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2024 年中考第二次模拟考试（山西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.计算 的结果等于（ ）
A． B． C．1 D．11
【答案】A
【解析】解：
，
故选：A．
2.以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A． 剪纸 B． 琵琶
C． 钢笔 D． 乒乓球拍
【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
【答案】B
【解析】第（1）题， ，正确，得10分；
第（2）题， ，原题解答错误，得0分；
第（3）题， ，正确，得10分；
第（4）题， ，正确，得10分；
所以这位同学的测试成绩是30分．
故选B．
4．如图，三位学生在做投圈游戏．他们分别站在 的三个顶点处，目标物放在斜边 的中点处．
仅从数学的角度看这样的队形哪个位置的学生投中的可能性最大（ ）
A． 处学生投中的可能性最大 B． 处学生投中的可能性最大
C． 处学生投中的可能性最大 D．三位学生投中的可能性一样大
【答案】D
【解析】解：依题意，他们分别站在 的三个顶点处，目标物放在斜边 的中点处．设 的中点为 ，
则 ，
∴三位学生投中的可能性一样大，
故选：D．
5．《海底两万里》是法国著名作家儒勒·凡尔纳的一部著名作品，他在小说中塑造了尼摩船长这个反对沙
皇专制统治的高大形象，赋予其强烈的社会责任感和人道主义精神，以此来表达对现实的批判．如图所示
是《海底两万里》中尼摩船长所发明的潜水头盔的示意图．这种头盔具有良好的抗水压性能，能使潜水工
作者在水下数百米深处作业而行动自如．现将其抽象为图示的立体图形，则该头盔的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据俯视图是由从上往下看得到的图形可得，该头盔的俯视图为
故选：D．
6．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，
绵阳全市约有 万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到 万个，则从2023年
底到2025年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】解：设全市充电桩数量的年平均增长率为 ，
根据题意得 ，
解得 （舍去），
故全市充电桩数量的年平均增长率为 ．故选C．
7．如图是物体 在焦距为 （即 ）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点
发出的平行于 的光束折射后经过右焦点 ，而经过光心 点的光束不改变方向，最后 点发出的光汇
聚于点 ， 点发出的光汇聚于点 ，从而得到最清晰的实像．若物距 ，则像距 为（ ）
cm．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得： ， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得： ，
经检验 为原分式方程的解，
，
故选：D．
8．如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的
两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元
件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱
）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意列出表格如下：
A B C D
A
B
C
D
由表可知，一共有12种情况，小明触连一次找到故障的有2种情况，
∴小明触连一次找到故障的概率 ，
故选：D．
9．创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大
小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板 的张角至视角舒适，若张角，支撑杆 与桌面夹角 ，那么此时面板 与水平方向夹角 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可得： ，则 ；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【解析】解：由题意可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为
2，则小正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中
点G，连接GH，GQ，由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2 ，
∴OD OF，
∴MF 1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FH MF ，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：
【答案】
【解析】解：原式 ；
故答案为： ．
12．园林设计师为公园设计了种植月季花的正方形造型：最外层种黄花，用○表示；里面种红花，用●表
示．请你观察下图，当红花列数为 时，红花有( )朵，黄花有( )朵．【答案】
【解析】解：第1个图形中红花的朵数是1，黄花的朵数是8，
第2个图形中红花的朵数是4=22，黄花的朵数是16=8×2，，
第3个图形中红花的朵数是9=32，黄花的朵数是24=8×3，
第4个图形中红花的朵数是16=42，黄花的朵数是32=8×4，
…，
所以，第n个图形中红花的朵数是n2，黄花的朵数是 ,
故答案为： ， ．
13．商店里的自动扶梯在 内可把人送上楼．若扶梯不动，人沿扶梯走上楼需 ．现在人沿运动的
扶梯以同样的速度走上楼，则所需的时间是 ．
【答案】
【解析】解：设人走的速度为 ，自动扶梯的速度为 ，设人沿运动的扶梯以同样的速度走上楼，所需的
时间是 ，根据距程=速度×时间，得：
自动扶梯在 内可把人送上楼，人通过的距离为： ，
扶梯不动，人沿扶梯走上楼需 ，人通过的距离为： ，
人沿运动的扶梯以同样的速度走上楼，所需的时间是 ，人通过的距离为： ，
，
，
，
，
解得 ．
故答案为： ．14．如图，已知 的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知， 的面积为 ．
【答案】4
【解析】连 ，由作图知M，N分别为 的中点，
∴ ，
由等底同高三角形面积相等得
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4
15．如图，在正方形 内有一点 ， ．以 ， 为邻边作 ，连结 ，若 ，
， 三点共线，且 的面积为10，则 的长为 ．【答案】
【解析】解：设 、 的交点为G，过E作 交于H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
设正方形的边长为 ，则 ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）下面是王亮同学解方程 的过程，请阅读并完成相应任务．
解：方程两边同乘以 ，得第一步
． 第二步
第三步
第四步
经检验： 是原方程的解． 第五步
∴原方程的解是 第六步
任务一：
①以上求解过程中，第一步的依据是______；
②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程．
从前一步到后一步的变形共出现______处错误：
③分式方程检验的目的是______．
任务二：请你直接写出这个方程的正确解______．
【解析】解：（1）
；
（2）任务一：①方程两边同乘以 ，得 ，依据是等式的性质；
②第二步， ，漏乘了项，应为
∴王亮同学的求解过程从第二步开始出现错误，
第三步，左边 应为 不是 ，
第四步，计算错误，应为 不是 ，
∴整个解答过程，从前一步到后一步的变形第二步、第三步、第四步共出现3处错误；
③分式方程检验的目的是判定解是否是增根．
任务二：解：方程两边同乘以 ，得
，
．，
，
，经检验： 是原方程的解．
∴原方程的解是 ．
17．（7分）如图，在 中， 是直径， 是弦， 的延长线交 于点 ，且
．
(1)试说明直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）解：直线 与 相切，理由如下：
连接 ，
是直径，
，
，
，
，
，
，即 ，
直线 与 相切；（2）解：连接 ， 交于点G，
，
，
， ，
，
，
设 半径为r，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 或 （舍），
，
在 中， ，
．18．（8分）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划
用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多
10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100
元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够
用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
【解析】（1）设打折前每个篮球的售价是 元，则打折后每个篮球的售价是 元，
由题意，得 ，解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元；
（2）设购买篮球 个，则购买足球 个
设购买50个篮球和足球的总费用为 元
由题意，得
随着 的增大而减小
又
当 时， 取得最小值，最小值为
学校预算的1800元不够用
（元）该学校至少还需要再添加2000元．
19．（9分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两
个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分 分，实际得分
用 表示）：
， ， ， ， ，
随机抽取 名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中， 组的数据如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“ 组”所对应的扇形的圆心角是 ________ ；
(2) _____ ，并补全图 中的频数分布直方图；
(3)在笔试阶段中， 名学生成绩的中位数是 ______ _分；
(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照 的权重计入总成绩，总成绩在 分以上的将获得“环保之
星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．
【解析】（1）“ 组”所对应的扇形的圆心角是: ，
故答案为： ；
（2） ，并补全频数分布直方图如图，故答案为： ；
（3）由（ ）得： ，即抽取 名学生，
即中位数排在第 ， 位的平均数，为 ，
故答案为： ；
（4）甲： ，
乙： ，
∵ ，
∴乙将获得“环保之星”称号．
20．（8分）山西省首座独塔悬索桥——通达桥，全长 公里，主桥横跨汾河，全长 ，宽 ，是
太原新建成的一座跨河大桥，桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．某数学“综合与实践”小
组把“测量通达桥拱门的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测
量．测量结果如表：
内容
项目
测量通达桥拱门的高度
测量
说明：他们利用无人机技术进行测量， 代表通达桥拱
示意
门，C，D是两个观测点，已知 ，
图及
A，B，C，D在同一平面内， 为桥面
说明C处的仰角 D处的俯角 观测点C距桥面的高度 之间的距离
测量
数据
… …
任务一：请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出通达桥拱门的高度
AB；（结果保留整数，参考数据： ， ）
任务二：请你根据所学的知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量．
【解析】解：任务一：如图①，延长 与 交于点N，过点A作 于点P，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
根据题意可得 ， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∵ ，
∴ ，
∴通达桥拱门的高度 约为 ；
任务二：测量方案如图②所示，需要测量的数据有 的度数， 的度数， 之间的距离．
解 可得 ，解 可得 ，
则 ，
∴需要测量的数据有 的度数， 的度数， 之间的距离．
21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数
学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．”
以下是数学中常见的一个问题：
若 ，则 的最大值是多少？
设 ， ，则 ．
……
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为 和 的两个电阻，串联电路的电阻
公式为 ，并联电路的电阻公式为 ．在某一段电路上测得两个电阻的和为 ．若
根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？任务：
(1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
(2)若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足______时， 的值最大．
(3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可）
A．统计思想 B．分类思想 C． 模型思想
(4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______ ．
【解析】（1）解：按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分如下：
∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为1；
（2）令 ， 两数的和为定值 ，
设 ， ，
则 ，
∴当 时， 取最大值为 ，此时 ，
∴若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足 时， 的值最大．
故答案为： ；
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想．故选：C；
（4）由以上结论可知，当 时， 取最大值，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3.75．
22．（12分）问题背景：点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， ，试判断 ， ，
之间的数量关系．小云同学的思路是过点A作 ，交 的延长线于点 ，如图1，通过这种证明方法，可发现上述
线段 ， ， 的数量关系为________（直接写出结果）；
变式迁移：如图2，在菱形 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ，若
，求 的长；
拓展应用：如图3，在 中， ， 于 ， ， ，直接写出 的长为
________．
【解析】解： ；
证明：如图1，过点A作 ，交 的延长线于点 ．
∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．故答案为：
变式迁移：如图2，连 ，过点A作 于点 ．
∵四边形 为菱形，
∴ ， ,
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
又∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；拓展应用：
如图3，以 为对称轴作 的轴对称图形 ，以 为对称轴作 的轴对称图形 ，延
长 、 交于点G．
∵ ，
由轴对称的性质得 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得 ，
解得 （不合题意，舍去），
∴ ．
故答案为：12
23．（13分）如图，抛物线 与x轴相交于点 和点B，与y轴相交于点 ，作直
线 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若在直线 上方的抛物线上有一动点P，连接 交直线 于点D，若 ，求点P的
坐标；
(3)若在直线 上方的抛物线上存在点Q，使 ，求点Q的坐标．
【解析】（1）解：把 ， 代入抛物线解析式 中得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图所示，过点D作 轴于E，过点P作 轴于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；（3）解：如图，过点 作 轴交抛物线与点 ，过点 作 与于点 ，
轴，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
解得： 或 （舍）
，
点 的坐标为 ．
