x+3）2﹣5=（2+3）2﹣5=25﹣5=20．
故答案为：20．
点 本题考查了代数式求值，是基础题，根据图表准确写出运算程序是解题的关键．
评：
16．（3分）（2013•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣
弧 的弧长为 π ．（结果保留π）考 切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．
点：
专 计算题．
题：
分 连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根
析： 据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由
BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角
形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．
解 解：连接OB，OC，
答： ∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧 长为 = π．
故答案为： π
点 此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性
评： 质是解本题的关键．
17．（3分）（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方
形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并
延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 （ 2 ， 4﹣ 2 ） ．
考 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
3718684
点：
分 根据正方形的对角线等于边长的 倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ
析：
相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐
标．
解 解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，答： ∴OA=OC=2，OB=2 ，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2 ﹣2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴ = ，
即 = ，
解得BP=2 ﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2 ，
∴点P的坐标为（2，4﹣2 ）．
故答案为：（2，4﹣2 ）．
点 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的 倍的性质，以及坐
评： 标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关
键．
18．（3分）（2013•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿
AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若 = ，
则 = 用含k的代数式表示）．
考 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
点：
分 根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，
析： ∠AFE=∠D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全
等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FG，设CG=a，表示出GB，然后求出BC，再
根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求
出AB，再求比值即可．
解 解：∵点E是边CD的中点，
答： ∴DE=CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
连接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中， ，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，设CG=a，∵ = ，
∴GB=ka，
∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），
∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），
在Rt△ABG中，AB= = =2a ，
∴ = = ．
故答案为： ．
点 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的
评： 性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共76分.把解答过程写在答案卡相对应的位置上，解答时
应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。）
19．（5分）（2013•苏州）计算：（﹣1）3+（ +1）0+ ．
考 实数的运算；零指数幂．
点：
分 按照实数的运算法则依次计算，注意：（﹣1）3=﹣1，（ +1）0=1， =3．
析：
解 解：（﹣1）3+（ +1）0+
答：
=﹣1+1+3
=3．
点 此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负数的立方是负数，任何不等于0
评： 的数的0次幂是1．
20．（5分）（2013•苏州）解不等式组： ．
考 解一元一次不等式组．
3718684
点：
分 首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．
析：
解
答：
解： ，由①得：x≥3，
由②得：x＜5，
故不等式组的解集为：3≤x＜5．
点 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：
评： 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．（5分）（2013•苏州）先化简，再求值： ÷（x+1﹣ ），其中x= ﹣2．
考 分式的化简求值．
3718684
点：
分 将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公式分
析： 解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得
到最简结果，即可得到原式的值．
解
答：
解： ÷（x+1﹣ ）
= ÷[ ﹣
]
= ÷
= ×
=
当x= ﹣2时，
原式= = ．
点 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分
评： 母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母
出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
22．（6分）（2013•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已
知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个
旅游团个有多少人？
考 二元一次方程组的应用．
3718684
点：
分 设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团
析： 人数=乙团人数×2﹣5，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解 解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得：
答：
，
解得 ，
答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人．
点 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语
评： 句，找出等量关系，列出方程组．23．（6分）（2013•苏州）某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，
C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的
成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；
（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产
知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．
考 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
3718684
点：
分 （1）抽查人数的样本容量可由A级所占的比例40%，根据总数=某级人数÷比例来计
析： 算；可由总数减去A、C、D、E的人数求得B级的人数，再补全条形统计图；
（2）用样本估计总体，用总人数×达到优秀的员工的百分比，就是要求的结果．
解 解：（1）依题意有：20÷40%=50（人），
答： 则这次抽样调查的样本容量为50．
50﹣20﹣5﹣8﹣5=12（人）．
补全图①为：
；
（2）依题意有500× =370（人）．
答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为
370人．
点 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要评： 的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．也考查了用样本估计总体．
24．（7分）（2013•苏州）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五
个点分别位于小正方形的顶点上．
（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全
等但面积相等的三角形是 △ DFG 或△ DHF （只需要填一个三角形）
（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，
以所取得这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图
或列表格求解）．
考 作图—应用与设计作图；列表法与树状图法．
3718684
点：
分 （1）根据格点之间的距离得出△ABC的面积进而得出三角形中与△ABC不全等但面积
析： 相等的三角形；
（2）利用树状图得出所有的结果，进而根据概率公式求出即可．
解
答：
解：（1）∵△ABC的面积为： ×3×4=6，
只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，
∴与△ABC不全等但面积相等的三角形是：△DFG或△DHF；
（2）画树状图得出：
由树状图可知共有6种可能的结果，其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，
△DGF，△EGF，
故所画三角形与△ABC面积相等的概率P= = ，
答：所画三角形与△ABC面积相等的概率为 ．
故答案为：△DFG或△DHF．
点 此题主要考查了三角形面积求法以及树状图法求概率，根据已知得出三角形面积是解题
评： 关键．
25．（7分）（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东
方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从
B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在
北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
考 解直角三角形的应用-方向角问题．
3718684
点：
分 （1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，
析： 再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，
解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF= AB=1km，再解Rt△BCF，得
出BC= BF= km．
解 解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．
答： 在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，
∴AD= PD= xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= ﹣1，
∴点P到海岸线l的距离为（ ﹣1）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= km，
∴点C与点B之间的距离为 km．
点 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三
评： 角形是解题的关键．26．（8分）（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延
长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．
考 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
3718684
点：
分 （1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出
析： △APB≌△APD；
（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出 = ， = ，进而得出 = ，即 = ，即
可得出答案；
②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出 = = ，求出即可．
解 （1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
答： ∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴ = ，
∵DF：FA=1：2，
∴ = ， = ，
∴ = ，
∵ = ，即 = ，∴y= x；
②当x=6时，y= ×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵ = = ，
∴ = ，
解得：FG=5，
故线段FG的长为5．
点 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平
评：
行关系得出 = ， = 是解题关键．
27．（8分）（2013•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以
BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB= ，求⊙O的半径．
考 切线的性质；圆周角定理．
3718684
点：
专 计算题．
题：
分 （1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂
析： 直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三
角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等
量代换即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出
BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直
角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，
根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，
即可求出圆的半径长．
解 （1）证明：连接OE，
答： ∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE= BF，
又∵OE= BD，
则BF=BD；
（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，
又∵CF=1，
∴BF=3x+1，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB= ，AO=AB﹣OB=5x﹣ = ，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即 = ，即 = ，
解得：x= ，
则圆O的半径为 = ．
点 此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是
评： 解本题的关键．
28．（9分）（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，
BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运
动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当
点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关
于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t= 2. 5 s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理
由．考 相似形综合题．
3718684
点：
分 （1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
析： （2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛
盾，所以不存在．
解 解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
答： 即：10﹣t=3t，
解得t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有 ，即 ，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
则有 ，即 ，
解得：t=﹣14﹣2 （不合题意，舍去）或t=﹣14+2 ．
∴当t=2.8s或t=（﹣14+2 ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为
顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC﹣BF=6﹣
3t，OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6﹣3t）2=（3t）2
解得：t= ；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2
解得：t=3.9．
∵ ≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
点 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、
评： 解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要
分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相
矛盾的结论，从而判定不存在．
29．（10分）（2013•苏州）如图，已知抛物线y= x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x
轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为
（﹣1，0）．
（1）b= +c ，点B的横坐标为 ﹣ 2 c （上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y= x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的
一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得
△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有 1 1 个．
考 二次函数综合题．
点：
分
析： （1）将A（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，可以得出b= +c；根据一元二次方程根与系数
的关系，得出﹣1•x = ，即x =﹣2c；
B B
（2）由y= x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC
的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y= x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数
法求出直线AE得到解析式为y= x+ ；解方程组 ，求出点E坐
标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣ x+c，求出c=﹣2，进而
得到抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2；
（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S ，易求0＜S＜
△ACB
5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，
x2﹣ x﹣2），则点F坐标为（x， x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣ x2+2x，S= PF•OB=﹣
x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；
②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x
＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC= ，得出满足条
件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=﹣x2+4x，根据一元二次方程根的判
别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．
解
答： 解：（1）∵抛物线y= x2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0= ×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，
∴b= +c，
∵抛物线y= x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（x ，0）（点A位于点B的
B
左侧），
∴﹣1与x 是一元二次方程 x2+bx+c=0的两个根，
B
∴﹣1•x = ，
B
∴x =﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；
B
（2）∵抛物线y= x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，
∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（﹣2c，0），
∴﹣2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k= ，
∴直线BC的解析式为y= x+c．
∵AE∥BC，
∴可设直线AE得到解析式为y= x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴ ×（﹣1）+m=0，解得m= ，
∴直线AE得到解析式为y= x+ ．
由 ，解得 ， ，
∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），
∴直线CD的解析式为y=﹣ x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，
∴1﹣c=﹣ ×（1﹣2c）+c，
∴2c2+3c﹣2=0，
∴c = （与c＜0矛盾，舍去），c =﹣2，
1 2
∴b= +c=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2；
（3）①设点P坐标为（x， x2﹣ x﹣2）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），
∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y= x﹣2．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S ．
△ACB
∵S = AB•OC=5，
△ACB
∴0＜S＜5；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．
∴点F坐标为（x， x﹣2），
∴PF=PG﹣GF=﹣（ x2﹣ x﹣2）+（ x﹣2）=﹣ x2+2x，
∴S=S +S = PF•OB= （﹣ x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
△PFC △PFB
∴当x=2时，S最大值=4，
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5；
②∵0＜S＜5，S为整数，
∴S=1，2，3，4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC= ．
∵S= BC•h，∴h= = = S．
如果S=1，那么h= ×1= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=2，那么h= ×2= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=3，那么h= ×3= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=4，那么h= ×4= ＜ ，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=﹣x2+4x．
如果S=1，那么﹣x2+4x=1，即x2﹣4x+1=0，
∵△=16﹣4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=2，那么﹣x2+4x=2，即x2﹣4x+2=0，
∵△=16﹣8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=3，那么﹣x2+4x=3，即x2﹣4x+3=0，
∵△=16﹣12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=4，那么﹣x2+4x=4，即x2﹣4x+4=0，
∵△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；
综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．
故答案为 +c，﹣2c；11．
点 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析
评： 式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元
二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结
合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
